Zagadnienia

10.1 Wprowadzenie - stabilność dla modelowego zadania
10.2 Stabilności w normach energetycznych
10.3 Zadania

10. Metoda różnic skończonych - stabilność schematów dla zadań eliptycznych w normach energetycznych

Materiał w poniższym rozdziale jest materiałem dodatkowym, tzn. nie wchodzi w zakres materiału przedstawianego na wykładzie.

10.1. Wprowadzenie - stabilność dla modelowego zadania

W tym rozdziale przedstawimy krótki zarys innej metody badania stabilności zadań przybliżonych otrzymanych za pomocą metody różnic skończonych, tym razem, w dyskretnej normie $L^{2}_{h}$ . Jest to metoda analogiczna do metody badania stabilności zadań różniczkowych w równaniach fizyki matematycznej, por. [11].

Przedstawimy tę metodę teraz dla naszej modelowej dyskretyzacji (7.5) z jednorodnymi warunkami brzegowymi:

	$\displaystyle-\partial\overline{\partial}u_{h}(x)+c*u_{h}(x)=f(x)\qquad x\in\Omega _{h},$				(10.1)
	$\displaystyle u(x)=0\qquad x\in\partial\Omega _{h}.$

W przypadku niejednorodnych warunków brzegowych dla $c=0$ , zamiana zmiennych: $v(t)=u(t)+g(a)+\frac{g(b)-g(a)}{b-a}(t-a)$ dla $u$ rozwiązania zadania z zerowymi warunkami brzegowymi daje $v$ - rozwiązanie (7.5).

Proszę zauważyć, że dla tego zadania dyskretnego zachodzi też stabilność w dyskretnej normie maksimum, por. rozdział 9.

Przyjmujemy oznaczenie $\overline{\Omega}_{h}=\{ x_{k}=a+k*h:k=0,\ldots,N\}$ . Wprowadzamy do przestrzeni $L^{2}_{h}(\overline{\Omega}_{h})$ wszystkich funkcji określonych na siatce $\overline{\Omega}_{h}$ następujący iloczyn skalarny:

$[u,v]_{h}=h\sum _{{x\in\overline{\Omega}_{h}}}u(x)v(x)=h\sum _{{k=0}}^{N}u_{k}v_{k}$

będący dyskretnym odpowiednikiem iloczynu skalarnego typu $L^{2}(\Omega)$ . Tutaj $u_{k}=u(x_{k})$ . Wprowadzamy dodatkowo oznaczenia:

$[u,v)_{h}=h\sum _{{k=0}}^{{N-1}}u_{k}v_{k},\qquad(u,v]_{h}=h\sum _{{k=1}}^{N}u_{k}v_{k},\qquad(u,v)_{h}=h\sum _{{k=1}}^{{N-1}}u_{k}v_{k}.$

Potrzebujemy następujących odpowiedników różnicowych wzorów na całkowanie przez części nazywanych: różnicowymi wzorami na sumowanie przez części (ang. finite difference summing by parts formulas):

	$\displaystyle h*\sum _{{k=1}}^{{N-1}}\partial u_{k}v_{h}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle-h*\sum _{{k=1}}^{N}u_{k}\overline{\partial}v_{k}+u_{{N+1}}v_{{N+1}}-u_{1}v_{0}$
	$\displaystyle h*\sum _{{k=1}}^{{N-1}}\overline{\partial}u_{k}v_{k}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle-h*\sum _{{k=0}}^{{N-1}}u_{k}\partial v_{h}+u_{N}v_{{N+1}}-u_{0}v_{0}.$

Tutaj $\overline{\partial}u_{k}=\overline{\partial}u(x_{k})=h^{{-1}}(u_{k}-u_{{k-1}})$ i $\partial u_{k}=\partial u(x_{k})=h^{{-1}}(u_{{k+1}}-u_{k})$ . Dowód tych wzorów pozostawiamy jako proste zadanie, por. ćwiczenie 10.1. Możemy je przedstawić z wykorzystaniem naszej notacji:

