Zagadnienia

2.1 Równania różniczkowe zwyczajne
2.2 Równania różniczkowe cząstkowe
2.3 Zadania

2. Równania różniczkowe - wprowadzenie

Przy pomocy równań różniczkowych modelowanych jest wiele różnych zagadnień. Równaniami różniczkowymi nazywamy takie równania, w których szukaną niewiadomą jest funkcja lub wektor funkcyjny, których pochodne i same funkcję muszą spełniać odpowiednie równania.

2.1. Równania różniczkowe zwyczajne

Najprostszą klasą równań są równania różniczkowe zwyczajne, (ang. ordinary differential equation), czyli równania postaci:

$F\left(t,u,\frac{du}{dt},\ldots,\frac{d^{k}u}{dt^{k}}\right)=0$

(2.1)

na funkcję $u\in C^{k}((a,b),\mathbb{R}^{n})$ dla $F:D\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ i $D$ zbioru otwartego w $\mathbb{R}^{{1+(k+1)\, n}}$ . Takie równanie zwyczajne nazywamy równaniem rzędu $k$ .

Przy założeniu, że $\frac{\partial F}{\partial y_{k}}(\hat{t},\hat{y})\not=0$ dla $(\hat{t},\hat{y})=(\hat{t},\hat{y}_{0},\ldots,\hat{y}_{k})$ , otrzymujemy równanie dające się rozwikłać względem $\frac{d^{k}u}{dt^{k}}$ , tzn. istnieje funkcja $f$ określona na otoczeniu $D_{1}$ punktu $(\hat{t},\hat{y}_{0},\ldots,\hat{y}_{{k-1}})$ taka, że $F(t,y_{0},\ldots,y_{{k-1}},f(t,y_{0},\ldots,y_{{k-1}}))=0$ na $D_{1}$ . Zatem po rozwikłaniu otrzymujemy nowe równanie:

$\frac{d^{k}u}{dt^{k}}=f\left(t,u,\frac{du}{dt},\ldots,\frac{d^{{k-1}}}{dt^{{k-1}}}u\right),$

którego rozwiązaniem jest funkcja $u\in C^{k}((a,b),\mathbb{R}^{n})$ i które łatwiej numerycznie rozwiązać. Od tej pory będziemy zakładać, że równanie różniczkowe jest w tej postaci. Więcej informacji na temat metod numerycznych rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych podanych w sposób niejawny, tzn. w postaci (2.1) (zwanymi też równaniami różniczkowo-algebraicznymi) można znaleźć w [1] lub [3].

Zauważmy, że przez proste podstawienie $x=y_{1}$ i $x^{{(j)}}=y_{{j+1}}$ dla $j=1,\ldots,k-1$ otrzymujemy nowy układ równań pierwszego rzędu:

$\begin{array}[]{l}\frac{dy_{1}}{dt}=y_{2}\\ \frac{dy_{2}}{dt}=y_{3}\\ \vdots\\ \frac{dy_{k}}{dt}=f_{1}(t,y_{1},\ldots,y_{k}),\end{array}$

(2.2)

który jest szczególnym równaniem pierwszego rzędu postaci:

$\frac{dx}{dt}=f(t,x),$

(2.3)

gdzie funkcja $f:(a,b)\times G\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ jest zadaną funkcją ciągłą. Tutaj $G$ jest zbiorem otwartym.

Zagadnieniem początkowym (zagadnieniem Cauchy'ego) nazywamy równanie z warunkiem początkowym:

$\left\{\begin{array}[]{lcl}\frac{dx}{dt}&=&f(t,x)\\ x(t_{0})&=&x_{0}\end{array}\right.$

(2.4)

gdzie $t_{0}\in(a,b),x_{0}\in G$ jest ustalone.

Rozwiązaniem równania (2.3) nazwiemy funkcję $\phi$ klasy $C^{1}$ określoną na podzbiorze otwartym $(c,d)\subset(a,b)$ taką, że

$\frac{d\phi}{dt}(t)=f(t,\phi(t))\qquad\forall t\in(c,d).$

Jeśli dodatkowo $t_{0}\in(c,d)$ i $\phi(t_{0})=x_{0}$ , czyli $\phi$ spełnia warunek początkowy to $\phi$ jest rozwiązaniem zagadnienia początkowego (2.4). W przyszłości często będziemy oznaczać rozwiązanie (2.3) jako $x(t)$ .

