11. Wykład XI, 11.XII.2009

Dowodzimy teraz Twierdzenia 10.1, jednego z kilku najważniejszych w wykładach z APRK1.

Zgodnie z algorytmem opisanym w Wykładzie X, wykonujemy wszystkie $2^{k}-k-1$ etapów szukania rozwiązań problemu portfeli relatywnie minimalnego ryzyka, indeksowanych podzbiorami $\text{IN}\subset\{ 1,\, 2,\,\dots,\, k\}$ , $\#(\text{IN})\ge 2$ .²⁹Czasem, szczególnie gdy wymiar $k$ jest 3 lub 4, wygodniej jest indeksować uzupełniającymi zbiorami OUT; najzwyklejsze przejście do uzupełnień w zbiorze wszystkich indeksów. W danym etapie IN, dla $E\in E(\text{IN})$ [przedział – patrz Definicja 10.1 w Wykładzie X – który może też być pusty; wtedy nic w takim etapie IN nie dostajemy] otrzymujemy jednoznacznie wyznaczony portfel $x_{E}$ leżący na ścianie IN, przy czym przyporządkowanie $E(\text{IN})\ni E\longmapsto x_{E}$ jest liniowe.

W tym momencie portfel $x_{E}$ nie jest jeszcze zdefiniowany dla jakiejkolwiek wartości $E$ , która nie wyłania się z algorytmu w Wykładzie X, a są takie – będziemy mieli tego przykłady, patrz część $\bullet\bullet$ w twierdzeniu. Remedium na to jest proste:

a) funkcja $\sigma(\cdot)$ osiąga minimum na zbiorze $\Delta^{k}\cap\{ E=\text{const}\}$ , $E\in[E_{{\min}},\, E_{{\max}}]$ , $E_{{\min}}\overset{\text{def}}{=}\underset{1\le i\le k}{\min}\mu _{i}$ , $E_{{\max}}\overset{\text{def}}{=}\underset{1\le i\le k}{\max}\mu _{i}$ (jako funkcja ciągła na zbiorze zwartym) oraz
b) punkt realizujący to minimum jest jedyny, gdyż $\Delta^{k}\ni x\longmapsto\sqrt{x^{\text{T}}\Sigma\, x}$ jest ściśle wypukła (patrz Ćwiczenie 6.4 w Wykładzie VI; argumenty nie muszą być zawężane do sympleksu $\Delta^{k}$ , mogłyby też być z całej przestrzeni $\mathbb{R}^{k}$ ), więc zawsze, na przykład, $\sigma\big(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y\big)<\frac{1}{2}\sigma(x)+\frac{1}{2}\sigma(y)$ dla $x,\, y\in\Delta^{k}$ , $x\ne y$ . (Dwa różne portfele minimalizujące ryzyko przy tej samej wartości oczekiwanej produkowałyby trzeci portfel o tej samej wartości oczekiwanej i mniejszym ryzyku.)

Ten jedyny punkt wymieniony w b) i dotyczący danej wartości $E\in[E_{{\min}},\, E_{{\max}}]$ nazywamy $x_{E}$ . Nie wywołuje to kolizji z poprzednio nadanymi nazwami: dla wartości $E$ wyłaniających się z algorytmu w Wykładzie X, odrobinę starszy $x_{E}$ i teraz nowy $x_{E}$ to jeden i ten sam portfel leżący w $\Delta^{k}$ .³⁰W istocie do jedynego portfela $x_{E}$ wygenerowanego w punkcie b) powyżej dochodzi się przy słabszych założeniach, niż w Twierdzeniu 10.1. Wystarczałoby tylko $\Sigma>0$ , dające ścisłą wypukłość funkcji ryzyka. Nawet w zupełnie skrajnym wypadku $\mu _{1}=\mu _{2}=\dots=\mu _{k}$ , gdy dziedzina rozważanej funkcji ryzyka kurczy się do punktu. Tylko wtedy …. jest bardzo mało interesujących wartości $E$ – tylko jedna, więc też w ogóle tylko jeden portfel $x_{E}$ .

Uwaga terminologiczna jest taka, że portfel Markowitza $x_{E}$ ,,prawie zawsze” jest czymś innym niż portfel Blacka $x(E)$ , (6.2), z Twierdzenia 6.1 w Wykładzie VI, i nowe oznaczenie ma o tym przypominać. Czasem jednak $x_{E}$ może być portfelem $x(E)$ ; na przykład wtedy, gdy początkowy etap $\emptyset$ w algorytmie wnosi niepusty wkład do zbioru portfeli relatywnie minimalnego ryzyka. Można to łatwo doprecyzować:

Ćwiczenie 11.1

Uzasadnić, że $x_{E}=x(E)\Longleftrightarrow x(E)\in\Delta^{k}$ .

W sytuacji jak w tym ćwiczeniu, dany portfel relatywnie minimalnego ryzyka ma po prostu dwie nazwy: starą $x(E)$ z Wykładu VI i nową $x_{E}$ z bieżącego wykładu.

Wracając do meritum dowodu Twierdzenia 10.1, podstawowym pytaniem jest, czy przedziały $E(\text{IN})$ są, dla różnych zbiorów IN, parami rozłączne.
Odpowiedź brzmi: tak, właśnie z powodu jednoznaczności rozwiązań problemu portfeli relatywnie minimalnego ryzyka. $E(\text{IN})\cap E(\text{IN}^{{\prime}})=\emptyset$ dla $\text{IN}\ne\text{IN}^{{\prime}}$ , bo rozwiązanie, będąc jedynym, nie może leżeć na dwu różnych ścianach.
Wobec tego $\underset{\#(\text{IN})\ge 2}{\bigcup}E(\text{IN})$ to cały przedział $[E_{{\min}},\, E_{{\max}}]$ z wyjątkiem co najwyżej $k$ wartości odpowiadających zbiorom IN jednoelementowym, dla których opisana metoda znajdowania portfela $x_{E}$ nie działa (lecz gdzie rozwiązania wcale nie muszą trafiać).
Istotnie, na jakimkolwiek poziomie $E\in[E_{{\min}},\, E_{{\max}}]$ odpowiadające mu jedyne rozwiązanie $x_{E}$ musi leżeć na jakiejś ścianie sympleksu, i nie można wykluczyć, że jest to ściana 0-wymiarowa. Jeśli rzeczywiście jakiś wierzchołek $e_{i}=x_{E}$ ( $E=\mu _{i}$ ), to takiej wartości $E$ nie uzyskuje się z algorytmu.

