Zagadnienia

13.1 Istnienie rozwiązania
13.2 Metoda Galerkina
13.3 Abstrakcyjne oszacowanie błędu
13.4 Przestrzenie Sobolewa
13.5 Zadanie eliptyczne drugiego rzędu z zerowymi warunkami na brzegu
13.6 Ciągła metoda elementu skończonego dla zadań eliptycznych drugiego rzędu
13.7 Zadania dyskretne i zbieżność
13.8 Zadania

13. Metoda elementu skończonego - teoria

W tym wykładzie przedstawimy ogólną teorię konstrukcji i analizy zbieżności elementu skończonego (MESu) dla równań liniowych.

13.1. Istnienie rozwiązania

Załóżmy, że $V$ jest rzeczywistą przestrzenią Hilberta, tzn. rzeczywistą przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym $(\cdot,\cdot)$ i normą $\|\cdot\| _{V}=(\cdot,\cdot)^{{1/2}}$ , która jest zupełna. Przez $V^{*}$ oznaczamy przestrzeń dualną (sprzężoną) do $V$ , por. np. [7].

Rozpatrzmy wariacyjny problem znalezienia $u^{*}\in V$ takiego, że

$a(u^{*},v)=f(v)\qquad\forall v\in V,$

(13.1)

gdzie $f\in V^{*}$ , $a(u,v)$ jest formą dwuliniową, która jest ograniczona, tzn. istnieje stała $M\geq 0$ taka, że

$a(u,v)\leq M\| u\| _{V}\| v\| _{V}\qquad\forall u,v\in V,$

oraz jest $V$ -eliptyczna co oznacza, że dla pewnego $\alpha>0$ zachodzi:

$a(u,u)\geq\alpha\| u\| _{V}^{2}\qquad\forall u\in V.$

Przy powyższych założeniach zachodzi znane twierdzenie analizy funkcjonalnej:

Twierdzenie 13.1 (Lax-Milgram)

Rozpatrzmy formę dwuliniową $a(u,v):V\times V\rightarrow\mathbb{R}$ , która jest ograniczona i $V$ -eliptyczna, a $f\in V^{*}$ . Wtedy zadanie (13.1) ma jednoznaczne rozwiązanie i

$\| u^{*}\| _{V}\leq\frac{\| f\| _{{V^{*}}}}{\alpha}.$

(13.2)

Istnienie rozwiązania wynika z lematu Riesza. Szczegóły dowodu można znaleźć np. w [7] lub [6]. Oszacowanie (13.2) dla $u^{*}$ otrzymujemy wstawiając $u^{*}$ za $v$ w (13.1) i korzystając z $V$ -eliptyczności formy i definicji normy dualnej funkcjonału liniowego:

$\displaystyle\alpha\| u^{*}\| _{V}^{2}\leq a(u^{*},u^{*})=f(u^{*})\leq\| f\| _{{V^{*}}}\| u^{*}\| _{V}.$

Jeśli $u_{1}$ i $u_{2}$ są rozwiązaniami zadania wariacyjnego, to $w=u_{1}-u_{2}$ spełnia (13.1) dla prawej strony równej zero. Z tego i z (13.2) wynika, że $\| u_{1}-u_{2}\| _{V}=0$ , co oznacza, że rozwiązanie jest wyznaczone jednoznacznie.

∎

13.2. Metoda Galerkina

Załóżmy, że $\{ V^{n}\} _{n}$ to rodzina podprzestrzeni skończenie wymiarowych $V$ o wymiarze $n$ .

Definiujemy zadanie dyskretne aproksymujące (13.1): chcemy znaleźć $u_{n}\in V^{n}$ takie, że

$a(u_{n}^{*},v_{n})=f(v_{n})\qquad\forall v_{n}\in V^{n}.$

(13.3)

Forma $a(u,v)$ jest ograniczona na $V^{n}$ z normą przestrzeni $V$ i jest również $V^{n}$ -eliptyczna. Zatem z twierdzenia 13.1 wynika istnienie jednoznacznego rozwiązania zadania dyskretnego, które spełnia:

$\| u_{n}^{*}\| _{V}\leq\frac{\| f\| _{{V^{*}}}}{\alpha},$

(13.4)

Rozwiązania dyskretne są wspólnie ograniczone niezależnie od wymiaru $n$ , co określamy jako stabilność rozwiązań rodziny zadań dyskretnych.