Podamy teraz kilka prostych przykładów zagadnień fizycznych, czy ogólnie przyrodniczych modelowanych równaniami różniczkowymi zwyczajnymi.

Przykład 2.1

Najprostszy model populacji danego gatunku zwierząt:

$\begin{array}[]{l}\frac{dN}{dt}=a\, N\qquad t>t_{0}\\ N(t_{0})=x_{0}>0\end{array}$

gdzie $N(t)$ - stan populacji w momencie czasu $t$ i $a$ jest stałą większą od zera, szybkością namnażania się osobników, zależną od gatunku. Tu możemy podać rozwiązania $N(t)=\exp(a\,(t-t_{0}))$ .

Oczywiście ten model jest nierealistyczny, ponieważ populacja - nawet izolowana - nie może rosnąc do nieskończoności. Podajmy więc bardziej skomplikowany model wzrostu logistycznego:

Przykład 2.2

Model logistyczny populacji.

$\begin{array}[]{l}\frac{dN}{dt}=a\, N\,(1-N/K)\qquad t>t_{0}\\ N(t_{0})=x_{0}>0\end{array}$

gdzie $a,K$ są stałymi większymi od zera. $K$ oznacza pojemność populacji, czy górną granicę populacji. Tu też możemy podać rozwiązania, ale pozostawimy to jako zadanie.

Przykład 2.3

Rozpad radioaktywnego węgla. Wiemy, że w czasie $T$ połowa atomów węgla rozpada się. Ilość atomów modelowana jest równaniem:

$\begin{array}[]{l}\frac{dx}{dt}=-a\, x\qquad t>t_{0}\\ x(t_{0})=x_{0}>0\end{array},$

gdzie $a$ jest szybkością rozpadu, stałą większą od zera. Rozwiązaniem tego równania jest $x(t)=x_{0}\,\exp(-a\,(t-t_{0}))$ .

$\$

Rys. 2.1. Ruch cząsteczki.

Przykład 2.4

Równanie Newtona.

Rozpatrzmy ruch cząsteczki w przestrzeni. Oznaczmy wektory:

$x(t)\in\mathbb{R}^{3}$ położenie cząsteczki w przestrzeni w czasie $t$ ,
$v=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$ prędkość cząsteczki,
$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}$ pochodna prędkości, czyli druga pochodna położenia, tj. przyspieszenie.

Jeśli ruch cząsteczki sterowany jest jakąś zewnętrzną siłą

$F:D\subset\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$

to - zgodnie z prawem dynamiki Newtona - zachodzi następujący związek:

$m\, a=F(x(t)),$

gdzie $m$ jest masą cząsteczki. W ten sposób otrzymaliśmy równanie różniczkowe zwane równaniem Newtona:

$\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{F(x)}{m}$

Jeśli dodatkowo znamy położenie i prędkości cząsteczki, tzn. $x(t_{0})$ i $v(t_{0})=\frac{dx}{dt}(t_{0})$ w danym momencie czasu, to możemy wyznaczyć jej położenie po jakimś czasie.

W najprostszym przypadku załóżmy, że działa siła grawitacji skierowana w dół, czyli wzdłuż osi $OX_{3}$ (jest to duże uproszczenie, ale dość dobrze modeluje ruch): tzn. siła stała $F(x)=(0,0,-m\, g)^{T}$ . Otrzymujemy wówczas równanie

$\begin{array}[]{l}\frac{d^{2}x_{1}}{dt^{2}}=0\\ \frac{d^{2}x_{2}}{dt^{2}}=0\\ \frac{d^{2}x_{3}}{dt^{2}}=-m\, g.\\ \end{array}$

Znając położenie i prędkość w chwili $t=0$ łatwo je rozwiązać: $x_{1}(t)=x_{1}(0)+v_{1}(0)\, t$ , $x_{2}(t)=x_{2}(0)+v_{2}(0)\, t$ i $x_{3}(t)=x_{3}(0)+v_{3}(0)\, t-0.5\, m\, g\, t^{2}$ .

Rys. 2.2. Wahadło.

Przykład 2.5

Równanie wahadła.

