Zagadnienia

10.1 Równania Hamiltona
10.2 Informacje o geometrii symplektycznej.
10.3 Kanoniczna struktura symplektyczna na wiązce kostycznej do rozmaitości.

10. Mechanika Hamiltonowska

10.1. Równania Hamiltona

Twierdzenie 10.1

Niech $\mathcal{M}$ będzie układem mechanicznym z funkcją Lagrange'a $L=T-U,$ gdzie energia kinetyczna ma postać formy kwadratowej zmiennych $\dot{x}_{1},...\dot{x}_{n},$ to jest

$T(x_{1},...,x_{n},\dot{x}_{1},...\dot{x}_{n})=\displaystyle{\sum _{{i,j=1}}^{n}a_{{ij}}\big(x_{1},...,x_{n}\big)\dot{x}_{i}\dot{x}_{j}}$

(10.1)

Załóżmy, że dla dowolnych ustalonych $x_{1},...,x_{n}$ forma (10.1) jest dodatnio określona. Wtedy (a) po dokonaniu zamiany zmiennych

$\displaystyle{\alpha _{{(x_{1},...,x_{n})}}}:(\dot{x}_{1},...\dot{x}_{n})\rightarrow\Big(\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial\dot{x}_{1}},...,\frac{\partial L}{\partial\dot{x}_{n}}\big)}=(p_{1},...,p_{n})$

(10.2)

analogicznie, jak w (9.7), gdzie przekształcenie odwrotne dane jest wzorem

$\displaystyle{\beta _{{(x_{1},...,x_{n})}}}:({p}_{1},...{p}_{n})\rightarrow\Big(\displaystyle{\frac{\partial\widehat{L}}{\partial\dot{p}_{1}},...,\frac{\partial\widehat{L}}{\partial\dot{p}_{n}}\Big)}=(\dot{x}_{1},...,\dot{x}_{n}).$

(10.3)

Układ równań Eulera - Lagrange'a

$\displaystyle{\frac{\partial L}{\partial\dot{x}_{i}}-\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}_{i}}}\Big)=0i=1,2,,n$

(10.4)

przechodzi na układ Hamiltona

$\left\{\begin{array}[]{ll}\dot{p}_{i}=-\frac{\partial\widehat{L}}{\partial{x}_{i}}\\ &\textrm{i=1, 2,..,n}\\ \dot{x}_{i}=-\frac{\partial\widehat{L}}{\partial{p}_{i}}\end{array}\right.$

(10.5)

(b) Wartość transformaty Lagrange'a $\widehat{L}(p)$ jest równa energii całkowitej układu $E=T+U$ w punkcie $(x_{1},...,x_{n},(\dot{x}_{p})_{1},...(\dot{x}_{p})_{n})$ , gdzie $\dot{x}_{p}=\beta(p).$

(a) Wyprowadzenie równań (10.5) przebiega analogicznie, jak w przypadku równań (9.14) w poprzednim wykładzie i nie będziemy tego rozumowania powtarzać.

(b) Dla zwięzłości wzorów napiszemy $x$ zamiast $(x_{1},...,x_{n})$ $\dot{x}$ zamiast $(\dot{x}_{1},...\dot{x}_{n})$ i $p$ zamiast $(p_{1},...p_{n}).$ Twierdzimy, że zachodzi równość

$2T(x,\dot{x})=\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{n}\frac{\partial T}{\partial\dot{x}_{i}}(x,\dot{x})\cdot\dot{x}_{i}}=\langle p,\dot{x}\rangle.$

Istotnie, rozpatrując macierz formy (10.1) widzimy, że zmienna $\dot{x}_{i}$ występuje tylko w i-tym wierszu i w i-tej kolumnie. Wobec tego

