Zagadnienia

6.1 Całkowanie równań ruchu
6.2 Geometryczny opis trajektorii.
6.3 Prawa Keplera

6. Ruch w polu potencjału grawitacyjnego w ${\bf R^{3}}$

6.1. Całkowanie równań ruchu

Jak zauważyliśmy w Przykładzie 1.2 siła z jaką Ziemia przyciąga małe obiekty jest w przybliżeniu odwrotnie proporcjonalna do kwadratu ich odległości od środka Ziemi. Występujący we wzorze iloczyn masy Ziemi i masy przyciąganego przez nią obiektu zastąpimy dodatnim współczynnikiem $k.$ Sytuacja ruchu takiego obiektu w polu grawitacyjnym Ziemi odpowada ruchowi w centralnym polu w ${\bf R}^{3}$ z potencjałem

$U(r)=-\frac{k}{r}.$

Zgodnie z rozważaniami z poprzedniego wykładu, podczas ruchu ciała o (stałym) momencie pędu $M$ w centralnym polu w ${\bf R}^{3}$ odległość $r$ ciała od centrum zmienia się tak, jak w jednowymiarowym ruchu z potencjałem zredukowanym

$W(r)=-\frac{k}{r}+\frac{M^{2}}{2r^{2}}.$

Wykres tego potencjału ma postać:

Ze Stwierdzenia 5.5 wiemy, że stała energia całkowita wynosi $E=\frac{m\dot{r}^{2}}{2}+W(r)$ a więc

$\dot{r}^{2}=\frac{2}{m}\big(E-W(r)\big)$

(6.1)

Z (6.1) wynika, że dla jakiegokolwiek ruchu musi być $\big(\dot{r}(t)\big)^{2}\geq 0,$ a zatem $E\geq W(r).$ Kształt wykresu $W(r)$ pokazuje, że ostatni warunek przy $E\geq 0$ zachodzi dla $r$ stanowiących półoś $\displaystyle{[r_{{min}},+\infty]},$ natomiast $E<0$ zachodzi dla $r$ z przedziałem $[r_{{min}},r_{{max}}].$

Wyprzedzając ilościowy opis, który nastąpi, powiemy, że dla $E\geq 0$ mamy do czynienia z sytuacją, kiedy nadlatujący z kosmosu obiekt ma zbyt dużą energię żeby zostać ”uwięziony” w roli satelity, jego tor ulega tylko zakrzywieniu i odlatuje z powrotem w kosmos.

Przypadkowi $E<0$ odpowiada okresowy ruch po orbicie wokół centrum. W każdej z dwóch powyższych sytuacji interesują nas jedynie wartości $r$ , przy których zachodzi (6.1), zatem otrzymamy wtedy

$\dot{r}=\pm\sqrt{\frac{2}{m}\big(E-W(r)\big)}$

(6.2)

przy czym znak ” + ” dotyczy części trajektorii, kiedy $\dot{r}\geq 0$ a znak ” - ” ma zastosowanie, kiedy $r$ maleje, czyli obiekt zbliża się do centrum. Jak pokazaliśmy (6.2) daje po rozwiązaniu zależność pomiędzy kątem $\varphi$ a promieniem $r$ we współrzędnych biegunowych w postaci

$\varphi-\varphi _{0}=\pm\sqrt{m}\int _{{r_{0}}}^{{r}}\frac{Mdr}{r^{2}\sqrt{2\big(E+\frac{k}{r}-\frac{M^{2}}{2r}\big)}}$

(6.3)

Zwróćmy uwagę, że powyższy wzór odpowiada przyjętym dla $r$ i dla $\varphi$ jednostkomi. Zmieniając je np. tylko dla $\varphi$ możemy zlikwidować czynnik liczbowy, pojawiający się po prawej stronie równości (6.3).

Oznaczając funkcję pierwotną funkcji podcałkowej w (6.3) przez $F$ możemy też przyjąć $\varphi _{0}=F(r_{0}),$ co doprowadzi do wzoru $\varphi=\pm F(r).$ Aby znależć tę funkcję pierwotną przekształcimy funkcję podcałkową do postaci:

$C\frac{B(r)}{\sqrt{1-\big(A(r)\big)^{2}}}$

(6.4)

gdzie $B(r)=\frac{d}{dr}A(r)$ a $C$ jest stałą ujemną.