Wyprowadzamy równanie zgodnie z Rysunkiem 2.2. Ruch powoduje siła $F(\theta)=-\sin(\theta)\, m\, g$ , gdzie $m$ jest masą, $g$ to przyspieszenie ziemskie, a $\theta$ jest kątem wychylenia się wahadła. Długość łuku:

$s=l\,\theta$

gdzie $l$ to długość wahadła, stąd

$m\, a=m\,\frac{d^{2}s}{dt^{2}}=m\,\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}\, l=-\sin(\theta)\, m\, g$

zatem otrzymujemy równanie:

$\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}=-\sin(\theta)\, g/l.$

Sprowadzając je do równania pierwszego rzędu otrzymujemy:

$\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}\theta\\ \nu\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{d\theta}{dt}\\ \frac{d\nu}{dt}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\nu\\ -\sin(\theta)\, g/l\end{pmatrix}=f\left(\begin{pmatrix}\theta\\ \nu\end{pmatrix}\right)$

Możemy naszkicować pole wektorowe tego równania. Tzn. ogólnie jakakolwiek trajektoria rozwiązania $\{(\theta(t),\nu(t))\}$ jest styczna do pola wektorowego zadanego przez prawą stronę równania $f((\theta,\nu)^{T})$ , czyli w naszym przypadku pole wektorowe w punkcie $(\theta,\nu)$ przyjmuje wartość $(\nu,-\sin(\theta)\, g/l)^{T}$ , por. Rysunek 2.3.

$\$

Rys. 2.3. Pole wektorowe równania wahadła.

2.2. Równania różniczkowe cząstkowe

Ogólnie mówiąc, równania różniczkowe cząstkowe to równania, których rozwiązania są funkcjami wielu zmiennych, i w których pojawiają się pochodne cząstkowe. Przy niektórych typach równań wyróżnia się jedną ze zmiennych i oznacza jako czas $t$ ; o takich równaniach mówimy często jako o równaniach ewolucyjnych.

W tym rozdziale wymienimy podstawowe typy równań różniczkowych cząstkowych, które pojawią się w treści tego skryptu.

Po więcej informacji na temat podstawowych idei i pojęć dotyczących dziedziny matematyki zwanej równaniami różniczkowymi cząstkowymi odsyłamy do obszernego podręcznika Lawrence'a Evansa [11].

2.2.1. Równania eliptyczne

W przypadku równań eliptycznych nie mamy wyróżnionej zmiennej, ponieważ opisują one często stany stacjonarne zjawisk fizycznych.

Podstawowym przykładem równania eliptycznego jest

równanie Laplace'a:

$-\triangle u(x)=f(x)\qquad x\in\Omega\subset\mathbb{R}^{n},$

gdzie $\triangle=\sum _{{k=1}}^{n}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{k}^{2}}$ i $\Omega$ jest obszarem.

Jeśli dołożymy warunek brzegowy, to otrzymamy klasyczne równanie Poissona. Szukamy tu $u\in C^{2}(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$ takiego, że

$\left\{\begin{array}[]{r}-\triangle u(x)=f(x)\qquad x\in\Omega\\ u(s)=g(s)\qquad s\in\partial\Omega\end{array}\right.$

(2.5)

Zagadnienie z laplasjanem może mieć też inne warunki brzegowe.

To jest podstawowy przykład zagadnienia eliptycznego, zwanego też zagadnieniem stacjonarnym, czy zagadnieniem brzegowym. W szczególności równanie Laplace'a modeluje rozkład potencjału elektrycznego w $\mathbb{R}^{3}$ .

Zachodzi prawo fizyczne Gaussa:

$\mathrm{div}E=\rho/\epsilon _{0},$

gdzie $\mathrm{div}\; u=\sum _{{k=1}}^{3}\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}$ - to operator dywergencji (rozbieżności) pola, $E$ - to natężenie pola elektrycznego, $\rho _{0}$ - to gęstość ładunku elektrycznego, $\epsilon _{0}$ - to przenikalność elektryczna.

Minus gradient potencjału $V$ daje natężenie pola elektrycznego, tzn.

