Rok 1926 można uważać za początek współczesnej mechaniki kwantowej. Pierwszą jaskółką nowych czasów była praca Heisenberga z lata 1925r. W niej to pojawiła się po raz pierwszy idea, że położenie i pęd powinny być opisywane wielkościami nieprzemiennymi, przy czym stała Plancka jest miarą ich nieprzemienności. Od tej pory zaczął się utrwalać pogląd, że przejście od mechaniki klasycznej do kwantowej (tzw. kwantowanie) polega na zastąpieniu - z zachowaniem pewnych reguł - klasycznych przemiennych obserwabli (por. (11.6)) nieprzemiennymi operatorami.
Zrozumienie matematyki, która stoi za tym przejściem, przychodziło stopniowo i dziś oryginalne prace z okresu tzw. mechaniki macierzowej (Heisenberg, Bohr, Jordan, Dirac) są zupełnie nieczytelne.
Mechanika macierzowa odniosła szereg sukcesów, rozpracowując kwantowy odpowiednik oscylatora harmonicznego (Heisenberg, Dirac) oraz, potwierdzając nowymi metodami, wzór Balmera - Bohra (12.10) (Pauli, Dirac). Słabą jej stroną był brak opisu ewolucji, (np. układów rozproszeniowych) oraz ogromne trudności rachunkowe.
Przełom nastąpił w wyniku połączenia mechaniki macierzowej z mechaniką falową de Broglie'a - Schrödingera.
W 1924r. L. de Broglie w swojej pracy doktorskiej przyjął jako założenie istnienie pewnego periodycznego zjawiska związanego z ruchem każdej porcji materii. Założył on, że cząstkom swobodnym (tj. punktom materialnym, pozostającym w polu stałego potencjału), których ruch ( z dokładnością do położenia początkowego) jest scharakteryzowany przez energię całkowitą i pęd
odpowiadają zespolone fale płaskie. tj funkcje
![]() |
(13.1) |
gdzie jest wektorem a
liczbą.
Wektor występuje we wzorze (13.1.1) wyznaczając formę liniową i wobec tego ewolucja wszystkich wektorów, dla których
ma ustaloną wartość ( tj. leżących na ustalonej płaszczyźnie, będącej translacją płaszczyzny
![]() |
przebiega podobnie - stąd nazwa ”fala płaska ”.
Stała - amplituda fali
- ma w naszych rozważaniach znaczenie drugorzędne, podobnie jak położenie początkowe punktu materialnego, odpowiadającego fali
Odpowiedniość de Broglie'a polega na przyporządkowaniu parze , gdzie
jest pędem a
energią całkowitą cząstki swobodnej pary
, wyznaczającej falę płaską z dokładnością do amplitudy
Przyjmujemy wtedy
![]() |
(13.2) |
gdzie jest stałą Plancka.
![]() |
(13.3) |
Niech i przyjmijmy
![]() |
gdzie jest masą cząstki.
Dowód polega na policzeniu pochodnych funkcji i nie będziemy go przytaczać.
Pokażmy teraz, jak od równania falowego i fal płaskich można przejść do zmodyfikowanej sytuacji - równania Schrödingera i fal prawdopodobieństwa.
Zauważmy najpierw, że poza geometryczną cechą płaskości, fale (13.3) są wyróżnione tym, że mają postać iloczynu funkcji zależnej od i funkcji zależnej od
Istotnie,
![]() |
Postąpmy o krok dalej i rozważmy ogólniejsze funkcje
![]() |
(13.5) |
gdzie jest funkcją zespoloną, na którą następnie narzucimy warunki wynikające z probalistycznej interpretacji opisywanej sytuacji.
