Model dwumianowy był prostym modelem za pomocą którego opisaliśmy proces stochastyczny ceny aktywa. Był to tak zwany model dyskretny, bowiem zmienna czasowa przyjmowała wartości dyskretne oraz wartości przyjmowane przez ceny aktywa w tych chwilach czasu tworzyły zbiory dyskretne. Mimo swojej prostoty, model ten przy dostatecznie dużej liczbie kroków czasowych na danym odcinku czasu (to jest, dla danego czasu trwania instrumentu) daje stosunkowo dokładną wycenę szerokiej klasy instrumentów pochodnych. Gdy liczba kroków czasowych na ustalonym odcinku czasu dąży do nieskończoności (długość okresu na drzewie dwumianowym dąży do zera), model dwumianowy przechodzi w model ciągły. W wyniku przejścia granicznego rozkład dwumianowy ,,przechodzi” w rozkład log-normalny, natomiast zasada wyceny instrumentów pochodnych w modelu ciągłym pozostaje taka sama jak w modelu dyskretnym.
Będziemy zakładać, że spełnia następujące stochastyczne równanie
![]() |
(9.1) |
gdzie
jest stopą zwrotu
(współczynnikiem dryfu),
jest zmiennością
(współczynnikiem dyfuzji),
jest tak zwanym procesem Wienera.
W naszym prostym modelu o i
zakładamy, że są stałe,
to jest nie zależą od czasu
i procesu
. Równanie
(9.1) jest szczególnym przypadkiem ogólniejszej klasy
równań stochastycznych postaci
![]() |
(9.2) |
gdzie i
są
procesami o odpowiednich własnościach, które często zależą od
i
procesu
. Nasz prosty przypadek uzyskujemy kładąc w
(9.2)
oraz
i zamieniając
na
.
Proces Wienera to proces stochastyczny o następujących
własnościach:
,
ma niezależne przyrosty, to znaczy, dla każdych
zmienne losowe
i
są niezależne,
dla każdych
,
ma ciągłe trajektorie (z prawdopodobieństwem 1).
W szczególności z tych warunków wynika, że
![]() |
oraz
![]() |
Wbrew pozorom równanie (9.2) (ani (9.1)) nie jest równaniem różniczkowym. A to dlatego że pochodna trajektorii procesu Wienera nie istnieje (z prawdopodobieństwem 1 są one nigdzie nieróżniczkowalne). Tak naprawdę równanie (9.2) należy rozumieć jako równanie całkowe
![]() |
(9.3) |
gdzie druga całka jest tak zwaną całką stochastyczną Itô, która jest już dobrze zdefiniowanym obiektem matematycznym.
Nie podamy definicji całki stochastycznej Itô (proszę poczekać cierpliwie na wykład z procesów stochastycznych – zainteresowanym przystępnym wprowadzeniem do rachunku stochastycznego polecam podręcznik Steven'a E. Shreve'a Stochastic Calculus for Finance II (Springer 2004)[2]). Zadowolimy się natomiast wybranymi szczególnymi technikami rachunku stochastycznego, które powinny nam wystarczyć dla naszych rozważań. Mamy następujący
Dla deterministycznej funkcji całkowalnej z kwadratem,
![]() |
Będą nas również interesować funkcje postaci gdzie
jest procesem spełniającym równanie (9.2). W szczególności
chcielibyśmy wiedzieć jakie równanie stochastyczne spełnia proces
. Na to pytanie odpowiada następujący
Załóżmy, że proces spełnia równanie stochastyczne
![]() |
(9.4) |
gdzie i
są
adaptowalnymi procesami (o odpowiednich własnościach by całki miały
sens). Niech
. Wówczas proces
spełnia następujące równanie
![]() |
(9.5) |
W szczególnym przypadku, gdy oraz
, to
jest gdy
spełnia równanie (9.1), teza Lematu Itô
przyjmuje następującą postać:
![]() |
Przykłady zastosowania Lematu Itô:
Niech będzie ceną kontraktu Forward (ceną
teoretyczną kontraktu Futures) na aktywo, które nie przynosi dochodu
