W tym rozdziale zajmiemy się metodami rozwiązywania równań ewolucyjnych drugiego rzędu, czyli równaniami parabolicznymi (2.9).
Takie równania możemy przedstawić abstrakcyjnie jako
zadanie znalezienia
funkcji spełniającej:
![]() |
![]() |
![]() |
(14.1) | ||
![]() |
![]() |
![]() |
(14.2) |
dla przestrzeni Hilberta, czy - ogólniej - Banacha,
operatora liniowego określonego dla elementów z
i danej funkcji
określonej na
o wartościach w
z przestrzeni sprzężonej.
Dane równanie możemy zdyskretyzować po przestrzeni wprowadzając przestrzeń dyskretną skończenie wymiarową
aproksymującą
, operator
określony na
aproksymujący
, funkcję
aproksymująca
, oraz
przybliżenie
.
może być zbudowane metodą różnic skończonych albo elementu skończonego, lub jeszcze inną metodą dyskretyzacji np. metodą spektralną nie omawianą w tym skrypcie, por. np. [26].
Za aproksymację problemu wyjściowego możemy przyjąć rozwiązanie następującego układu równań zwyczajnych pierwszego rzędu z warunkami początkowymi:
![]() |
![]() |
![]() |
(14.3) | ||
![]() |
![]() |
![]() |
Następnie ten układ możemy rozwiązać przy pomocy jednego ze schematów dla równań zwyczajnych opisanych w pierwszych rozdziałach niniejszego skryptu (por. rozdziały 3-6).
Jeśli chodzi o analizę takich schematów, to stosuje się
dwa podejścia:
pierwszym jest
szacowanie w odpowiedniej normie (jeśli
to z odpowiednim przedłużeniem
),
a następnie skorzystanie z ogólnej teorii zbieżności dla schematów dla równań zwyczajnych
zastosowanych do rozwiązania (14.3). Drugim podejściem jest
konstrukcja schematu całkowicie dyskretnego.
Np. dyskretyzujemy (14.3) po czasie jakimś schematem dla zadań początkowych dla równań zwyczajnych, np. którymś ze schematów Eulera, czy trapezów lub jakimś schematem wyższego rzędu, a następnie przeprowadzamy analizę tak powstałego schematu dyskretnego.
Jeśli dyskretyzujemy równanie po zmiennej przestrzennej metodą różnic skończonych, a następnie po czasie - za pomocą jakiegoś schematu ze stałym krokiem całkowania, to tak otrzymany schemat możemy analizować korzystając z ogólnej teorii schematów różnicowych Laxa (por. rozdział 8.1).
Jeśli dyskretyzujemy wyjściowe zadanie paraboliczne przy pomocy metody elementu skończonego, to częściej - choć nie zawsze - do analizy stosuje się podejście pierwsze; tzn.: najpierw badamy błąd w odpowiedniej normie przestrzeni Sobolewa
pomiędzy a
rozwiązaniem (14.3), a następnie
układ (14.3) przepisujemy jako układ równań zwyczajnych na współczynniki rozwiązania w ustalonej bazie
.
W tym rozdziale przedstawimy kilka możliwych schematów dla modelowych równań parabolicznych w jednym i dwóch wymiarach.
Rozpatrzmy następujące równanie paraboliczne z jednorodnymi warunkami brzegowymi:
należy znaleźć funkcję określoną na
taką, że
![]() |
![]() |
![]() |
(14.4) | ||
![]() |
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
![]() |
dla danej funkcji ciągłej określonej na
i ciągłej funkcji
określonej na
i
stałej nieujemnej.
Wprowadzając siatkę jednorodną w obszarze :
z
dla
(
) i zastępując operator
przez operator siatkowy dyskretny
,
por. (7.3),
dobrze określony dla funkcji dyskretnych na siatce, otrzymujemy
układ równań zwyczajnych, którego rozwiązanie powinno aproksymować (14.4):
![]() |
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
![]() |
(14.5) | ||
![]() |
![]() |
![]() |
Jeśli wprowadzimy dyskretne kroki czasowe na odcinku :
dla
i
, to
układ równań zwyczajnych (14.1.1) możemy zdyskredytować po czasie
używając któregoś ze schematów ze stałym krokiem dla równań zwyczajnych.
Czyli np.: otwarty schemat Eulera daje nam schemat różnicowy (zwany otwartym schematem Eulera dla równania parabolicznego) polegający na tym, że należy znaleźć
takie, że
![]() |
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
![]() |
(14.6) | ||
![]() |
![]() |
![]() |
dla .
Tutaj przyjęliśmy oznaczenie, że szukane przybliżenie
oznaczamy przez
.
Powyższy schemat możemy potraktować jako schemat różnicowy na siatce dyskretnej
z parametrem siatki
dla obszaru wyjściowego
i operatorem różnicowym (siatkowym)
,
por. (7.2), przybliżającym na
operator paraboliczny
.
