W tym rozdziale zajmiemy się przedstawieniem metod badania stabilności schematów różnicowych dla zadań liniowych w dyskretnej normie maksimum.
Będziemy badali stabilność schematu zapisanego w formie (8.5)-(8.6).
Dla możemy zapisać (8.5) jako:
![]() |
(9.1) |
gdzie jest podzbiorem
punktów, dla których
,
czyli uwzględnionych w równaniu dla tego
.
Jeśli , to dla (8.6) zachodzi:
![]() |
gdzie jest zdefiniowane analogicznie jak poprzednio.
jest zdefiniowane jednoznacznie.
nazywamy otoczeniem siatkowym punktu
. Wprowadzimy również otoczenie siatkowe nakłute:
.
Oczywiście
może być jednopunktowe, wtedy
jest zbiorem pustym.
Zapiszmy schemat (8.5)-(8.6) jako:
![]() |
(9.2) |
gdzie
![]() |
Wtedy zachodzi następujące twierdzenie, pozwalające na wykazanie stabilności niektórych schematów w normie dyskretnej maksimum:
Niech dla (8.5)-(8.6) będzie w formie (9.2).
Załóżmy, że dla pewnej stałej
i dla
:
![]() |
Wtedy
![]() |
Widzimy, że dla pewnego
.
Rozpatrzmy równanie ze schematu dla tego punktu:
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
czyli
![]() |
Dla zadania (7.5)-(7.6) otrzymujemy następujący układ:
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
dla .
Zatem dla
i
dla
, tzn. dla
.
Sprawdzamy założenie twierdzenia:
![]() |
Zatem i z naszego kryterium, tzn. z twierdzenia 9.1,
otrzymujemy stabilność zadania przybliżonego w normie dyskretnej supremum tylko w przypadku
ze stałą
.
Powyższe oszacowanie sugeruje, że jeśli , to schemat może nie być stabilny w dyskretnej normie maksimum.
Okaże się, że istnieją jednak inne kryteria badania stabilności, które są bardziej precyzyjne.
Przedstawimy je poniżej.
Jak wiadomo, por. np. rozdział 6.4 w [11], dla równania eliptycznego spełnionych jest szereg zasad maksimum. Okaże się, że odpowiednio skonstruowane schematy różnicowe, czyli problemy przybliżone (różnicowe), spełniają analogiczne różnicowe zasady maksimum. Korzystając z tych zasad będziemy mogli wykazać stabilność tychże schematów.
Załóżmy, że operator określony na
jest w formie (9.2).
Operator w postaci (9.2) będziemy nazywać operatorem dodatniego typu (ang. positive operator) w
, jeśli dla dowolnego
,
,
.
Dodatkowo dla operatora typu dodatniego przedstawiamy siatkę jako dwa rozłączne zbiory
zdefiniowane jako:
![]() |
i
![]() |
Wprowadzamy jeszcze jedną definicję:
Załóżmy, że w postaci (9.2) jest operatorem dodatniego typu w
, dla którego zachodzi warunek:
i
jest zbiorem skończonym. Wtedy powiemy, że
spełnia warunek spójności siatki (ang. mesh connectivity condition, mesh is connected), jeśli
dla dowolnego
istnieje ciąg elementów siatki
i
taki, że
, i
dla
i
.
Wtedy zachodzi następująca różnicowa zasada maksimum:
Załóżmy, że w postaci (9.2) jest operatorem dodatniego typu w
, i że
jest zbiorem skończonym spełniającym warunek spójności siatki.
Wtedy, jeśli
![]() |
to
![]() |
Dowód można znaleźć w Rozdziale 10 w [10].
Załóżmy, że spełnione są założenia twierdzenia 9.2. Wtedy zadanie (9.2) ma jednoznaczne rozwiązanie.
Załóżmy, że zadanie (9.2) ma dwa różne rozwiązania dla
. Wtedy
z twierdzenia 9.2
wynika, że
zatem
ale i
, czyli
.
Z kolei zauważmy, że (9.2) jest układem równań liniowych, więc
jednoznaczność rozwiązania z prawą stroną równą zero jest równoważna istnieniu rozwiązania dla dowolnego
.