$\frac{\partial}{\partial\dot{x}_{i}}T(x,\dot{x})=\frac{\partial}{\partial\dot{x}_{i}}\Big(\displaystyle{\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}(x)\dot{x}_{i}\dot{x}_{j}+\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ji}}(x)\dot{x}_{j}\dot{x}_{i}-a_{{ii}}(x)\dot{x}_{i}^{2}}\Big)$

zatem

$\Big(\frac{\partial}{\partial\dot{x}_{i}}T(x,\dot{x})\Big)\cdot\dot{x}_{i}=\displaystyle{\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}(x)\dot{x}_{i}\dot{x}_{j}+\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ji}}(x)\dot{x}_{j}\dot{x}_{i}}.$

Wobec tego tworząc sumę $\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{n}\frac{\partial T}{\partial\dot{x}_{i}}(x,\dot{x})\dot{x}_{i}}$ uzyskamy w niej każdy wyraz $n_{{ij}}(x)\dot{x}_{i}\dot{x}_{j}$ dwukrotnie - raz jako stojący w i-tym wierszu a raz jako stojący w j-tej kolumnie. Zatem

$\widehat{L}(x,p)=\langle p,\dot{x}_{p}\rangle-L(x,\dot{x}_{p})=$

(10.6)

$=2T(x,\dot{x}_{p})-\big(T(x,\dot{x}_{p})-U(x)\big)=T(x,\dot{x}_{p})+U(x)=E(x,\dot{x}_{p})$

∎

Definicja 10.1

Transformatę Legendre'a funkcji Lagrange'a układu mechanicznego nazywamy funkcją Hamiltona lub hamiltonianem tego układu i oznaczamy literą H.

Ćwiczenie 10.1

Podać hamiltonian układu n-punktów z potencjałem $U$ i bez więzów. Napisać równania Hamiltona.

Oznaczmy położenie $i-$ tego punktu o masie $m_{i}$ przez $x_{i},i=1,2,,n.$ Zgodnie z Definicją(10.1) i formułą (10.6) mamy

$H(x_{1},..,x_{n},p_{1},..p_{n})=T\big((x_{1},..,x_{n},(\dot{x}_{p})_{1},(\dot{x}_{p})_{n}\big)+U(x_{1},..,x_{n})$

gdzie

$T(x,\dot{x}_{p})=\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{n}\frac{m_{i}}{2}(\dot{x}_{p})_{i}^{2}}.$

Na podstawie ćwiczenia (9.1) otrzymamy $\displaystyle{T=\sum _{{i=1}}^{n}\frac{p_{i}^{2}}{2m_{i}}}.$

Hamiltonian układu ma więc postać

$H(x_{1},..x_{n},p_{1},..p_{n})=\displaystyle{\sum _{{j=1}}^{n}\frac{p_{i}^{2}}{2m_{i}}}+U(x_{1},..x_{n})$

a równania Hamiltona wyglądają następująco

$\dot{p}_{i}=-\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\dot{x}_{i}=-\frac{p_{i}}{m}i=1.2,...n$

10.2. Informacje o geometrii symplektycznej.

W ustępie tym, inaczej niż w całym wykładzie, założymy znajomość kilku podstawowych pojęć geometrii różniczkowej. I tak dla sformułowania potrzebnych definicji potrzebować będziemy pojęć wiązki stycznej i wiązki kostycznej do rozmaitości różniczkowej a także założymy, że czytelnik ma podstawowe doświadczenie w operowaniu formami różniczkowymi. Sytuacja ta nie jest kontynuowana w dalszym ciągu wykładu i bez szkody dla jego zrozumienia można pominąć szczegóły techniczne.