Liczby ze zbioru $[E_{{\min}},\, E_{{\max}}]\setminus\underset{\#(\text{IN})\ge 2}{\bigcup}E(\text{IN})$ to właśnie węzły wyróżnione z treści twierdzenia.³¹Że nie muszą to być wszystkie $k$ wartości $\mu _{i}$ , pokazuje przykład: $\Sigma=\left(\begin{smallmatrix}2&3&-1\\ 3&10&-3\\ -1&-3&2\end{smallmatrix}\right),\quad\mu=\left(\begin{smallmatrix}3\\ 4\\ 1\end{smallmatrix}\right)$ , w którym $E\big(\{ 2,3\}\big)=(1,\,\frac{4}{3})$ , $E\big(\{ 1,2,3\}\big)=(\frac{4}{3},\,\frac{28}{9})$ , $E\big(\{ 1,2\}\big)=[\frac{28}{9},\, 4)$ , $E\big(\{ 3,1\}\big)=\emptyset$ , a zatem węzły wyróżnione to tylko $\mu _{3}=1$ oraz $\mu _{2}=4$ .
Widać też, że $E_{{\min}}$ oraz $E_{{\max}}$ zawsze są węzłami wyróżnionymi: dla jakiejkolwiek co najmniej 1-wymiarowej ściany IN (tj $\#(\text{IN})\ge 2$ ) przedział $E(\text{IN})$ jest – przy założeniu (10.3) – rozłączny z kresami dolnym i górnym wartości parametru $E$ na tej ścianie, więc na pewno rozłączny z liczbami $E_{{\min}}$ oraz $E_{{\max}}$ .

Natomiast węzły niewyróżnione to, z definicji, wszystkie te wartości $E\in(E_{{\min}},\, E_{{\max}})$ , które są końcami jakichś przedziałów $E(\text{IN})$ , $\#(\text{IN})\ge 2$ , uwaga: leżącymi w $E(\text{IN})$ .

Definiujemy teraz łamaną Ł jako

$\underset{\#(\text{IN})\ge 2}{\bigcup}\{ x_{E}\,\,|\,\, E\in E(\text{IN})\}\,.$

Jest to suma nie więcej niż $2^{k}-k-1$ rozłącznych odcinków różnych typów na końcach: $(\ )$ , $(\ \,]$ , $[\ \,)$ lub $[\ \,\,]$ . Jak są one położone względem siebie w $\Delta^{k}$ ? Dlaczego Ł, po domknięciu, jest spójną łamaną?

Niech, dla ustalenia uwagi, $E_{{\min}}<\widetilde{E}\le E_{{\max}}$ i albo $\widetilde{E}$ – węzeł wyróżniony z podchodzącym do niego z lewej przedziałem $E(\text{IN}^{{\prime}})$ , przy czym oczywiście $\widetilde{E}\notin E(\text{IN}^{{\prime}})$ ; np $\widetilde{E}=22$ w przykładzie Więcha, kiedy to $E\big(\{ 1,2\}\big)=\big(\frac{7499}{587},\, 22\big)$ oraz $E\big(\{ 2,3\}\big)=\big(22,\, 30\big]$ .

Albo też $\widetilde{E}$ – węzeł niewyróżniony z podchodzącym do niego z lewej przedziałem $E(\text{IN}^{{\prime}})\not\ni\widetilde{E}$ . (W tym drugim przypadku oczywiście $\widetilde{E}<E_{{\max}}$ i $\widetilde{E}$ już z konieczności należy do odpowiedniego przedziału $E(\text{IN})$ podchodzącego do $\widetilde{E}$ z prawej.) Np $\widetilde{E}=\frac{6020}{1051}$ w przykładzie Więcha, kiedy to $E\big(\{ 2,3,4\}\big)=\big(\frac{38}{7},\,\frac{6020}{1051}\big)$ oraz $E\big(\{ 2,4\}\big)=\big[\frac{6020}{1051},\,\frac{8288}{1287}\big]$ .

Pokażemy, że w każdym przypadku portfele $x_{E}$ dążą do $x_{{\widetilde{E}}}$ gdy $E\to\widetilde{E}-$ , co już da potrzebną ciągłość łamanej wierzchołkowej Ł.

Dla $E$ trochę mniejszych niż $\widetilde{E}$ portfele $x_{E}$ leżą na ścianie $\text{IN}^{{\prime}}$ i mamy konkretne, afiniczne względem $E$ , wzory na $x_{E}$ , $\lambda$ , $\lambda _{E}$ . Niech

	$\displaystyle\widetilde{x}$	$\displaystyle=\lim _{{E\to\widetilde{E}-}}x_{E}\,,$
	$\displaystyle\widetilde{\lambda}$	$\displaystyle=\lim _{{E\to\widetilde{E}-}}\lambda\,,$
	$\displaystyle\widetilde{\lambda}_{E}$	$\displaystyle=\lim _{{E\to\widetilde{E}-}}\lambda _{E}\,.$

Oczywiście $\widetilde{x}\in\Delta^{k}$ , $\widetilde{\lambda}$ , $\widetilde{\lambda}_{E}\in\mathbb{R}$ , przy czym

$E(\widetilde{x})\,=\, E\left(\lim _{{E\to\widetilde{E}-}}x_{E}\right)=\lim _{{E\to\widetilde{E}-}}E(x_{E})\,=\lim _{{E\to\widetilde{E}-}}E\,=\,\widetilde{E}\,.$

Portfele relatywnie minimalnego ryzyka $x_{E}$ dla $E<\widetilde{E}$ spełniały warunki dawane przez twierdzenie K-T:

$\left\{\begin{array}[]{ll}\Sigma x_{E}+\lambda e-\lambda _{E}\mu\ge 0\,,&\\ x^{{\,\text{T}}}_{E}\big(\Sigma x_{E}+\lambda e-\lambda _{E}\mu\big)=0\,.&\end{array}\right.$

(11.1)

Przechodząc w (11.1) z $E$ do $\lim\limits _{{E\to\widetilde{E}-}}$ , mamy oczywiście

$\left\{\begin{array}[]{ll}\Sigma\widetilde{x}+\widetilde{\lambda}e-\widetilde{\lambda}_{E}\mu\ge 0\,,&\\ \widetilde{x}^{{\text{T}}}\Big(\Sigma\widetilde{x}+\widetilde{\lambda}e-\widetilde{\lambda}\mu\Big)=0\,.&\end{array}\right.$

(11.2)

Z twierdzenia K-KT, $\widetilde{x}$ jest zatem portfelem relatywnie minimalnego ryzyka w $\Delta^{k}$ mającym wartość oczekiwaną $\widetilde{E}$ , czyli $\widetilde{x}=x_{{\widetilde{E}}}$ . Dowód twierdzenia jest zakończony.

∎

Uwaga 11.1 (po dowodzie)

Uzyskane w tym dowodzie wartości współczynników Lagrange'a $\widetilde{\lambda}$ i $\widetilde{\lambda}_{E}$ nie muszą być określone jednoznacznie. Są jednoznaczne dla wartości $\widetilde{E}$ – węzłów niewyróżnionych (bo wtedy mamy jednoznaczność dla $E\in E(\text{IN})$ na ścianie IN takiej, że $\widetilde{E}\in E(\text{IN})$ , i w szczególności dla $E=\widetilde{E}$ ; patrz też Wniosek 15.1 w Wykładzie XV).
Nie muszą natomiast być jednoznaczne dla wartości $\widetilde{E}$ – węzłów wyróżnionych, porównaj np różne granice jednostronne współczynników $\lambda _{E}$ w $\widetilde{E}=5$ lub 22 w przykładzie Więcha. (Patrz też Wniosek 15.2 w Wykładzie XV.)

