Jak zauważyliśmy w Przykładzie 1.2 siła z jaką Ziemia przyciąga małe obiekty jest w przybliżeniu odwrotnie proporcjonalna do kwadratu ich odległości od środka Ziemi.
Występujący we wzorze iloczyn masy Ziemi i masy przyciąganego przez nią obiektu zastąpimy dodatnim współczynnikiem Sytuacja ruchu takiego obiektu w polu grawitacyjnym Ziemi odpowada ruchowi w centralnym polu w
z potencjałem
![]() |
Zgodnie z rozważaniami z poprzedniego wykładu, podczas ruchu ciała o (stałym) momencie pędu w centralnym polu w
odległość
ciała od centrum zmienia się tak, jak w jednowymiarowym ruchu z potencjałem zredukowanym
![]() |
Wykres tego potencjału ma postać:
Ze Stwierdzenia 5.5 wiemy, że stała energia całkowita wynosi a więc
![]() |
(6.1) |
Z (6.1) wynika, że dla jakiegokolwiek ruchu musi być a zatem
Kształt wykresu
pokazuje, że ostatni warunek przy
zachodzi dla
stanowiących półoś
natomiast
zachodzi dla
z przedziałem
Wyprzedzając ilościowy opis, który nastąpi, powiemy, że dla mamy do czynienia z sytuacją, kiedy nadlatujący z kosmosu obiekt ma zbyt dużą energię żeby zostać ”uwięziony” w roli satelity, jego tor ulega tylko zakrzywieniu i odlatuje z powrotem w kosmos.
Przypadkowi odpowiada okresowy ruch po orbicie wokół centrum.
W każdej z dwóch powyższych sytuacji interesują nas jedynie wartości
, przy których zachodzi (6.1), zatem otrzymamy wtedy
![]() |
(6.2) |
przy czym znak ” + ” dotyczy części trajektorii, kiedy a znak ” - ” ma zastosowanie, kiedy
maleje, czyli obiekt zbliża się do centrum. Jak pokazaliśmy (6.2) daje po rozwiązaniu zależność pomiędzy kątem
a promieniem
we współrzędnych biegunowych w postaci
![]() |
(6.3) |
Zwróćmy uwagę, że powyższy wzór odpowiada przyjętym dla i dla
jednostkomi. Zmieniając je np. tylko dla
możemy zlikwidować czynnik liczbowy, pojawiający się po prawej stronie równości (6.3).
Oznaczając funkcję pierwotną funkcji podcałkowej w (6.3) przez możemy też przyjąć
co doprowadzi do wzoru
Aby znależć tę funkcję pierwotną przekształcimy funkcję podcałkową do postaci:
![]() |
(6.4) |
gdzie a
jest stałą ujemną.
Ponieważ otrzymamy w rezultacie
![]() |
(6.5) |
Sprowadzimy funkcję podcałkową do postaci jak w (6.4).Zauważmy, że
![]() |
W postępowaniu powyższym jest luka polegająca na braku informacji,
że , co uniemożliwia napisanie potrzebnych formuł.
Jeżeli
sprawa jest oczywista. Jeżeli
, to z (6.1) wynika, że
![]() |
a więc
W przypadku
ostatnia nierówność może zajść jedynie, kiedy wyróżnik
jest nieujemny, co jest równoważne z warunkiem, że
Przeskalowując możemy uzyskać opis trajektorii ruchu w postaci związku
![]() |
(6.6) |
Przekształcając równocześnie licznik i mianownik argumentu funkcji
![]() |
i upraszczając, otrzymamy
![]() |
(6.7) |
Uproszczenie z
w przypadku ujemnej wartości
zmienia znak argumentu
Ponieważ
uzyskujemy (6.7) po następnym przeskalowaniu i zmianie zwrotu na osi
Wprowadźmy oznaczenia
![]() |
otrzymamy
![]() |
(6.8) |
skąd, z uwagi na parzystość funkcji
![]() |
(6.9) |
lub inaczej
![]() |
(6.10) |
Zauważmy ( porównaj wyjaśnienie kończące punkt 6.1), że i dla
otrzymamy
natomiast dla
jest
Zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają związek (6.10) może być również zdefiniowany następującym warunkiem geometrycznym.
Warunek.
Stosunek odległości punktu od zera do odległości punktu od prostej (prostą tę nazywamy kierownicą) jest stały i wynosi
Dla punktu na płaszczyźnie jego odległość od zera wynosi
natomiast odległość od kierownicy wynonosi
, zatem nasz warunek brzmi:
![]() |
co po łatwych przekształceniach prowadzi do (6.10).