Zacznijmy od algebry liniowej. Niech $e_{1},...e_{n}$ będzie bazą ${\bf R}^{n}$ i niech

$X=\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{n}x_{i}e_{i},\ Y=\sum _{{i=1}}^{n}y_{i}e_{i}}$

oraz niech

$\omega:{\bf R}^{n}\times{\bf R}^{n}\ni(X,Y)\rightarrow\sum _{{i=1}}^{n}a_{{i,j}},x_{i},y_{j}\in{\bf R}$

(10.7)

Formę (10.7) można zapisać w postaci macierzowej

$\omega(X,Y)=\big[X\big]^{t}\Omega\big[Y\big]$

(10.8)

gdzie $\big[Y]$ jest macierzą o jednej kolumnie, składającej się ze współrzędnych wektora $Y$ względem bazy $e_{1},..e_{n}$ , $\big[X\big]^{t}$ jest macierzą o jednym wierszu, składającym się się ze współrzędnych $X$ względem tejże bazy. Natomiast $\Omega=\big(a_{{ij}}\big)_{{i,j=1}}^{n}$ jest macierzą współczynników (występujących w (10.7)) wymiaru $n\times n.$ Wtedy wynik mnożenia w (10.8) jest macierzą $1\times 1,$ której jedyny współczynnik jest liczbą występującą na prawo od strzałki we wzorze (10.7). Powiemy, że forma jest nieosobliwa, jeżeli zachodzi implikacja:

$\big(\omega(X,Y)=0\textrm{dla każdego}Y\big)\Rightarrow(X=0).$

Powiemy, że forma jest antysymetryczna, jeżeli $\omega(X,Y)=-\omega(Y,X).$ Następujące dwie własności opisu macierzowego (10.8) występują w podstawowym kursie algebry liniowej i ich dowody pominiemy.

Stwierdzenie 10.1

(a) ( $\omega$ jest antysymetryczna ) $\Leftrightarrow(\Omega^{t}=-\Omega)$
(b) ( $\omega$ jest nieosobliwa) $\Leftrightarrow$ ( det $\Omega\neq 0).$

Stwierdzenie 10.2

Niech $\omega:{\bf R}^{n}\times{\bf R}^{n}\rightarrow{\bf R}$ będzie antysymetryczną i nieosobliwą formą dwuliniową. Wtedy
(a) $n=2m$
(b) Istnieje baza $d_{1},..,d_{{2m}},$ względem której macierz formy $\Omega$ ma postać blokową:

$\Omega=\left(\begin{array}[]{c|c}0&I_{m}\\ \hline-I_{m}&0\end{array}\right)$

(10.9)

gdzie $I_{m}$ jest jednostkową macierzą wymiaru $m\times m$ .

(c) Niech $d_{1}^{*},..,d_{{2m}}^{*}$ będzie bazą przestrzeni $({\bf R}^{{2m}})^{*}$ dualną do bazy $d_{1},..d_{{2m}}$ z punktu (b) wtedy

$\omega=\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{n}d_{i}^{*}\wedge d_{{m+i}}^{*}}$

(10.10)

(a) Na mocy Stwierdzenia (10.1) $\Omega^{t}=-\Omega$ zatem $det\ \Omega=det\ \Omega^{t}=det\ (-\Omega)=(-1)^{n}det\ \Omega$ a ponieważ $det\ \Omega\neq 0$ otrzymujemy stąd $n=2m.$

(b) Indukcja względem $m.$ Dla $m=1$ rozważmy formę antysymetryczną i nieosobliwą $\omega$ w ${\bf R}^{2}.$ Z nieosobliwości $\omega$ wynika, że istnieją niezerowe wektory $x,y,\ni{\bf R}^{2}$ takie, że $\omega(x,y)\neq 0.$ Wtedy $x$ i $y$ są liniowo niezależne.
Niech $d_{1}=\displaystyle{\frac{x}{\omega(x,y)}}d_{2}=y.$ Macierz $\Omega$ formy $\omega$ względem bazy $d_{1},d_{2}$ ma postać

$\Omega=\left(\begin{array}[]{cc}0&1\\ -1&0\end{array}\right)$

Krok indukcyjny.

