W roku 1828 William Rowan Hamilton opublikował fundamentalną pracę nadającą optyce geometrycznej nowe nieoczekiwane sformułowanie związane z geometrią symplektyczną. Poprzednio bieg promieni świetlnych opisywany był za pomocą równań Eulera, wynikających z wariacyjnej zasady minimalizującej ”długość optyczną” przebywanej drogi. Dopiero 20 lat później zauważył Hamilton, że to samo postępowanie, wykorzystujące tym razem wariacyjną zasadę najmniejszego działania, umożliwia także w mechanice uzyskanie nowego, znacznie bardziej geometrycznego opisu, niż ten, za pomocą równań Eulera - Legendre'a. Postępując za Hamiltonem, omówimy kolejno transformację Legendre'a - kluczowe narzędzie w metodzie Hamiltona. Następnie pokażemy, jak uzyskuje się za jej pomocą nowy opis w optyce geometrycznej. Na koniec wrócimy do mechaniki.
W całym tym paragrafie dla przestrzeni liniowej przez
będziemy oznaczać przestrzeń form liniowych na
Zaczniemy od sytuacji jednowymiarowej. Niech
będzie dwukrotnie różniczkowalna i niech
na
Rozważmy przekształcenie
![]() |
Ponieważ jest ciągła i rosnąca, obrazem
na mocy własności Darboux jest przedział
oraz na
jest określone przekształcenie
odwrotne do
Istnieje taka, że
dla
[f'(a), f'(b)]. Funkcję
nazwiemy transformatą Legendre`a funkcji
i napiszemy
.
Ponieważ funkcja i
są obecne w naszych rozważaniach jedynie za pośrednictwem swoich pochodnych, obie są wyznaczone z dokładnością do stałej. Wygodnie będzie więc przyjąć umowę, że
Dla rozważmy funkcję
![]() |
(9.1) |
Ustalając oznaczmy
Wtedy
a ponieważ
oraz
jest malejąca i ciągła, istnieje dokładnie jeden punkt
taki, że
tj. że
Przekształcenie
![]() |
jest oczywiście odwrotne do
![]() |
i jako odwrotne do różniczkowalnego o niezerowej pochodnej, samo jest różniczkowalne.Podamy jego opis analityczny.
Określmy
![]() |
(9.2) |
wtedy
![]() |
jest różniczkowalne oraz
![]() |
bo
Transformacja Legendre'a jest inwolucją t.j.
Wyznaczyć transformatę Legendre'a następujących funkcji:
![]() |
i wobec tego
![]() |
![]() |
wobec tego
![]() |
gdzie
(Nierówność Younga ). Niech wtedy
![]() |
(9.3) |
Sytuacja n-wymiarowa.
W następującym tekście przyjmiemy konwencję, że wartość różniczki funkcji w punkcie
na wektorze
jest zapisywana jako
Niech
bedzie określona i ma ciągłe pochodne do rzędu 2 na otwartym zbiorze
Niech ponadto
dla
Przyjmujemy tutaj podejście wiążące kolejne różniczki ze wzorem Taylora i traktujące
jako odwzorowanie n- liniowe tam występujące. W szczególności
![]() |
(9.4) |
oznacza wtedy macierz formy kwadratowej a napis oznacza, że forma ta jest dodatnio określona.
Rozważmy przekształcenie:
Jeżeli jest otwarty a
jest klasy
oraz
dla
to także zbiór
jest otwarty.
Różniczka może być także interpretowana jako pierwsza różniczka w punkcie
odwzorowania
Ponieważ warunek
implikuje, że macierz
jest nieosobliwa, odwzorowanie
jest otwarte i w szczególności
jest zbiorem otwartym.
Przy założeniach i notacji Stwierdzenia 9.4. przekształcenie jest różnowartościowe. Przekształcenie do niego odwrotne jest podobnej postaci t.j. przy kanonicznym utożsamieniu
z
i traktowaniu
jako podzbioru
istnieje funkcja
taka, że
Funkcję nazywamy transformatą Legendre'a funkcji
Pokażemy najpierw, że funkcja jest różnowartościowa. Niech
i niech
Wtedy
jest równa wartości formy kwadratowej
na argumencie
a zatem jest dodatnia. Oznacza to, że funkcja
jest rosnąca. Ale
natomiast
a ponieważ
zatem
Pokażemy następnie, że istnieje klasy
taka, że
oraz, że
Rozumowanie przebiega podobnie, jak w dowodzie Stwierdzenia 9.4.
Dla x
rozważamy funkcję
![]() |
gdzie oznacza wartość formy liniowej
na wektorze
W części pierwszej tego dowodu pokazaliśmy, że dla każdego
istnieje dokładnie jeden
taki, że
Określmy
![]() |
wtedy odworowanie jako odwrotne do
ma wszędzie różniczkę nieosobliwą na mocy twierdzenia o funkcji odwrotnej.
Pisząc
i uwzględniając, że
mamy wtedy
![]() |
![]() |
co należało wykazać.