Proszę zauważyć, że ponieważ przestrzeń $V^{n}$ jest skończenie wymiarowa, więc - z definicji - ma bazę o skończonej ilości elementów $n<\infty$ , tzn. $V^{n}=\{\phi _{j}\} _{{j=1}}^{n}$ i, aby znaleźć współczynniki rozwiązania (13.3) w tej bazie, należy rozwiązać układ równań liniowych

$A_{n}\vec{u}=\vec{f},$

gdzie $(A_{n})_{{kl}}=a(\phi _{k},\phi _{l})$ i $\vec{f}=(f(\phi _{k}))_{k}$ dla $k,l=1,\ldots,n$ . Jeśli forma $a(u,v)$ jest symetryczna, to $A_{n}$ jest macierzą symetryczną i dodatnio określoną. Oczywiście najlepiej byłoby dobrać taką bazę, żeby macierz $A_{n}$ była np. pasmowa, albo ogólniej - o małej ilości elementów różnych od zera. Pojawia się pytanie: jak taką bazę wyznaczyć?

13.3. Abstrakcyjne oszacowanie błędu

Tutaj pokażemy związek między błędem $u^{*}-u_{n}^{*}$ , a błędem aproksymacji przestrzeni $V$ przez rodzinę przestrzeni $V^{n}$ .

Zachodzi ważne twierdzenie - zwyczajowo zwane lematem Céa:

Twierdzenie 13.2 (lemat Céa)

Niech forma $a(u,v)$ określona na przestrzeni Hilberta $V$ będzie ograniczona i $V$ -eliptyczna, $V^{n}\subset V$ podprzestrzeń $V$ . Wtedy

$\| u^{*}-u_{n}^{*}\| _{V}\leq\frac{M}{\alpha}\inf _{{v_{n}\in V^{n}}}\| u^{*}-v_{n}\| _{V},$

gdzie $u^{*}$ - to rozwiązanie (13.1), a $u_{n}^{*}$ - to rozwiązanie (13.3).

Z (13.1) wynika, że:

$a(u^{*},v_{n})=f(v_{n})\qquad\forall v_{n}\in V^{n}.$

Odejmując to równanie od (13.3) otrzymujemy:

$a(u^{*}-u_{n}^{*},v_{n})=0\qquad\forall v_{n}\in V^{n}.$

A dalej

$\displaystyle\alpha\\| u^{}-u_{n}^{}\\| _{V}^{2}$	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle a(u^{}-u_{n}^{},u^{}-u_{n}^{})=a(u^{}-u_{n}^{},u^{})-a(u^{}-u_{n}^{},u_{n}^{})$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle a(u^{}-u_{n}^{},u^{})-a(u^{}-u_{n}^{},v_{n})=a(u^{}-u_{n}^{},u^{}-v_{n})$
	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle M\\| u^{}-u_{n}^{}\\| _{V}\\| u^{*}-v_{n}\\| _{V}.$

Dzieląc przez $\| u^{*}-u_{n}^{*}\| _{V}$ otrzymujemy tezę twierdzenia.

∎

Z lematu wynika, że aby oszacować błąd $u^{*}-u^{*}_{n}$ wystarczy oszacować błąd aproksymacji $u^{*}$ przez podprzestrzeń dyskretną $V^{n}$ .

Wniosek 13.1

Przy założeniach lematu Céa, jeśli rodzina podprzestrzeni $\{ V^{n}\}$ przestrzeni Hilberta $V$ jest taka, że:

$\forall u\in V\quad\mathrm{dist}(u,V^{n})=\inf _{{v\in V^{n}}}\| u-v\| _{V}\rightarrow 0\qquad n\rightarrow\infty,$

$\| u_{n}^{*}-u^{*}\| _{V}\rightarrow 0\qquad n\rightarrow\infty.$

13.4. Przestrzenie Sobolewa

Niech $\Omega\subset\mathbb{R}^{d}$ będzie otwartym obszarem. Wtedy definiujemy półnormę i normę $H^{1}(\Omega)$ jako:

$|u|_{{H^{1}(\Omega)}}=\sqrt{\int _{\Omega}|\nabla u|^{2}\; dx},\qquad\| u\| _{{H^{1}(\Omega)}}=\sqrt{\| u\| _{{L^{2}(\Omega)}}^{2}+|u|_{{H^{1}(\Omega)}}^{2}}.$

Dodatkowo będziemy też oznaczać $H^{0}(\Omega):=L^{2}(\Omega)$ i $|u|_{{H^{0}(\Omega)}}=\| u\| _{{H^{0}(\Omega)}}=\| u\| _{{L^{2}(\Omega)}}$ .