$E=-\nabla V$

z tego wynika, że otrzymujemy

$\mathrm{div}E=\mathrm{div}(-\nabla V)=-\triangle V.$

Jeśli ładunek równy zero, to otrzymujemy równanie Laplace'a:

$\triangle V=0.$

Podamy teraz ogólniejszą definicję równania (operatora) eliptycznego drugiego rzędu. Rozważmy równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu dla ogólnego operatora liniowego drugiego rzędu $L$ , określonego dla $u\in C^{2}(G)$ dla $G\subset\mathbb{R}^{n}$ :

$Lu=-\sum _{{k,l=1}}^{n}a_{{kl}}(x)\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{k}\partial x_{l}}(x)+\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}(x)\frac{\partial u}{\partial x_{k}}(x)+c(x)u(x)=f(x)$

(2.6)

gdzie $a_{{kl}},b_{k},c,f$ są danymi funkcjami (zazwyczaj ciągłymi) określonymi na obszarze $G\subset\mathbb{R}^{n}$ .

Definicja 2.1

Równanie (2.6) (operator $L$ ) jest eliptyczne w punkcie $x$ , gdy macierz $A(x)=(a_{{kl}}(x))_{{kl=1,\ldots,n}}$ jest dodatnio określona: tzn.:

$\xi^{t}A(x)\xi>0\qquad\forall\xi\in\mathbb{R}^{n}$

Operator $L$ jest eliptyczny w obszarze $\Omega$ jeśli $L$ jest eliptyczny w każdym punkcie obszaru $\Omega$ .

Warto wspomnieć, że w praktyce pojawiają się także równania eliptyczne czwartego rzędu, np. równanie bi-harmoniczne, które modeluje np. wygiętą cienką membranę (czy płytkę) poprzez zewnętrzną siłę:

$\triangle^{2}u=f\qquad\mathrm{w}\qquad\Omega\subset\mathbb{R}^{2},$

gdzie $\triangle^{2}=\triangle\triangle$ - to operator bi-harmoniczny, $u$ - to odchylenie membrany od położenia zero, $f$ - to siła wyginająca membranę pionowo do góry. Tutaj też mogą zachodzić warunki brzegowe różnego typu:

$u=g_{1}\quad\partial _{n}u=g_{2}\qquad\mathrm{na}\qquad\partial\Omega$

dla płytki przygiętej (tutaj $n$ - to wektor normalny zewnętrzny do brzegu $\Omega$ ), czy

$u=g\qquad\mathrm{na}\qquad\partial\Omega$

dla zadania podpartej płytki.

2.2.2. Równania hiperboliczne pierwszego rzędu

Ogólnie za równanie różniczkowe hiperboliczne pierwszego rzędu uważamy równanie postaci:

$F\left(x,u,\frac{\partial u}{\partial x_{1}},\ldots,\frac{\partial u}{\partial x_{N}}\right)=0\qquad x\in\Omega\subset\mathbb{R}^{N}$

dla funkcji $F:\Omega\times G\subset\Omega\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{N}\rightarrow\mathbb{R}$ i obszaru $\Omega\subset\mathbb{R}^{N}$ .

Dodatkowo dodaje się warunek brzegowy na brzegu lub części brzegu $\Omega$ np.:

$u=g,$

gdzie $g$ - to dana funkcja.

Będą nas w szczególności interesować równania liniowe:

$F(x,u,\nabla u)=\vec{a}(x)^{T}\nabla u+b(x)u+c(x)$

(2.7)

dla danych funkcji $a_{k},b,c:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ .

Ważnym przykładem jest równanie:

$\frac{\partial u}{\partial t}+a\frac{\partial u}{\partial x}=0\qquad t\in\mathbb{R}\quad x\in\mathbb{R}$

gdzie $a$ - to stała, dla którego znamy rozwiązanie:

$u(t,x)=F(at-x)$

dla dowolnej funkcji różniczkowalnej w sposób ciągły $F$ .

Dodając warunek początkowy

$u(0,x)=\phi(x)$

dla $\phi\in C^{1}(\mathbb{R})$ otrzymujemy jednoznaczne rozwiązanie

$u(t,x)=\phi(at-x).$

2.2.3. Równania hiperboliczne drugiego rzędu

Ogólnie równaniem liniowym hiperbolicznym drugiego rzędu nazwiemy równanie:

$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-Lu=f\qquad t>0\quad x\in\Omega$

(2.8)

dla operatora $L$ eliptycznego w $\Omega\subset\mathbb{R}^{N}$ . Tutaj $u_{{tt}}=\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}$ .