Następnie można pokazać, że jeśli
rozwiązanie wyjściowego problemu jest dostatecznie gładkie,
to otrzymujemy:
,
czyli
rząd aproksymacji schematu wynosi jeden
(por. definicję 8.4).
A bardziej szczegółowo - rząd aproksymacji schematu wynosi jeden względem
, a względem
wynosi dwa.
Można pokazać stabilność operatora różnicowego w odpowiednich normach dyskretnych (por. definicję 8.5), tzn. odpowiednia norma dyskretna
jest nie większa niż stała niezależna od
pomnożona przez odpowiednie normy dyskretne
i
.
Przypomnijmy, że jeśli schemat różnicowy jest stabilny i posiada odpowiedni rząd aproksymacji schematu, to jest zbieżny z odpowiednim rzędem, por. rozdział 8.1.
Niestety - stabilność jest tylko warunkowa, tzn. tylko dla i
spełniających odpowiedni warunek. Mówimy wtedy, że schemat jest stabilny warunkowo.
Z praktycznego punktu widzenia lepiej byłoby gdyby schemat był stabilny absolutnie, tzn. dla dowolnej pary
.
Analogicznie możemy wprowadzić zamknięty schemat Eulera dla modelowego zadania parabolicznego stosując zamknięty schemat Eulera dla równań zwyczajnych do dyskretyzacji po czasie (14.1.1):
![]() |
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
![]() |
(14.7) | ||
![]() |
![]() |
![]() |
Rząd lokalnego błędu aproksymacji zamkniętego schematu Eulera jest taki sam jak otwartego schematu Eulera, ale
dla schemat ten jest absolutnie stabilny w dyskretnej normie maksimum.
Kolejny schemat Cranka-Nicholson otrzymany po zastosowaniu schematu trapezów,
por. (4.7),
do (14.1.1):
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
||||
![]() |
||||
![]() |
Można pokazać, że lokalny błąd aproksymacji tego schematu jest jak .
W przypadku zamkniętego schematu Eulera i schematu Cranka-Nicholson można pokazać ich bezwarunkową stabilność dla w specjalnie dobranych normach dyskretnych.
W tym rozdziale zajmiemy się ze względu na prostotę prezentacji modelowym równaniem parabolicznym z jednorodnymi warunkami brzegowymi na kwadracie .
Chcemy znaleźć funkcję
określoną na
taką, że
![]() |
![]() |
![]() |
(14.8) | ||
![]() |
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
![]() |
gdzie - to dana funkcja ciągła określona na
,
- to funkcja ciągła określona na
, a
- to stała nieujemna.
Wprowadzając siatkę jednorodną w obszarze
jak w rozdziale 7.2:
dla
, i zastępując operator
przez operator siatkowy dyskretny
por. (7.9)
dobrze określony dla funkcji dyskretnych na jednorodnej siatce,
otrzymujemy
układ równań zwyczajnych, którego rozwiązanie powinno aproksymować (14.8):
![]() |
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
![]() |
(14.9) | ||
![]() |
![]() |
![]() |
Tak jak w przypadku jednowymiarowym (por. rozdział 14.1.1),
wprowadzamy dyskretną siatkę po zmiennej czasowej z krokiem na odcinku
:
dla
i
i otrzymujemy dyskretyzację
układu równań zwyczajnych (14.1.2)
używając któregoś ze schematów ze stałym krokiem dla równań zwyczajnych.
Otwarty schemat Eulera daje nam następujący schemat polegający na znalezieniu takiego, że:
![]() |
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
![]() |
(14.10) | ||
![]() |
![]() |
![]() |
Przybliżenie oznaczamy przez
.
W szczególności otrzymujemy
![]() |
Analogicznie możemy zdefiniować schemat zamknięty Eulera lub schemat Cranka-Nicholson, czyli schemat trapezów zastosowany do (14.1.2).
Rozpatrzmy ponownie jednowymiarowe modelowe zadanie (14.4).
Jego słabe sformułowanie wprowadzamy analogicznie jak w rozdziale 11.
Mnożąc równanie paraboliczne (14.4) przez funkcję testową z , całkując po
i stosując wzór na całkowanie przez części otrzymujemy równanie:
![]() |
z warunkiem początkowym
![]() |
Korzystając z tego, że jest domknięciem
w normie
można pokazać,
że powyższe równanie jest równoważne znalezieniu funkcji
takiej, że
![]() |
![]() |
![]() |
(14.11) | ||
![]() |
![]() |
![]() |
dla , co jest słabym (wariacyjnym) sformułowaniem (14.4), które stanowi wyjście do konstrukcji dyskretyzacji równania parabolicznego za pomocą metody elementu skończonego.
Niech
będzie triangulacją równomierną
zdefiniowaną jak w rozdziale 11.1.2, tzn.
dla
i niech
będzie przestrzenią funkcji ciągłych kawałkami liniowych (tzn. liniowych na elementach
) zerujących się w końcach odcinka
. Oczywiście zachodzi
.