Definicja 13.1

Niech $H^{1}_{0}(\Omega)\subset L^{2}(\Omega)$ będzie domknięciem w normie $H^{1}$ przestrzeni $C^{\infty}_{0}(\Omega)$ , gdzie $C^{\infty}_{0}(\Omega)$ jest podprzestrzenią $C^{\infty}(\Omega)$ złożoną z funkcji o zwartym nośniku w $\Omega$ .

Jest to przestrzeń zupełna (ang. complete space) z iloczynem skalarnym $H^{1}$ : $(u,v)_{{H^{1}(\Omega)}}=\int _{\Omega}u\, v+\nabla u\,\nabla v\; dx$ . Można pokazać, że jest to ośrodkowa przestrzeń Hilberta (ang. separable Hilbert space), tzn. posiada przeliczalną bazę ortonormalną (ang. countable orthonormal basis).

Pojawia się pytanie; czy jeśli funkcja $u\in H^{1}_{0}(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$ , to $u_{{|\partial\Omega}}=0$ . Okazuje się, że tak jest, co wynika z twierdzenia o śladzie, por. twierdzenie 16.2.

Z nierówności Friedrichsa (por. stwierdzenie 16.1) wynika, że półnorma $H^{1}$ w przestrzeni $H^{1}_{0}(\Omega)$ jest normą równoważną z normą $H^{1}$ .

Dodatkowo zdefiniujemy półnormę $H^{2}$ :

$|u|_{{H^{2}(\Omega)}}=\sqrt{\int _{\Omega}\sum _{{k,l=1}}^{d}\left|\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{k}\partial x_{l}}\right|^{2}\, dx}.$

poprawnie zdefiniowaną dla funkcji gładkich i przestrzeń $H^{1}_{0}(\Omega)\cap H^{2}(\Omega)$ złożoną z tych funkcji w $H^{1}_{0}(\Omega)$ , dla których jej drugie pochodne dystrybucyjne są w $L^{2}(\Omega)$ . Przestrzeń ta zawiera wszystkie funkcje klasy $C^{2}(\overline{\Omega})$ zerujące się na brzegu $\Omega$ .

13.5. Zadanie eliptyczne drugiego rzędu z zerowymi warunkami na brzegu

Rozpatrzmy ogólne zadanie eliptyczne w słabym sformułowaniu: chcemy znaleźć $u^{*}\in H^{1}_{0}(\Omega)$ takie, że

$a(u^{*},v)=f(v)\qquad\forall v\in H^{1}_{0}(\Omega),$

(13.5)

gdzie $f(v)=\int _{\Omega}\hat{f}v\; dx$ dla danej funkcji $\hat{f}\in L^{2}(\Omega)$ oraz

$a(u,v)=\int _{\Omega}\sum _{{i,j=1}}^{d}a_{{ij}}(x)\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\frac{\partial v}{\partial x_{j}}+c(x)u\, v\; dx,$

Tutaj funkcje $a_{{ij}},c\in L^{\infty}(\Omega)$ , tzn. są ograniczone, oraz istnieje stała $\hat{\alpha}>0$ taka, że:

	$\displaystyle\sum _{{i,j=1}}^{d}a_{{ij}}(x)\xi _{i}\xi _{j}$	$\displaystyle\geq$	$\displaystyle\hat{\alpha}\sum _{{i=1}}^{d}\xi _{i}^{2},\qquad\forall\xi\in\mathbb{R}^{d},\quad\forall x\in\Omega$
	$\displaystyle c(x)$	$\displaystyle\geq$	$\displaystyle 0\qquad\forall x\in\Omega.$

Jeśli dodatkowo $a_{{ij}}=a_{{ji}}$ na $\Omega$ to mówimy, że zadanie jest samosprzężone. Można wykazać, że istnieją stałe dodatnie $M,\alpha$ takie, że:

	$\displaystyle\|a(u,v)\|\leq M\\| u\\| _{{H^{1}(\Omega)}}\\| v\\| _{{H^{1}(\Omega)}}\qquad\forall u,v\in H^{1}_{0}(\Omega),$				(13.6)
	$\displaystyle a(u,u)\geq\alpha\\| u\\| _{{H^{1}(\Omega)}}\qquad\forall u\in H^{1}_{0}(\Omega),$

czyli forma dwuliniowa $a(\cdot,\cdot)$ jest ograniczona w $H^{1}_{0}(\Omega)$ i $H^{1}_{0}(\Omega)$ -eliptyczna.