Klasycznym przykładem takiego równania jest równanie falowe:

$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-\triangle u=f\qquad x\in\Omega\subset\mathbb{R}^{N}\quad N=1,2,3.$

Dla prawej strony równej zero, tj. $f=0$ , nazywamy je jednorodnym równaniem falowym, a w przeciwnym przypadku nazywamy je niejednorodnym równaniem falowym.

Odpowiada ono drganiu struny ( $N=1)$ , membrany ( $N=2$ ) i elastycznej bryły ( $N=3$ ). Wartości $u(t,x)$ odpowiadają położeniu np. struny w momencie czasu $t$ , jako że zmienna $t$ odpowiada czasowi - jest to równanie ewolucyjne.

Aby zadanie posiadało jednoznaczne rozwiązanie należy:

Podać warunki brzegowe np. typu Dirichleta

$u(t,s)=g(t,s)\qquad s\in\partial\Omega$

dla danej funkcji $g:[0,T]\times\partial\Omega\rightarrow\mathbb{R}$ . Zakładamy, że na brzegu znamy położenie struny. Gdyby $g(t,s)=g(s)$ , to struna czy membrana byłaby zaczepiona.
Podać warunki początkowe:

$\displaystyle u(0,x)=\phi(t)$

$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}(0,x)=\psi(t)$

dla danych funkcji określonych na $\Omega$ . Warunki początkowe oznaczają, że znamy położenie i prędkości np. struny w momencie startowym $t=0$ .

2.2.4. Równania paraboliczne

Równaniem liniowym parabolicznym drugiego rzędu nazywamy równanie:

$\frac{\partial u}{\partial t}-Lu=f\qquad t>0\quad x\in\Omega,$

(2.9)

gdzie $L$ operator eliptyczny w $\Omega\subset\mathbb{R}^{N}$ .

Klasycznym równaniem parabolicznym jest równanie przewodnictwa ciepła:

$\frac{\partial u}{\partial t}-\triangle u=f\qquad t>0,\quad x\in\Omega\subset\mathbb{R}^{N}\quad N=1,2,3$

opisujące rozchodzenie się ciepła w pręcie ( $N=1$ ), cienkiej płytce ( $N=2$ ), czy bryle ( $N=3$ ). Wartości $u(t,x)$ odpowiadają temperaturze w punkcie $x$ w momencie czasu $t$ . Jest to równanie ewolucyjne. Aby zadanie było dobrze postawione należy dodać warunek początkowy $u(0,x)=\phi(x)$ w $\Omega$ oraz warunki brzegowe np. typu Dirichleta

$u(t,s)=g(s)\qquad s\in\partial\Omega$

dla danej funkcji $g:[0,T]\rightarrow\partial\Omega$ co oznacza, że znamy temperaturę na brzegu i temperaturę początkową:

$\displaystyle u(0,x)=\phi(x)$

dla danej funkcji $\phi$ określonej na $\Omega$ .

Możemy też na brzegu $\Omega$ postawić inne warunki brzegowe np. z pochodną, które odpowiadają temu, że znamy strumień energii wpływającej do płytki, czyli

$\partial _{n}u(t,s)=h(s)\qquad s\in\partial\Omega.$

W jednym wymiarze, tzn. dla $\Omega=(0,L)$ i dla równania ze współczynnikiem stałym $a>0$ i $f=0$ , warunkami brzegowymi $u(0)=u(L)=0$ i warunkiem początkowym $u_{0}=\sin(k\, t\,\pi/L)$ tzn.:

$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle a\,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}\qquad\mathrm{w}\qquad(0,T)\times(0,L)$
$\displaystyle u(0)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle u(L)=0,$
$\displaystyle u(x,0)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\sin(\pi\, x/L)\quad x\in(0,L)$

znamy rozwiązanie: $u(t,x)=\exp(-a\,(\pi/L)^{2}\, t)\sin(\pi\, x/L),$ czyli rozwiązanie gaśnie wraz z upływem czasu.