Podobnie jak przy $m=1$ znajdziemy dwa wektory liniowo niezależne $d_{1},d_{{m+1}}\in{\bf R}^{{2m}}$ takie, że $\omega(d_{1},d_{{m+1}})=1.$ Niech

$Y=\{ x\in{\bf R}^{{2m}}:\omega(d_{1},x)=\omega(d_{{m+1}},x)=0\}$

Z liniowej niezależności $d_{1}$ i $d_{{m+1}}$ i nieosobliwości $\omega$ wynika, że $dimY=2m-2.$ Ponieważ, jak widać ograniczenie $\omega$ do $Y$ jest formą nieosobliwą, z założenia indukcyjnego istnieje baza $d_{2},...d_{m},d_{{m+1}},..,d_{{2m}}$ przestrzeni $Y$ taka, że $\Omega$ ograniczona do $Y$ ma względem tej bazy postać (10.9) z indeksem $m-1$ . Wtedy baza $d_{1},..,d_{{2m}}$ spełnia tezę Stwierdzenia.
(c) Niech $d_{1}^{*},...d_{{2m}}^{*}$ będzie bazą $({\bf R}^{{2m}})^{*}$ dualną do bazy $d_{1},..,d_{{2m}}$ skonstruowanej w punkcie (b). Wtedy macierz 2-formy $d_{i}^{*}\wedge d_{{m+i}}^{*}$ ma postać

$\left(\begin{array}[]{c|c}0&-A_{i}\\ \hline A_{i}&0\end{array}\right)$

gdzie $A_{i}$ jest macierzą $n\times n$ mającą same zera z wyjątkiem i-tego miejsca na przekątnej, gdzie występuje jedynka. Stąd i z formuły (10.9) wynika przedstawienie (10.9).

∎

Ze Stwierdzenia (10.2) wynika, że w $2m$ wymiarowej przestrzeni rzeczywistej wszystkie nieosobliwe i antysymetryczne formy dwuliniowe są do siebie podobne w tym sensie, że opisywane są tą samą macierzą $\Omega,$ tyle, że względem różnych baz.

Definicja 10.2

Tę jedyną (w powyższym sensie) formę na przestrzeni ${\bf R}^{{2m}}$ nazwiemy m-tą formą symplektyczną.

Definicja 10.3

Rozmaitość różniczkową $M$ wymiaru $2m$ nazwiemy rozmaitością symplektyczną jeżeli:

(a) w każdej przestrzeni stycznej $T_{x}M$ dla $x\in M$ jest określona forma symplektyczna $\omega _{x},$ której współczynniki gładko zależą od $x,$

(b) tak określona dwuforma różniczkowa $\omega$ jest zamknięta, tj. $d\omega=0.$

Poniższe twierdzenie jest lokalnym analogiem ”punktowego” Stwierdzenia (10.2)

Stwierdzenie 10.3

(Darboux) Niech $M$ będzie 2m-wymiarową rozmaitością symplektyczną z formą $\omega.$ Dla każdego $x\in M$ istnieje mapa $(U,\varphi)$ w otoczeniu $x$ taka, że dla $y\in U$ forma $\omega _{y}$ w każdej przestrzeni $T_{y}M$ ma względem bazy $\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{1}}(y)},...\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{{2m}}}(y)},$ wyznaczonej przez mapę $\varphi,$ macierz (10.9).

Niech będzie dana mapa $(W,\Psi).$ Obrazy stałych pól bazowych
$e_{i}=(\underbrace{0,...1,}_{i}...0)$ w ${\bf R}^{{2m}}$ za pomocą $d\Psi^{{-1}}$ zapiszemy jako

$\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{1}},...\frac{\partial}{\partial x_{{2m}}}}.$

Pola te będziemy nazywać polami bazowymi dla mapy $(W,\Psi).$ Pola te są przemienne (tj. $\big[\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{i}},\frac{\partial}{\partial x_{j}}}\big]=0$ dla i,j, = 1, 2, ..,2n) oraz ich wartości $\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{1}}}(y),..,\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{{2m}}}}(y)$ stanowią dla każdego $y\in M$ bazę przestrzeni stycznej $T_{y}(M).$ Formę $\omega$ ograniczoną do $T_{y}(M)$ oznaczymy $\omega _{y}.$

