Niech będzie niepustym zbiorem, zaś
dowolną funkcją. Będziemy rozważać problem minimalizacji funkcji
na zbiorze
, przyjmując różne postaci
, w tym:
(problem optymalizacji bez ograniczeń),
, gdzie
pewne funkcje (problem optymalizacji z ograniczeniami równościowymi),
, gdzie
pewne funkcje (problem optymalizacji z ograniczeniami nierównościowymi).
Zbiór nosi nazwę zbioru punktów dopuszczalnych.
Punkt nazywamy minimum globalnym
funkcji
na zbiorze
jeśli
![]() |
Punkt nazywamy minimum lokalnym
funkcji
jeśli istnieje
takie, że dla kuli
o środku w
i promieniu
zachodzi
![]() |
Oczywiście, jeśli jest minimum globalnym to jest minimum
lokalnym. Minimum nazywamy ścisłym, jeśli w
powyższych definicjach zachodzi
, dla
.
Analogicznie definiujemy globalne i lokalne maksimum. Punkt
nazywamy ekstremum (lokalnym, globalnym) jeśli jest on
maksimum lub minimum (lokalnym, globalnym).
Minimum (globalne, lokalne) nie musi istnieć, tzn. może się
okazać, że nie istnieje spełniające warunek z
definicji 1.1 lub 1.2. W szczególności minimum
globalne
na zbiorze
nie istnieje gdy:
(a) , lub
(b) , ale
takie, że
.
Niech . Dla tej funkcji
, zatem minimum globalne nie istnieje.
Jeżeli natomiast ograniczymy się do przedziału
,
to minimum globalne będzie istnieć. Funkcja ta osiąga
minimum lokalne w nieskończonej ilości punktów, dla
.
Jeżeli za
przyjmiemy odcinek otwarty, to minimum globalne
istnieje lub nie istnieje, w zależności od tego odcinka.
Ogólnie, funkcja ciągła może nie osiągać kresów na
zbiorze niezwartym, w szczególności na podzbiorze otwartym
.
Przypomnijmy, że podzbiór zwarty w to podzbiór domknięty i ograniczony.
Jeśli jest zbiorem zwartym i
jest funkcją ciągłą, to
osiąga kresy na
(dolny i górny).
Oznacza to, że istnieją
,
takie, że dla dowolnego
zachodzi
![]() |
Będziemy oznaczali normę euklidesową w przez
![]() |
Warunek zwartości zbioru w powyższym twierdzeniu możemy osłabić do warunku domkniętości, jeśli funkcja jest koercywna. Koercywność funkcji definiujemy następująco:
Funkcję na podzbiorze
nazywamy koercywną, jeśli
dla
. Można ten warunek zapisać równoważnie
![]() |
W szczególności, jeśli jest ograniczony, to
jest automatycznie koercywna na
.
Jeśli zbiór jest domknięty oraz funkcja
jest ciągła i koercywna, to istnieje punkt
w którym funkcja
przyjmuje minimum, tzn. istnieje
taki, że
.
Niech będzie ustalonym punktem w zbiorze
. Rozpatrzmy zbiór
. Zauważmy, że
jest zbiorem domkniętym w
, bo funkcja
jest ciągła, a nierówność w warunku nieostra. Z domkniętości
wynika, że
jest domknięty w
. Jest on też ograniczony. Mianowicie, dla
, z koercywności
istnieje
takie, że jeśli
,
to
, skąd
jest zawarte w kuli
. Zatem
jest zbiorem zwartym. Wówczas istnieje
– punkt minimum na zbiorze
. Dla
mamy
, więc
jest globalnym minimum na całym
.
Domkniętość nie jest potrzebna, jeśli
odpowiednio rośnie w pobliżu granicy
.
Niech będzie dowolnym niepustym
podzbiorem oraz
– funkcją ciągłą. Jeśli dla pewnego ustalonego punktu
oraz dowolnego ciągu
, takiego że
![]() |
zachodzi
![]() |
to istnieje punkt w którym funkcja
przyjmuje minimum.
Zbiór definiujemy jak w poprzednim dowodzie,
. Aby pokazać domkniętość
weźmy dowolny ciąg
zbieżny do
. Pokażemy, że
. Z
mamy
i
jeśli
, nierówność ta przeczy założeniu twierdzenia. Wynika stąd, że
. Korzystając teraz z
ciągłości
na
dostajemy
, skąd
. Ograniczoność zbioru
wynika z założonej w
twierdzeniu implikacji
. Pozostała część dowodu jest identyczna jak
w dowodzie poprzedniego twierdzenia.
Funkcja jest ciągła i spełnia
założenia Twierdzenia 1.3 na zbiorze
, osiąga więc minimum na
.
