Siły, jakie obserwujemy, są kilku rodzajów. Po pierwsze są to siły pochodzące od istot żywych. Ich natura jest skomplikowana i nie będziemy się nimi tutaj zajmować. Drugim rodzajem sił są siły związane z urządzeniami mechanicznymi. Studiowanie ich oraz ich skutków w postaci ruchu mechanizmów jest w oczywisty sposób związane z projektowaniem tych ostatnich. Proste realizacje takich sytuacji występują w Przykładach 1.4 i 1.6 z poprzedniego wykładu. Trzecim rodzajem sił są ”siły przyrody”. Okazuje się, że są one czterech rodzajów, z których dwa: siły grawitacyjne i siły elektromagnetyczne występują w skali makro, natomiast dwa inne rodzaje - tzw. oddziaływania mocne i słabe są właściwie dla świata mikro. Teoria oddziaływań mocnych i słabych należy do zaawansowanych fragmentów fizyki teoretycznej i jest poza obszarem naszych obecnych zainteresowań. Pozostają nam więc oddziaływania grawitacyjne i elektomagnetyczne. Teoria tych ostatnich dotyczy w znacznej mierze obiektów poruszających się z wielkimi prędkościami, gdzie jedno z naszych wstępnych założeń o bezwzględności czasu musi zostać zakwestionowane. Sytuacja ta tłumaczy widoczną w przytoczonych przykładach jednorodność rodzaju występujących sił. Większość z nich to (ewentualnie) przetransformowane, jak w Przykładzie 1.5 siły grawitacyjne.
W dyskutowanych poprzednio przykładach wszystkie siły (poza Przykładem 1.2) zależały tylko od położenia i nie zależały od czasu. Niezależność od czasu prawych stron dyskutowanych równań ma liczne implikacje matematyczne. Oto jedna z nich:
Jeżeli siła w (1.4) nie zależy od czasu ani od prędkości
to wraz z
funkcja
jest rozwiązaniem (1.4).
Istotnie, dla
widzimy, że
oraz
. Zatem
![]() |
Wynika stąd, że (pomijając mało istotny wpływ pozostałych planet) wraz z ruchem planety po orbicie wokół Słońca, możliwy jest ruch po tej samej orbicie w odwrotnym kierunku, który możemy otrzymać niejako odwracając bieg czasu. Ten ”odwrócony” porządek możemy zrealizować w normalnym świecie, zmieniając np.
warunki początkowe w chwili 0 z na
W elementarnym kursie fizyki definiuje się pracę stałej siły
na prostoliniowej drodze
przy założeniu, że siła jest
równoległa do tej drogi i zgodnie z nią skierowana wzorem:
![]() |
(2.1) |
gdzie oznacza długość drogi.
Zatem pracę stałego pola
określonego na odcinku
prostej zanurzonej w
możemy przyjąć jako
![]() |
(2.2) |
gdzie jest iloczynem skalarnym w
,
jest długością odcinka
, natomiast
jest długością rzutu wektora
na oś wyznaczoną przez
.
Wzór (2.2) jest krokiem wstępnym do określenia pracy gładkiego pola wektorowego
, wzdłuż gładkiej krzywej
.
Przypomnimy znany z kursu Analizy II sens tego symbolu.
Niech będzie krzywą klasy
, (tj. krzywą mającą ciągłą pochodną na
). Dla skończonego podziału
![]() |
(2.3) |
odcinka
utwórzmy sumę całkową:
![]() |
(2.4) |
której każdy składnik jest postaci (2.2). Następnie dla normalnego ciągu podziałów rozpatrzmy granicę:
![]() |
(2.5) |
(Ciąg podziałów nazywamy normalnym, jeżeli największa z różnic
między kolejnymi punktami tworzącymi k-ty podział, dąży do zera przy
.)
Korzystając z różniczkowalności oraz
, pokazuje się, że dla dostatecznie drobnego podziału
różnica
![]() |
(2.6) |
może być tak mała, jak chcemy.
Część druga (odjemnik) powyższej różnicy jest sumą całkową dla funkcji .
Wynika stąd, że sumy (2.4) mają dla każdego normalnego ciągu podziału granicę równą
![]() |
(2.7) |
Tak wprowadzona całka mogłaby zależeć od parametryzacji krzywej . Dowodzi się, że tak jednak nie jest.W dalszym ciągu wykorzystamy dwie następujące jej własności, które przyjmiemy bez dowodu:
Jeżeli jest kawałkami gładką krzywą, będącą sumą dwóch rozłącznych części
i
, wtedy dla dowolnego kawałkami gładkiego pola wektorowego
zachodzi:
![]() |
(2.8) |
Jeżeli oznacza krzywą
przebieganą w przeciwnym kierunku to
![]() |
(2.9) |
Odpowiedź na poniższe pytanie ma podstawowe znaczenie dla tego wykładu.