Dowód będzie przebiegał za pomocą indukcji względem $m$ gdzie $dimM=2m.$

(a) Niech $dimM=2$ niech $x\in M$ oraz niech $(W,\Psi)$ będzie mapą w otoczeniu $x.$ Bez utraty ogólności możemy przyjąć, że $\Psi(x)=0$ oraz , że macierz formy $\omega _{x}$ względem bazy $\Big(\frac{\partial}{\partial x_{1}}(x),\frac{\partial}{\partial x_{2}}(x)\Big)$ jest równa $\Omega.$ ( $\Omega$ jak w (10.9)). Znaczy to, że

$\omega _{x}\big(\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{1}}}(x),\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{2}}}(x)\big)=1.$

Zatem dla $y$ bliskich $x$ (aby nie komplikować notacji przyjmijmy, że dla $y\in W$ ) zachodzi

$\omega _{y}\big(\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{1}}}(y),\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{2}}}(y)\big)=\alpha(y)\neq 0.$

Wprowadźmy pola $Y_{1}$ i $Y_{2}$ zadane formułą:

$Y_{1}(y)=\displaystyle{\frac{1}{\alpha(y)}\cdot\frac{\partial}{\partial x_{1}}}(y);Y_{2}(y)=\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{2}}(y)}.$

(10.11)

Wtedy $\omega _{y}$ ma z bazie $Y_{1}(y),Y_{2}(y)$ macierz $\Omega.$ Zauważmy też, że pola $Y_{1},Y_{2}$ powstają jako pola bazowe dla mapy $(U,\varphi)$ gdzie dla $(q_{1},q_{2})=\varphi(y)$ określamy

$\varphi^{{-1}}\big(q_{1},q_{2}\big)=\psi^{{-1}}\big(\frac{q_{1}}{\alpha(y)},q_{2}\big).$

(b) Krok indukcyjny.
Niech $dimM=2m$ i niech $x\in M.$ Postępując, jak w punkcie (a) możemy znaleść mapę $(W,\Psi)$ w otoczeniu $x,$ taką, że

$\omega _{y}\big(\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{1}}}(y),\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{{m+1}}}}(y)\big)=1.$

∎

Określmy na $W$ dwie dystrybucje: ${\bf D}_{1}$ i ${\bf D}_{2},$ kładąc

${\bf D}_{1}(y)=\big\{ v\in T_{y}(M):v=\alpha\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{1}}}(y)+\displaystyle{\beta\frac{\partial}{\partial x_{{m+1}}}}(y)\alpha,\beta\in{\bf R}\big\}$

${\bf D}_{2}(y)=\{ v\in T_{y}(M):\omega _{y}\big(\frac{\partial}{\partial x_{1}}(y),v\big)=\omega _{y}\big(\frac{\partial}{\partial x_{{m+1}}}(y),v\big)=0\}$

Lemat 10.1

Dystrybucje ${\bf D}_{1}$ i ${\bf D}_{2}$ są różniczkowalne i inwolutywne.

Pola $\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{1}}}$ i $\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{2}}}$ są różniczkowalne i przemienne, skąd wynika teza dla ${\bf D}_{1}.$ Dla dowodu, że ${\bf D}_{2}$ jest różniczkowalna, rozważmy pola

$\displaystyle{\frac{\widetilde{\partial}}{\partial x_{i}}=\frac{\partial}{\partial x_{i}}-\omega\Big(\frac{\partial}{\partial x_{i}},\frac{\partial}{\partial x_{{m+1}}}\Big)\frac{\partial}{\partial x_{1}}+\omega\Big(\frac{\partial}{\partial x_{i}},\frac{\partial}{\partial x_{1}}\Big)\frac{\partial}{\partial x_{{m+1}}}}$

(10.12)

Są one różniczkowalne, liniowo niezależne w każdym punkcie i dla $i\neq 1,\:\: i\neq m+1$ należą do ${\bf D}_{2}.$ Zatem dystrybucja ${\bf D}_{2}$ jest różniczkowalna. Dla inwolutywności ${\bf D}_{2}$ zauważmy, że warunek $X\in{\bf D}_{2}$ można zapisać w formie dwóch warunków:

