Przedmiotem rachunku wariacyjnego są warunki ekstremalności funkcji (tradycyjnie nazywanych funkcjonałami), których dziedziną są rodziny obiektów geometrycznych (np. krzywe, powierzchnie) a wartości należą do
Styk prezentowanej w tym wykładzie tematyki z rachunkiem wariacyjnym jest ograniczony do specjalnej sytuacji, którą charakteryzują poniższe założenia:
(A) Dziedziną badanego funkcjonału jest rodzina
krzywych o wartościach w
określonych na wspólnym przedziale
i mających wspólny początek i wspólny koniec. Wszystkie krzywe z
są ustalonej klasy gładkości.
(B) Rozważane funkcjonały mają postać
![]() |
(7.1) |
gdzie a
jest klasy
(C) Rozważanym problemem jest charakteryzacja punktów stacjonarnych funkcjonału tj. takich
, że
![]() |
(7.2) |
(zob. Uwaga 7.1).
Użycie określenia funkcjonał dla funkcji miało zapewne na celu ułatwienie wysłowień, bo argumentami
są także funkcje. Konwencję tę podjęła też powstała później analiza funkcjonalna.
Warunek (7.2) wymaga komentarza: dziedzina funkcjonału (7.1) jest podprzestrzenią afiniczną przestrzeni liniowej
, składającej się z wszystkich krzywych tej samej co dla
klasy gładkości, określonych na
Istotnie, każdą krzywą
można jednoznacznie przedstawić w formie
gdzie
jest ustaloną krzywą z
a
gdzie
jest podprzestrzenią liniową
Elementy
będziemy nazywali wariacjami. Wracając do (7.2) ustalając
możemy krzywe
zapisać w postaci
Zatem
Wprowadzając
gdzie teraz
jest funkcjonałem na
redukujemy pytanie o stacjonarność
dla
do pytania, czy
Część rachunku wariacyjnego dotycząca założeń przypomina więc fragment klasycznej analizy, dotyczący warunku koniecznego istnienia ekstremum.
Sytuacja w rachunku wariacyjnym różni się tym, że dziedzina badanej funkcji jest nieskończenie wymiarowa. Za to same funkcje - ”funkcjonały” - są bardzo specjalnej postaci. Schemat uwarunkowany założeniami
jest krokiem wstępnym, poza który w zasadzie nie wyjdziemy. Jedynym wyjątkiem jest uogólnienie warunku
do takiego, w którym
jest zbiorem krzywych przyjmujących swoje wartości w podrozmaitościach
Ta sytuacja pojawia się przy badaniu układów z więzami.
Niech będzie rodziną krzywych klasy
określonych na [0,1] i przyjmujących wartości w
Załóżmy, że wszystkie nasze krzywe zaczynają się w punkcie (0, 1) a kończą w (1,0). Rozpatrzmy na
stałe pole wektorowe
![]() |
(7.3) |
Wśród krzywych rodziny wskazać taką, żeby ruch po niej bez tarcia i pod wpływem pola
zaczynający się od prędkości zero trwał możliwie jak najkrócej.
Problem ten jest nazywany zagadnieniem krzywej najszybszego spadku (brachistochrony) z greckiego brachistos- najkrótszy, chronos - czas.
Ponieważ chodzi nam raczej o wprowadzenie do metod rachunku wariacyjnego niż o rozstrzygnięcie ogólnego pytania, ograniczymy się do krzywych, których zbiorem wartości są punkty o postaci dla
gdzie funkcja
jest klasy
malejąca oraz
i
Zatem
![]() |
(7.4) |
Założymy ponadto, że ,
i
dla
Dowód, że przy rozwiązywaniu Problemu 7.1 można się ograniczyć do krzywych o postaci (7.4) i rosnących funkcji
, pozostawimy czytelnikowi.
Dyskusja wstępna.