Jako wniosek z twierdzenia 13.1 otrzymujemy:

Stwierdzenie 13.1

Zadanie (13.5) ma jednoznaczne rozwiązanie.

Jeśli zadanie jest samosprzężone to:

$a(u,v)=a(v,u)$

i forma $a(\cdot,\cdot)$ jest iloczynem skalarnym w $H^{1}_{0}(\Omega)$ .

Można pokazać, że jeśli istnieje rozwiązanie $u^{*}$ zadania (13.5), które dodatkowo jest klasy $C^{2}(\Omega)$ , i jeśli funkcje $a_{{ij}}\in C^{1}(\Omega)$ , to

$-\sum _{{k,l=1}}^{n}\frac{\partial}{\partial x_{k}}\left(a_{{kl}}(x)\frac{\partial u}{\partial x_{l}}(x)\right)+c(x)u(x)=f(x).$

13.6. Ciągła metoda elementu skończonego dla zadań eliptycznych drugiego rzędu

W tym rozdziale przedstawimy ogólne zasady konstrukcji ciągłej metody elementu skończonego. Ciągłość oznacza, że przestrzenie elementu skończonego będą zawierały wyłącznie funkcje ciągłe z przestrzeni wyjściowej $V$ .

Będziemy zajmowali się konstrukcją przestrzeni wyłącznie dla zagadnień różniczkowych zadanych na ograniczonym obszarze $\Omega\subset\mathbb{R}^{d}$ dla $d=1,2,3.$

13.6.1. Triangulacje

Będziemy zakładali, że $\Omega$ jest odcinkiem dla $d=1$ , wielokątem dla $d=2$ , czy wielościanem dla $d=3$ .

Wprowadzamy w $\Omega$ rodzinę podziałów $T_{h}(\Omega)=\{\tau\}$ dla $\tau\subset\Omega$ na odpowiednio: odcinki dla $d=1$ , trójkąty lub prostokąty dla $d=2$ , czworościany lub prostopadłościany dla $d=3$ - przy czym typ elementu zawsze jest ustalony. Formalnie wprowadzamy następującą definicję triangulacji, por. rozdział 12.1.1:

Rozpatrzmy obszar $\Omega\subset\mathbb{R}^{d}$ , $d=1,2,3$ będący odcinkiem, wielokątem (ang. polygon), lub wielościanem (ang. polyhedron), i niech $T(\Omega)=\{\tau _{1},\ldots,\tau _{n}\}$ będzie podziałem $\Omega$ , tzn. rodziną wielościanów (ang. polyhedrons or elements) zazwyczaj ustalonego typu, tzn. odcinków (ang. segments) dla $d=1$ , trójkątów (ang. triangles), czworokątów (ang. quadrilaterals) lub prostokątów (ang. rectangles) dla $d=2$ , czworościanów (ang. tetrahedrons) lub prostopadłościanów (ang. cuboids) czy sześcianów (ang. cubes) dla $d=3$ .

Definicja 13.2

(Triangulacja obszaru)

Powiemy, że $T_{h}=T_{h}(\Omega)$ jest dopuszczalną triangulacją (ang. admissible triangulation), jeśli spełnione są następujące warunki:
- $\bigcup _{{\tau\in T(\Omega)}}\overline{\tau}=\overline{\Omega}$ ,
- $\partial\tau _{k}\cap\partial\tau _{l}$ jest zbiorem pustym, wspólnym wierzchołkiem, wspólną krawędzią ( $d=2,3$ ), wspólną ścianą (tylko $d=3$ ), jeśli $k\not=l$ .
Dla danej triangulacji $T_{h}(\Omega)$ niech $h=\max _{{\tau\in T(\Omega)}}\mathrm{diam}(\tau)$ oznacza parametr tej triangulacji.
Rodzina triangulacji $\{ T_{h}(\Omega)\}$ jest regularna ze względu na kształt (ang. shape regular), jeśli istnieje stała $c>0$ taka, że każdy $\tau$ w $T_{h}$ zawiera okrąg wpisany w $\tau$ o promieniu $\rho _{\tau}$ taki, że

$\rho _{\tau}\geq c\,\mathrm{diam}(\tau).$
Rodzina triangulacji $\{ T_{h}(\Omega)\}$ jest regularna równomiernie (ang. quasiuniform), jeśli jest regularna ze względu na kształt i istnieje stała $C$ taka, że każdy $\tau$ w $T_{h}$ zawiera okrąg wpisany w $\tau$ o promieniu $\rho _{\tau}$ taki, że

$\rho _{\tau}\geq C\, h.$

Własność regularności ze względu na kształt i własność równomiernej regularności są niezbędne w teorii zbieżności metod elementu skończonego.