Ponieważ $(\arccos s)^{{\prime}}=-\frac{1}{\sqrt{1-s^{2}}}$ otrzymamy w rezultacie

$\varphi=\pm C\arccos A(r)$

(6.5)

Sprowadzimy funkcję podcałkową do postaci jak w (6.4).Zauważmy, że

$2E+\frac{2k}{r}-\frac{M^{2}}{r^{2}}=\Bigg[-\Big(\frac{M}{r}-\frac{k}{M}\Big)^{2}+\Big(2E+\frac{k^{2}}{M^{2}}\Big)\Bigg]=$

$=\Big(2E+\frac{k^{2}}{M^{2}}\Big)\Bigg[1-\Big(\frac{\frac{M}{r}-\frac{k}{M}}{\sqrt{\big(2E+\frac{k^{2}}{M^{2}}\big)}}\Big)^{2}\Bigg]$

zatem przyjmując

$A(r)=\frac{\frac{M}{r}-\frac{k}{M}}{\sqrt{2E+\frac{k^{2}}{M^{2}}}}$

otrzymamy

${A}^{{\prime}}(r)=-\frac{M}{\sqrt{2E+\frac{k^{2}}{M^{2}}}}\cdot\frac{1}{r^{2}}=B(r)$

i dla uzyskania (6.4) a więc i (6.5) wystarczy przyjąć $C=-\sqrt{2E+\frac{k^{2}}{M^{2}}}.$

W postępowaniu powyższym jest luka polegająca na braku informacji,
że $\displaystyle{2E+\frac{k^{2}}{M^{2}}\geq 0}$ , co uniemożliwia napisanie potrzebnych formuł. Jeżeli $E\geq 0$ sprawa jest oczywista. Jeżeli $E<0$ , to z (6.1) wynika, że

$2\big(E-W(r)\big)=2E+\frac{2k}{r}-\frac{M^{2}}{r^{2}}\geq 0$

a więc $2Er^{2}+2kr-M^{2}\geq 0.$ W przypadku $E<0$ ostatnia nierówność może zajść jedynie, kiedy wyróżnik $\triangle=4k^{2}+8EM^{2}$ jest nieujemny, co jest równoważne z warunkiem, że $2E+\frac{k^{2}}{M^{2}}\geq 0.$

6.2. Geometryczny opis trajektorii.

Przeskalowując $\varphi$ możemy uzyskać opis trajektorii ruchu w postaci związku

$\pm\varphi=\arccos\frac{\frac{M}{r}-\frac{k}{M}}{\sqrt{2E+\frac{k^{2}}{M^{2}}}}$

(6.6)

Przekształcając równocześnie licznik i mianownik argumentu funkcji $\arccos$

$\frac{M}{r}-\frac{k}{M}=\frac{k}{M}\ \big(\frac{M^{2}}{kr}-1\big)\textrm{ oraz}\sqrt{2E-\frac{k^{2}}{M^{2}}}=\big|\frac{k}{M}\big|\sqrt{\frac{2EM^{2}}{k^{2}}+1}$

i upraszczając, otrzymamy

$\displaystyle{\pm\varphi=\arccos\frac{\big(\frac{M^{2}}{kr}-1\big)}{\sqrt{\frac{2EM^{2}}{k^{2}}+1}}}$

(6.7)

Uproszczenie $|\displaystyle{\frac{k}{M}}|$ z $\displaystyle{\frac{k}{M}}$ w przypadku ujemnej wartości $\displaystyle{\frac{k}{M}}$ zmienia znak argumentu $\arccos.$ Ponieważ $\arccos(-a)=\pi-\arccos a,$ uzyskujemy (6.7) po następnym przeskalowaniu i zmianie zwrotu na osi $\varphi.$

Wprowadźmy oznaczenia

$\frac{M^{2}}{k}=p\textrm{oraz}{\sqrt{\frac{2EM^{2}}{k^{2}}+1}}=e$

otrzymamy

$\pm\varphi=\arccos\frac{\frac{p}{r}-1}{e}$

(6.8)

skąd, z uwagi na parzystość funkcji $\cos$

$\cos\varphi=\frac{\frac{p}{r}-1}{e}$

(6.9)

lub inaczej

$r=\frac{p}{1+e\cos\varphi}$

(6.10)

Zauważmy ( porównaj wyjaśnienie kończące punkt 6.1), że $\displaystyle{\sqrt{\frac{2EM^{2}}{k^{2}}+1}\geq 0}$ i dla $E>0$ otrzymamy $e>1$ natomiast dla $E<0$ jest $e<1.$

Stwierdzenie 6.1

Zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne $r,\varphi$ spełniają związek (6.10) może być również zdefiniowany następującym warunkiem geometrycznym.