Uwaga 11.2

W warunkach Twierdzenia 10.1 mamy jednoznaczność łamanej wierzchołkowej Ł. Możemy oglądać dosyć imponujące przykłady łamanych: na Rysunku 7.5 w Wykładzie VII (złożona tylko z portfeli efektywnych, więc tożsama z łamaną efektywną), czy na Rysunku 15.1 w Wykładzie XV (ilustrującym przykład Więcha). Trzeba jednak pamiętać, że tę jednoznaczność mamy przy założeniach Twierdzenia 10.1. Gdy macierz kowariancji jest tylko nieujemnie określona, wtedy może zatracać się jednoznaczność spójnej łamanej obsługującej – po obłożeniu odwzorowaniem $\mathcal{M}$ – całą granicę $F_{{\min}}$ w aspekcie M.

Dla przykładu, oto rysunek sympleksu $\Delta^{4}$ , który należy oglądać razem z Rysunkiem 3.3 w Wykładzie III. Jedną z takich możliwych łamanych jest łamana narysowana tu na czerwono (ma ona 7 boków). Niżej na rysunku wskazane są dwie inne (każda z nich ma 6 boków). Możliwa jest jeszcze inna łamana, najprostsza z nich wszystkich, mająca 5 boków: $E=6\to E=5\to E=4\frac{1}{5}\to E=3\to E=2\to E=1$ .

[W wersji pdf rysunek nie mieści się tutaj, za to otwiera następną stronę.]

$\par$

Rys. 11.1. Mocno niejednoznaczna łamana wierzchołkowa w modelu $\pm$ doskonale skorelowanym.

Tym samym mamy już przykład, gdy po osłabieniu założeń Twierdzenia 10.1 zatraca się jednoznaczność łamanej Ł. Trzeba jednak też wspomnieć, że jednoznaczna łamana Ł obsługująca $F_{{\min}}$ może istnieć i przy osłabionych założeniach. Już Przykład 4.2 w Wykładzie IV był/jest taki! Jednoznaczna łamana w nim to $e_{1}\to\frac{1}{2}(e_{1}+e_{3})\to\frac{1}{2}(e_{1}+e_{2})\to e_{2}$ ; patrz też dolna część Rysunku 4.6 w Wykładzie IV.

Ćwiczenie 11.2

Dla portfeli relatywnie minimalnego ryzyka położonych na boku $\frac{1}{2}(e_{1}+e_{3})\to\frac{1}{2}(e_{1}+e_{2})$ łamanej implicite obecnej w Przykładach 4.2 i 7.1, a więc portfeli spełniających w szczególności odpowiednie warunki K-KT przy relatywnej minimalizacji ryzyka portfeli Markowitza, znaleźć wszystkie możliwe wartości współczynnika Lagrange'a $\lambda _{E}$ we wspomnianych warunkach K-KT.

Rozwiązanie:

Z opisu łamanej widzimy, że w ćwiczeniu chodzi o etap $\text{OUT}=\emptyset$ . Wspomniany bok łamanej jest rozwiązaniem – wkładem tego właśnie etapu do całej konstrukcji łamanej. Bierzemy dowolny punkt $(x_{1},\, x_{2},\, x_{3})^{{\text{T}}}$ z tego boku. Układ równań

$\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ y_{3}\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}-\lambda _{E}\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 2\end{pmatrix}=0$

ma więc, przy jakichś współczynnikach $\lambda$ i $\lambda _{E}$ , rozwiązanie (i to w liczbach dodatnich, co bez znaczenia). Zatem rząd macierzy tego układu równań liniowych i rząd macierzy rozszerzonej o kolumnę wyrazów wolnych – są równe (twierdzenie Kroneckera-Capellego):

$\text{rk}\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&1&1\end{pmatrix}=\, 2\,=\,\text{rk}\begin{pmatrix}1&0&0&3\lambda _{E}-\lambda\\ 0&1&1&\lambda _{E}-\lambda\\ 0&1&1&2\lambda _{E}-\lambda\end{pmatrix}.$

Stąd $2\lambda _{E}-\lambda-(\lambda _{E}-\lambda)=0$ , czyli $\lambda _{E}=0$ . We wszystkich portfelach na tym boku warunki K-T wymuszają jedną jedyną wartość $\lambda _{E}=0$ (mimo, że portfele te, jak wiemy, nie są efektywne w aspekcie M).

Uwaga 11.3

Łamana wierzchołkowa jest zbudowana z portfeli $x_{E}$ . W zasadzie wiemy już, z Ćwiczenia 11.2 powyżej, kiedy $x_{E}=x(E)$ . Jednak tamta wiedza jest mało operatywna: co to znaczy, że $x(E)\in\Delta^{k}$ ? Nie należy sądzić, że jest tak tylko wtedy, gdy prosta krytyczna Blacka idzie przez wnętrze sympleksu $\Delta^{k}$ , względnie gdy muska jeden z wierzchołków $\Delta^{k}$ . Prosta krytyczna może przecież nie spotykać wnętrza całego sympleksu, tylko wnętrze jakiejś mniej-wymiarowej jego ściany! Przykład takiej sytuacji jest w ćwiczeniu tu poniżej.

Ćwiczenie 11.3

W jednym z klasycznych przykładów używanych do ilustrowania wykładów z APRK1,

$\Sigma=\begin{pmatrix}2&3&0\\ 3&10&-3\\ 0&-3&2\end{pmatrix},\quad\mu=\begin{pmatrix}3\\ 4\\ 1\end{pmatrix},$

prosta krytyczna Blacka trafia w portfel $e_{1}$ , przez który wchodzi do wnętrza trójkąta $\Delta^{3}$ , po czym wychodzi zeń przez wnętrze ściany $\overline{e_{2}\, e_{3}}$ . Zmienić wartość współczynnika $\rho _{{23}}=-\frac{3}{2\sqrt{5}}\approx-0.6708$ na taką, by prosta krytyczna w zmienionym modelu zawierała bok $\overline{e_{1}\, e_{3}}$ .³²ma to związek z zadaniem na egzaminie z APRK1 na Wydziale MIM UW w III.2009

Rozwiązanie:

Szukamy – Twierdzenie 5.1 w Wykładzie V – wartości $\rho$ takiej, by portfel $e_{3}$ był krytyczny, tzn. by trzeci wiersz macierzy kowariancji był liniowo zależny od wektorów $\mu$ oraz $e$ :

$0\,=\,\begin{vmatrix}0&3&1\\ 2\sqrt{5}\rho&4&1\\ 2&1&1\end{vmatrix}\,=\,-2-4\sqrt{5}\rho\,.$

Stąd $\rho=-\frac{1}{2\sqrt{5}}\approx-0.2236$ . (Nie zapominamy też sprawdzić, czy w ogóle dostajemy wtedy macierz przydatną w analizie portfelowej – tu owszem, tak. Tą odpowiedzią w ćwiczeniu jest $\Sigma^{{\prime}}=\left(\begin{smallmatrix}2&3&0\\ 3&10&-1\\ 0&-1&2\end{smallmatrix}\right)$ .)