Zauważmy, że siła (7.3) spełnia warunek przy
Zaczniemy od wyprowadzenia wzoru na czas potrzebny do przebycia ustalonej krzywej. Bez założenia, że
jest malejąca, formuła ta mogłaby dać nieskończony czas na przejście, co skomplikowałoby formalnie nasze wywody.
Zgodnie z Ćwiczeniem 3.1, w ruchu bez tarcia po zadanej krzywej pod wpływem pola potencjalnego, jest zachowywana energia całkowita
gdzie
jest energią kinetyczną o postaci
![]() |
(przyjmujemy, że masa poruszającego się punktu wynosi 1). Ponieważ dla krzywej (7.4) zachodzi
![]() |
(7.5) |
otrzymamy:
![]() |
(7.6) |
Z uwagi na to, że musi być
zatem
![]() |
a ponieważ otrzymamy
![]() |
Ponieważ chcemy znależć czas przebycia krzywej, napiszmy dla
![]() |
skąd otrzymamy w formie
![]() |
(7.7) |
Tak więc otrzymaliśmy funkcjonał (7.1) z funkcją o postaci
![]() |
gdzie rolę zmiennej pełni zmienna
przebiegająca przedział [0,1].
Drugie zadanie ”zagadnienie krzywej łańcuchowej” ma charakter statyczny. Przyjmijmy, że w
jest dane pole wektorowe we
i że w każdym interesującym nas punkcie siła działająca na masę
wynosi
Wtedy energia potencjalna punktu o masie
jest
W polu tym zawieszamy idealnie giętką linę (łańcuch) o stałej liniowej gęstości masy 1 i długości
Punktami zawieszenia liny będą
i
Założenie
Przyjmiemy jako założenie, że zwisająca lina przyjmuje kształt, przy którym suma (całka) energii potencjalnych wszystkich jej punktów zwana dalej ”potencjałem sumarycznym” jest możliwie najmniejsza.
Opisać krzywą zwisu liny.
Dyskusja wstępna.
Podobnie, jak poprzednio (por. Uwaga 7.2), przyjmiemy, że krzywa zwisu liny opisana jest jako wykres funkcji należacej do zbioru
funkcji różniczkowalnych o ciągłej pochodnej na przedziale [-1,1] i przyjmujących wartość 0 na końcach przedziału.
Z przedstawionych powyżej założeń wynika, że odcinek liny znajdujący się na wysokości
ma energię potencjalną równą
gdzie
![]() |
Zatem, ”potencjał sumaryczny” ma postać:
![]() |
(7.8) |
Tego typu funkcja nie byłaby oczywiście ograniczona z dołu na
gdyby nie dodatkowy warunek, że długość liny wynosi
Warunek ten ma postać
gdzie
![]() |
(7.9) |
Naszym zadaniem jest więc znalezienie punktów krytycznych funkcjonału na poziomicy
![]() |
Podobnie, jak przy badaniu ekstremów warunkowych w analizie, rozwiążemy ten problem metodą mnożników Lagrange'a.
Polega ona na rozpatrzeniu rodziny funkcjonałów o postaci
![]() |
gdzie parametr
Dla każdego z tych funkcjonałów szukamy punktów krytycznych leżących na
Wyjaśnienie tego jest następujące:
Jeżeli dla
to z uwagi na fakt, że różniczka
ograniczona do przestrzeni stycznej w
do
jest zerowa, warunek
pociąga, że
na tejże przestrzeni stycznej. Jednocześnie właściwy dobór
umożliwia uzyskanie warunku
także na przestrzeni prostopadłej do
w punkcie
Podsumowując: pierwszym krokiem do rozwiązania Problemu 7.2 jest znalezienie należących do punktów krytycznych funkcjonałów
Będziemy poszukiwać warunków, przy których krzywa jest punktem krytycznym funkcjonału
![]() |
(7.12) |
Pisząc redukujemy nasz problem do pytania czy funkcjonał
![]() |
(7.13) |
ma w punkcie punkt krytyczny. ( Y jest tutaj przestrzenią liniową wariacji - zob. Uwagę 7.1.)