Będziemy zakładali, że dla rodziny triangulacji $\{ T_{h}(\Omega)\}$ - czyli podziałów na wielościany (ang. polyhedrons) ustalonego typu - istnieje tzw. wielościan wzorcowy $\hat{\tau}$ i ustalona przestrzeń wielomianów $\hat{P}$ określonych na $\hat{\tau}$ wraz z ustalonymi różnymi punktami $\hat{x}_{j}\in\overline{\hat{\tau}}$ takimi, że każdy wielomian $p\in\hat{P}$ jest wyznaczony jednoznacznie przez swoje wartości w tych punktach.

Definicja 13.3

Rozpatrzmy rodzinę przestrzeni funkcji ciągłych $\{ V^{h}\} _{h}$ takich, że dla triangulacji $T_{h}$ i dowolnego $\tau _{j}\in T_{h}$ istnieje izomorficzne przekształcenie afiniczne $F_{j}:\hat{\tau}\rightarrow\tau _{j}$ takie, że dla dowolnej funkcji $u\in V^{h}$ istnieje $w\in\hat{P}$ takie, że

$u(x)=w(F_{j}^{{-1}}x),\qquad x\in\tau _{j}.$

Wtedy $V^{h}$ nazywamy przestrzenią ciągłego elementu skończonego (ang. continuous finite element space), a rodzinę tych przestrzeni - afiniczną rodziną ciągłych przestrzeni elementu skończonego (ang. affine family of FE spaces). Punkty $x_{k}=F_{j}(\hat{x}_{k})\in\tau$ nazywamy punktami nodalnymi na elemencie $\tau _{j}$ , a ich zbiór oznaczamy $N_{h}(\tau _{j})$ , a przestrzeń wielomianów $P(\tau _{j})=\{ u_{{|\tau _{j}}}:u\in V^{h}\}=\{ u:\exists\, w\in\hat{P},\; u(x)=w(F_{j}^{{-1}}x),\; x\in\tau _{j}\}$ jest lokalną przestrzenią wielomianów na $\tau _{j}$ .

Zbiór punktów nodalnych (ang. nodal points)
Dodatkowo będziemy zakładali, że dla danej przestrzeni ciągłej elementu skończonego $V^{h}$ zbudowanej na triangulacji $T_{h}$ obszaru $\Omega$ istnieje $N_{h}\subset\bigcup _{{\tau\in T_{h}}}N_{h}(\tau)$ - podzbiór zbioru wszystkich punktów nodalnych wielościanów z triangulacji $T_{h}$ taki, że wartości funkcji z $V^{h}$ , zwane wartościami nodalnymi tej funkcji w tym zbiorze, jednoznacznie tę funkcję definiują.

Wprowadzamy definicję bazy nodalnej związanej z punktami nodalnymi:

Definicja 13.4

Bazą nodalną (ang. nodal basis) związaną ze zbiorem punktów nodalnych $N_{h}$ (ang. nodal points) nazywamy układ funkcji $\{\phi _{x}\} _{{x\in N_{h}}}$ w $V^{h}$ taki, że

$\phi _{x}(y)=\left\{\begin{array}[]{lcl}1&&y=x\\ 0&&y\not=x\end{array}\right.\qquad\forall y\in N_{h}.$

Ten układ jest bazą w $V^{h}$ i widzimy, że:

$u=\sum _{{x\in N_{h}}}u(x)\phi _{x}\qquad\forall u\in V^{h}.$

(13.7)

Wprowadzamy też pojęcie operatora interpolacji nodalnej:

Definicja 13.5

Rozpatrzmy $V^{h}$ ciągłą przestrzeń elementu skończonego, zbudowaną na triangulacji $T_{h}$ , oraz niech $N_{h}$ będzie zbiorem punktów nodalnych dla tej przestrzeni. Wtedy operatorem interpolacji nodalnej (ang. nodal interpolant) dla $V^{h}$ nazwiemy operator: $\pi _{h}:C(\overline{\Omega})\rightarrow V^{h}$ zdefiniowany jako

$\pi _{h}u=\sum _{{x\in N_{h}}}u(x)\phi _{x}.$

Nietrudno zauważyć, że:

Stwierdzenie 13.2

Operator interpolacji $\pi _{h}$ jest rzutem na $V^{h}$ , tzn.