Przykłady węzłów wyróżnionych i niewyróżnionych w łamanych wierzchołkowych w Twierdzeniu 10.1.

a) Dla przykładu pojawiającego się w Ćwiczeniu 11.3 powyżej jeszcze przed zmianą współczynnika korelacji $\rho _{{23}}$ , $E\big(\{ 2,\, 3\}\big)=(1,\, 2]$ , $E\big(\{ 1,\, 2,\, 3\}\big)=(2,\, 3)$ , $E\big(\{ 1,\, 2\}\big)=(3,\, 4)$ , $E\big(\{ 3,\, 1\}\big)=\emptyset$ . Zatem wszystkie trzy wartości oczekiwane $\mu _{i}$ są węzłami wyróżnionymi, natomiast wartość 2 jest węzłem niewyróżnionym.
b) Dla Przykładu 4.1 w Wykładzie IV, bardzo dobrze wtedy rozpracowanego (patrz też Rysunek 4.7), $E\big(\{ 2,3\}\big)=(1,\,\frac{4}{3}]$ , $E\big(\{ 1,2,3\}\big)=[\frac{4}{3},\,\frac{8}{3})$ , $E\big(\{ 3,1\}\big)=[\frac{8}{3},\, 3)$ , $E\big(\{ 1,2\}\big)=\emptyset$ . Zatem węzły wyróżnione to tylko $\mu _{2}=E_{{\min}}$ oraz $\mu _{1}=E_{{\max}}$ . Dochodzą do nich jeszcze dwa węzły niewyróżnione $\frac{4}{3}$ i $\frac{8}{3}$ .

Stwierdzenie 11.1

W modelu Markowitza $(\Sigma,\,\mu)$ , $\Sigma>0$ , spełniającym założenie (10.3), funkcja $[E_{{\min}},\, E_{{\max}}]\ni E\longmapsto\sigma(x_{E})$ jest ściśle wypukła.

Niech $E\ne E^{{\prime}}$ , obie wartości wzięte ze wskazanego przedziału, oraz $s,\, t>0$ , $s+t=1$ . Wtedy wystarczy porównać ryzyka portfeli $x_{{sE+tE^{{\prime}}}}$ oraz $sx_{E}+tx_{{E^{{\prime}}}}$ , z których drugi też leży w $\Delta^{k}$ i ma taką samą wartość oczekiwaną $sE+tE^{{\prime}}$ jak pierwszy. Z definicji pierwszego portfela mamy pierwszą (nieostrą) nierówność w

$\sigma(x_{{sE+tE^{{\prime}}}})\le\sigma(sx_{E}+tx_{{E^{{\prime}}}})<s\sigma(x_{E})+t\sigma(x_{{E^{{\prime}}}}),$

zaś druga (ostra) nierówność spowodowana jest ścisłą wypukłością funkcji $x\longmapsto\sqrt{x^{{\text{T}}}\Sigma\, x}$ , już dobrze znaną z Ćwiczenia 6.4 (Wykład VI).

∎

Założenie (10.3) w Stwierdzeniu 11.1 jest nadmiarowe – porównaj wcześniej w tym wykładzie przypis nr 2; w wersji html – przypis nr 30. Jest ono jednak eksponowane celowo dla utrzymania przejrzystości całej sytuacji, ponieważ pojawiło się już w Twierdzeniu 10.1, pomagając uprościć jego [niedawno przeprowadzony] dowód.

Wniosek 11.1

Przy tych samych założeniach co w Stwierdzeniu 11.1, również funkcja $[E_{{\min}},\, E_{{\max}}]\ni E\longmapsto\sigma^{2}(x_{E})$ jest ściśle wypukła.

Istotnie, jest to złożenie funkcji ściśle wypukłej ze Stwierdzenia 11.1 z funkcją $(\ )^{2}$ , która jest rosnąca i ściśle wypukła na dodatniej półosi prostej rzeczywistej.

Stwierdzenie 11.2

Przy założeniu $\Sigma>0$ , w aspekcie M istnieje jeden jedyny portfel $x\in\Delta^{k}$ minimalizujący ryzyko wśród wszystkich portfeli Markowitza. Oznaczamy go $\widetilde{x}_{{\min}}$ .

Istotnie. Jego istnienie wynika z twierdzenia Weierstrassa. Jego jedyność wynika ze ścisłej wypukłości ryzyka portfeli przy dodatniej macierzy kowariancji.

Przykład 11.1

W przykładzie Więcha w Wykładzie X już znaleźliśmy (my = ci, którzy wykonali Ćwiczenie 10.6) taki portfel $\widetilde{x}_{{\min}}$ , drogą ,,przeczesania” wielu etapów przy sprawdzaniu warunków K-KT.

Teraz, w sytuacji ogólnej, będziemy używać tego samego symbolu na portfel o najmniejszym ryzyku w aspekcie M: $\widetilde{x}_{{\min}}$ .

Obserwacja. 11.1 Funkcja $[E\big(\widetilde{x}_{{\min}}\big),\, E_{{\max}}]\ni E\longmapsto\sigma(x_{E})$ jest ściśle rosnąca.
Przedział $[E\big(\widetilde{x}_{{\min}}\big),\, E_{{\max}}]$ jest maksymalnym przedziałem rosnącości funkcji $[E_{{\min}},\, E_{{\max}}]\ni E\longmapsto\sigma(x_{E})$ .

Istotnie, punkt $E=E\big(\widetilde{x}_{{\min}}\big)$ jest punktem globalnego minimum funkcji ze Stwierdzenia 11.1. Funkcja ściśle wypukła, poczynając od miejsca swojego globalnego minimum, jest ściśle rosnąca. Przy tym maksymalność podanego przedziału jest od razu widoczna.

Stwierdzenie 11.3

(a) Przy założeniu $\Sigma>0$ portfel $\widetilde{x}_{{\min}}$ jest zawsze efektywny w aspekcie M.

(b) Przy założeniach $\Sigma>0$ i (10.3), portfele efektywne w aspekcie M to spójna część łamanej $\overline{\text{Ł}}$ zaczynająca się w $x_{{E_{{\max}}}}$ i kończąca się w $\widetilde{x}_{{\min}}$ .

Dowód (a). Gdyby punkt $\mathcal{M}(\widetilde{x}_{{\min}})$ leżał w cieniu jakiegoś punktu $\mathcal{M}(x)$ , $x\in\Delta^{k}$ , to byłoby

$\sigma(x)\le\sigma(\widetilde{x}_{{\min}})\quad\text{oraz}\quad E(x)\ge E(\widetilde{x}_{{\min}})\,,$

przy czym co najmniej jedna z tych nierówności byłaby ostra. Jednak pierwsza nierówność jest tu z konieczności równością $\sigma(x)=\sigma(\widetilde{x}_{{\min}})$ , i to równością ryzyk dwóch różnych portfeli. W takiej sytuacji średnia arytmetyczna tych portfeli, również leżąca w $\Delta^{k}$ , miałaby ryzyko mniejsze od minimalnego możliwego, sprzeczność. (Drugiej nieostrej nierówności w ogóle tu nie użyliśmy.)