Pokażemy wreszcie, że
Traktując jako różniczkę odwzorowania
odwrotnego do
którego różniczką jest
widzimy, że teza wynika z obserwacji, że dla macierzy symetrycznej i dodatnio określonej, macierz odwrotna jest także symetryczna i dodatnio określona.
Wyznaczyć transformatę Legendre'a funkcji:
![]() |
wtedy
![]() |
![]() |
i otrzymujemy
![]() |
Optyka geometryczna nie wnika w fizyczną naturę światła lecz przyjmuje jako aksjomat, że droga promienia światlnego jest taką krzywą, która minimalizuje tzw. długość optyczną. Ta zasada wariacyjna, której precyzyjne sformułowanie podamy w dalszej części wykładu, ma związek z zasadą Fermata, mówiącą, że światło biegnąc od punktu do punktu wybiera drogę o najkrótszym czasie przejścia. Schemat przyjęty w optyce geometrycznej przedstawia się następująco:
Rozważmy ”oś optyczną” którą wyobrazimy sobie jako prostą poziomą, leżącą w płaszczyźnie rysunku. Prostopadle do niej umieścimy dwie płaszczyzny A i B. Są one równoległe do dwóch pozostałych osi kartezjańskiego układu prostokątnego: poziomej osi
i pionowej osi
Przestrzeń między tymi płaszczyznami nazwiemy systemem optycznym. Jest ona scharakteryzowana za pomocą funkcji - ”gęstości optycznej środowiska”, przez które przebiega promień świetlny. Będziemy dalej zakładać, że tory promieni świetlnych są krzywymi rzutującymi się dyfeomorficznie na oś optyczną t.j, że dopuszczają opis
Gęstość optyczna kształtuje tor następującą zasadą Fermata:
promień świetlny opuszczający płaszczyznę A w punkcie
i w kierunku wyznaczonym przez
a następnie docierający do płaszczyzny
z analogicznymi współrzędnymi
robi to tak, że minimalizuje ”długość optyczną”
![]() |
(9.5) |
gdzie oznacza
a
oznacza
Mamy zatem zagadnienie wariacyjne z funkcją Lagrange'a
![]() |
(9.6) |
Wynik Hamiltona mówi, że po właściwej zmianie współrzędnych krzywe całkowe równań Eulera dla (9.5) są krzywymi całkowym ”gradientu symplektycznego”' funkcji
Omówimy kolejno dokonywaną zamianę współrzędnych, której istotą jest transformata Legendre'a oraz wyprowadzimy równania Hamiltona, odkładając geometryczną interpretację tej sytuacji do następnego wykładu.
Istotnie, otrzymujemy ( dla zwięzłości będziemy pisać zamiast
![]() |
![]() |
![]() |
zatem druga różniczka jest formą kwadratową o postaci:
![]() |
ale dla
![]() |
mamy
![]() |
Na mocy Lematu 9.1, ustalając zmienne możemy stosować Stwierdzenie 9.1 do funkcji:
![]() |
określając odwzorowanie
![]() |
(9.7) |
i odwzorowanie odwrotne
![]() |
(9.8) |
W dalszym ciągu, dla oszczędności miejsca, będziemy zapisywać
![]() |
Napiszmy układ równań Eulera dla funkcjonału (9.5)
![]() |
(9.9) |
i zastąpmy w nim przez nową zmienną
(zgodnie z 9.7). Oznaczając
przez
możemy zapisać wtedy (9.9) w postaci:
![]() |
(9.10) |
Otrzymujemy w ten sposób pierwsze dwa równania. Ponieważ zależą od
chcąc zastąpić
przez
możemy skorzystać z odwrotnej transformacji Legendre'a (9.8) dodając do (9.10) warunki
![]() |
(9.11) |
To, że układ warunków (9.10) i (9.11) daje układ czterech równań określających funkcje i
wynika z następującego lematu.
Niech dla ustalonych funkcja
oznacza transformatę Legendre'a funkcji
Wtedy
![]() |
(9.12) |
Funkcje oraz
związane są warunkiem
![]() |
(9.13) |
gdzie przy ustalonych
Obliczając dla lewej strony (9.13) otrzymamy
![]() |
Dla prawej strony 9.13 otrzymamy wyrażenie
![]() |
Ale
![]() |
skąd wynika (9.12).
∎Na mocy lematu (9.4.) możemy więc przekształcić równanie (9.10), otrzymując ostateczny układ równań Hamiltona
![]() |
(9.14) |
Wobec tego trudność przejścia od opisu wariacyjnego z funkcją Lagrange'a do opisu (9.14) polega na znalezieniu transformaty Legendre'a
funkcji
Oczywiście cała procedura opiera się na założeniu, że przy ustalonych
funkcja
jest funkcją wypukłą ze względu na zmienne
i
Pokażemy teraz, jak wygląda dla funkcji Lagrange'a
![]() |
W dalszym ciągu, dla zwięzłości, będziemy pisać zamiast
Wtedy (por. dowód lematu 9.1)
![]() |
skąd
![]() |
Zauważmy, że zachodzi tożsamość
![]() |
a więc
![]() |
i ostatecznie
![]() |
![]() |
Podsumowując:
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.