∎Specjalne położenie krzywej opisanej równaniem (6.10) w stosunku do kartezjańskiego układu współrzędnych, jest związane z dokonanym (implicite) obrotem układu współrzędnych, który nastąpił przy afinicznym przekształcaniu kąta wykonanym przy całkowaniu funkcji (6.6).
Dalsza część naszych rozważań dotyczy geometrycznej definicji stożkowych i jest z konieczności nieco szkicowa. Jej celem jest pokazanie w przypadku elips równoważności następującej dalej definicji geometrycznej (6.7), opisu (6.10) i opisu za pomocą równania osiowego dla elips.
Rozważmy stożek w przestrzeni
z wierzchołkiem
i osią
(zob. rys 6.2 (A).
Przekrójmy stożek płaszczyzną
. Niech
będzie połową kąta rozwarcia stożka a
kątem, jaki tworzy płaszczyzna
z osią stożka
Krzywą przecięcia stożka z płaszczyzną nazwiemy
(a) elipsą, jeżeli
(b) parabolą, jeżeli
(c) hiperbolą, jeżeli
Niech będzie elipsą w sensie Definicji 6.1, wyznaczoną przez płaszczyznę
Istnieją na płaszczyźnie
punkt
i prosta
takie, że dla dowolnego
zachodzi
![]() |
gdzie i
są kątami, jak w Definicji 6.1 a
(P, k) jest odległością punktu
od prostej
Określimy najpierw punkt i prostą
Niech
i
będą kulami stycznymi do stożka i do płaszczyzny
(zob. rys. 6.2 (B)). Jako punkt
przyjmiemy punkt
a jako prostą
przecięcie
z płaszczyzną
zawierającą
i prostopadłą do osi stożka
Poprowadźmy płaszczyznę
(płaszczyzna rysunku 6.2(C))przez oś stożka
i dowolny ustalony punkt
, leżący na elipsie
Niech q będzie tworzącą stożka, przechodzącą przez
i niech
Niech wreszcie
będzie punktem na kierownicy k najbliższym
Wtedy rzuty prostopadłe odcinków
i
na oś stożka są takie same. Istotnie,
i
leżą na płaszczyźnie
prostopadłej do osi.
Poza tym
tworzy z osią
kąt
a odcinek
kąt
a długości odcinków
i
są równe. Zatem
![]() |
Dla danej prostej i danego punktu
na płaszczyźnie zbiór punktów zdefiniowany warunkiem
jest izometryczny z elipsą w sensie Definicji 6.1.
(Szkic ).
Prowadząc przez prostą prostopadłą do
możemy znaleźć na niej punkt
tak, że
(
jest przecięciem
z prostą prostopadłą).
Następnie rozpatrując przecięcie stożka płaszczyzną zawierającą oś stożka oraz punkty styczności kul
i
z
oraz rozpatrując rodzinę płaszczyzn równoległych, dla których
, znajdujemy elipsę, o której należy pokazać, że jest izometryczna z naszą elipsą.
Około 1609 roku J. Kepler sformułował trzy prawa dotyczące ruchu planet wokół Słońca. Podamy ich współczesne sformułowanie.
I. Planety krążą wokół Słońca po elipsach, w których ognisku znajduje się Słońce.
II. W ruchu każdej planety prędkość polowa w płaszczyźnie ruchu pozostaje stała.
III. Dla dowolnych dwóch planet stosunek drugiej potęgi ich okresów obiegu jest równy stosunkowi trzecich potęg długości ich długich półosi.
Prawo pierwsze pokazaliśmy w poprzednim punkcie.
Prawo drugie jest prawdziwe dla dowolnego ruchu w polu centralnym.
Pokażemy, że zachodzi trzecie prawo Keplera.
Dowód trzeciego prawa Keplera.
Nietrudne, lecz kłopotliwe rachunki pozwalają przekonać się, że krzywa opisana w układzie biegunowym równaniem w układzie kartezjańskim ze środkiem w punkcie
jest przedstawiona równaniem
, gdzie
są długościami wielkiej i małej półosi.
Niech będzie okresem obiegu po takiej eliptycznej orbicie. Ze stałości prędkości polowej
mamy
i podstawiając tu wartości na
i
otrzymamy:
![]() |
Podstawiając tu i
otrzymamy
![]() |
(6.11) |
Zauważmy teraz, że
![]() |
wobec tego otrzymujemy
![]() |
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.