Niech będzie niepustym podzbiorem. Relatywnym wnętrzem zbioru
nazywamy podzbiór
.
Pojęcie relatywnego wnętrza jest praktyczniejsze przy badaniu wielościanów niż zwykłe wnętrze. Np. relatywnym wnętrzem odcinka w przestrzeni trójwymiarowej jest odcinek otwarty mimo, że cały odcinek jest brzegiem.
Jeżeli jest niepustym podzbiorem wypukłym w
to
.
Dowód zostawiamy czytelnikowi.
Zajmijmy się kluczowym lematem przy opisie ścian wielościanu.
Niech będzie punktem wielościanu
![]() |
gdzie są półprzestrzeniami.
Dodatkowo zakładamy, że nierówności są tak ustawione by:
dla
;
dla
;
Oznaczmy literą liczbę
czyli wymiar przestrzeni rozwiązań układu jednorodnego opisanego macierzą
,
gdzie
, jest podmacierzą macierzy opisującej W złożoną z pierwszych s wierszy macierzy opisującej
.
Wówczas:
1) jest ścianą wymiaru
, zaś punkt
należy do jej relatywnego wnętrza.
2) Punkt p jest środkiem pewnej j - wymiarowej kuli zawartej w W.
3) Punkt p nie jest środkiem żadnej kuli - wymiarowej
zawartej w W.
Niech będzie zbiorem rozwiązań układu
Ponieważ
i
jest zbiorem rozwiązań układu równań liniowych więc na mocy twierdzenia
Kroneckera - Capelli'ego
jest przestrzenią afiniczną wymiaru
. Zauważmy dodatkowo
.
Niech . Wówczas dla
są ścianami
zawierającymi punkt
zatem na mocy lematu 2.1
jest ścianą wielościanu
. Ponadto
więc
.
Aby wykazać, że i
znajdziemy
wymiarową kulę, zawartą w
o środku w punkcie
.
Niech będzie odległością punktu
od brzegu odpowiedniej półprzestrzeni. Niech
. Teraz
jest
wymiarową kulą o środku
.
Niech będzie kulą o środku
zawartą w wielościanie
. Wtedy
oraz
. Na mocy lematu 2.2
. Stąd
.
Niech będzie ścianą wielościanu
. Wówczas
.
Inkluzja jest oczywista.
Ponieważ i
jest podprzestrzenią, więc
.
Stąd
.
Niech S będzie ścianą wielościanu , zaś p jej punktem relatywnie wewnętrznym. Wówczas
, gdzie
jest kulą o środku w punkcie
, maksymalnego wymiaru.
Niech . Ponieważ
, więc
. Stąd
i
.
Niech S będzie ścianą wielościanu , zaś p jej punktem relatywnie wewnętrznym.
Wówczas .
Niech , dla pewnej półprzestrzeni
. Wówczas
i z dowodu poprzedniego lematu
. Do dowodu
wystarczy zauważyć, że
jest ścianą tego samego wymiaru co
, gdyż każda kula o środku w
zawarta w
jest zawarta w
.
Niech będzie wielościanem.
Jeżeli to
.
Niech zaś
. Oznaczmy przez
punkt przecięcia
odcinka
z
. Punkty
oraz
leżą po różnych stronach hiperpłaszczyzny
więc punkt przecięcia
odcinka
z
należy do
.
Niech będzie wielościanem. Wówczas
jest podprzestrzenią afiniczną wtedy i tylko wtedy gdy
nie ma właściwych ścian ( to znaczy ścian różnych od
).
Niech
będzie przestrzenią afiniczną zaś
ścianą. Wybierzmy dowolny punkt
. Ponieważ
więc istnieje kula
o środku w punkcie
rozpinająca
.
Ale na mocy lematu 1.1
więc
i
.
a) Jeżeli to jest podprzestrzenią afiniczną.
b) Niech będzie opisem wielościanu
przy pomocy minimalnego zbioru półprzestrzeni. Na mocy lematu 3.4 zbiór
dla każdego
. Zatem są to ściany oraz
. Otrzymujemy
.
Stąd
jest podprzestrzenią afiniczną.
Niech będzie wielościanem zaś T podzbiorem
. Wówczas
1) jest ścianą lub zbiorem pustym.
2) Każda ściana S wielościanu W jest postaci ,
gdzie
jest dowolnie ustalonym punktem relatywnego wnętrza S.
Ściana ściany wielościanu jest ścianą.
Popatrzmy jak poprzednie lematy można zastosować do opisu wierzchołków.
Niech będzie punktem wielościanu
, opisanego układem
.
Dodatkowo zakładamy, że równania są tak ustawione by:
dla
;
dla
;
Wówczas równoważne są warunki:
1) jest wierzchołkiem wielościanu
.
2) nie jest środkiem odcinka zawartego w W.
2a) nie jest nietrywialną kombinacją wypukłą punktów z
.
3) rząd macierzy gdzie
, jest podmacierzą macierzy
opisującej W złożoną z
pierwszych s wierszy tej macierzy.