$\begin{array}[]{rcl}(\partial u,v)_{h}&=&-(u,\overline{\partial}v]_{h}+u_{{N+1}}v_{{N+1}}-u_{1}v_{0},\\ (\overline{\partial}u,v)_{h}&=&-[\overline{\partial}u,v)_{h}+u_{N}v_{{N+1}}-u_{0}v_{0}.\end{array}$

(10.2)

Zauważmy, że $\partial\overline{\partial}u_{k}=\overline{\partial}\partial u_{k}$ dla $k=1,\ldots,N-1$ zatem z powyższych wzorów dla $u$ widzimy, że dla $u_{0}=u_{N}=0$ :

$(-\partial\overline{\partial}u,u)_{h}=(-\overline{\partial}\partial u,u)_{h}=[\partial u,\partial u)_{h}=(\overline{\partial}u,\overline{\partial}u]_{h}.$

(10.3)

Prawdziwy jest również dyskretny odpowiednik nierówności Friedrichsa:

Twierdzenie 10.1 (różnicowa nierówność Friedrichsa)

Dla $u\in L^{2}_{h}(\overline{\Omega}_{h})$ takiej, że $u_{0}=u_{N}=0$ prawdziwa jest nierówność

$\| u\| _{{0,h}}^{2}\leq(b-a)^{2}[\partial u,\partial u)_{h}=(b-a)^{2}(\overline{\partial}u,\overline{\partial}u]_{h}.$

Dowód pozostawiamy jako zadanie, por. ćwiczenie 10.1.

Weźmy $-\partial\overline{\partial}u_{k}$ dla $u_{h}$ rozwiązania (10.1), przemnóżmy przez $h*u_{k}$ i zsumujmy po $k=1,\ldots,N-1$ . Wtedy, korzystając z wzorów na sumowanie przez części (10.2), otrzymujemy

$\displaystyle(-\partial\overline{\partial}u_{h},u_{h})_{h}+c(u_{h},u_{h})_{h}=(\overline{\partial}u_{h},\overline{\partial}u_{h}]_{h}+c(u_{h},u_{h})_{h}=(f_{h},u_{h})_{h}.$

Możemy skorzystać z różnicowej nierówności Friedrichsa, por. twierdzenie 10.1:

$\displaystyle\| u_{h}\| _{{0,h}}^{2}\leq(b-a)^{2}(\overline{\partial}u_{h},\overline{\partial}u_{h}]_{h}\leq(b-a)^{2}(f_{h},u_{h})_{h}\leq(b-a)^{2}\| f_{h}\| _{{0,h,\Omega _{h}}}\| u_{h}\| _{{0,h}},$

a stąd otrzymujemy oszacowanie:

$\| u_{h}\| _{{0,h}}\leq(b-a)\| f_{h}\| _{{0,h,\Omega _{h}}}.$

W przypadku $c>0$ otrzymujemy oszacowanie bez użycia nierówności Friedrichsa:

$\| u_{h}\| _{{0,h}}\leq\sqrt{c^{{-1}}}\| f_{h}\| _{{0,h,\Omega _{h}}}.$

Uzyskaliśmy stabilność w dyskretnej normie $L^{2}_{h}$ , z której wynika też istnienie jednoznacznego rozwiązania równego zero dla $f_{h}=0$ . Stąd wynika istnienie jednoznacznego rozwiązania.