Dowód (b). Portfele $x_{E}$ dla $E_{{\min}}\le E<E(\widetilde{x}_{{\min}})$ są oczywiście zdominowane przez $\widetilde{x}_{{\min}}$ , bo $\sigma(\widetilde{x}_{{\min}})<\sigma(x_{E})$ . Nie są więc efektywne (patrz specyfikacja po ogólnej Definicji 7.2 w Wykładzie VII).

Co dla $E(\widetilde{x}_{{\min}})<E\le E_{{\max}}$ ? Gdyby jakiś portfel $x\in\Delta^{k}$ dominował wtedy portfel $x_{E}$ , tzn. byłoby

$\sigma(x)\le\sigma(x_{E})\quad\text{oraz}\quad E\le E(x)$

(11.3)

i co najmniej jedna z tych nierówności była ostra, to:

gdyby to pierwsza nierówność w (11.3) była ostra, wtedy, używając drugiej nierówności w (11.3) oraz Obserwacji 11.1, mielibyśmy $\sigma(x_{E})\le\sigma\big(x_{{E(x)}}\big)\le\sigma(x)$ ,³³druga w tym ciągu nierówności dlatego, że portfele $x$ oraz $x_{{E(x)}}$ mają tę samą wartość oczekiwaną $E(x)$ , zaś portfel $x_{{E(x)}}$ minimalizuje ryzyko przy ustalonej wartości oczekiwanej $E(x)$ a więc dokładnie przeciwnie, niż mówi pierwsza (teraz, pamiętamy, ostra) nierówność w (11.3).
Gdyby zaś druga nierówność w (11.3) była ostra, to, znowu dzięki niej i Obserwacji 11.1, byłoby $\sigma(x_{E})<\sigma\big(x_{{E(x)}}\big)\le\sigma(x)$ , czyli znowu dokładnie przeciwnie niż w pierwszej, teraz nieostrej, nierówności w (11.3)!

Stąd wniosek, że hipotetyczny portfel $x$ dominujący portfel $x_{E}$ nie istnieje, więc ten ostatni jest efektywny (jeszcze raz Definicja 7.2 i jej specyfikacja).

∎

Definicja 11.1

Część łamanej wierzchołkowej $\overline{\text{Ł}}$ , złożoną z portfeli efektywnych w aspekcie M i dokładnie opisaną w Stwierdzeniu 11.3, nazywamy łamaną efektywną. Jest to domknięta i spójna część łamanej $\overline{\text{Ł}}$ – jej [chciałoby się powiedzieć] podłamana.

Teraz już innymi oczami odczytujemy hasło pod Rysunkiem 7.5 w Wykładzie VII. Inaczej też zapewne odbieramy garść informacji historycznych podaną na końcu tamtego Wykładu VII.

Jak szukać łamanych efektywnych? W praktyce konkretnie i skutecznie szuka się łamanej efektywnej [w danym modelu spełniającym założenia Twierdzenia 10.1] analizując wszystkie funkcje $\lambda _{E}(\cdot)$ uzyskiwane na kolejnych etapach algorytmu szukania łamanej wierzchołkowej podanego na Wykładzie X. Trzeba tylko wyrazić rosnącość ściśle wypukłej funkcji $\sigma^{2}(x_{E})$ na maksymalnym możliwym przedziale, uchwyconą w Obserwacji 11.1, przez znak jej pochodnej – w punktach (prawie wszystkich), gdzie jest różniczkowalna. Pomocna w tym będzie, oczywiście, Obserwacja 6.1 z Wykładu VI.

Na jej podstawie, w punktach wewnętrznych wszystkich niepustych przedziałów $E(\text{IN})$ , czyli we wszystkich punktach $E$ przedziału $[E_{{\min}},\, E_{{\max}}]$ bez co najwyżej $2^{k}-k$ punktów, funkcja $\sigma^{2}(x_{E})$ jest różniczkowalna i jej pochodna wynosi $2\lambda _{E}(E)$ , gdzie $\lambda _{E}(\cdot)$ wzięta jest z teorii Blacka na odpowiednim przedziale $E(\text{IN})\ni E$ .
$(\star)$ Jeśli w jakimś takim punkcie odpowiednia funkcja $\lambda _{E}$ ma miejsce zerowe, wtedy portfel $\widetilde{x}_{{\min}}$ rozpoczynający łamaną efektywną, a więc i cała ta łamana, są już znalezione.
$(\star\star)$ Jeśli nie, to jeden z węzłów (nie wiemy w tej chwili: wyróżniony czy niewyróżniony, w tym momencie nie ma to znaczenia) rozgranicza znaki funkcyj $\lambda _{E}(\cdot)$ : na lewo od niego odpowiednie funkcje obcięte do wnętrz przedziałów $E(\text{IN})$ są ujemne, zaś na prawo od niego są dodatnie. Od tego więc węzła aż do $E_{{\max}}$ rozciąga się maksymalny przedział rosnącości funkcji $\sigma^{2}(x_{E})$ , czyli łamana efektywna zaczyna się w punkcie (portfelu) $x_{{\text{ten węzeł}}}$ .

Poniżej (Przykład 11.2) prześledzimy te stwierdzenia na koronnym dla nas przykładzie Więcha podanym w Wykładzie X. Na jego temat jest tam dokładna Tabela z wszystkimi funkcjami $\lambda _{E}(\cdot)$ wraz z ich dziedzinami.

Uwaga 11.4

Czytelnik ma prawo zapytać, co dzieje się z różniczkowalnością funkcji $\sigma^{2}(x_{E})$ w węzłach, wyróżnionych i niewyróżnionych, których – jak wiemy – łącznie jest zawsze nie więcej niż $2^{k}-k$ ? Wyczerpujące odpowiedzi będą podane w Wykładzie XV w sekcji `Uzasadnienie poprawności algorytmu CLA'. Różniczkowalność okaże się mieć miejsce zawsze w węzłach niewyróżnionych (Wniosek 15.1). Zaś węzły wyróżnione w Wykładzie XV okażą się być rzędnymi punktów, w których granica minimalna w aspekcie M – przy warunkach niezdegenerowania przyjmowanych w algorytmie CLA – ma punkty załamania (kinki, Wniosek 15.2).

Natomiast przy ogólnych założeniach Twierdzenia 10.1 mogą też pojawiać się węzły wyróżnione niedające załamań granicy minimalnej: węzły wyróżnione – punkty gładkości. W Ćwiczeniu 11.3 wcześniej w bieżącym wykładzie podany już był przykład takiej patologii: przed zmianą współczynnika $\rho _{{23}}$ , wartość $E=\mu _{1}=3$ jest tam węzłem wyróżnionym i też rzędną punktu gładkości na $F_{{\min}}$ . I także po zmianie wartości $\rho _{{23}}$ węzeł $\mu _{1}$ pozostaje wyróżniony i gładki!³⁴Nasuwa się pytanie, co dzieje się z tym węzłem w tak zwanym międzyczasie – ?