Implikacje
wynikają bezpośrednio z lematu 3.1.
Implikacja jest oczywista.
Dowód . Niech
będzie nietrywialną kombinacją wypukłą punktów z
. To znaczy
i wszystkie punkty są różne. Wtedy
należy do wnętrza odcinka o
końcach
i
, a więc jest środkiem
pewnego mniejszego odcinka zawartego w
.
Wielościan ma co najwyżej skończoną liczbę wierzchołków.
Dokładniej: Jeżeli jest wielościanem w
opisanym przez
półprzestrzeni, to
zawiera co najwyżej
wierzchołków.
Z nierówności opisujących wielościan wybieramy n liniowo |
niezależnych. Zamieniamy je na równania i rozwiązujemy otrzymany |
układ n równań. |
Ponieważ równania są niezależne rozwiązanie jest jednoznaczne. |
Jeżeli rozwiązanie spełnia pozostałe nierówności, to otrzymaliśmy |
wierzchołek. |
Procedurę tą możemy stosować razy.
Analogicznie możemy opisywać krawędzie.
Niech będzie punktem wielościanu
, opisanego układem:
.
Dodatkowo zakładamy, że równania są tak ustawione by:
dla
;
dla
;
Wówczas równoważne są warunki:
1) jest punktem wewnętrznym krawędzi wielościanu
.
2) jest środkiem odcinka zawartego w
, ale nie jest
środkiem koła
kuli wymiaru 2
zawartego w
.
3) rząd macierzy gdzie
, jest podmacierzą macierzy
opisującej
złożoną z
pierwszych
wierszy tej macierzy.
Wielościan ma co najwyżej skończoną liczbę krawędzi.
Dokładniej: Jeżeli jest wielościanem w
opisanym przez
półprzestrzeni to
zawiera co najwyżej
krawędzi.
Z nierówności opisujących wielościan wybieramy ![]() |
niezależnych. Zamieniamy je na równania i rozwiązujemy otrzymany |
układ ![]() |
Ponieważ równania są niezależne więc rozwiązaniem jest prosta, nazwijmy |
ją ![]() |
przedstawiamy ją w postaci parametrycznej ![]() |
Wstawiamy równanie prostej |
do pozostałych nierówności i |
otrzymujemy ograniczenia na ![]() |
Procedurę tą możemy stosować razy.
Wypisujemy wszystkie nierówności, które punkt ![]() |
równości. Z tego zbioru wybieramy ![]() |
poprzednim algorytmie. |
Niech będzie wielościanem
opisanym wzorem W=
.
Wówczas równoważne są warunki:
1) W zawiera wierzchołek.
2) .
3) W nie zawiera prostej.
wniosek z twierdzenia 3.2.
Dowód
Przypuśćmy, że jest prostą zawartą w wielościanie
,
. Pokażemy, że prosta
jest zawarta w zbiorze rozwiązań układu równań liniowych o macierzy
.
Zatem:
.
Ale
.
Co daje .
Stąd jest niezerowym rozwiązaniem jednorodnego układu równań
liniowych
.
Niech , wtedy
Skoro wymiar przestrzeni rozwiązań jest więc na
mocy twierdzenia Kroneckera - Capelli'ego
.
Sprzeczność.
Niech będzie ścianą wielościanu
najmniejszego wymiaru. Ponieważ każda ściana
jest ścianą
, więc
nie ma właściwych ścian, a zatem na mocy lematu 3.5
jest przestrzenią afiniczną. Wielościan
nie zawiera prostej, więc
nie zawiera prostej. Stąd
ma wymiar 0 i jest wierzchołkiem.
Niech będą wielościanami.
Jeżeli
zawiera wierzchołek to
też zawiera
wierzchołek.
zawiera wierzchołek
nie zawiera
prostej
nie zawiera prostej
zawiera wierzchołek.
Niech będzie wielościanem.
Wtedy zawiera wierzchołek.
gdzie
,
czyli
ale
Stąd zawiera wierzchołek, więc
też.
Niech będzie wielościanem z wierzchołkiem. Niech
będzie ścianą wielościanu
. Wówczas
ma wierzchołek i
każdy wierzchołek
jest wierzchołkiem
.
jest wielościanem więc na mocy poprzedniego wniosku zawiera
wierzchołek. Przypuśćmy, że
jest wierzchołkiem
. Na mocy wniosku 3.1
jest ścianą wielościanu
wymiaru 0, a więc wierzchołkiem.
Bezpośrednio stąd wynika.
Niech będzie wielościanem z wierzchołkiem. Wtedy
każda krawędź wielościanu
zawiera
pewien wierzchołek
.
Niech będzie wielościanem. Jeżeli
to
jest ścianą
wymiaru
.
Niech będzie skończonym zbiorem punktów przestrzeni
. Pokazać,
że zbiorem wierzchołków
jest najmniejszy podzbiór
, taki że
.
Pokazać, że jeżeli jest wielościanem wymiaru
, to z każdego wierzchołka wychodzi co najmniej
krawędzi.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.