Wtedy możemy zdefiniować dyskretyzację po przestrzeni zadania (14.11).
Znajdź funkcję taką, że dla
i dowolnego
zachodzi:
![]() |
![]() |
![]() |
(14.12) | ||
![]() |
![]() |
![]() |
Biorąc bazę nodalną tej przestrzeni
(por. (11.3)) i rysunek 11.1 na str. 11.1,
otrzymujemy
i
![]() |
||||
![]() |
dla ,
,
,
i wektora prawej strony
dla
.
Z tego otrzymujemy
![]() |
||||
![]() |
Proszę zauważyć, że jest to układ równań zwyczajnych liniowych z warunkiem początkowym,
więc ma jednoznaczne rozwiązanie na , co wynika z ogólnej teorii równań różniczkowych zwyczajnych,
por. np. rozdział 3.2 lub [23].
Do powyższego układu równań możemy zastosować dowolny schemat
rozwiązywania równań zadania początkowego dla równań zwyczajnych.
Macierze i
są symetryczne i dodatnio określone.
Można pokazać, że macierz
ma wartości własne ujemne o module od jeden do rzędu
,
czyli bardzo dużym module dla małych
. Zatem dla
układ równań zwyczajnych jest sztywny
zgodnie z definicją z rozdziału 6.
Należy tu stosować schematy całkowania równań zwyczajnych stosowne do zadań sztywnych.
Rozpatrzmy dwuwymiarowe modelowe zadanie na dowolnym obszarze wielokątnym na płaszczyźnie ,
czyli zastępując kwadrat przez
w (14.8).
Jego słabe sformułowanie otrzymujemy analogicznie jak w rozdziale 11, lub w przypadku jednowymiarowym (por. rozdział 14.2.1).
Mnożąc równanie paraboliczne z (14.8) przez funkcję testową z
,
całkując po
i stosując wzory Greene'a otrzymujemy:
![]() |
dla ,
oraz
spełnia
warunek początkowy
.
Jak w rozdziale 14.2.1 otrzymujemy, że
powyższe równanie jest równoważne znalezieniu funkcji takiej, że
![]() |
![]() |
![]() |
(14.13) | ||
![]() |
![]() |
![]() |
dla , co jest słabym, wariacyjnym sformułowaniem (14.8),
które stanowi wyjście do konstrukcji dyskretyzacji
równania parabolicznego za pomocą metody elementu skończonego.
Rozpatrzmy
triangulacje równomierną
, złożoną z przystających trójkątów, zdefiniowaną
jak w rozdziale 12 i
- przestrzeń funkcji ciągłych kawałkami liniowych na tej triangulacji, zerujących się na brzegu, czyli przestrzenią liniowego elementu skończonego
(por. rozdział 12).
Dyskretyzację po przestrzeni zadania (14.13) definiujemy: znajdź funkcję taką, że dla
i dowolnego
:
![]() |
![]() |
![]() |
(14.14) | ||
![]() |
![]() |
![]() |
Otrzymaliśmy zatem ponownie układ równań zwyczajnych liniowych z warunkiem początkowym,
który po wprowadzeniu standardowej bazy daszkowej
dla
, por. (12.1.2), możemy przepisać jako zadanie początkowe
na funkcje-współczynniki
takie, że
.
Następnie to zadanie początkowe możemy rozwiązać za pomocą jakiegoś schematu, np. otwartego lub
zamkniętego schematu Eulera, lub schematu trapezów. Okazuje się, że - tak samo jak w
przypadku jednowymiarowym - dla
powstające układy równań zwyczajnych są sztywne.
Dlatego w praktyce stosuje się odpowiednie schematy dla zadań sztywnych.
Zbadaj rzędy błędów aproksymacji otwartego schematu Eulera (14.1.1)
i zamkniętego schematu Eulera (14.1.1)
dla dyskretyzacji modelowego problemu jednowymiarowego w dyskretnej
normie maksimum przyjmując, że rozwiązanie jest dostatecznie gładkie.
Ustal, jaka minimalna gładkość rozwiązania jest konieczna, tzn.
znajdź najmniejsze takie, że jeśli rozwiązanie
, to rząd aproksymacji schematu jest możliwie duży.
Zbadaj stabilność zamkniętego schematu Eulera (14.1.1)
dla dyskretyzacji modelowego problemu jednowymiarowego w dyskretnej normie maksimum
dla . Wywnioskuj zbieżność dyskretną schematu w tejże normie.
Zbadaj rząd błędu aproksymacji schematu Cranka-Nicholson dla
dla dyskretyzacji modelowego problemu jednowymiarowego w dyskretnej normie maksimum
przyjmując, że rozwiązanie jest dostatecznie gładkie. Ustal, jaka minimalna gładkość rozwiązania jest konieczna,
aby schemat miał ten rząd. Zbadaj stabilność tego schematu w dyskretnej normie maksimum:
czy jest warunkowa, czy bezwarunkowa? Zbadaj zbieżność w dyskretnej normie maksimum.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.