$\pi _{h}C(\overline{\Omega})=V^{h},\qquad\pi _{h}v_{h}=v_{h}\quad\forall v_{h}\in V^{h}.$

13.6.2. Warunek ciągłości, a przestrzeń Sobolewa $H^{1}_{0}$

Następne twierdzenie podaje nam warunek dostateczny na to, by przestrzeń zawierająca funkcje, które na podzbiorach są odpowiednio gładkie była zawarta w $H^{1}_{0}(\Omega)$ .

Twierdzenie 13.3

Niech $T_{h}$ będzie triangulacją obszaru $\Omega$ . Niech $u\in C(\overline{\Omega})$ będzie taka, że $u_{{|\partial\Omega}}=0$ i $u_{{|\tau}}\in C^{1}(\tau)$ dla dowolnego $\tau\in T_{h}$ . Wtedy $u\in H^{1}_{0}(\Omega)$ .

Dowód można znaleźć np. w [7]. Wynika z niego, że:

Wniosek 13.2

Jeśli wszystkie funkcje z ciągłej przestrzeni elementu skończonego $V^{h}$ na obszarze $\Omega$ (por. definicja 13.3) przyjmują zerowe wartości na brzegu $\Omega$ , to $V^{h}$ jest podprzestrzenią $H^{1}_{0}(\Omega)$ .

13.6.3. Aproksymacyjne własności ciągłych przestrzeni elementu skończonego w $H^{1}_{0}$

Zachodzi następujące twierdzenie o aproksymacji dla operatora interpolacji nodalnej:

Twierdzenie 13.4

Rozpatrzmy $\{ V^{h}\} _{h}$ afiniczną rodzinę ciągłych przestrzeni elementu skończonego zbudowanych na dopuszczalnej rodzinie triangulacji regularnych co do kształtu taką, że $P_{1}\subset\hat{P}$ , oraz $u\in H^{1}_{0}(\Omega)\cap H^{2}(\Omega)$ . Wtedy dla operatora interpolacji nodalnej w przestrzeni $V^{h}$ zachodzi:

$\| u-\pi _{h}u\| _{{L^{2}(\Omega)}}+h|u-\pi _{h}u|_{{H^{1}(\Omega)}}\leq Ch^{2}|u|_{{H^{2}(\Omega)}}.$

Rozpatrzmy funkcję ciągła $u$ na elemencie $\tau\in T_{h}$ i $\pi _{{h,\tau _{j}}}u$ taką funkcję w $P(\tau _{j})$ , że

$\pi _{{h,\tau _{j}}}u(x)=u(x)\qquad x\in N_{h}(\tau).$

Wtedy

$\pi _{{h,\tau _{j}}}u(x)=\pi _{h}u(x)\qquad\forall x\in\overline{\tau},$

co wynika wprost z definicji bazy nodalnej $V^{h}$ i operatora interpolacji nodalnej $\pi _{h}$ (por. definicje 13.4 i 13.5). Zauważmy, że twierdzenia Sobolewa o włożeniu (ang. Sobolev embedding theorem), zob. twierdzenie 16.3, wynika, że dla $d\leq 3$ zachodzi $H^{2}(\Omega)\subset C(\Omega)$ . Z twierdzenia 16.5 (biorąc $m=0,1$ i $l+1=2$ ) otrzymujemy:

$|u-\pi _{h}u|_{{H^{m}(\Omega)}}^{2}=\sum _{{\tau\in T_{h}}}|u-\pi _{h}u|_{{H^{m}(\tau)}}^{2}\leq C\sum _{{\tau\in T_{h}}}h^{{4-2m}}|u|_{{H^{2}(\tau)}}^{2}=Ch^{{4-2m}}|u|_{{H^{2}(\Omega)}}^{2},\quad m=0,1,$

co kończy dowód.

∎

13.7. Zadania dyskretne i zbieżność

Dla rodziny triangulacji i przestrzeni ciągłych funkcji elementu skończonego $\{ V^{h}\} _{h}$ , zawierających funkcje zerujące się na brzegu, możemy wprowadzić zadanie dyskretne, a dokładniej rodzinę zadań dyskretnych (13.3), które mają jednoznaczne rozwiązania i są stabilne, tzn. wspólnie ograniczone (por. (13.4)).

