4. Wykład IV, 23.X.2009

Pod koniec poprzedniego wykładu poznaliśmy pojęcie krytycznej wartości współczynnika korelacji, oczywiście w danym modelu Markowitza w wymiarze dwa, a także wartości podkrytycznych i nadkrytycznych tego współczynnika.

Ćwiczenie 4.1

Prześledzić na Rysunku 3.4 (Wykład III), które narysowane tam gałęzie hiperbol odpowiadają wartościom współczynnika korelacji jakiego typu. (Widać tam wyraźnie hiperbolę z krytycznym współczynnikiem korelacji. Które z pozostałych hiperbol mają korelacje podkrytyczne, które zaś nadkrytyczne?)

Aby jeszcze utrwalić pojęcie krytycznej wartości współczynnika korelacji,

Ćwiczenie 4.2

Wyprowadzić wzór na $\rho _{{\text{kryt}}}$ bezpośrednio z formuły $(\ast)$ w Wykładzie III.

Wskazówka:

Czubek hiperboli (3.4) będzie znajdował się na wysokości $\mu _{1}$ (tzn. będzie obrazem portfela $e_{1}$ ) lub na wysokości $\mu _{2}$ (tzn. będzie obrazem portfela $e_{2}$ ) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja dana wzorem $(\ast)$ w Wykładzie III będzie miała minimum w $x_{1}=1$ lub w $x_{1}=0$ .

Rozwiązanie:

Rozwijając wskazówkę i używając wzoru na $x_{{1,0}}$ z Wykładu III, musi być albo

$\frac{\sigma _{2}^{{\, 2}}-\rho\,\sigma _{1}\sigma _{2}}{\sigma _{1}^{{\, 2}}-2\rho\,\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}^{{\, 2}}}\,=\, 1\,,$

co po prostych przekształceniach daje

$\sigma _{1}^{{\, 2}}-\rho\,\sigma _{1}\sigma _{2}=0\,,$

czyli

$\rho=\frac{\sigma _{1}}{\sigma _{2}}\,,$

albo też

$\frac{\sigma _{2}^{{\, 2}}-\rho\,\sigma _{1}\sigma _{2}}{\sigma _{1}^{{\, 2}}-2\rho\,\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}^{{\, 2}}}\,=\, 0\,,$

co od razu prowadzi do

$\rho=\frac{\sigma _{2}}{\sigma _{1}}\,.$

Komentarz do pierwszego ćwiczenia: widać wyraźnie, że tylko dla $\rho$ podkrytycznych ryzyko w modelu Markowitza można zmniejszać poniżej wartości $\min\{\sigma _{1},\,\sigma _{2}\}$ . Ta własność mogłaby też być definicją podkrytyczności: wartość $\rho$ jest podkrytyczna w danym modelu Markowitza, gdy kres dolny ryzyk portfeli w tym modelu jest mniejszy od $\min\{\sigma _{1},\,\sigma _{2}\}$ .
Uwaga nt kanonicznych hiperbol (3.4) w Wykładzie III. Należy mocno podkreślać, że te hiperbole należą do pęku hiperbol zaczepionych w dwóch punktach i przy tym są wszystkie położone kanonicznie. Ze zmianą parametru $\rho$ zmienia się, jak to już badaliśmy, punkt przecięcia ich asymptot oraz kąt rozwarcia asymptot. Jednak kanoniczne położenie pozostaje! Poniżej przytoczone są kopie rysunków z podręcznika [10], które nie respektują kanoniczności położenia hiperbol w takim pęku.

Pod pierwszym z rysunków zmieniony jest oryginalny podpis, bo jeszcze nie wiemy, co to jest krótka sprzedaż. Na rysunku powinna być jedna z kanonicznie położonych hiperbol (3.4) z Wykładu III.

$\par$

Rys. 4.1. Rzędna punktu przecięcia asymptot hiperboli wypadłaby poza przedział $[E_{0}^{+},\, E_{0}^{-}]$ , co niemożliwe.

Pod drugim z rysunków też zmieniony jest podpis. (Na nim także rzędna punktu przecięcia asymptot hiperboli wypadałaby poza przedział $[E_{0}^{-},\, E_{0}^{+}]$ .)

$\par$

Rys. 4.2. Para półprostych $CA$ i $CB$ nie jest położona kanonicznie.

Na koniec tej części proponujemy czytelnikowi zastanowić się nad zdegenerowanym przypadkiem $\mu _{1}=\mu _{2}$ , który dotąd (od samego początku) wykluczaliśmy.

Ćwiczenie 4.3

Zanalizować zależność obrazu $\mathcal{M}(\Delta^{2})$ odwzorowania Markowitza od $\rho\in[-1,\, 1]$ w sytuacji $\mu _{1}=\mu _{2}$ ( $\sigma _{1}$ i $\sigma _{2}$ mogą być równe lub różne – bez znaczenia; przyjąć na przykład, że są różne).