$\frac{\partial}{\partial x_{i}}\rfloor X\rfloor\omega=0i=1,m+1$

(10.13)

gdzie $X\rfloor\omega$ jest formą liniową $X\rfloor\omega=\omega(X,\cdot).$ Tak więc, aby pokazać, że dla $X\in{\bf D}_{2}$ jak i $Y\in{\bf D}_{2}$ także $\big[X,Y\big]\in{\bf D}_{2}$ wystarczy udowodnić, że

$\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\rfloor\big[X,Y\big]\rfloor\omega=0i=1,m+1$

Dla dowodu tych warunków posłużymy się następującymi własnościami pochodnej Liego (por. Stwierdzenie (11.1)).

$[X,Y]\rfloor\eta=\mathcal{L}_{X}\big(Y\rfloor\eta\big)$

(10.14)

gdzie $\eta$ jest dowolną dwuformą, oraz

$\mathcal{L}_{X}\cdot i_{Y}=i_{Y}\cdot\mathcal{L}_{X}.$

(10.15)

Zwężając obie strony równości (10.14) przy $\eta=\omega$ kolejno z polem $\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{1}}}$ oraz $\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{{m+1}}}}$ otrzymamy dla $i=1,m+1$

$\displaystyle{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\rfloor[X,Y]\rfloor\omega=\frac{\partial}{\partial x_{i}}\rfloor\mathcal{L}_{X}\big(Y\rfloor\omega\big)$

i stosując do wyrażeń po prawej stronie ostatniej równości własność (10.15) dostaniemy

$\mathcal{L}_{X}\big(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\rfloor Y\rfloor\omega\big)=0,$

bo wnętrza nawiasów są równe 0 na mocy założenia (10.13).

Na mocy Lematu i Twierdzenia Frobeniusa obie dystrybucje ${\bf D}_{1}$ i ${\bf D}_{2}$ są całkowalne, tj przez każdy punkt $y$ rozmaitości $M\cap W$ przechodzą dwie podrozmaitości $D_{1}$ i $D_{2},$ takie, że ${\bf D}_{1}(y)$ i ${\bf D}_{2}(y)$ można utożsamić z przestrzenią $T_{y}D_{1}$ i $T_{y}D_{2}$ odpowiednio. Forma $\omega$ ograniczona do $D_{1}$ i do $D_{2}$ pozostaje domknięta i nieosobliwa. Zatem, z założenia indukcyjnego, istnieje mapa w otoczeniu $y$ w $D_{2},$ dla której zachodzi teza Stwierdzenia (10.3). Produkt tej mapy i mapy w $D_{1}(y)$ daje żądaną mapę na $M.$

∎

Wniosek 10.1

Stwierdzenie (10.3) mówi, że każde dwie rozmaitości symplektyczne ustalonego wymiaru $2m$ są lokalnie identyczne z otoczeniem zera w ${\bf R}^{{2m}}$ wyposażonym w formę:

$\omega=\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{{n}}dx_{i}\wedge d_{{m+i}}}$

(10.16)

Każdą mapę na $M,$ której forma $\omega$ ma postać (10.16) nazywamy mapą kanoniczną.

Definicja 10.4

Niech $F$ będzie funkcją różniczkowalną na rozmaitości symplektycznej $M.$ Gradientem symplektycznym funkcji $F$ (lub polem hamiltonowskim wyznaczonym przez $F$ ) nazwiemy (jedyne) pole wektorowe $X$ na $M$ spełaniające warunek:

dla każdego różniczkowalnego pola $Y$ na $M$

$dF(Y)=\omega(X,Y)$

(10.17)

Gradient symplektyczny $F$ związany z formą $\omega$ oznaczymy $grad_{\omega}F.$

Uwaga 10.1

Podobnie, jak w (10.9) ale używając macierzy jednostkowej zamiast macierzy (10.9) definiujemy ”zwykły ” gradient w ${\bf R}^{n}.$

Ćwiczenie 10.2

Wyznaczyć postać gradientu symplektycznego funkcji $F$ w mapie kanonicznej.