2.3. Zadania

Ćwiczenie 2.1

Rozpatrzmy zadanie początkowe autonomiczne (tzn. prawa strona równania nie zależy od $t$ ):

$\displaystyle\frac{dy}{dt}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle g(x,y)$
$\displaystyle\frac{dx}{dt}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle f(x,y)$
$\displaystyle x(t_{0})$	$\displaystyle=$	$\displaystyle x_{0}\qquad y(t_{0})=y_{0}$

dla $f,g\in C^{1}(G)$ , $G$ - to obszar, i $|f(x_{0},y_{0})|>0$ dla pewnego $(x_{0},y_{0})^{T}\in G$ . Pokaż, że istnieje otoczenie $U_{{x_{0}}}$ punktu $x_{0}$ takie, że na tym otoczeniu równanie

$dy/dx=f(x,y)/g(x,y)\quad y(x_{0})=y_{0}$

ma rozwiązania $\psi(x)$ takie, że krzywa całkowa tego równania, tzn. zbiór $\{(x,\psi(x):x\in U_{{x_{0}}}\}$ zawarta jest w trajektorii wyjściowego równania, tzn. w zbiorze $\{(x(t),y(t))\}$ dla $x,y$ rozwiązań wyjściowego równania.

Rozwiązanie:

Z tego, że $\frac{dx}{dt}(t_{0})=f(x_{0},y_{0})\not=0$ i z twierdzenia o funkcji odwrotnej wynika, że istnieje otoczenie $U_{{x_{0}}}$ , na którym określona jest funkcja $t(x)$ odwrotna do $x(t)$ , której pochodna równa się $dt/dx=1/(dx/dt)=1/f$ . Wtedy szukaną funkcją jest złożeniem $y(t)$ i $t(x)$ , czyli $\psi(x):=y(t(x))$ i zawieranie się krzywej całkowej w trajektorii jest oczywiste.

Ćwiczenie 2.2

Wyprowadź równania ruchu wahadła w postaci:

	$\displaystyle\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=f(x,y)$
	$\displaystyle\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=g(x,y).$

dla $(x,y)$ położenia wahadła (przyjmujemy, że dla $\theta=0$ zachodzi $x=y=0$ ).

Narysuj powyższe pole wektorowe wahadła w Octavie (funkcja quiver()).

Wskazówka:

Trzeba dokonać rozkładu na odpowiednie składowe jedynej siły, która powoduje ruch wahadła czyli $-mg\,\sin(\theta)$ stycznej do toru ruchu. Następnie skorzystać z tego jak wyraża się położenie punktu w terminach $\theta$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy, że $(x,y)^{T}=(\sin(\theta),\cos(\theta))^{T}$ i siła działająca poziomo jest równa $-m\, g\,\sin(\theta)\,\cos(\theta)=-m\, g\, x\, y$ a działająca pionowo: $-m\, g\,\sin(\theta)\,\sin(\theta)=-m\, g\, x^{2}$ .

Ćwiczenie 2.3 (Metoda Fouriera)

Rozważmy równanie paraboliczne jednowymiarowe:

$\frac{\partial u}{\partial t}(t,x)=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}(t,x)\quad\mathrm{w}\quad(0,T)\times(0,1)$

z warunkami brzegowymi $u(t,0)=u(t,1)=0$ i początkowym $u(0,x)=u_{0}(x)$ . Załóżmy, że szukamy rozwiązania postaci:

$u(t,x)=f(x)g(t).$

Wstaw $u$ takiej postaci do powyższego równania i pokaż, że dostajemy dwa niezależne równania różniczkowe zwyczajne na $f$ i $g$ . Rozwiąż te równania tzn. znajdź rozwiązania uogólnione i sprawdź dla jakich $u_{0}$ możemy wyznaczyć rozwiązanie wyjściowego problemu.

Ćwiczenie 2.4 (Metoda Fouriera)

Rozważmy równanie hiperboliczne jednowymiarowe:

$\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}(t,x)=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}(t,x)\quad\mathrm{w}\quad(0,T)\times(0,1)$

z warunkami brzegowymi $u(0,t)=u(1,t)=0$ i początkowymi $u(x,0)=u_{0}(x)$ i $\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=v_{0}(x)$ . Załóżmy, że szukamy rozwiązania postaci:

$u(t,x)=f(x)g(t).$

Wstaw $u$ takiej postaci do powyższego równania i pokaż, że dostajemy dwa niezależne równania różniczkowe zwyczajne na $f$ i $g$ . Rozwiąż te równania, tzn. znajdź rozwiązania uogólnione, czyli rodzinę rozwiązań zależną od stałej, i sprawdź dla jakich $u_{0},v_{0}$ możemy wyznaczyć rozwiązanie wyjściowego problemu.