Przykład 11.2

Możliwe jest inne (przynajmniej formalnie; tak, czy inaczej posługujemy się funkcjami $\lambda _{E}(\cdot)$ pochodzącymi z zastosowań twierdzenia K-KT) rozwiązanie Ćwiczenia 10.6 z Wykładu X. Operujemy już teraz bogatszą terminologią pochodzącą z Twierdzenia 10.1 i z bieżącego wykładu:

Łamana efektywna w łamanej Ł zaczyna się na ścianie $\{ 1,\, 3,\, 4\}$ , gdyż podczas etapu $\text{OUT}=\{ 2\}$ odpowiednia funkcja $\lambda _{E}(\cdot)$ zmienia znak w punkcie wewnętrznym przedziału $E(\{ 1,3,4\})$ – patrz właśnie Tabela w Wykładzie X. (Innymi słowy, z dwu możliwości $(\star)$ i $(\star\star)$ wydzielonych powyżej, zachodzi ta pierwsza.) Z podanych w Tabeli skrajnych argumentów i wartości $\lambda _{E}$ w tym etapie znajdujemy miejsce zerowe $\lambda _{E}\left(\frac{12293}{1298}\right)=0$ . Tę wartość $E$ podstawiamy do prostej krytycznej ściany $\{ 1,3,4\}$ :

$\widetilde{x}_{{\min}}\:=\left.\begin{pmatrix}-\,\frac{865}{711}+\frac{142}{711}E\\ 0\\ -\,\frac{1057}{3555}+\frac{199}{3555}E\\ \frac{993}{395}-\frac{101}{395}E\end{pmatrix}\right|_{{E=\frac{12293}{1298}}}=\:\begin{pmatrix}\frac{438}{649}\\ 0\\ \frac{1511}{6490}\\ \frac{599}{6490}\end{pmatrix}.$

Ćwiczenie 11.4

Narysować łamaną efektywną w przykładzie Więcha.

Wskazówka:

Spojrzeć na Rysunek 15.1, trzymając w ręku Przykład 11.2.

Łamana wierzchołkowa to – w pierwotnej teorii Markowitza – odpowiednik prostej krytycznej Blacka. Może ona być naprawdę skomplikowana; wskazywaliśmy już odpowiednie rysunki uzasadniające tę tezę. W wykładach, dosyć paradoksalnie, najpierw poznaje się prostą Blacka, zaś łamaną wierzchołkową – będącą powrotem do źródeł teorii portfelowej! – dopiero poźniej.

Natomiast łamana efektywna to, oczywiście, odpowiednik półprostej efektywnej Blacka, takiej jak np pokazana na Rysunku 7.6 w Wykładzie VII. Jest ona obiektem dość finezyjnym, budowanym w oparciu o dość subtelne pojęcie efektywności portfela. Czasem potrafi być nawet całą łamaną wierzchołkową (jak na Rysunku 7.5 w przykładzie Krzyżewskiego), czasem tylko jednym portfelem $x_{{E_{{\max}}}}$ , np gdy $\Sigma=\left(\begin{smallmatrix}16&7&\frac{7}{2}\\ 7&4&\frac{7}{4}\\ \frac{7}{2}&\frac{7}{4}&1\end{smallmatrix}\right)$ , $\mu=\left(\begin{smallmatrix}1\\ 2\\ 4\end{smallmatrix}\right)$ .³⁵Mniejsza już być nie może: portfel $x_{{E_{{\max}}}}$ zawsze jest efektywny w aspekcie M. No i otwarte pozostaje ,,Ćwiczenie” 7.5 …

Poznaliśmy już zmodyfikowany model Tobina (Black $+$ ” $\mu _{0}$ ”), zaś teraz poznamy oryginalny model Tobina: dołączenie banku oferującego bezryzykowną stopę zwrotu $\mu _{0}$ (obowiązującą w obie strony, pracownicy banku żywią się powietrzem) do podstawowego modelu Markowitza.

Jeśli inwestor mający $L$ środków własnych dopożycza jeszcze $A_{0}$ środków z banku, wtedy przeznacza na zakup akcji $L+A_{0}$ i jego bilans budżetowy to

$L+A_{0}=\sum _{{i=1}}^{k}A_{i}\,,$

(11.4)

gdzie $A_{i}$ to kwota, za którą kupuje akcje spółki nr $i$ . Jeśli zaś kwotę $A_{0}$ wziętą ze swojego kapitału $L$ lokuje on w banku, natomiast za resztę kupuje akcje spółek, wtedy jego bilans wygląda

$L=A_{0}+\sum _{{i=1}}^{k}A_{i}\,.$

(11.5)

Równania (11.4), (11.5) zapisujemy przejrzyściej w postaci

$1=\left(-\frac{A_{0}}{L}\right)+\sum _{{i=1}}^{k}\frac{A_{i}}{L},$

(11.6)

względnie

$1=\frac{A_{0}}{L}+\sum _{{i=1}}^{k}\frac{A_{i}}{L}.$

(11.7)

W sytuacji (11.6) oznaczamy $x_{0}=-\frac{A_{0}}{L}<0$ , zaś w sytuacji (11.7) $x_{0}=\frac{A_{0}}{L}>0$ . Ponadto kładziemy $x_{i}=\frac{A_{i}}{L}$ , $i=1,\, 2,\dots,\, k$ i w ten sposób portfele w modelu Tobina to $(k+1)$ -tki $(x_{0},\, x_{1},\dots,\, x_{k})^{{\text{T}}}$ , w których

$x_{0}+x_{1}+\cdots+x_{k}=1,\quad x_{1},\dots,\, x_{k}\ge 0,\quad x_{0}\text{ dowolne niewiększe niż 1}\,.$

Ujemne $x_{0}$ , porównaj (11.6), oznaczają dopożyczanie środków w banku, natomiast dodatnie nieprzekraczające jedynki $x_{0}$ , porównaj (11.7), oznaczają lokowanie [części] własnych środków w banku.

Jaki zbiór tworzą tutaj portfele dopuszczalne $(x_{0},\, x_{1},\dots,\, x_{k})^{{\text{T}}}$ ? W zmodyfikowanym modelu Tobina w Wykładzie VIII była to, jak pamiętamy, hiperpłaszczyzna $\widetilde{H}$ , a teraz? Patrząc na opis powyżej, widać od razu, że ten zbiór to

$\widetilde{\!\widetilde{H}}\,=\,\underset{r\le 1}{\bigcup}\left(r,\,(1-r)\Delta^{k}\right)\,,$

(11.8)

a więc pewien nieograniczony stożek w $\mathbb{R}^{{k+1}}$ zbudowany nad sympleksem $\Delta^{k}\subset\{ 0\}\times\mathbb{R}^{k}$ , czyli pewien nieograniczony wielowymiarowy (dokładnie: $k$ -wymiarowy) hiper-ostrosłup.

Teoria opisująca ten model jest częściowo podobna do teorii Tobina w sytuacji Blacka. Tamta prowadziła do pojęcia portfela $x_{{\text{op}}}$ optymalnego w modelu Blacka ze względu na panującą stopę bezryzykowną $\mu _{0}$ . Ta obecna prowadzi do pojęcia portfela $\widetilde{x}_{{\text{op}}}$ optymalnego w modelu Markowitza ze względu na panującą stopę bezryzykowną $\mu _{0}$ ,
tzn. maksymalizującego wśród portfeli $x\in\Delta^{k}$ współczynnik Sharpe'a $S_{{\mu _{0}}}(x)$ (porównaj Wykład IX i też Wykład I), gdzie teraz zakłada się jedynie, że $-1\le\mu _{0}<E_{{\max}}$ ; $E_{{\max}}$ jest zdefiniowane na początku tego wykładu.

