Materiał w poniższym rozdziale jest materiałem dodatkowym, tzn. nie wchodzi w zakres materiału przedstawianego na wykładzie.
W tym rozdziale przedstawimy krótki zarys innej metody badania stabilności zadań przybliżonych
otrzymanych za pomocą metody różnic skończonych, tym razem, w dyskretnej normie .
Jest to metoda analogiczna do metody badania stabilności zadań różniczkowych
w równaniach fizyki matematycznej, por. [11].
Przedstawimy tę metodę teraz dla naszej modelowej dyskretyzacji (7.5) z jednorodnymi warunkami brzegowymi:
![]() |
(10.1) | ||||
![]() |
W przypadku niejednorodnych warunków brzegowych dla , zamiana zmiennych:
dla
rozwiązania zadania z zerowymi warunkami brzegowymi daje
- rozwiązanie (7.5).
Proszę zauważyć, że dla tego zadania dyskretnego zachodzi też stabilność w dyskretnej normie maksimum, por. rozdział 9.
Przyjmujemy oznaczenie .
Wprowadzamy do przestrzeni
wszystkich funkcji określonych na siatce
następujący iloczyn skalarny:
![]() |
będący dyskretnym odpowiednikiem iloczynu skalarnego typu .
Tutaj
.
Wprowadzamy dodatkowo oznaczenia:
![]() |
Potrzebujemy następujących odpowiedników różnicowych wzorów na całkowanie przez części nazywanych: różnicowymi wzorami na sumowanie przez części (ang. finite difference summing by parts formulas):
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
Tutaj i
.
Dowód tych wzorów pozostawiamy jako proste zadanie,
por. ćwiczenie 10.1.
Możemy je przedstawić z wykorzystaniem naszej notacji:
![]() |
(10.2) |
Zauważmy, że dla
zatem z powyższych wzorów dla
widzimy, że dla
:
![]() |
(10.3) |
Prawdziwy jest również dyskretny odpowiednik nierówności Friedrichsa:
Dla takiej, że
prawdziwa jest nierówność
![]() |
Dowód pozostawiamy jako zadanie, por. ćwiczenie 10.1.
Weźmy
dla
rozwiązania (10.1),
przemnóżmy przez
i zsumujmy po
. Wtedy,
korzystając z wzorów na sumowanie przez części (10.2), otrzymujemy
![]() |
Możemy skorzystać z różnicowej nierówności Friedrichsa, por. twierdzenie 10.1:
![]() |
a stąd otrzymujemy oszacowanie:
![]() |
W przypadku otrzymujemy oszacowanie bez użycia nierówności Friedrichsa:
![]() |
Uzyskaliśmy stabilność w dyskretnej normie , z której wynika też
istnienie jednoznacznego rozwiązania równego zero dla
. Stąd
wynika istnienie jednoznacznego rozwiązania.
Weźmy zdefiniowane jako
dla
.
Takie obcięcie jest zdefiniowane poprawnie dla dowolnej funkcji ciągłej. Zauważmy, że zbiór funkcji ciągłych na
jest gęsty w
. Dodatkowo
![]() |
dla dowolnej funkcji ciągłej na oraz jeśli rozwiązanie
(7.5) jest w
, to
![]() |
Korzystając z twierdzenia 8.1 otrzymujemy:
![]() |
(10.4) |
Ten przykład jest prosty, ale w ten sam sposób można badać bardziej skomplikowane schematy różnicowe dla zadań postawionych w obszarach w dwóch czy więcej wymiarach.
Przedstawimy teraz ogólną teorię stabilności w dyskretnych normach energetycznych. Dyskretne normy energetyczne są analogiczne do tzw. norm energetycznych, w których bada się stabilność rozwiązań wyjściowych zadań różniczkowych z wykorzystaniem teorii równań fizyki matematycznej.
Zakładamy, że rozpatrujemy rodzinę skończenie wymiarowych przestrzeni Hilberta z iloczynem skalarnym
oraz operator
. Interesuje nas
zadanie dyskretne:
![]() |
(10.5) |
Powiemy, że operator liniowy jest samosprzężony w
, jeśli
dla
zdefiniowanego jako
![]() |
Powiemy, że jest dodatnio określony (nieujemnie określony), jeśli
![]() |
Nierówność operatorową (
) definiujemy jako
(
).