Ćwiczenie 2.5 (Metoda charakterystyk)

Rozpatrzmy równanie różniczkowe pierwszego rzędu $F(x,u,\nabla u)=0$ dla funkcji $F:G\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{m}\rightarrow\mathbb{R}$ i $G\subset\mathbb{R}^{m}$ . Przyjmijmy, że szukamy krzywych $\vec{x}:(a,b)\rightarrow\mathbb{R}^{m}$ na których można wyznaczyć rozwiązanie. Przyjmijmy oznaczenia

	$\displaystyle w(s)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle u(x(s))$
	$\displaystyle z_{j}(s)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x_{j}}(x(s))\qquad j=1,\ldots,m.$

Różniczkując ostatnie równanie otrzymujemy:

$\frac{dz_{j}}{ds}=\sum _{{i=1}}^{m}\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{j}\partial x_{i}}(x(s))\frac{dx_{i}}{ds}$

(2.10)

a różniczkując po $x_{j}$ wyjściowe równanie widzimy, że

$\frac{\partial F}{\partial x_{j}}(x,u,\nabla u)+\frac{\partial F}{\partial w}(x,u,\nabla u)\frac{\partial u}{\partial x_{j}}+\sum _{{i=1}}^{m}\frac{\partial F}{\partial z_{i}}(x,u,\nabla u)\frac{\partial^{2}u}{\partial x_{j}\partial x_{i}}=0$

(2.11)

Treścią zadania jest wykazanie, że definiując krzywą $x(s)$ jako krzywą spełniającą równanie:

$\frac{dx_{i}}{ds}=\frac{\partial F}{\partial z_{i}}(\vec{x},w,\vec{z})\qquad i=1,\ldots,m,$

(2.12)

i korzystając z powyższych równań otrzymujemy, że $\vec{x},w,\vec{z}$ spełniają następujący układ równań zwyczajnych:

$\displaystyle\frac{dx_{j}}{ds}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{\partial F}{\partial z_{j}}(\vec{x},w,\vec{z})\qquad j=1,\ldots,m$
$\displaystyle\frac{dw}{ds}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\sum _{{i=1}}^{m}z_{i}\frac{\partial F}{\partial z_{i}}(\vec{x},w,\vec{z})$
$\displaystyle\frac{dz_{j}}{ds}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle-\frac{\partial F}{\partial x_{j}}(\vec{x},w,\vec{z})-z_{j}\frac{\partial F}{\partial w}(\vec{x},w,\vec{z})\qquad j=1,\ldots,m.$

Równania te nazywamy równaniami charakterystyk dla wyjściowego równania pierwszego rzędu, a krzywe $\vec{x}$ - charakterystykami tego równania.

Wskazówka:

Drugie równanie na pochodną, tzn. $w$ , uzyskujemy różniczkując po zmiennej $s$ równanie $w(s)=u(x(s))$ , a ostatnie równanie otrzymujemy eliminując człon z drugimi pochodnymi $u$ z (2.10) korzystając z (2.11).

Ćwiczenie 2.6

Wyprowadź równania charakterystyk dla równań liniowych pierwszego rzędu (2.7) jednorodnych tzn. z $c(x)=0$ . Oblicz rozwiązania dla równania liniowego w dwóch wymiarach dla $\vec{a}(x)=(1,a_{2})$ i $a_{2}$ stałej, $b=c=0$ i warunku brzegowego $u(0,x)=\sin(x)$ dla $x\in\mathbb{R}$ .

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

	$\displaystyle u(0,x)=\phi(t)$
	$\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}(0,x)=\psi(t)$

Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych

Zagadnienia

2. Równania różniczkowe - wprowadzenie

2.1. Równania różniczkowe zwyczajne

Przykład 2.1

Przykład 2.2

Przykład 2.3

Przykład 2.4

Przykład 2.5

2.2. Równania różniczkowe cząstkowe

2.2.1. Równania eliptyczne

Definicja 2.1

2.2.2. Równania hiperboliczne pierwszego rzędu

2.2.3. Równania hiperboliczne drugiego rzędu

2.2.4. Równania paraboliczne

2.3. Zadania

Ćwiczenie 2.1

Ćwiczenie 2.2

Ćwiczenie 2.3 (Metoda Fouriera)

Ćwiczenie 2.4 (Metoda Fouriera)

Ćwiczenie 2.5 (Metoda charakterystyk)

Ćwiczenie 2.6