Warunek.
Stosunek odległości punktu od zera do odległości punktu od prostej $x=\frac{p}{e}$ (prostą tę nazywamy kierownicą) jest stały i wynosi $e.$

Dla punktu $a$ na płaszczyźnie jego odległość od zera wynosi $r$ natomiast odległość od kierownicy wynonosi $\displaystyle{\frac{p}{r}-r\cos\varphi}$ , zatem nasz warunek brzmi:

$\frac{r}{\frac{p}{e}-r\cos\varphi}=e,$

co po łatwych przekształceniach prowadzi do (6.10).

∎

Specjalne położenie krzywej opisanej równaniem (6.10) w stosunku do kartezjańskiego układu współrzędnych, jest związane z dokonanym (implicite) obrotem układu współrzędnych, który nastąpił przy afinicznym przekształcaniu kąta $\varphi$ wykonanym przy całkowaniu funkcji (6.6).

Dalsza część naszych rozważań dotyczy geometrycznej definicji stożkowych i jest z konieczności nieco szkicowa. Jej celem jest pokazanie w przypadku elips równoważności następującej dalej definicji geometrycznej (6.7), opisu (6.10) i opisu za pomocą równania osiowego dla elips.

Rozważmy stożek $\mathcal{\bf}{S}$ w przestrzeni ${\bf R}^{3}$ z wierzchołkiem ${\bf W}$ i osią $s$ (zob. rys 6.2 (A).

Przekrójmy stożek $\mathcal{\bf}{S}$ płaszczyzną $\mathcal{L}$ . Niech $\theta$ będzie połową kąta rozwarcia stożka a $\varphi$ kątem, jaki tworzy płaszczyzna $\mathcal{L}$ z osią stożka ${s}.$

Definicja 6.1

Krzywą przecięcia stożka z płaszczyzną nazwiemy

(a) elipsą, jeżeli $\theta<\varphi$

(b) parabolą, jeżeli $\theta=\varphi$

Stwierdzenie 6.2

Niech $A=\mathcal{L}\cap\mathcal{\bf}{S}$ będzie elipsą w sensie Definicji 6.1, wyznaczoną przez płaszczyznę $\mathcal{L}.$ Istnieją na płaszczyźnie $\mathcal{L}$ punkt $F_{1}$ i prosta $k$ takie, że dla dowolnego $P\in A$ zachodzi

$\frac{|P-F_{1}|}{\rho(P,k)}=\frac{\cos\theta}{\cos\varphi}<1$

gdzie $\theta$ i $\varphi$ są kątami, jak w Definicji 6.1 a $\rho$ (P, k) jest odległością punktu $P$ od prostej $k.$

Określimy najpierw punkt $F_{1}$ i prostą $k.$ Niech $\mathcal{K}_{1}$ i $\mathcal{K}_{2}$ będą kulami stycznymi do stożka i do płaszczyzny $\mathcal{L}$ (zob. rys. 6.2 (B)). Jako punkt $F_{1}$ przyjmiemy punkt $\mathcal{K}_{1}\cap\mathcal{L}$ a jako prostą $k$ przecięcie $\mathcal{L}$ z płaszczyzną $\mathcal{W}$ zawierającą $\mathcal{K}_{1}\cap\mathcal{S}$ i prostopadłą do osi stożka ${s}.$ Poprowadźmy płaszczyznę $\mathcal{R}$ (płaszczyzna rysunku 6.2(C))przez oś stożka ${S}$ i dowolny ustalony punkt $P$ , leżący na elipsie $\mathcal{L}\cap S.$ Niech q będzie tworzącą stożka, przechodzącą przez $P$ i niech $M=q\cap\mathcal{W}.$ Niech wreszcie $D$ będzie punktem na kierownicy k najbliższym $P.$ Wtedy rzuty prostopadłe odcinków $PD$ i $PM$ na oś stożka są takie same. Istotnie, $D$ i $M$ leżą na płaszczyźnie $Ł$ prostopadłej do osi. Poza tym $PD$ tworzy z osią $s$ kąt $\varphi$ a odcinek $PM$ kąt $\theta$ a długości odcinków $PF_{1}$ i $PM$ są równe. Zatem

