W tym rozdziale przedstawimy elementy teorii przestrzeni Sobolewa oraz kilka technicznych lematów potrzebnych do dowodów zbieżności metody elementu skończonego. Mimo, że przedstawimy tylko najmniej techniczne dowody odpowiednich lematów to, aby w pełni zrozumieć dowody, należałoby zapoznać się wcześniej z teorią przestrzeni Sobolewa, zob. np. [21].
Materiał w poniższym rozdziale wykracza poza materiał z wykładu.
Poniżej podamy kilka faktów, dotyczących przestrzeni Sobolewa, potrzebnych do udowodnienia zbieżności metody elementu skończonego dla równania eliptycznego drugiego stopnia.
Najpierw zdefiniujmy przestrzenie Sobolewa dla
, por. [21].
Rozpatrzmy obszar ograniczony, wtedy
definiujemy jako przestrzeń funkcji z
, których słabe pochodne
dla wszystkich
są w
. Iloczyn skalarny w
definiujemy jako
![]() |
z normą
![]() |
i półnormą
![]() |
Tutaj z
- to wielowskaźnik,
i
![]() |
Można pokazać następujące twierdzenie:
Rozpatrzmy otwarty obszar z kawałkami gładkim brzegiem i
. Wtedy
jest zbiorem gęstym w
.
Proszę zauważyć, że to twierdzenie pozwala nam inaczej zdefiniować przestrzeń jako domknięcie zbioru
wszystkich funkcji gładkich, których norma
jest ograniczona.
Dodatkowo wprowadzamy:
Niech będzie domknięciem w
przestrzeni
, gdzie
jest podprzestrzenią
złożoną z funkcji o zwartym nośniku w
.
Zaznaczmy, że:
![]() |
Zachodzą jeszcze następujące nierówności:
Jeśli zawarty jest w jednostkowej kostce, to
![]() |
Dowód w ogólności można znaleźć np. w [2], ale dla kostek w dwóch i trzech wymiarach dowód pozostawiamy jako zadanie.
Istnieje też następujące twierdzenie mówiące w jakim sensie możemy rozważać wartości funkcji z na brzegu tego obszaru.
Rozpatrzmy ograniczony obszar o brzegu Lipschizowskim1Brzeg
jest Lipschitzowski (odpowiedniej gładkości), jeśli dla każdego punktu
istnieje otoczenie
tego punktu, które może być reprezentowane jako wykres funkcji Lipschitzowkiej (odpowiednio gładkiej)., wtedy istnieje
ograniczony operator liniowy
i
stała
:
![]() |
i dla wszystkich
.
Funkcję nazywamy śladem
na brzegu
.
Kolejnym ważnym twierdzeniem jest tzw. twierdzenie Sobolewa o włożeniu. Tutaj przedstawimy tylko szczególny przypadek potrzebny w przedstawionych dowodach.
Rozpatrzmy ograniczony obszar o brzegu Lipschizowskim w
dla
,
wtedy - jeśli
- istnieje ciągłe włożenie
w przestrzeń
tzn.
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
Stała zależy od obszaru
.
W tym rozdziale przedstawimy ogólne zasady konstrukcji zgodnej metody elementu skończonego. Zgodna metoda oznacza, że przestrzenie elementu skończonego zawarte są w przestrzeni wyjściowej
; w tym przypadku w odpowiedniej przestrzeni Sobolewa.
Dla wielościanu w
.
(Części brzegu
leżą na hiperpłaszczyznach i są nazywane ścianami)
jest przestrzenią funkcji wymiaru
określonych na
(przestrzeń tzw. funkcji kształtu) (ang. shape functions)
jest baza
przestrzeni dualnej do
. (Zbiór stopni swobody elementu). Zazwyczaj te funkcjonały wymagają obliczenia wartości funkcji lub jej pochodnych w punktach, dlatego nazywamy je uogólnionymi warunkami interpolacyjnymi.
wtedy elementem skończonym nazywamy trójkę .
Dla elementu skończonego bazą nodalną tego elementu nazywamy bazę sprzężoną w
do bazy
, tzn. taki układ funkcji z
:
, że
i
dla
.
Jeśli założymy, że funkcjonały z są określone i ograniczone na większej lub innej przestrzeni liniowej
, to definiujemy:
Dla elementu skończonego definiujemy operator interpolacji
:
![]() |
dla bazy nodalnej tego elementu.