w trakcie trwania kontraktu
. Wówczas
, gdzie
. Jeżeli cena aktywa
spełnia
(9.1), to na mocy lematu Itô, proces
spełnia
następujące równanie
![]() |
które po uporządkowaniu przyjmuje następującą postać
![]() |
(9.6) |
Korzystając z Lematu Itô obliczymy całkę stochastyczną
![]() |
Niech . Rozpatrzmy proces
, czyli
(a więc w równaniu (9.2)
oraz
). Badamy proces
. Na mocy lematu
Itô, proces
spełnia równanie
![]() |
co w postaci całkowej oznacza, że
![]() |
skąd otrzymujemy
![]() |
Rozwiązanie równania (9.1) i jego własności
Niech . Wówczas, na mocy Lematu Itô, proces
, gdzie
jest dane przez (9.1), spełnia
następujące równanie
![]() |
które po uporządkowaniu przyjmuje następującą postać:
![]() |
(9.7) |
W postaci całkowej (9.7) oznacza, że
![]() |
(9.8) |
skąd otrzymujemy
![]() |
(9.9) |
W ten sposób ,,otrzymaliśmy” rozwiązanie równania stochastycznego
(9.1). Przedstawiona powyżej metoda rozwiązania nie jest w
pełni poprawna, bo po pierwsze zakłada istnienie rozwiązania, a po
drugie zakłada jego dodatniość. O ile istnienie rozwiązania możemy
uzyskać stosunkowo łatwo, powołując się na stosowne twierdzenie o
istnieniu rozwiązań równania typu (9.2), to dodatniość
rozwiązania nie jest taka oczywista. Możemy jednak naprawić nasze
,,rozwiązanie” w następujący sposób. Po prostu wystarczy sprawdzić
czy proces zdefiniowany równaniem (9.9)
spełnia równanie (9.1) (Zadanie na Ćwiczenia).
Z równania (9.10) wynika, że logarytmiczna stopa zwrotu
![]() |
Stąd wynika, że ,,łatwiej” jest przewidzieć logarytmiczną stopę zwrotu w długim okresie czasu niż w krótszym okresie.
Logarytmiczna stopa oczekiwanego zwrotu
Podobnie jak w modelu dyskretnym wycena instrumentów pochodnych polega na przejściu do świata wolnego od ryzyka, w którym aktywa ryzykowne mają taką samą stopę zwrotu jak inwestycje wolne od ryzyka – stopę wolną od ryzyka. To podejście jest oparte na następującym twierdzeniu:
Jeżeli proces spełnia równanie
![]() |
(9.13) |
to spełnia również równanie
![]() |
(9.14) |
gdzie jest stopą wolną od ryzyka, a przy przejściu do równania
(9.14) (to jest, przy przejściu do świata wolnego od
ryzyka) dokonaliśmy odpowiedniej zmiany procesu
na proces
Wienera
. Ponadto istnieje miara probabilistyczna
(tzw. miara martyngałowa) taka, że
![]() |
a
sprawiedliwa (wolna od arbitrażu) cena instrumentu pochodnego o
funkcji wypłaty dana jest wzorem
![]() |
(9.15) |
Jeżeli zmienna losowa ma rozkład log-normalny, to
![]() |
(9.16) |
gdzie jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego,
oraz
![]() |
(9.17) |
![]() |
(9.18) |
a jest odchyleniem standardowym zmiennej
.
Zapiszmy w postaci
![]() |
gdzie
jest wartością oczekiwaną zmiennej
,
odchyleniem
standardowym
, a
. Wówczas
![]() |
i wtedy
![]() |
(9.19) |
gdzie jest gęstością standardowego
rozkładu normalnego.
Ponieważ
![]() |
wyrażenie na wartość oczekiwaną (9.19) zapiszemy w postaci
![]() |
(9.20) |
Korzystając z symetrii gęstości standardowego rozkładu normalnego, wyrażenie (9.20) przekształcamy do następującej postaci:
![]() |
(9.21) |
gdzie , a
jest dystrybuantą standardowego
rozkładu normalnego.
Z własności zmiennych losowych o rozkładzie log-normalnym wynika, że
![]() |
(9.22) |
Wykorzystując ten związek pokazujemy, że i
są określone
wyrażeniami (9.17) i (9.18) odpowiednio. Ponadto
, co, po uwzględnieniu w (9.21) daje
nam ostatecznie (9.16).