Weźmy $r_{h}u\in L^{2}_{h}(\overline{\Omega}_{h})$ zdefiniowane jako $r_{h}u(x)=u(x)$ dla $x\in\overline{\Omega}_{h}$ . Takie obcięcie jest zdefiniowane poprawnie dla dowolnej funkcji ciągłej. Zauważmy, że zbiór funkcji ciągłych na $\overline{\Omega}$ jest gęsty w $L^{2}(a,b)$ . Dodatkowo

$\| r_{h}u\| _{{0,h}}\rightarrow\| u\| _{{L^{2}(a,b)}}\qquad h\rightarrow 0$

dla dowolnej funkcji ciągłej na $[a,b]$ oraz jeśli rozwiązanie (7.5) jest w $C^{4}([a,b])$ , to

$\| L_{h}r_{h}u-Lu\| _{{0,h}}=O(h^{2}).$

Korzystając z twierdzenia 8.1 otrzymujemy:

$\| r_{h}u-u_{h}\| _{{0,h}}=O(h^{2}).$

(10.4)

Ten przykład jest prosty, ale w ten sam sposób można badać bardziej skomplikowane schematy różnicowe dla zadań postawionych w obszarach w dwóch czy więcej wymiarach.

10.2. Stabilności w normach energetycznych

Przedstawimy teraz ogólną teorię stabilności w dyskretnych normach energetycznych. Dyskretne normy energetyczne są analogiczne do tzw. norm energetycznych, w których bada się stabilność rozwiązań wyjściowych zadań różniczkowych z wykorzystaniem teorii równań fizyki matematycznej.

Zakładamy, że rozpatrujemy rodzinę skończenie wymiarowych przestrzeni Hilberta $H_{h}$ z iloczynem skalarnym $(\cdot,\cdot)_{h}$ oraz operator $A_{h}:H_{h}\rightarrow H_{h}$ . Interesuje nas zadanie dyskretne:

$A_{h}u_{h}=f_{h}.$

(10.5)

Powiemy, że operator liniowy $A:H_{h}\rightarrow H_{h}$ jest samosprzężony w $H_{h}$ , jeśli $A=A^{*}$ dla $A^{*}:H_{h}\rightarrow H_{h}$ zdefiniowanego jako

$(A^{*}u,v)_{h}=(u,Av)_{h}\qquad\forall u,v\in H_{h}.$

Powiemy, że $A$ jest dodatnio określony (nieujemnie określony), jeśli

$(Au,u)_{h}>0\quad((Au,v)_{h}\geq 0)\qquad\forall u\in H_{h},\quad u\not=0.$

Nierówność operatorową $A>B$ ( $A\geq B$ ) definiujemy jako $A-B>0$ ( $A-B\geq 0$ ). Zauważmy, że jeśli $A=A^{*}>0$ to $(u,v)_{A}=(Au,v)_{h}$ jest poprawnie zdefiniowanym iloczynem skalarnym, który nazywamy iloczynem skalarnym energetycznym dla operatora $A$ . Oznaczmy $\| u\| _{A}=(u,u)_{A}^{{1/2}}$ jako normę energetyczną dla $A$ . Zauważmy, że $A^{{-1}}$ też jest samosprzężony dodatnio określonym operatorem. Stabilność w odpowiednich normach dyskretnych typu $L^{2}$ , czy normach energetycznych pozwala nam badać następujące twierdzenie:

Twierdzenie 10.2

Niech $A:H_{h}\rightarrow H_{h}$ będzie liniowym operatorem w przestrzeni Hilberta skończenie wymiarowej $H_{h}$ . Wtedy, dla $u_{h}$ rozwiązania (10.5) zachodzi:

jeśli $A\geq\alpha _{1}I$ , to

$\| u\| _{h}\leq\alpha _{1}^{{-1}}\| f\| _{h},$
jeśli $A=A^{*}\geq\alpha _{2}I$ , to

$\| u\| _{A}\leq\alpha _{2}^{{-1/2}}\| f\| _{h},$
jeśli $A\geq\alpha _{3}B$ dla $B=B^{*}>0$ , to

$\| u\| _{B}\leq\alpha _{3}^{{-1}}\| f\| _{{B^{{-1}}}},$

gdzie $\alpha _{k}$ dla $k=1,2,3$ są stałymi dodatnimi.

Dowód pozostawiamy jako zadanie, por. twierdzenia 10.10 w [10].