Niech - podzbiór otwarty. Przypomnimy elementarne fakty.
Jeśli jest punktem lokalnego minimum lub maksimum funkcji
oraz
posiada pochodną w punkcie
, to
![]() |
Niech - minimum lokalne. Dla dostatecznie małych
zachodzi
. Zatem dla
mamy
![]() |
Dla
![]() |
Stąd .
Jeśli jest klasy
na zbiorze
i
jest punktem lokalnego minimum, to
![]() |
Jeśli jest klasy
na zbiorze W oraz
,
dla pewnego
, to
ma ścisłe
lokalne minimum w punkcie
.
Twierdzenie 1.5 pozostaje prawdziwe przy zamianie lokalnego minimum na maksimum, jeśli znak znak drugiej pochodnej zmienimy na przeciwny.
Jeśli nie jest otwarty, to Twierdzenia 1.4 i 1.5 nie są prawdziwe dla
(brzeg
), np. funkcja
przyjmuje minimum na odcinku
w punkcie
, ale żaden z warunków koniecznych tych twierdzeń nie zachodzi. Natomiast Twierdzenie 1.6 zachodzi również dla
będącego odcinkiem domkniętym i
.
Poniższe twierdzenie uogólnia warunek dostateczny II rzędu.
Jeśli funkcja jest klasy
na podzbiorze otwartym
i zachodzi
oraz
w pewnym
, to:
I) Jeśli jest nieparzyste, to funkcja
nie posiada w punkcie
ekstremum
lokalnego.
II) Jeśli jest parzyste oraz:
(a) , to punkt
jest ścisłym minimum lokalnym
,
(b) , to punkt
jest ścisłym maksimum lokalnym
.
W tym podrozdziale przypomnimy wyniki, których będziemy używać w wielu dowodach w trakcie tego wykładu. Skorzystamy z nich również, aby przedstawić zwięzłe dowody twierdzeń 1.5-1.7.
Jeśli funkcja jest ciągła na
i różniczkowalna na
, to istnieje taki punkt
, że
![]() |
Zauważmy, że do prawdziwości powyższego twierdzenia nie jest konieczna ciągłość pierwszej pochodnej (w zadaniu 1.7 pokazujemy, że różnicznowalność nie musi pociągać ciągłości pochodnej).
Niech dla
. Wówczas
jest ciągła na
, różniczkowalna w
oraz
![]() |
Pokażemy teraz, że istnieje punkt , w którym pochodna
się zeruje. Jeśli
jest funkcją stałą, to dla dowolnego
mamy
. W przeciwnym przypadku, na mocy twierdzenia 1.1 funkcja
przyjmuje swoje kresy na
. Jeden z kresów jest różny od
. Zatem jest on przyjmowany w punkcie
we wnętrzu przedziału
. Korzystając z twierdzenia 1.4 wnioskujemy, że
. Różniczkując
otrzymujemy:
![]() |
Po prostych przekształceniach otrzymujemy poszukiwany wzór.
∎Niech będzie funkcją klasy
na
oraz dwukrotnie różniczkowalna w pewnym
. Wówczas dla
zachodzi następujący wzór:
![]() |
W sformułowaniu powyższego twierdzenia użyliśmy notacji małe o. Rozumieć ją należy następująco:
![]() |
jest rządu mniejszego niż , tzn.
![]() |
Innym zastosowaniem powyższej notacji jest definicja pochodnej. Pochodną funkcji w punkcie
nazywamy taką liczbę
, że
![]() |
Bez straty ogólności możemy założyć . Musimy wykazać, że
jest niższego rzędu niż
, tzn.
. Z ciągłości pierwszej pochodnej
dostajemy
![]() |
Wiemy, że jest różniczkowalna w
. Zatem
, gdzie
. Oznacza to, że
![]() |
Dla dowolnego istnieje zatem
, taka że
pociąga
.
Ustalmy zatem dowolny i związaną z nim
. Weźmy
i scałkujmy pochodną
. Otrzymamy wówczas:
![]() |
czyli . Korzystając z oszacowania
dla
dostajemy
![]() |
A zatem
![]() |
Z dowolności wynika, iż
.
Twierdzenie 1.9 można uogólnić do dowolnie długiej aproksymacji Taylora. Dowód przebiega wówczas podobnie, lecz jest nieznacznie dłuższy.
Zakładając większą gładkość funkcji możemy opisać dokładniej błąd aproksymacji we wzorze Taylora.
Niech będzie funkcją klasy
na
oraz
-krotnie różniczkowalna na
. Wtedy dla ustalonego
i
zachodzi następujący wzór:
![]() |
gdzie jest pewnym punktem pomiędzy
i
.