Opcje kupna
Wycenimy europejską opcję kupna aktywa, które nie przynosi dochodu w
trakcie trwania opcji. Zakładamy, że cena aktywa spełnia
równanie (9.1). Zgodnie z zasadą wyceny instrumentów
pochodnych wartość opcji kupna dana jest wzorem
![]() |
gdzie jest miarą
martyngałową w świecie wolnym od ryzyka. W tym świecie cena aktywa
jest procesem opisanym równaniem
![]() |
(9.23) |
gdzie jest stopą zwrotu z inwestycji wolnych od ryzyka (która
pojawia się w miejsce stopy
w (9.1)), a
jest odpowiednio zmodyfikowanym procesem Wienera, który pojawia się
w miejsce procesu Wienera
w (9.1) przy przejściu do świata
wolnego od ryzyka. Wówczas,
ma rozkład log-normalny (patrz
(9.10)) oraz jak wynika z (9.11)
![]() |
(9.24) |
Po wstawieniu równości (9.24) do wzoru (9.16) z Lematu 9.3 otrzymujemy
![]() |
(9.25) |
gdzie wyrażenia na i
przyjmują postać
![]() |
(9.26) |
![]() |
(9.27) |
przy przekształceniu których uwzględniliśmy fakt, że odchylenie
standardowe wynosi
(patrz
(9.10)).
Opcje sprzedaży
Europejską opcję sprzedaży możemy wycenić stosując podobne podejście jak w przypadku opcji kupna – przez obliczenie wyrażenia
![]() |
korzystając z odpowiednio zmodyfikowanego Lematu 9.3. Możemy też posłużyć się parytetem opcji kupna-sprzedaży dla wyliczenia wartości opcji sprzedaży z wartości opcji kupna. Postępując w ten drugi sposób otrzymujemy
![]() |
co, po skorzystaniu z
tożsamości , zapiszemy w następującej postaci
![]() |
(9.28) |
Wzory (9.25) i (9.28) przedstawiają wycenę opcji w
chwili , których czas trwania wynosił
. Przyjęcie
było
tylko kwestią wygody. Wycenę opcji w chwili
uzyskujemy
traktując
jako chwilę początkową, w której znamy wartości
argumentów funkcji
i
, a
jako pozostały do wygaśnięcia
opcji czas trwania. W szczególności, jako wartość początkową aktywa
bierzemy
– jego wartość ustaloną w chwili
. Wówczas
wzory na wycenę opcji waniliowych przyjmują postać
![]() |
(9.29) |
![]() |
(9.30) |
gdzie
![]() |
(9.31) |
We wzorach (9.29)–(9.31) stopa procentowa
oraz zmienność
oznaczają ich wartości ustalone w chwili
wyceny
na pozostały do wygaśnięcia opcji czas trwania, przy czym
dla czytelności zapisu zaznaczenie zależności tych zmiennych od
zostało pominięte.
Wzory: (9.29) na wartość opcji kupna i (9.30) na
wartość opcji sprzedaży możemy zapisać jedną formułą z dodatkowym
parametrem , który będzie określał która opcja, kupna czy
sprzedaży, jest wyceniana. Mianowicie formuła
![]() |
(9.32) |
dla daje wycenę opcji kupna, a dla
wycenę
opcji sprzedaży.
I n t e r p r e t a c j e:
Wartość dystrybuanty określa prawdopodobieństwo
(w świecie wolnym od ryzyka) wykonania opcji kupna.
Na wzór (9.25) na wycenę opcji kupna możemy spojrzeć jak na wartość portfela, który składa się z
,,sztuk” aktywa
ryzykownego, oraz
inwestycji w instrument
wolny od ryzyka (rachunek bankowy) na kwotę równą
.
Zbadamy teraz zachowanie się formuł na wycenę w kilku skrajnych przypadkach. Zrobimy to w przypadku opcji kupna.
(opcja kupna mocno w cenie)
Wówczas ,
są duże i wtedy
oraz
są
bliskie jedności. Zatem, w tym przypadku
![]() |
czyli wartość opcji kupna jest w przybliżeniu równa wartości kupionego kontraktu Forward. Możemy powiedzieć, że opcja kupna mocno w cenie jest równoważna kupionemu kontraktowi Forward.