Przykład 10.1

Zastosujmy powyższe twierdzenia do badania stabilności w przestrzeni Hilberta $L^{2}_{h}(\Omega _{h})$ funkcji określonych na $\Omega _{h}=\{ x_{k}\} _{{k=1,\ldots,N-1}}$ dla $x_{k}=a+k*h$ z iloczynem skalarnym $(u,v)_{h}=\sum _{{k=1}}^{{N-1}}u_{k}v_{k}$ dyskretyzacji (10.1). Bierzemy, jak powyżej, $u_{k}=u(x_{k})$ dla $u\in L^{2}_{h}(\Omega _{h})$ przy czym przyjmujemy, że $u_{0}=u_{N}=0$ .

Pokażemy, że nasz powyższy dowód stabilności bazował na tym, że odpowiedni operator różnicowy jest dodatnio określony w tej przestrzeni.

Definiujemy $A_{h},B_{h}:L^{2}_{h}(\Omega _{h})\rightarrow L^{2}_{h}(\Omega _{h})$ jako

	$\displaystyle B_{h}u(x)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle-\partial\overline{\partial}u(x)\qquad x\in\Omega _{h},$
	$\displaystyle A_{h}u(x)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle-\partial\overline{\partial}u(x)+c*u(x)\qquad x\in\Omega _{h}.$

Wtedy, przyjmując że $u_{0}=u_{N}=v_{0}=v_{N}=0$ , otrzymujemy jak powyżej (por. wzory na sumowanie przez części (10.2)):

$(B_{h}u,v)_{h}=[\partial u,\partial v)_{h}=(u,B_{h}v)_{h},$

a następnie, z różnicowej nierówności Friedrichsa, por. twierdzenie 10.1, dla $u\not=0$ widzimy, że

$(B_{h}u,u)_{h}=[\partial u,\partial u)_{h}\geq\frac{1}{(b-a)^{2}}(u,u)_{h}>0,$

czyli $B_{h}\geq\frac{1}{(b-a)^{2}}I$ . A z kolei $A_{h}=B_{h}+c*I\geq\left(c+\frac{1}{(b-a)^{2}}\right)*I$ , czyli jest to operator dodatnio określony i samosprzężony i zachodzi $A_{h}\geq B_{h}$ . Zatem, z pierwszego podpunktu twierdzenia 10.2 otrzymujemy:

$\| u_{h}\| _{h}\leq\left(c+\frac{1}{(b-a)^{2}}\right)^{{-1}}\| f_{h}\| _{h},$

a z drugiego i trzeciego - odpowiednio:

	$\displaystyle\\| u_{h}\\| _{{A_{h}}}$	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\left(c+\frac{1}{(b-a)^{2}}\right)^{{-1/2}}\\| f_{h}\\| _{h},$
	$\displaystyle\\| u_{h}\\| _{{B_{h}}}$	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\\| f_{h}\\| _{{B_{h}^{{-1}}}}.$

Przykład 10.2

Rozpatrzmy następujący problem różniczkowy, powstały z naszego modelowego problemu poprzez dodanie członu z pierwszą pochodną:

$-u^{{\prime\prime}}(x)+b*u^{{\prime}}(x)+c*u=f,\qquad u(0)=u(L)=0$

dla $b,c$ stałych, przy czym $c\geq 0$ . Dyskretyzujemy ten problem na siatce $\overline{\Omega}_{h}=\{ x_{k}\} _{{k=0,\ldots,N}}$ dla $x_{k}=k*h$ dla $h=L/N$ w następujący sposób:

	$\displaystyle L_{h}u_{h}(x)=-\partial\overline{\partial}u_{h}(x)+b\tilde{\partial}u+cu_{h}(x)=f(x)\qquad x\in\Omega _{h},$				(10.6)
	$\displaystyle u_{h}(0)=u_{h}(L)=0\qquad x\in\partial\Omega _{h}.$

Tutaj

$\tilde{\partial}u(x)=\frac{u(x+h)-u(x-h)}{2*h}$

jest ilorazem różnicowym centralnym. Zauważmy, że $\tilde{\partial}=0.5(\partial+\overline{\partial})$ . Można pokazać, że jeśli rozwiązanie $u\in C^{4}([0,L])$ , to:

$|L_{h}u(x)-f(x)|=O(h^{2})\qquad x\in\overline{\Omega}_{h},$

co pozostawiamy jako zadanie. Z tego możemy wywnioskować, że rząd aproksymacji wynosi dwa, zarówno w normie dyskretnej maksimum, jak i w $L^{2}_{h}$ .