Wyposażmy w w strukturę przestrzeni Banacha, wprowadzając
normę:
![]() |
(7.14) |
gdzie oznacza normę euklidesową w
Zamierzamy zapisać
w postaci
![]() |
(7.15) |
gdzie jest ciągłą w normie (7.14) operacją liniową, natomiast
spełnia warunek:
![]() |
(7.16) |
Powiemy, że funkcjonał (7.12) jest różniczkowalny w (lub, że (7.13) jest różniczkowalny w 0), jeżeli przestawienie (7.15) z warunkiem (7.16) jest możliwe. Operacja liniowa
jest wtedy wyznaczona jednoznacznie i nazywa się różniczką
w 0 (lub różniczką
w
). Powiemy, że
jest punktem krytycznym
jeżeli
(tj.
dla każdego
Jeżeli jest postaci (7.12), gdzie funkcja
jest klasy
to dla każdego
istnieje
Na to, aby krzywa
była punktem krytycznym
potrzeba i wystarcza, by spełniała ona układ równań :
![]() |
(7.17) |
Równania powyższe noszą nazwę równań Eulera.
Ustalimy najpierw możliwą postać operacji , występującej w formule (7.15).
Oznaczmy zmienne, od których zależy jako
Wtedy zgodnie ze wzorem Taylora dla przyrostu
zachodzi
![]() |
gdzie
![]() |
(7.18) |
gdy dąży do zera, a
jest normą euklidesową w
Podstawiając oraz
przy ustalonym
i dla
oraz wycałkowując po
otrzymamy, zgodnie z (7.13):
![]() |
(7.19) |
Część pierwsza, po prawej stronie równości (7.19) zależy liniowo od i przyjmujemy ją jako
Także odpowiednio przyjmujemy
![]() |
(7.20) |
Mamy wtedy
![]() |
gdzie jest stałą zależną
Zatem
jest ciągłym funkcjonałem liniowym.
Pokażemy, że reszta
spełnia warunek (7.16).
Zauważmy najpierw, że dla każdego ustalonego
![]() |
Więc na mocy (7.14), (7.18) i (7.20) otrzymamy:
![]() |
przy
Przejdźmy do wyprowadzenia równań (7.17).
Warunek oznacza, że dla każdego
zachodzi:
![]() |
Całkując przez części drugie człony składników sumy oraz uwzględniając, że otrzymamy:
![]() |
(7.21) |
Przyjmując jako kolejno krzywe o postaci
gdzie
może być dowolną funkcją różniczkowalną taką, że z
otrzymamy
niezależnych warunków
![]() |
(7.22) |
Nietrudne rozumowanie pokazuje, że ty warunek (7.22) jest równoważny
temu równaniu Eulera. Odwrotnie: spełnienie równań Eulera daje równania (7.22) a te przez wysumowanie warunek (7.21), z którego wynika z kolei, że
Chcąc uniknąć wprowadzania zmiennych oraz
zapisuje się równania, utożsamiając
z
oraz
z
w postaci (7.17).
Na zakończenie napiszemy równania Eulera dla zagadnienia brachistochrony i zagadnienia krzywej łańcuchowej.
Równanie Eulera dla zagadnienia brachistochomy.
Mamy znaleźć funkcję argumentu
, który pełni rolę zmiennej
w równianiach Eulera (zobacz sformułowanie Twierdzenia 7.1). Będziemy pisać
zamiast
oraz
zamiast
. Nasza funkcja Lagrange'a ma zatem postać:
![]() |
Wtedy
![]() |
oraz
![]() |
Równanie Eulera
![]() |
przyjmie więc postać
![]() |
(7.23) |
Równanie Eulera dla krzywej łańcuchowej.
Podobnie, jak poprzednio, rolę w równaniach Eulera pełni zmienna
, natomiast zamiast
napiszemy
a zamiast
napiszemy
Funkcja Lagrange'a z mnożnikiem
ma postać:
![]() |
Wtedy
![]() |
Zatem równania Eulera mają postać :
![]() |
(7.24) |
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.