Teraz możemy wykorzystać teorię ciągłego elementu skończonego, aby otrzymać zbieżność i oszacowanie błędu dla elementu liniowego, por. rozdział 12.1.2, ale również elementów wyższego rzędu:

Wniosek 13.3

Załóżmy, że spełnione są założenia twierdzenia 13.4 o rodzinie przestrzeni elementu skończonego $\{ V^{h}\}$ zawartych w $H^{1}_{0}(\Omega)$ . Rozpatrzmy $u^{*}\in H^{1}_{0}(\Omega)$ rozwiązanie (13.5) i $u_{h}^{*}$ rozwiązanie zadania dyskretnego (13.3) z formą dwuliniową z (13.5) i przestrzenią dyskretną $V_{n}=V^{h}$ . Wtedy

$|u^{*}-u_{h}^{*}|_{{H^{1}(\Omega)}}\rightarrow 0\qquad h\rightarrow 0,$

a jeśli dodatkowo $u^{*}\in H^{1}_{0}(\Omega)\cap H^{2}(\Omega)$ , to

$|u^{*}-u_{h}^{*}|_{{H^{1}(\Omega)}}\leq C\, h\,|u^{*}|_{{H^{2}(\Omega)}}.$

(13.8)

Dla $u^{*}\in H^{1}_{0}(\Omega)\cap H^{2}(\Omega)$ oszacowanie błędu (13.8) wynika z lematu Céa (twierdzenie 13.2) i z twierdzenia 13.4.

Zauważmy, że z definicji przestrzeni $H^{1}_{0}(\Omega)$ wynika, że jeśli $u^{*}\in H^{1}_{0}(\Omega)$ to dla dowolnego $\hat{\epsilon}>0$ istnieje $u_{\epsilon}\in C_{0}^{\infty}(\Omega)$ takie, że

$|u^{*}-u_{\epsilon}|_{{H^{1}(\Omega)}}\leq\hat{\epsilon}.$

Następnie z lematu Céa (twierdzenie 13.2), nierówności trójkąta i z oszacowania z twierdzenia 13.4 otrzymujemy:

	$\displaystyle\|u^{}-u_{h}^{}\|_{{H^{1}(\Omega)}}$	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle C\|u^{}-\pi _{h}u_{\epsilon}\|_{{H^{1}(\Omega)}}\leq C\left[\|u^{}-u_{\epsilon}\|_{{H^{1}(\Omega)}}+\|\pi _{h}u_{\epsilon}-u_{\epsilon}\|_{{H^{1}(\Omega)}}\right]$
		$\displaystyle\leq$	$\displaystyle C\hat{\epsilon}+C\, C_{1}\, h*\|u_{\epsilon}\|_{{H^{2}(\Omega)}},$

dla $C$ stałej z lematu Céa i $C_{1}$ stałej z twierdzenia 13.4. Stąd wynika zbieżność $u_{h}^{*}$ do $u^{*}$ w $H^{1}_{0}(\Omega)$ dla $h\rightarrow 0$ .

∎

Dla dowolnego obszaru wielokątnego (wielościennego) niech $T_{h}$ będzie rodziną triangulacji trójkątnych, jak w twierdzeniu 13.4, i niech dla $p=1,2,3,\ldots$

$V^{h}_{p}=\{ u\in C(\overline{\Omega}):u_{{|\tau}}\in P_{p}(\tau),\;\forall\tau\in T_{h};\quad u=0\quad\mathrm{na}\quad\partial\Omega\}.$

Przestrzeń $V^{h}_{p}$ nazywamy ciągłą przestrzenią elementu liniowego dla $p=1$ , kwadratowego dla $p=2$ i kubicznego dla $p=3$ . Wtedy:

Wniosek 13.4

$V^{h}_{p}\subset H^{1}_{0}(\Omega)$ i jeśli $u^{*}$ jest rozwiązaniem (13.5), a $u^{*}_{{h,p}}$ jest rozwiązaniem zadania dyskretnego (13.3) z przestrzenią $V^{n}=V^{h}_{p}$ $p=1,2,3,\ldots$ dla formy dwuliniowej z (13.5), to

$|u^{*}-u^{*}_{{h,p}}|_{{H^{1}(\Omega)}}\leq C\, h\,|u^{*}|_{{H^{2}(\Omega)}}$

o ile $u^{*}\in H^{2}(\Omega)$ .