$\frac{|PF_{1}|}{|PD|}=\frac{|PM|}{|PD|}=\frac{\frac{a}{\cos\varphi}}{\frac{a}{\cos\theta}}=\frac{\cos\theta}{\cos\varphi}.$

∎

Stwierdzenie 6.3

Dla danej prostej $k$ i danego punktu $F$ na płaszczyźnie zbiór punktów zdefiniowany warunkiem $\{ P:\frac{|P-F|}{\rho(P,k)}=e<1\}$ jest izometryczny z elipsą w sensie Definicji 6.1.

(Szkic ).

Prowadząc przez $F$ prostą prostopadłą do $k$ możemy znaleźć na niej punkt $Q$ tak, że $\frac{|Q-F|}{|Q-D|}=e<1$ ( $D$ jest przecięciem $k$ z prostą prostopadłą). Następnie rozpatrując przecięcie stożka płaszczyzną zawierającą oś stożka oraz punkty styczności kul $\mathcal{K}_{1}$ i $\mathcal{K}_{2}$ z $\mathcal{L}$ oraz rozpatrując rodzinę płaszczyzn równoległych, dla których $\displaystyle{\frac{\cos\theta}{\cos\varphi}=e}$ , znajdujemy elipsę, o której należy pokazać, że jest izometryczna z naszą elipsą.

∎

6.3. Prawa Keplera

Około 1609 roku J. Kepler sformułował trzy prawa dotyczące ruchu planet wokół Słońca. Podamy ich współczesne sformułowanie.

I. Planety krążą wokół Słońca po elipsach, w których ognisku znajduje się Słońce.

II. W ruchu każdej planety prędkość polowa w płaszczyźnie ruchu pozostaje stała.

III. Dla dowolnych dwóch planet stosunek drugiej potęgi ich okresów obiegu jest równy stosunkowi trzecich potęg długości ich długich półosi.

Prawo pierwsze pokazaliśmy w poprzednim punkcie.

Prawo drugie jest prawdziwe dla dowolnego ruchu w polu centralnym.

Pokażemy, że zachodzi trzecie prawo Keplera.

Dowód trzeciego prawa Keplera.

Nietrudne, lecz kłopotliwe rachunki pozwalają przekonać się, że krzywa opisana w układzie biegunowym równaniem $r=\frac{p}{1+e\cos\varphi}$ w układzie kartezjańskim ze środkiem w punkcie $\big(\frac{-pe}{1-e^{2}},0\big)$ jest przedstawiona równaniem

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ , gdzie $a=\frac{p}{1-e^{2}},b=\frac{p}{\sqrt{1-e^{2}}}$ są długościami wielkiej i małej półosi.

Niech $T$ będzie okresem obiegu po takiej eliptycznej orbicie. Ze stałości prędkości polowej $S(t)$ mamy $T\displaystyle{\cdot\ \frac{dS}{dt}=\frac{1}{2}\ T\cdot|M|=\pi ab}$ i podstawiając tu wartości na $a$ i $b$ otrzymamy:

$T\cdot|M|=2\pi\frac{p^{2}}{(1-e^{2})^{\frac{3}{2}}}$

Podstawiając tu $p=\frac{|M|^{2}}{k}$ i $\displaystyle{e=\sqrt{1+\frac{2EM^{2}}{k^{2}}}}$ otrzymamy

$T|M|=2\pi\frac{|M|^{4}}{k^{2}}\cdot\Big(\frac{k^{2}}{2|E||M|^{2}}\Big)^{{\frac{3}{2}}}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}|M|\frac{k}{(2|E|)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\cdot\frac{|M|}{\sqrt{k}}\Big(\frac{k}{2E}\Big)^{{\frac{3}{2}}}.$

(6.11)

Zauważmy teraz, że

$a=\frac{p}{1-e^{2}}=\frac{|M|^{2}}{k}\cdot\frac{k^{2}}{2|E||M|^{2}}=\frac{k}{2|E|}$

wobec tego otrzymujemy

$T^{2}=\frac{\pi}{2}\frac{1}{\sqrt{k}}\cdot a^{3}.$

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Matematyczne metody mechaniki