Weźmy przestrzeń $H_{h}$ z tym samym iloczynem skalarnym i operator $B_{h}$ z przykładu 10.1.

Wtedy, z wzorów na różnicowe sumowanie przez części (10.2), otrzymujemy:

$\displaystyle(\tilde{\partial}u,u)_{h}=0.5*(\partial u+\overline{\partial}u,u)_{h}=-0.5*(u,\partial u+\overline{\partial}u)_{h}.$

Stąd $(\tilde{\partial}u,u)_{h}=0$ . Zatem, choć $L_{h}$ nie jest symetryczny (o ile $b\not=0$ ), to jest operatorem dodatnio określonym i zachodzi:

$(L_{h}u,u)_{h}=((B_{h}+c*I)u,u)_{h}\geq\left(c+\frac{1}{L^{2}}\right)*(u,u)_{h}.$

czyli $L_{h}\geq B_{h}+c*I\geq(c+\frac{1}{L^{2}})*I$ .

Z powyższego oszacowania możemy pokazać stabilność w normie $\|\cdot\| _{{0,h}}$ jak w przykładzie 10.1, a w konsekwencji zbieżność dyskretną z rzędem dwa, co pozostawiamy jako zadanie.

10.3. Zadania

Ćwiczenie 10.1

Udowodnij wzory na sumowanie przez części, tzn. (10.2) oraz różnicową nierówność Friedrichsa, tzn. twierdzenie 10.1.

Ćwiczenie 10.2

Zbadaj rząd i stabilność schematu z przykładu 10.2 dyskretyzacji modelowego problemu jednowymiarowego w $\|\cdot\| _{{0,h}}$ dla $c>0$ i $c=0$ . Wykaż zbieżności z rzędem dwa w normie $\|\cdot\| _{{0,h}}$ , o ile rozwiązanie wyjściowego problemu jest klasy $C^{4}$ .

Ćwiczenie 10.3

Zbadaj stabilność schematu (8.10) dyskretyzacji modelowego problemu dwuwymiarowego w dyskretnej normie $L^{2}$ dla $c\geq 0$ .

Ćwiczenie 10.4

Rozpatrzmy równanie różniczkowe na kwadracie $\Omega=(0,1)^{2}$ : chcemy znaleźć $u\in C^{2}(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$ :

$-\triangle u+b_{1}u_{x}+b_{2}u_{y}+c*u=f\qquad\mathrm{w}\quad[0,1]^{2}$

z zerowym warunkiem brzegowym. Tu $c,b_{1},b_{2}$ są stałymi, a $c$ jest dodatkowo nieujemna.

Analogicznie do przykładu 10.2 i dyskretyzacji (8.10), skonstruuj schemat różnicowy wykorzystując odpowiednie pochodne centralne do aproksymacji pochodnych $u_{x},u_{y}$ .

Zbadaj rząd schematu i stabilność w w dyskretnej normie $L^{2}$ .

Wskazówka:

Postępuj analogicznie jak w przykładzie 10.2.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

	$\displaystyle\\| u_{h}\\| _{{A_{h}}}$	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\left(c+\frac{1}{(b-a)^{2}}\right)^{{-1/2}}\\| f_{h}\\| _{h},$
	$\displaystyle\\| u_{h}\\| _{{B_{h}}}$	$\displaystyle\leq$	$\displaystyle\\| f_{h}\\| _{{B_{h}^{{-1}}}}.$