(opcja kupna mocno poza ceną)
Wówczas oraz
i wtedy
oraz
są bliskie zera. Zatem, w tym przypadku
![]() |
czyli opcja jest prawie bezwartościowa.
Niech oznacza cenę forward w chwili
aktywa
dla kontraktu, który zapada w
.
(a) Dla , czyli gdy
![]() |
oraz
![]() |
przy
. Wówczas
![]() |
(b) Dla , czyli gdy
![]() |
Zatem
![]() |
(c) Dla , czyli gdy
![]() |
Wówczas
![]() |
Pokazaliśmy więc, że gdy , to
![]() |
(warunek brzegowy dla
opcji)
(a) Dla
![]() |
oraz
![]() |
przy . Wówczas
![]() |
(b) Dla
![]() |
Zatem
![]() |
(c) Dla
![]() |
o ile istnieje granica
, i wtedy
![]() |
Pokazaliśmy więc, że spełniony jest warunek brzegowy, w tym sensie, że
![]() |
Aktywo ryzykowne przynosi ,,dyskretny” dochód
(np. akcja z dywidendą)
Niech oznacza wartość bieżącą dochodu, który da aktywo w
trakcie pozostałego do wygaśnięcia opcji okresu. Wówczas wartość
opcji dana jest wzorami (9.25) – (9.28), w
których w miejsce
podstawiamy
. Jeżeli zmienność
jest estymowana na podstawie zaobserwowanych historycznych
wartości aktywa, to zmienność którą należy użyć przy obliczaniu
i
jest w przybliżeniu tą wyestymowaną zmiennością
historyczną przemnożoną przez współczynnik
.
Natomiast zmienność implikowana (patrz Wykład 11),
jeśli jest stosowana do wyceny opcji, nie wymaga żadnej korekcji.
Aktywo ryzykowne przynosi ,,ciągły” dochód
(np. indeks giełdowy, kurs walutowy)
Zakładamy, że spełnia (w świecie wolnym od ryzyka) następujące
równanie
![]() |
(9.33) |
gdzie jest stopą wolną od ryzyka, a
jest stopą dochodu
(stopą dywidendy), kapitalizowanymi w sposób ciągły. Korzystając z
Lematu Itô, można łatwo pokazać, że wówczas proces
spełnia równanie
![]() |
(9.34) |
Ponadto, w chwili wygaśnięcia opcji . Zatem, opcje,
których instrumentem podstawowym jest
płacące ciągłą dywidendę,
możemy traktować jak opcje których instrumentem podstawowym jest
aktywo
niepłacące dywidendy i wycenić je wzorami
(9.25)–(9.28) dla wartości początkowej aktywa
. Wzory te przyjmują wówczas następującą
postać
![]() |
(9.35) |
![]() |
(9.36) |
gdzie
![]() |
(9.37) |
Analogicznie, jak poprzednio wzory na wycenę w dowolnej chwili czasu
mają postać
![]() |
(9.38) |
![]() |
(9.39) |
gdzie
![]() |
(9.40) |
Uzyskanie jawnych wzorów analitycznych na wycenę waniliowych opcji
europejskich było możliwe dzięki szczególnej postaci funkcji wypłaty
tych opcji i rozkładu zmiennej , które umożliwiały obliczenie
wartości oczekiwanej we wzorze na wycenę instrumentu pochodnego
![]() |
(9.44) |
W przypadku, gdy obliczenie całki występującej w (9.44)
jest niemożliwe lub trudne do przeprowadzenia, jedynym ze sposobów
na uzyskanie przybliżonej wartości jest zastosowanie
symulacji Monte Carlo.
Naiwny algorytm symulacji Monte Carlo dla opcji o europejskim typie wykonania:
Dla
Generuj trajektorię procesu
w
świecie wolnym od ryzyka startując z wartości początkowej
aż
do chwili zapadalności instrumentu pochodnego
zgodnie z
przyjętym modelem stochastycznym.