13.8. Zadania

Ćwiczenie 13.1

Udowodnij (13.6).

Ćwiczenie 13.2

Niech $f,f_{k}\in L^{2}(\Omega)$ dla $\Omega\subset\mathbb{R}^{d}$ . Pokaż, że $\Psi(u)=\int _{\Omega}fu\, dx+\sum _{{k=1}}^{d}f_{k}\frac{\partial u}{\partial x_{k}}\, dx$ zdefiniowane dla $u\in H^{1}_{0}(\Omega)$ jest ograniczonym funkcjonałem liniowym na $H^{1}_{0}(\Omega)$ .

Ćwiczenie 13.3

Niech $\Psi\in(H^{1}_{0}(\Omega))^{*}$ będzie funkcjonałem liniowy na $H^{1}_{0}(\Omega)$ . Tu $\Omega\subset\mathbb{R}^{d}$ . Pokaż, że istnieją $f,f_{1},f_{2}\in L^{2}(\Omega)$ dla $\Omega\subset\mathbb{R}^{d}$ , takie, że $\Psi(u)=\int _{\Omega}fu\, dx+\sum _{{k=1}}^{d}f_{k}\frac{\partial u}{\partial x_{k}}\, dx$ dla dowolnego $u\in H^{1}_{0}(\Omega)$ .

Ćwiczenie 13.4 (trick Nitsche'go)

Rozpatrzmy zadanie dualne do (13.5): znaleźć $\psi\in H^{1}_{0}(\Omega)$

$a(v,\psi)=\int _{\Omega}fv\, dx\qquad\forall v\in H^{1}_{0}(\Omega).$

Pokaż, że ma ono jednoznaczne rozwiązanie takie, że $|\psi|_{{H^{1}(\Omega)}}\leq C\| f\| _{{L^{2}(\Omega)}}.$

Dodatkowo zakładamy regularność rozwiązania dualnego (13.5): tzn., że dla dowolnego $f\in L^{2}(\Omega)$ zachodzi: $\psi\in H^{2}(\Omega)$ z $|\psi|_{{H^{2}(\Omega)}}\leq C\| f\| _{{L^{2}(\Omega)}}$ oraz, że $V_{h}\subset H^{1}_{0}(\Omega)$ taki, że jeśli $\psi\in H^{2}(\Omega)$ to $\inf _{{v\in V^{h}}}\|\psi-v\| _{{H^{1}(\Omega)}}\leq C_{1}h|\psi\| _{{H^{1}(\Omega)}}$ .

Pokaż, że biorąc $f=u^{*}-u^{*}_{h}$ dla $u^{*}_{h}$ rozwiązania (13.3) otrzymamy:

$\| u^{*}-u^{*}_{h}\| _{{L^{2}(\Omega)}}\leq Ch^{2}|u^{*}|_{{H^{2}(\Omega)}}.$

Ćwiczenie 13.5

Dla liniowej przestrzeni elementu skończonego $V^{h}$ na kwadracie jednostkowym z rozdziału 12.1.2 pokaż, że

$|u^{*}-u^{*}_{h}|_{{H^{1}(\Omega)}}\leq Ch|u^{*}|_{{H^{2}(\Omega)}},$

gdzie $u^{*}$ rozwiązanie (12.1).

Wskazówka:

Wystarczy sprawdzić założenia wniosku 13.4.

Ćwiczenie 13.6

Uogólnij twierdzenie 13.4 tzn. pokaż, zakładając, że $P_{p}\subset\hat{P}$ , a $u\in H^{{p+1}}(\Omega)\cap H^{1}_{0}(\Omega)$ , że otrzymujemy

$|u-\pi _{h}u|_{{H^{s}(\Omega)}}\leq Ch^{{p+1-s}}|u|_{{H^{{p+1}}(\Omega)}}\qquad s=0,1,\ldots,p.$

Ćwiczenie 13.7

Uogólnij wniosek 13.4, tzn. pokaż, że przy założeniach wniosku, jeśli dodatkowo $u^{*}\in H^{{p+1}}(\Omega)$ , to

$|u^{*}-u^{*}_{{h,p}}|_{{H^{1}(\Omega)}}\leq C\, h^{p}\,|u^{*}|_{{H^{{p+1}}(\Omega)}}.$