Dane jest gładkie pole wektorowe określone na
. Kiedy dla każdej pary krzywych
i
leżących w
i łączących te same punkty zachodzi równość
![]() |
(2.10) |
O sytuacji opisanej wzorem (2.10) powiemy krótko, że praca pola nie zależy od drogi całkowania. Zanim ustosunkujemy się do Problemu 2.1, rozpatrzmy proste zadanie:
Na zboczu rozległej góry znajdują się dwa domy (zob. rysunek poniżej). Łączą je dwie drogi. Pokazać, że (nie uwzględniając sił tarcia) człowiek ciągnący wózek z ładunkiem z domu A do domu B po każdej z tych dróg wykonuje taką samą pracę, której wielkość zależy tylko od różnicy wysokości położenia domów.
Zacznijmy od uściślenia sformułowań. Posuwając się pod górę pokonujemy opór siły z jaką Ziemia przyciąga wózek a dokładniej opór rzutu tej siły na oś styczną do drogi w jej aktualnym miejscu. Chcemy robić to możliwie ekonomicznie, nie rozpędzając niepotrzebnie wózka (porównaj początek następnego wykładu). W rezultacie, (co jest teoretyczną idealizacją), będziemy zakładać, że siła, którą działamy jest przeciwna do wyżej wymienionego rzutu siły ciężkości. Analogiczne założenie należy przyjąć w tej części drogi, kiedy posuwamy się w dół. Wprowadźmy układ współrzędnych prostokątnych, którego trzecia oś jest skierowana pionowo do góry. Siła, która popycha wózek, kiedy jedzie z góry lub którą trzeba przezwyciężyć, ciągnąc go pod górę, jest składową styczną do drogi siły (0,0 -). Porównaj Przykład (1.2), gdzie
jest masą grawitacyjną wózka a
przyspieszeniem ziemskim. Rozpatrzmy i-ty wyraz sumy całkowej (2.4), który (po uproszczeniu) jest równy:
![]() |
gdzie jest różnicą poziomów punktów
i
. Zatem całka od
do
po każdej z tych dróg jest równa
gdzie
jest różnicą poziomów domów
i
.
Możemy teraz podać odpowiedź na postawione pytanie:
Dane jest gładkie pole wektorowe , określone na otwartym podzbiorze
Następujące warunki są równoważne:
Praca pola jest niezależna od drogi całkowania w
.
Praca pola wzdłuż dowolnej krzywej zamkniętej w
wynosi 0.
Istnieje funkcja gładka taka, że:
![]() |
(2.11) |
.
Z matematycznego punktu widzenia można oczywiście zamiast poprzedniej formuły, zmieniając na
, napisać warunek:
![]() |
(2.12) |
Ponieważ (jak w naszym przykładzie), chcemy aby ruch wywołany siłą pochodzącą od potencjału odbywał się w kierunku jego mniejszych wartości, przyjmiemy znak '-' przed gradientem.
(Szkic)
Równoważność jest oczywista. Naszkicujemy dowody implikacji
oraz
.
Dowód implikacji .
Ponieważ wszystkie prace danej siły F po możliwych gładkich krzywych łączących dwa ustalone punkty
są z założenia równe, będziemy oznaczać je
. Wybierzmy punkt
i niech
![]() |
Chcemy pokazać, że dla każdego i
zachodzi:
![]() |
Niech będzie wersorem i-tej osi i napiszmy iloraz różnicowy:
![]() |
Obierając drogę łączącą z
w postaci
otrzymamy
, a zatem zgodnie z (2.7)
![]() |
W rezultacie, korzystając z twierdzenia o wartości średniej dla całek, otrzymamy (gdzie
![]() |
Dowód implikacji
Niech będzie ustaloną krzywą łączącą
z
. Korzystając z (2.7) otrzymamy:
![]() |
![]() |
(Podobnie, jak w zadaniu 2.3)
∎Wskażemy (bez sprawdzania) potencjały odpowiadające siłom dyskutowanym w przykładach 1.1 - 1.6 z poprzedniego wykładu. Wyniki ujmiemy w następującym zestawieniu
Przykładsiłapotencjał |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Skończone układy punktów materialnych oddziaływujących wzajemnie siłą grawitacji są potencjalne.
Dla większej przejrzystości przeprowadzimy rozumowanie dla układu trzech punktów o masach Sytuacja ogólna różni się tylko większą komplikacją zapisu.
Zgodnie z punktem (4) ze Wstępu w Wykładzie 1 potraktujemy nasz układ jako punkt w
Wtedy
gdzie
jest położeniem
-tego punktu. Podobnie
jest siłą działającą na której potencjał chcemy wyznaczyć, natomiast
jest wtedy siłą działającą na
ty punkt. Zgodnie z (1.9)otrzymamy
![]() |
![]() |
![]() |
Twierdzimy, że ta siła jest potencjalna w . Istotnie zauważmy, że w
funkcja
![]() |
ma równy
![]() |
Zatem
Zauważmy też, że dla ustalonego wektora
![]() |
Wynika stąd, że siła jest w
-gradientem funkcji
![]() |
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.