Rozważmy także równanie
![]() |
(13.6) |
które formalnie wygląda, jak równanie (13.4), ale tym razem jest liczbą (poziomem energii całkowitej) natomiast
jest funkcją rzeczywistą (potencjałem) na
Rozważmy przestrzeń funkcji o wartościach zespolonych, określonych na
takich, że
![]() |
(13.7) |
W związku ze zmodyfikowanym równaniem (13.6) wprowadzimy operator (nieograniczony) działający na przestrzeni ”operator energii”
za pomocą wzoru:
![]() |
(13.8) |
Niech będzie określona wzorem (13.5). Następujące warunki są równoważne
(a) spełnia równanie (13.6),
(b)
(c) spełnia równanie
![]() |
(13.9) |
(a) (b). Jeżeli
to po wstawieniu
do równania (13.6) otrzymamy
![]() |
i upraszczając czynnik otrzymamy
![]() |
skąd
![]() |
czyli
![]() |
(b) (a) Wszystkie przejścia poprzedniego dowodu można przeprowadzić też w przeciwnym kierunku.
(c) (b). Niech
i niech
![]() |
Wtedy
![]() |
czyli dla tych dla których
![]() |
Ponieważ lewa strona zależy od a prawa od
musi istnieć stała
dla której
![]() |
Z równości tej wynikają dwa związki:
![]() |
Z pierwszego wynika postać a drugi jest identyczny z warunkiem (b):
(b) (c).
Jeżeli
to dla to dla
zachodzi
![]() |
Równanie (13.9) nazywa się (pełnym) równaniem Schrödingera.
Warunek czyli
![]() |
(13.10) |
nazywa się równaniem Schrödingera bez czasu.
Pokazane przez nas przejście: równanie falowe (13.4) i fale płaskie , równanie (13.6) i fale
równanie
i równanie Schrödingera
ujawniają związek między falami płaskimi i falami (13.5). Nie jest to jednak droga, na jakiej Schrödinger doszedł do sformułowania równań (13.9) i (13.10).
Pokazane przejścia są oparte na założeniu, że rozważane przez nas funkcje mają postać
![]() |
(13.11) |
co nie jest regułą dla rozwiązań dyskutowanych równań. (Równania są liniowe, więc np. suma rozwiązań o postaci (13.11) jest też rozwiązaniem). Jak pokazuje równoważność (b) (c) w Stwierdzeniu 13.2, rozwiązania tej postaci odpowiają stanom stacjonarnym, to jest takim, kiedy amplituda
funkcji
jest funkcją własną operatora energii
Erwin Schrödinger wprowadzając w 1926r. równania (13.9) i (13.10) nie miał jasnej interpretacji fizycznej ich rozwiązań. Interpretację taką podał wkrótce potem Max Born. Przyjął on, że rozwiązanie równania Schrödingera (13.9) mające tę własność, że dla każdego ustalonego
funkcja
należy do
można interpretować jako ewolucję w czasie rozkładu prawdopodobieństwa. Wtedy
ma interpretację prawdopodobieństwa zdarzenia, że cząstka (lub układ cząstek) znajduje się w chwili
w podzbiorze M przestrzeni konfiguracyjnej
lub
. Okazuje się, że spełnienie warunku
dla pewnego
pociąga spełnienie analogicznego warunku także dla pozostałych
co uzasadnia traktowanie równania (13.9) jako równania zwyczajnego
![]() |
w i wiąże równanie Schrödingera z teorią jednoparametrowych grup unitarnych w przestrzeni Hilberta.
Interpretacja Borna oznacza, że wprawdzie położenie indywidualnej cząstki nie jest przewidywalne, ale ewolucja rozkładu prawdopodobieństwa tego położenia jest w pełni deterministyczna.
Przy przejściu od mechaniki klasycznej do kwantowej operator występujący po prawej stronie równania (13.9), odpowiada funkcji Hamiltona układu. Stąd jego nazwa - operator energii. Jak wiemy, jedną z podstawowych cech natury jest występowanie energii w porcjach. Ponieważ są one niezmiernie małe, cecha ta nie ingeruje w formaliźmie dotyczącym zjawisk w skali makro. Staje się natomiast jednym z głównych czynników kształtujących opis w skali atomowej. Aby uzyskać porcjowy charakter obserwowanych wartości energii, zmienimy nasze myślenie o obserwablach. Realizujemy je jako operatory, których widmo jest związane z obserwowanymi wartościami np. energią. Pełny opis kwantyzacji polegający na zastąpieniu klasycznych obserwabli - funkcji na przestrzeni fazowej - ich odpowiednikami kwantowymi - operatorami w przestrzeni Hilberta - jest poza możliwościami aktualnej prezentacji.