Rozwiązanie:

Niech $X=grad_{\omega}F=(X_{1},...X_{{2m}})$ i niech $Y=(Y_{1},...Y_{{2m}})$ będzie jakimś polem wektorowym. Zgodnie z (10.17), (10.8) i (10.9) zachodzi równość

$\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{{2m}}\frac{\partial F}{\partial x_{i}}\cdot Y_{i}=\sum _{{i=1}}^{{m}}X_{i}Y_{{m+i}}-X_{{m+i}}Y_{i}}$

skąd wobec dowolności $Y$ wynika, że:

$\displaystyle{grad_{\omega}F=\Big(\frac{\partial F}{\partial x_{{m+1}}},...,\frac{\partial F}{\partial x_{{2m}}},-\frac{\partial F}{\partial x_{1}},...,\frac{\partial F}{\partial x_{m}}\Big)}$

(10.18)

Wniosek 10.2

Układ równań Hamiltona (10.5) można zapisać w postaci:

$\displaystyle{\frac{d}{dt}\gamma(t)=grad_{\omega}H\big(\gamma(t)\big)}$

(10.19)

gdzie $\gamma(t)=\big(x(t),p(t)\big)$

10.3. Kanoniczna struktura symplektyczna na wiązce kostycznej do rozmaitości.

Niech $M$ będzie rozmaitością różniczkową wymiaru $n.$ Oznaczmy przez $T(M)$ wiązkę styczną a przez $T^{*}(M)$ wiązkę kostyczną do $M.$ Niech $\Pi:T^{*}(M)\rightarrow M$ będzie kanoniczną projekcją (tj. odwzorowaniem przeprowadzającym wszystkie elementy przestrzeni kostycznej do $M$ w dowolnym ustalonym $q\in M$ na $q.$ Niech $\Pi^{*}:T(T^{*}M)\rightarrow TM$ będzie przekształceniem indukowanym przez $\Pi$ (podniesieniem $\Pi$ do wiązki stycznej, różniczką $\Pi$ ). Dla ustalonej mapy $(U,\varphi)$ na $M$ oraz $q\in U$ niech $\frac{\partial}{\partial x_{1}}(q),...,\frac{\partial}{\partial x_{n}}(q)$ będzie bazą w $T_{q}(M).$ (Zobacz dowód Stwierdzenia (10.3)). I niech $dx_{1}(q),...dx_{n}(q)$ będzie dualną bazą przestrzeni $T_{q}^{*}(M).$ Jednoformy $dx_{1},...dx_{n}$ pozwalają utożsamiać $\Pi^{{-1}}(U)\subset T^{*}M$ z produktem $\varphi(U)\times{\bf R}^{n}$ za pomocą odwzorowania $\widetilde{\varphi}$ danego wzorem:

$\widetilde{\varphi}:\Pi^{{-1}}(U)\ni\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{n}}p_{i}dx_{i}(q)\rightarrow(q_{1},...q_{n})\times(p_{1},...p_{n})\in\varphi(U)\times{\bf R}^{n}$

(10.20)

gdzie $\varphi(q)=(q_{1},...q_{n})$ dla $q\in U.$ Parę $\big(\Pi^{{-1}}(U),\widetilde{\varphi}\big)$ nazwiemy mapą na $T^{*}(M)$ indukowaną przez mapę $(U,\varphi)$ na $M.$ Punkty $\Pi^{{-1}}(U)$ będziemy oznaczać za pomocą ich współrzędnych $(q,p)$ w mapie indukowanej. Niech $X$ będzie polem wektorowym na $\Pi^{{-1}}(U).$ Wtedy $X$ w punkcie $(q,p)$ ma postać

$X_{{(q,p)}}=\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}(q,p)\frac{\widetilde{\partial}}{\partial q_{i}}+b_{i}(q,p)\frac{\partial}{\partial p_{i}}$