Jeśli rozpatrujemy podział obszaru na elementy (triangulacje) i każdy element jest elementem skończonym, tzn. rozpatrujemy trójkę
, to możemy zdefiniować przestrzeń dyskretną dla danego podziału - zwaną dalej przestrzenią elementu skończonego.
Przestrzenią elementu skończonego dla triangulacji
nazywamy dowolną przestrzeń funkcji określonych na
takich, że dla funkcji
obciętej do elementu
zachodzi własność
![]() |
Oczywiście w praktyce elementy skończone są tego samego typu. Często dokładamy na przestrzenie elementu skończonego warunki ciągłości lub dodatkowe warunki na brzegu obszaru.
Definicja 16.3 elementu skończonego dotyczy pojedynczego elementu, a analiza metody elementu skończonego będzie polegała na tym, że wyniki otrzymane na elemencie wzorcowym przenoszą się na dowolny element, o ile wszystkie elementy są skonstruowane przy pomocy przekształceń afinicznych.
Rodzina przestrzeni elementu skończonego dla rodziny triangulacji
z
jest rodziną afiniczną pod warunkiem, że istnieje element skończony
- zwany dalej elementem wzorcowym, i spełnione są następujące warunki:
dla dowolnego
, istnieje przekształcenie afiniczne
takie, że dla dowolnej funkcji
istnieje
takie, że
![]() |
oraz dla dowolnego istnieje
takie, że
![]() |
Widzimy, że przekształcenie afiniczne spełnia:
![]() |
dla macierzy nieosobliwej
i
ustalonego wektora.
Rozpatrzmy afiniczną rodzinę przestrzeni elementu skończonego dla triangulacji
.
Wtedy istnieją takie stałe
, że
dla elementu triangulacji
i dowolnej funkcji
otrzymujemy:
![]() |
||||
![]() |
gdzie dla
.
Z gęstości funkcji gładkich w możemy założyć, że
.
Dowód następnie wynika ze wzoru na różniczkowanie funkcji złożonych:
![]() |
dla . Z twierdzenia o podstawianiu otrzymujemy:
![]() |
Sumowanie po wszystkich multiindeksach o długości
kończy dowód.
Rozpatrzmy afiniczną rodzinę przestrzeni elementu skończonego dla triangulacji
.
Wtedy dla
zachodzi:
![]() |
gdzie jest średnicą okręgu wpisanego we wzorcowy element
, a
jest średnicą okręgu wpisanego w element
.
Widzimy, że
![]() |
Dla dowolnego o normie
istnieją
, takie, że
. Zatem biorąc
otrzymujemy
, a stąd
![]() |
Drugą nierówność dowodzimy analogicznie.
∎Jako wniosek otrzymujemy:
Rozpatrzmy regularną rodzinę triangulacji ze względu na kształt i
afiniczną rodzinę przestrzeni elementu skończonego
dla tych triangulacji.
Wtedy istnieją takie stałe
, że
dla elementu
i dowolnej funkcji
zachodzi
![]() |
||||
![]() |
gdzie dla
.
Kolejne twierdzenie pozwala oszacować normę przez półnormę:
Niech będzie elementem triangulacji i
. Wtedy istnieje stała
taka, że
![]() |
Rozpatrzmy regularną rodzinę triangulacji ze względu na kształt i
afiniczną rodzinę przestrzeni elementu skończonego
dla tych triangulacji.
Jeśli warunki interpolacyjne dla elementu wzorcowego
są funkcjonałami liniowymi ograniczonymi
na przestrzeni
oraz
dla
, to
operator interpolacji nodalnej
(por. definicję 16.5) jest poprawnie zdefiniowany oraz dla
zachodzi:
![]() |
dla i
zależy od
oraz elementu skończonego wzorcowego,
i stałej w założeniu regularności ze względu na kształt.
Zauważmy, że dla
i
, co wynika z afiniczności rodziny przestrzeni
(por. definicję 16.7).
Stąd na mocy wniosku 16.1 otrzymujemy, że
![]() |
Z założeń twierdzenia otrzymujemy teraz:
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
Oczywiście dla dowolnego
, w szczególności dla
wielomianu z
.
Zatem
![]() |
Stąd na mocy twierdzenia 16.4 otrzymujemy
![]() |
![]() |
![]() |
Z kolei z wniosku 16.1 otrzymujemy
![]() |
![]() |
![]() |
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.