Dla wygenerowanej
trajektorii wyznacz wartość wypłaty instrumentu pochodnego
Oblicz przybliżoną wartość instrumentu pochodnego
![]() |
(9.45) |
W przypadku gdy spełnia równanie (9.14), generowanie
trajektorii jest proste, bowiem znamy dokładne rozwiązanie tego
równania – patrz (9.9) z
. Korzystając z tego
rozwiązania, wartości
w chwilach czasu
generujemy w następujący sposób
![]() |
(9.46) |
gdzie a
są niezależnymi zmiennymi losowymi o
rozkładzie normalnym
.
Uwagi
Jeżeli wypłata instrumentu pochodnego zależy tylko od wartości instrumentu
podstawowego w chwili i dysponujemy dokładnym rozwiązaniem
równania opisującego proces
, nie musimy symulować wartości
dla
. Możemy od razu generować wartości
. Na
przykład, gdy
spełnia równanie (9.14),
generujemy
korzystając ze wzoru
![]() |
(9.47) |
Jeżeli wypłata instrumentu pochodnego zależy od
trajektorii procesu (zależy od drogi) – jak np. przypadku opcji
azjatyckich – musimy symulować wartości
(w chwilach czasu
) od których zależy wartość wypłaty.
W przypadku, gdy nie mamy dokładnego rozwiązania równania
stochastycznego, które opisuje proces , symulując ten proces
musimy się posłużyć zdyskretyzowaną postacią równania
stochastycznego. Na przykład, dla równania (9.2) napisanego
dla procesu
, wartości
symulujemy korzystając z
![]() |
(9.48) |
gdzie są niezależnymi zmiennymi losowymi
o rozkładzie normalnym
i poruszając się dostatecznie małymi
krokami czasowymi
.
Pokaż, że jeżeli , gdzie
, (inaczej
), to
![]() |
oraz
![]() |
Jeżeli to
funkcja tworząca momenty
dla
.
Niech , gdzie
spełnia równanie
![]() |
a ,
i
są stałymi. Wyprowadź równanie na proces
.
Niech , gdzie
spełnia równanie
![]() |
a ,
i
są stałymi. Wyprowadź równanie na proces
.
(a) Cash-or-Nothing Options
Wyceń europejskie opcje binarne, których wypłaty dane są funkcjami:
dla opcji kupna,
oraz
dla opcji sprzedaży,
gdzie jest funkcją Heaviside'a.
(b) Asset-or-Nothing Options
Wyceń europejskie opcje binarne, których wypłaty dane są funkcjami:
dla opcji kupna,
oraz
dla opcji
sprzedaży,
gdzie jest funkcją Heaviside'a.
Jeśli dobrze zrozumiałeś wyprowadzenie wzorów Blacka-Scholesa, to będziesz umiał z nich ,,odczytać” rozwiązanie.
Wyceń europejską opcję ,,zapłać później”, to jest opcję europejską za którą nabywca płaci premię w chwili wygaśnięcia opcji tylko wtedy gdy opcja wygasa w cenie.
Wyceń europejską opcję, której ceną wykonania będzie ustalona
wielokrotność zaobserwowanej ceny aktywa w ustalonej chwili czasu
w trakcie trwania opcji. Na przykład, dla opcji kupna wartość
wypłaty tej opcji dana jest wzorem
,
gdzie
, a
jest dane.
Dla opcji sprzedaży sformułuj i udowodnij lemat analogiczny do Lematu 9.3.
Rozpatrzmy europejskie opcje azjatyckie o ustalonej cenie wykonania
, których wartość wypłaty zależy od średniej geometrycznej
![]() |
Przy założeniu że proces spełnia równanie (9.1), oblicz
(a) wariancję ,
(b) wartość oczekiwaną ,
(c) cenę azjatyckiej opcji kupna.
Rozpatrzmy opcje europejskie o czasie trwania , które są w chwili
bieżącej at-the-money forward, to znaczy takie, których
cena wykonania
i bieżąca cena akcji
spełniają warunek
![]() |
gdzie jest stopą wolną od ryzyka, a
stopą (ciągłej) dywidendy.
Pokaż, że w tym przypadku ceny opcji call i put są takie same i wynoszą
![]() |
Ponadto, pokaż, że dla małych wartości , zachodzi
przybliżony wzór
![]() |
W
powyższych wzorach oznacza zmienność akcji, a
–
dystrybuantę rozkładu
.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.