$S_{{\mu _{0}}}(\widetilde{x}_{{\text{op}}})\,=\,\max _{{x\in\Delta^{k}}}S_{{\mu _{0}}}(x)\,.$

Różnica może być zasadnicza, bo [chciałoby się powiedzieć: tradycyjne] portfele Markowitza stanowią tylko drobną cząstkę wszystkich portfeli Blacka, i podobnie jest po przyłożeniu do portfeli mapy Markowitza. Niech za ilustrację posłuży następujący przykład [w wersji pdf rysunek przeskakuje na następną stronę]:

$\par$

Rys. 11.2. Rysunek 6.1 z dołożoną stopą bezryzykowną $\mu _{0}=\frac{3}{2}$ .

Maksima współczynników Sharpe'a w aspektach M i B różnią się, w tym przykładzie i przy tej stopie bezryzykownej, bardzo.

Ćwiczenie 11.5

Dla danych (6.1) użytych do wygenerowania Rysunku 11.2 powyżej [w wersji pdf: poniżej], narysować zbiór osiągalny w modelu Tobina z tymi właśnie parametrami, tzn. zbiór $\mathcal{M}\left(\widetilde{\!\widetilde{H}}\right)$ .

Wskazówka:

Użyć w tym celu informacji (11.8). Część pracy (rysowania zbioru osiągalnego) jest już na Rysunku 11.2 … wykonana.

Matematyczne instrumentarium prowadzące do opisu $\widetilde{x}_{{\text{op}}}$ , znacznie finezyjniejsze niż w przypadku portfeli $x_{{\text{op}}}$ , będzie przedstawione w końcowej części Wykładu XIII i na początku Wykładu XIV, poprzez Twierdzenie 14.1, aż do Twierdzenia 14.2 włącznie. W tej chwili podamy tylko motywację i sam goły wynik – algorytm prowadzący do znalezienia $\widetilde{x}_{{\text{op}}}$ .

Czy można jakoś ,,zgadnąć” taki algorytm, gdy chwilowo mamy tylko wzór na portfel $x_{{\text{op}}}$ z Wykładu IX? Pytanie zaiste karkołomne. Być może wzór zastąpić równaniem, bo przy rozgrywaniu analogii [prosta Blacka versus łamana wierzchołkowa], przed wzorem na portfele $x(E)$ mieliśmy równanie uwikłane na te portfele, i właśnie tamto równanie zostało (dzięki czarodziejskiej różdżce – Twierdzeniu 9.2) w coś przemienione.

Tak więc $x_{{\text{op}}}$ zapisujemy jako $\frac{y}{e^{{\text{T}}}y}$ , gdzie $y=\Sigma^{{-1}}(\mu-\mu _{0}e)$ , albo też

$\Sigma y-\mu+\mu _{0}e\,=\, 0\,.$

(11.9)

To teraz spójrzmy z bliska na tamte równania uwikłane

$\begin{cases}\Sigma x+\lambda e-\lambda _{E}\mu\,=\, 0\,,\\ \mu^{{\text{T}}}x=E.\end{cases}$

na portfel $x(E)$ leżący w hiperpłaszczyźnie $H$ .

I spójrzmy, co z nich zrobili czarodzieje K-KT:³⁶nie dosłownie oni, lecz oni byli ,,ojcami założycielami”, patrz [12]

$\begin{cases}\Sigma x+\lambda e-\lambda _{E}\mu\,\ge\, 0\,,\\ x^{{\text{T}}}(\Sigma x+\lambda e-\lambda _{E}\mu)\,=\, 0\,,\\ \mu^{{\text{T}}}x\,=\, E\,,\end{cases}$

by znaleźć portfel $x_{E}\in\Delta^{k}\subset H$ . Równości zamienili nierównościami i dla równowagi dodali warunek komplementarności.

Przypomnijmy jeszcze, że pierwszy problem rozwiązywał się zupełnie standardowo (słynny układ dwóch równań liniowych o niezerowym wyznaczniku), natomiast drugi – grając umiejętnie nierównościami i komplementarnymi do nich równościami – kawałkami sprowadzał się do pierwszego. Kawałkami ze względu na wartości parametru $E$ . Takie spojrzenie na drugi problem to właśnie wynik zastosowania twierdzenia K-KT.

Zaryzykujmy więc, chwyćmy różdżkę i przemieńmy (11.9) w … coś takiego

$\Sigma y-\mu+\mu _{0}e\,\ge\, 0,\quad y\ge 0,\quad e^{{\text{T}}}y>0,\quad y^{{\text{T}}}\big(\Sigma y-\mu+\mu _{0}e\big)\,=\, 0\,.$

(11.10)

Tak jest, równości znowu zamienione nieostrymi nierównościami i dla równowagi dodany warunek komplementarności … Okaże się, że portfel $\widetilde{x}_{{\text{op}}}$ istotnie jest normalizacją rozwiązania (lub rozwiązań) problemu (11.10), choć nie zawsze taki portfel będzie jedyny. Macierze $\Sigma\ge 0$ będą przy tym jak najbardziej dopuszczalne, choć w takich częściowo zdegenerowanych sytuacjach sposób dochodzenia do zagadnienia (11.10) będzie inny i delikatniejszy niż gdy $\Sigma>0$ . (Sam problem (11.10) czasami bywa nazywany liniowym zagadnieniem komplementarności.)

W najciekawszych sytuacjach, gdy $\Sigma>0$ , na rozwiązanie będzie się ,,polować” algorytmicznie i etapami, przez sprowadzanie do (11.9), i następnie sprawdzanie znaków różnych wyrażeń, umiejętnie grając na każdym etapie nierównościami i równoważącymi je komplementarnymi równościami.
Trzeba będzie rozważać szerszą klasę funkcji niż tylko różniczkowalne funkcje wklęsłe i wypukłe, która będzie dobrze pasować do współczynnika Sharpe'a (czy raczej ten współczynnik do niej). Klasę jakby stworzoną dla potrzeb analizy portfelowej,

Wystarczy już tej meta-analizy portfelowej. Chcemy wiedzieć, jak konkretnie rozwiązywać problem (11.10).