W szczególności dla dostajemy
![]() |
Niech liczba spełnia równanie
![]() |
Celem dowodu jest pokazanie, że dla pewnego punktu
pomiędzy
i
. Określmy funkcję
![]() |
Zauważmy, że
![]() |
Ponieważ , to na podstawie twierdzenia 1.8 istnieje
, taki że
. Stosując jeszcze raz tw. 1.8 do funkcji
dla
dostajemy
, w którym
. Postępując w ten sposób dostajemy ciąg punktów
, takich że
,
. Z warunku dla punktu
otrzymujemy
![]() |
Szukanym punktem w twierdzeniu jest więc
.
Z twierdzenia 1.4 wiemy, że jeśli jest punktem minimum to
Zatem korzystając ze wzoru Taylora, tw. 1.10, uzyskujemy
![]() |
dla pewnego punktu leżącego pomiędzy
i
.
Z założenia, że
jest minimum lokalnym, otrzymujemy
. Stąd i z
wnioskujemy, że
![]() |
Jeśli , to również
. Wykorzystując ciągłość
dostajemy
.
Z ciągłości drugiej pochodnej wynika, że istnieje kula
, na której
. Zatem dla
,
, wnioskujemy ze wzoru Taylora, tw. 1.10, że
:
![]() |
Oznacza to, że ma ścisłe minimum lokalne w
.
Z ciągłości i otwartości
wynika, że istnieje kula
, na której
jest niezerowa (tzn.
nie zmienia znaku z ciągłości). Korzystając ze wzoru Taylora, tw. 1.10 i z założeń twierdzenia otrzymujemy
![]() |
dla dowolnego oraz
, zależnego od
, należącego do przedziału o końcach
i
.
Aby zbadać, czy zachodzi jedna z nierówności
lub
dla wszystkich
,
należy zbadać znak członu z potęgą
. Człon ten zmienia znak dla
nieparzystego, stąd teza (I). Dla
parzystego znak różnicy
zależy od znaku pochodnej
na
.
Uzupełnimy jeszcze twierdzenie 1.6 o wynik dotyczący ekstremów globalnych.
Niech będzie odcinkiem otwartym, domkniętym, lub jednostronnie domkniętym (być może nieograniczonym) i niech
będzie funkcją klasy
na
i klasy
na
. Zachodzi następujące
Przy powyższych założeniach, jeśli oraz:
(a) jest globalnym minimum na
,
(b) jest globalnym maksimum na
.
Jeśli założenia powyższe uzupełnimy o warunek (odpowiednio
), to
będzie ścisłym
globalnym minimum (maksimum).
Wzór Taylora, tw. 1.10, daje
![]() |
gdzie jest pewnym punktem pomiędzy
i
. Stąd drugi człon wzoru Taylora decyduje o nierówności pomiędzy
a
i otrzymujemy obie implikacje w twierdzeniu dotyczące słabych ekstremów.
Załóżmy dodatkowo w pierwszym stwierdzeniu, że . Z założenia
i warunku
dostajemy
![]() |
gdy . Podobnie pokazujemy, że
, gdy
. Z faktu, że
i ciągłości drugiej pochodnej dostajemy dodatkowo, że ta pochodna jest ściśle dodatnia w otoczeniu
. Zatem
całki są dodatnie, co pociąga nierówności
, gdy
, oraz
, gdy
. Wynika stąd, że funkcja
jest ściśle rosnąca na prawo od
i ściśle malejąca na lewo od
, a więc
jest ścisłym minimum. Przypadek ścisłego maksimum dowodzimy analogicznie.
Czy funkcja osiąga minimum na zbiorze
.
Znajdź minimum funkcji na zbiorze
Znajdź maksimum funkcji na zbiorze
Znajdź minimum funkcji na zbiorze
Rozważmy następujący nieliniowy problem optymalizacyjny:
![]() |
Naszkicuj zbiór punktów dopuszczalnych, czyli punktów spełniających wszystkie ograniczenia.
Znajdź graficznie rozwiązanie powyższego problemu optymalizacyjnego.
Znajdź następnie rozwiązanie w przypadku, gdy minimalizacja zamieniona zostanie na maksymalizację.
Niech będzie funkcją spełniającą:
,
, oraz
Znajdź
, dla którego następująca całka jest minimalna:
![]() |
Wykaż, że funkcja
![]() |
jest różniczkowalna w , lecz jej pochodna nie jest ciągła.
Udowodnij, że poniższe definicje pochodnej funkcji w punkcie
są równoważne:
(a) ,
(b) dla
i
niezależnego od
.
Przez równoważność rozumiemy to, że jeśli granica w (a) istnieje, to zależność (b) jest spełniona z ; i odwrotnie, jeśli (b) zachodzi dla pewnego
, to granica w (a) istnieje i jest równa
.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.