(10.21)

gdzie

$\big(\frac{\widetilde{\partial}}{\partial q_{1}},...,\frac{\widetilde{\partial}}{\partial q_{n}},\frac{\partial}{\partial p_{i}},...\frac{\partial}{\partial p_{n}}\big)$

sa polami bazowymi na $\Pi^{{-1}}(U)$ związanymi z mapą $\big(\Pi^{{-1}}(U),\widetilde{\varphi}\big).$ Przy czym $\displaystyle{\frac{\widetilde{\partial}}{\partial q_{1}}}$ oznacza teraz pole na $T^{*}(M),$ które przy lokalnym ”ilorazowym” przedstawieniu $\Pi^{{-1}}(U)$ w formie (10.20) odpowiada polu $\displaystyle{\frac{\partial}{\partial q_{1}}}$ na $M.$ Widzimy, że wtedy

$\Pi^{*}\big(\displaystyle{\frac{\partial}{\partial p_{1}}}\big)=0\textrm{oraz}\Pi^{*}\big(\displaystyle{\frac{\widetilde{\partial}}{\partial q_{1}}}\big)=\displaystyle{\frac{\partial}{\partial q_{1}}}.$

A więc

$\Pi^{*}\big(X_{{(q,p)}}\big)=W_{q}=\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}(q,p)\frac{\partial}{\partial q_{1}}\in T_{q}(M)}.$

Na to pole wektorowe podziałajmy formą $\alpha\big(X\Big)$ na $M,$ której wartość w $T^{*}(M)$ ma postać

$\alpha\big(X\Big)_{{(q)}}=\displaystyle{\sum _{{i=1}}^{{n}}p_{i}dq_{i}}$

i zależy tylko od współrzędnych $(p_{1},...p_{n}).$ Otrzymamy więc przyporządkowanie

$\displaystyle{X_{{(q,p)}}=\sum _{{i=1}}^{{n}}a_{i}(q,p)\frac{\widetilde{\partial}}{\partial q_{1}}+b_{i}(g,p)\frac{\partial}{\partial p_{i}}\longrightarrow\sum _{{i=1}}^{{n}}p_{i}a_{i}(q,p)\in{\bf R}}.$

To przyporządkowanie jest dla każdego ustalonego $(q,p)$ liniową operacją na $X$ a więc wyznacza formę liniową na $T_{{(q,p)}}(T^{*}M).$ Ta forma mnoży współrzędne przy $\displaystyle{\frac{\partial}{\partial q_{i}}}$ przez liczbę $p_{i}.$ Zatem postać jednoformy, którą w ten sposób uzyskujemy jest

$\alpha _{{(q,p)}}=\sum _{{i=1}}^{n}p_{i}\:\widetilde{d}q_{i}$

(10.22)

gdzie $\widetilde{d}q_{i}$ oznacza formę na $T^{*}(M),$ która przy ”ilorazowym” przedstawieniu $\Pi^{{-1}}(U)$ w formie (10.20)odpowiada formie $dq_{i}$ na $M.$ Formę (10.22) nazywa się formą Liouville'a n $T^{*}(M).$

Niech $\omega=d\alpha.$ Wtedy $\omega$ jest zamkniętą dwuformą o postaci:

$\omega=\sum _{{i=1}}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}$

(10.23)

Zatem jest nieosobliwą w każdym punkcie (por. Stwierdzenie(10.2) (c)).

Zgodnie z przyjętą powszechnie konwencją, piszemy tu $d{q}_{i}$ zamiast bardziej poprawnego formalnie $d\widetilde{q}_{i}.$

Stwierdzenie 10.4

Na wiązce kostycznej $T^{*}(M)$ do dowolnej rozmaitości różniczkowej $M$ istnieje forma symplektyczna $\omega,$ która w mapach indukowanych przez mapy na $M$ ma postać kanoniczną (10.22). Własność ta wyznacza formę $\omega.$

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Matematyczne metody mechaniki