Zasadniczo – ten problem trzeba atakować w całości i próbować wydobyć, czy wyłuskać z niego preportfel(e) $y$ i później dalej – portfel(e) $\widetilde{x}_{{\text{op}}}$ . Kłopotem jest możliwe częściowe zdegenerowanie macierzy $\Sigma$ ; Przykład 11.3 poniżej jest na ten temat. Inny przypadek takiego całościowego szukania rozwiązań (11.10), też przy zdegenerowanej macierzy $\Sigma$ , wystąpi potem w Ćwiczeniu 14.2, z kontunuacją też w Ćwiczeniu 14.3 (w Wykładzie XIV). Będzie to jednak już po zakończeniu dyskusji poprawności (11.10).
W międzyczasie, w sytuacji $\Sigma\ge 0$ , przyjdzie nam wykonać w Wykładzie XIV solidną pracę przygotowawczą. Chodzi o konstrukcję wypukłej dziedziny dla pre-współczynnika Sharpe'a gdy $\Sigma\ge 0$ (osobna sekcja w Wykładzie XIV).³⁷najwytrwalsi czytelnicy będą mieli satysfakcję estetyczną, jak harmonijne jest tamto zastosowanie do analizy portfelowej funkcji ogólniejszych niż wklęsłe różniczkowalne

Natomiast sytuacja będzie (i jest) dużo bardziej klarowna, gdy macierz kowariancji $\Sigma$ jest dodatnio określona. Wtedy (pre)portfela $y$ o nieujemnych składowych (lecz nie wszystkich równych zero!) szukać będziemy etapami. Coś znaleźć musimy, bo portfel optymalny istnieje z ogólnych powodów analityczno-topologicznych. Oto opis etapów algorytmu.

Etap $\emptyset$ . Szukamy $y=(y_{1},\dots,\, y_{k})^{{\text{T}}}:\ y_{i}>0,\ i=1,\, 2,\dots,\, k$ .
To oznacza (komplementarność!), że $\Sigma y-\mu+\mu _{0}e=0$ , albo, macierz $\Sigma$ jest teraz odwracalna, $y=\Sigma^{{-1}}(\mu-\mu _{0}e)$ , dokładnie jak w zmodyfikowanym Tobinie. Teraz jednak musimy dodatkowo sprawdzić, czy $y_{1}>0,\,\dots,\,\, y_{k}>0$ . Jeśli tak, pre-portfel $y$ jest znaleziony. Jeśli nie, przechodzimy do
Etap 1. Szukamy $y:\ y_{1}=0,\ y_{2}>0,\dots,\, y_{k}>0$ , a więc $(\Sigma y-\mu+\mu _{0}e)_{i}=0$ dla $i=2,\, 3,\dots,\, k$ z warunku komplementarności, natomiast $(\Sigma y-\mu+\mu _{0}e)_{1}\ge 0$ . Rozwiązujemy ze względu na $y_{2},\, y_{3},\dots,\, y_{k}$ (można, bo wyznacznik odpowiedniego układu $k-1$ równań liniowych jest tutaj dodatni, a więc różny od zera; patrz też niżej opis ogólnego etapu OUT), po czym sprawdzamy: tutaj $k-1$ ostrych i jedną nieostrą nierówność. Spełnione lub nie; w drugim przypadku przechodzimy do dalszych etapów.

Spróbujmy te potencjalnie możliwe dalsze etapy opisać łącznie, podobnie jak to już zrobiliśmy przy szukaniu portfeli wierzchołkowych $x_{E}$ w Wykładzie X.
Etap OUT, gdzie $\text{OUT}\subset\{ 1,\, 2,\dots,\, k\},\ 1\le\#(\text{OUT})\le k-1$ .
Szukamy $y:\ y_{j}=0$ dla $j\in\text{OUT}$ , $y_{i}>0$ dla $i\in\text{IN}=\{ 1,\, 2,\dots,\, k\}\setminus\text{OUT}$ (musi być co najmniej jedna składowa $y_{i}$ , tj podzbiory IN mają tutaj co najmniej 1 element – różnica w stosunku do podobnego szukania obiektów $x_{E}$ ). Tzn., zawsze z warunku komplementarności, szukamy wektora dodatnich rozwiązań układu $(\Sigma y-\mu+\mu _{0}e)_{i}=0$ , $i\in\text{IN}$ takich, że $(\Sigma y-\mu+\mu _{0}e)_{j}\ge 0$ dla $j\notin\text{IN}$ .

Rozwiązać taki układ da się zawsze, gdyż można go zapisać w zwarty sposób przy pomocy oznaczeń wprowadzonych w Wykładzie X:

$\Sigma^{{\text{IN}}}y^{{\text{IN}}}\,=\,(\mu-\mu _{0}e)^{{\text{IN}}}\,,$

przy czym wyznacznik macierzy $\Sigma^{{\text{IN}}}$ jest jednym z minorów centralnych macierzy $\Sigma$ , a więc jest dodatni, bo cały ten algorytm jest, przypominamy, przy założeniu $\Sigma>0$ (hasło: twierdzenie Sylvestera z wykładu GALu, patrz też Wykład II). Także – akcentujemy to jeszcze raz – dla jednoelementowych zbiorów aktywnych indeksów IN: na głównej przekątnej macierzy $\Sigma$ stoją same dodatnie liczby.

Czytelnik może jednak w tym miejscu zapytać: skoro i tam w Wykładzie X, i teraz tu w opisie nowego algorytmu, używa sie tych samych, zawsze odwracalnych macierzy $\Sigma^{{\text{IN}}}$ , dlaczego zatem tam pojawiało się więcej ograniczeń na zbiory IN ?!

Odpowiedź jest w teorii Blacka i współautorów (Wykład VI), na której, ściana po ścianie, oparty jest poprzedni algorytm. Nie szło w nim tylko o odwracalność macierzy, lecz także o jednoznaczne wyznaczanie współczynników [Lagrange'a] $\lambda$ i $\lambda _{E}$ . Dlatego potrzebne są co najmniej dwuelementowe zbiory IN. I dlatego nie dostaje się tam od razu całej spójnej łamanej wierzchołkowej $\overline{\text{Ł}}$ , tylko uboższą o kilka(naście) wierzchołków Ł – i trzeba osobno pracować z węzłami wyróżnionymi i ,,ich” portfelami na łamanej.

Wracając do rozwiązania układu $\#(\text{IN})$ równań w obecnym algorytmie: otwarta jest sprawa spełniania przez takie rozwiązanie układu nierówności: ostrych na miejscach o numerach z IN i nieostrych na miejscach o numerach z OUT. Trzeba to każdorazowo sprawdzać, i w przypadku niespełniania zwyczajnie przechodzić do następnego etapu poszukiwań preportfela.

Po przebiegnięciu wszystkich $2^{k}-1$ (lub mniej) etapów, mamy wreszcie preportfel $y$ , a wraz z nim portfel optymalny $\widetilde{x}_{{\text{op}}}=\frac{y}{e^{{\text{T}}}y}$ .

Przykład 11.3

To właśnie portfela $\widetilde{x}_{{\text{op}}}$ szuka się w Zadaniu 3 z kolokwium w dniu 18.XII.2009 – patrz następny Wykład XII.

Macierz kowariancji w tamtym zadaniu jest tylko nieujemnie określona, więc podany tu wyżej algorytm nie stosuje się. Jednak cała sytuacja jest już na tyle dobrze rozpoznana w trakcie dotychczasowych wykładów (patrz w szczególności Przykład 7.1), że po wstępnej analizie od razu wiadomo, na jakim boku trójkąta $\Delta^{3}$ należy szukać portfela optymalnego.³⁸i poza tym, generalnie, na kolokwiach i egzaminach pisemnych z APRK1 można mieć ze sobą jednostronnie zapisaną kartkę formatu A4 z wzorami, rysunkami, przykładami, czymkolwiek

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.