Zamiast tego pokażemy, że zbiór wartości własnych operatora energii dla potencjału odpowiadającego atomowi wodoru jest istotnie dyskretny i jego wartości zgadzają się z poziomami energetycznymi orbit odpowiadających stanom stacjonarnym modelu Bohra.
Niech będzie wartością własną operatora
tj.
![]() |
(13.12) |
gdzie jest ciągła. Jeżeli potencjał
przyjmuje tylko wartości rzeczywiste, to
Mnożąc obie strony (13.12) przez i odejmując stronami od tej równości, równość otrzymaną przez sprzężenie obu stron i pomnożenie ich przez
otrzymamy
![]() |
(13.13) |
Stosując tożsamość
![]() |
w której przyjmiemy i uwzlędniając wzór Gaussa- Ostrogradzkiego
![]() |
gdzie jest polem wektorowym na
otrzymamy
![]() |
zatem
![]() |
(13.14) |
Niech Mnożąc obie strony równości (13.12) przez odpowiednią liczbę, możemy założyć, że
Wtedy Podstawmy po prawej stronie (13.14) za
kulę
o środku w
i promieniu
Wtedy wartość prawej strony dąży do 0, kiedy
Wynika stąd, że
W dalszym ciągu tego wykładu zajmiemy się opisem widma operatora energii w przypadku kiedy jest potencjałem coulombowskim , tj.
![]() |
(13.15) |
(porównaj (12.7) oraz Stwierdzenie 5.1).
Symetria kulista funkcji sugeruje, że ten problem jest związany z grupą
Grupa ta składa się z macierzy ortogonalnych wymiaru 3, tj. macierzy
gdzie
takich, że
Ustalmy
W dalszym ciągu wygodnie będzie rozpatrywać operator
o postaci
![]() |
(13.16) |
Wtedy oznacza, że
Dla grupy określmy jej naturalną reprezentację (tj homomorfizm) w grupę operatorów ograniczonych i odwracalnych w
przyporządkowując elementowi
operator
wzorem
![]() |
(13.17) |
Ponieważ dla dowolnego zbioru mierzalnego oraz
zachodzi
gdzie
jest miarą Lebesque'a w
to dla
oraz
mamy
Niech wtedy
![]() |
(13.18) |
Krok pierwszy.
Niech A będzie macierzą o trzech wierszach i trzech kolumnach i niech Oznaczmy
![]() |
a przez oznaczymy operację liniową tej pochodnej przy zmiennym
Niech Wtedy
![]() |
(13.19) |
Dowód polega na łatwych rachunkach i pozostawimy go czytelnikowi.
Oznaczmy wtedy z (13.3.8) otrzymamy
![]() |
(13.20) |
Krok drugi.
Niech Oznaczając przez
wersory osi mamy
![]() |
zatem z (13.20)
![]() |
ale
![]() |
![]() |
zatem
![]() |
i z warunku wynika, że współczynnik przy
wynosi 1 jeżeli
oraz 0 jeżeli
co należało wykazać.
Oznaczmy
![]() |
(13.21) |
jest domkniętą podprzestrzenią liniową
która jest niezmiennicza dla naturalnej reprezentacji
tj dla
oraz
także
Część pierwsza jest konsekwencją domkniętości operatora której nie będziemy uzasadniać.
Jeżeli
tj
to
![]() |
Dalszy ciąg naszych rozważań będzie poświęcony pytaniu
Ustalmy i niech
ma postać (13.15). Dla jakich wartości
przestrzeń
nie jest
Pytanie to w języku fizyki formułuje się: jakie są możliwe poziomy energii stanów stacjonarnych atomu wodoru?
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.