Zauważmy, że jeśli
to
jest poprawnie zdefiniowanym iloczynem skalarnym, który nazywamy iloczynem skalarnym energetycznym dla operatora
. Oznaczmy
jako normę energetyczną dla
.
Zauważmy, że
też jest samosprzężony dodatnio określonym operatorem.
Stabilność w odpowiednich normach dyskretnych typu
, czy normach energetycznych pozwala nam badać następujące twierdzenie:
Niech będzie liniowym operatorem w przestrzeni Hilberta skończenie wymiarowej
.
Wtedy, dla
rozwiązania (10.5) zachodzi:
jeśli , to
![]() |
jeśli , to
![]() |
jeśli dla
, to
![]() |
gdzie dla
są stałymi dodatnimi.
Dowód pozostawiamy jako zadanie, por. twierdzenia 10.10 w [10].
Zastosujmy powyższe twierdzenia do badania stabilności w przestrzeni Hilberta funkcji określonych na
dla
z iloczynem skalarnym
dyskretyzacji
(10.1).
Bierzemy, jak powyżej,
dla
przy czym przyjmujemy, że
.
Pokażemy, że nasz powyższy dowód stabilności bazował na tym, że odpowiedni operator różnicowy jest dodatnio określony w tej przestrzeni.
Definiujemy jako
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
Wtedy, przyjmując że , otrzymujemy jak powyżej (por. wzory na sumowanie przez części (10.2)):
![]() |
a następnie, z różnicowej nierówności Friedrichsa, por. twierdzenie 10.1, dla widzimy, że
![]() |
czyli .
A z kolei
, czyli jest to operator dodatnio określony i samosprzężony i zachodzi
. Zatem, z pierwszego podpunktu twierdzenia 10.2 otrzymujemy:
![]() |
a z drugiego i trzeciego - odpowiednio:
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
Rozpatrzmy następujący problem różniczkowy, powstały z naszego modelowego problemu poprzez dodanie członu z pierwszą pochodną:
![]() |
dla stałych, przy czym
.
Dyskretyzujemy ten problem na siatce
dla
dla
w następujący sposób:
![]() |
(10.6) | ||||
![]() |
Tutaj
![]() |
jest ilorazem różnicowym centralnym. Zauważmy, że .
Można pokazać, że jeśli rozwiązanie
, to:
![]() |
co pozostawiamy jako zadanie.
Z tego możemy wywnioskować, że rząd aproksymacji wynosi dwa, zarówno w normie dyskretnej maksimum, jak i w .
Weźmy przestrzeń z tym samym iloczynem skalarnym i operator
z przykładu 10.1.
Wtedy, z wzorów na różnicowe sumowanie przez części (10.2), otrzymujemy:
![]() |
Stąd . Zatem, choć
nie jest symetryczny (o ile
),
to jest operatorem dodatnio określonym i zachodzi:
![]() |
czyli .
Z powyższego oszacowania możemy pokazać stabilność w normie
jak w przykładzie 10.1, a w konsekwencji zbieżność dyskretną z rzędem dwa, co pozostawiamy jako zadanie.
Udowodnij wzory na sumowanie przez części, tzn. (10.2) oraz różnicową nierówność Friedrichsa, tzn. twierdzenie 10.1.
Zbadaj rząd i stabilność schematu z przykładu 10.2 dyskretyzacji modelowego problemu jednowymiarowego w dla
i
. Wykaż zbieżności z rzędem dwa w normie
, o ile rozwiązanie wyjściowego problemu jest klasy
.
Zbadaj stabilność schematu (8.10) dyskretyzacji modelowego problemu dwuwymiarowego
w dyskretnej normie dla
.
Rozpatrzmy równanie różniczkowe na kwadracie : chcemy znaleźć
:
![]() |
z zerowym warunkiem brzegowym. Tu są stałymi, a
jest dodatkowo nieujemna.
Analogicznie do przykładu 10.2 i dyskretyzacji (8.10), skonstruuj schemat różnicowy wykorzystując odpowiednie pochodne centralne do aproksymacji
pochodnych .
Zbadaj rząd schematu i stabilność w w dyskretnej normie .
Postępuj analogicznie jak w przykładzie 10.2.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.