Jako kolejny wniosek z różnicowej zasady maksimum otrzymujemy następujące kryterium porównawcze:
Z ostatniego twierdzenia otrzymujemy następujące kryterium badania stabilności w dyskretnej normie maksimum:
Załóżmy, że spełnione są założenia twierdzenia 9.2
oraz, że istnieje nieujemna funkcja określona na
taka,że
![]() |
Wtedy - rozwiązanie (9.2) z prawą stroną
, spełnia:
![]() |
Dla prostoty załóżmy, że (
jest liniowe, więc
zawsze możemy przeskalować
i
przez stałą różną od zera).
Wtedy
![]() |
zatem z twierdzenia 9.3 otrzymujemy:
![]() |
Powróćmy do dyskretyzacji naszego modelowego zadania, tzn. do (7.5)-(7.6).
Pozostawiamy jako proste zadanie sprawdzenie, że operator w tym przypadku jest operatorem dodatniego typu, i że siatka spełnia warunek spójności.
Aby pokazać oszacowanie stabilności korzystając z naszego kryterium należy znaleźć funkcję
nieujemną określoną na
, czyli w szczególności na każdej siatce ograniczonej, taką że
![]() |
Na brzegu widzimy, że dla
, więc wystarczy przyjąć
takie, że
na brzegu
.
Najprościej będzie znaleźć funkcję taką, że
.
Następnie, korzystając
z tego, że rząd aproksymacji zadania przybliżonego jest dwa w każdym punkcie siatki, tzn.
![]() |
możemy wywnioskować, że istnieje stała taka, że dla
funkcja
![]() |
spełnia .
W naszym przypadku np. dla wystarczy zdefiniować:
![]() |
Wtedy i
.
Zatem z naszego kryterium otrzymujemy dla
, że
![]() |
czyli stabilność w dyskretnej normie maksimum.
Proszę zauważyć, że
stała w oszacowaniu nie zależy od stałej , za to - inaczej niż w przypadku poprzedniego prostszego kryterium, zależy od długości odcinka
.
Jeśli rozwiązanie
(7.1) jest w , to otrzymujemy, że:
![]() |
dla z (8.7),
a warunki brzegowe spełnione są dokładnie.
Zatem, korzystając z twierdzenia 8.1, otrzymujemy:
![]() |
Zbadaj stabilność schematu (8.10) dyskretyzacji modelowego problemu dwuwymiarowego
w dyskretnej normie maksimum dla .
Sprawdź, czy operator z (8.10) jest dodatniego typu i
zbadaj stabilność schematu (8.10) dyskretyzacji modelowego problemu dwuwymiarowego
w dyskretnej normie maksimum dla korzystając z różnicowej zasady maksimum.
Rozpatrzmy problem dla
i
gładkiej funkcji z warunkiem brzegowym Neumanna
dla
oraz schemat różnicowy na siatce jednorodnej
dla
:
![]() |
z .
Czy to zadania wyjściowe oraz zadanie dyskretne mają jednoznaczne rozwiązanie dla
?
Zbadaj rząd tego schematu oraz stabilność w dyskretnej normie maksimum dla stałej . Podaj oszacowanie błędu dyskretnego w dyskretnej
normie maksimum w terminach
.
Zbadaj rząd i stabilność w normie maksimum schematu skonstruowanego analogicznie jak schemat (8.10) dyskretyzacji modelowego problemu dwuwymiarowego: w
z zerowym warunkiem Dirichleta
na brzegu kwadratu oprócz krawędzi
, gdzie jest postawiony zerowy warunek
brzegowy Neumanna tzn.
dla
i
na
.
Warunek brzegowy na
przybliżamy w schemacie różnicowym przez odpowiednią różnicę skończoną wprzód, tzn.
przez
dla
z
.
Zbadaj stabilność w dyskretnej normie maksimum schematu z ćwiczenia 8.6.
Zbadaj stabilność w dyskretnej normie maksimum schematu z ćwiczenia 8.9.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.