Wskazówka:

Równanie (3.4) z Wykładu III jest teraz bezużyteczne, jednak cały czas można używać formuły (3.1) z Wykładu III na wariancję portfela $\sigma^{2}$ . Można np badać, jak zmienia się minimum wartości $\sigma^{2}$ gdy zmienia się $\rho$ , pamiętając, że $\rho=\frac{\sigma _{1}}{\sigma _{2}}$ pociąga $x_{{1,0}}=1$ itd.

Dwa techniczne aspekty w analizie portfelowej: hiperbole i parabole.

Pamiętamy, że równanie (3.4) w Wykładzie III to równanie hiperboli, czasami zdegenerowanej, i że w takiej hiperboli w analizie portfelowej interesująca jest tylko prawa gałąź położona w półpłaszczyźnie $\sigma>0$ (i wręcz, w podejściu Markowitza, tylko niewielka część tej gałęzi). To samo równanie staje się równaniem paraboli, gdy spojrzymy na nie jako wiążące zmienne z płaszczyzny $\mathbb{R}^{2}(\sigma^{2},\, E)$ . Pamiętamy też, że w tę płaszczyznę idzie zmodyfikowane odwzorowanie Markowitza $\widetilde{\mathcal{M}}$ . Jak ogólnie wiążą się ze sobą hiperbole i parabole?

To temat niemal bez dna. Z wielu dostępnych wątków wybieramy hasło ,,stożkowa” w encyklopedii WSiP-u [w wersji pdf odpowiedni rysunek jest dopiero na następnej stronie]:

$\par$

Rys. 4.3. Strona z Encyklopedii Szkolnej ,,Matematyka” wydanej przez WSiP.

Ćwiczenie 4.4

Czy każde dwie hiperbole na płaszczyźnie są podobne?

Rozwiązanie:

Nie, oczywiście nie; kąt między asymptotami hiperboli jest niezmiennikiem przy podobieństwach płaszczyzny. (Czy to jest jedyny niezmiennik, czy też jest jeszcze coś?)

To nie było trudne ćwiczenie. Jednak ma ono swoje drugie dno. Mianowicie asymptoty hiperboli zakodowane są niejako w niej samej oglądanej z daleka (im dalej, tym lepiej). Czy pamiętamy jeszcze gałąź hiperboli ilustrującej pierwszy przykład w Wykładzie I (Rysunek 1.2)? Ta sama gałąź oglądana z większej odległości wygląda tak [w wersji pdf Rysunek 4.4 jest dopiero dwie strony dalej]:

$\par$

Rys. 4.4. Zależność między ryzykiem i oczekiwaną stopą zwrotu dla mieszanych portfeli akcji spółek X i Y z Wykładu I jako część szerszej analogicznej zależności dyskutowanej w Wykładzie VI.

(fragment aktywny w podejściu Markowitza jest jasny i wyróżniony w całym ,,pocisku”). W ten sposób przykład rozpoczynający Wykład I został obejrzany i z bliska i z daleka. Zaczynamy już odczuwać w samej hiperboli obecność jej asymptot, prawda? Zróbmy jeszcze analogiczną rzecz z przykładem ,,5 stanów giełdy” z Wykładu II, który, przypomnijmy, z bliska już był ilustrowany na Rysunku 2.1 (tylko fragment ważny w podejściu Markowitza). Ten sam przykład oglądany z bardzo daleka wygląda następująco (cała gałąź, nie tylko fragment Markowitza; w wersji pdf Rysunek 4.5 jest dopiero dwie strony dalej):

$\par$

Rys. 4.5. Gałąź hiperboli nie do odróżnienia od swoich asymptot.

Jest to wycinek oryginalnej pracy studenckiej; sam student dopisał na swoim wykresie, że `nie są to półproste' (tylko oglądane z daleka wąsy hiperboli! Omyłkowo też nazwał poziomą oś $\sigma^{2}$ zamiast $\sigma$ .) Z daleka sama hiperbola zanika i widzimy (niemal) tylko jej asymptoty. W dużej skali asymptoty całkowicie dominują hiperbolę.

Jak to wygląda dla parabol?

Ćwiczenie 4.5

Czy każde dwie parabole na płaszczyźnie są podobne?

Wskazówka:

Podać np podobieństwo przenoszące parabolę $\left\{\left(\begin{smallmatrix}x\\ x^{2}\end{smallmatrix}\right)\colon x\in\mathbb{R}\right\}$ na parabolę $\left\{\left(\begin{smallmatrix}x\\ ax^{2}\end{smallmatrix}\right)\colon x\in\mathbb{R}\right\}$ , gdzie $a\ne 0$ jest ustalone.

Wniosek 4.1

Parabole są bardziej zakręcone i przez to lepiej niż hiperbole będą w tych wykładach nadawały się do rysunków eksponujących styczności różnych krzywych. W wielu sytuacjach praktycznych będziemy więc raczej posługiwali się parabolami (i zmodyfikowanym przekształceniem Markowitza $\widetilde{\mathcal{M}}$ ) niż hiperbolami (i odzorowaniem Markowitza $\mathcal{M}$ ).

Seria doświadczeń – zastosowań wzoru (3.4) z Wykładu III.

Przykład 4.1

$\Sigma=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix},\quad\mu=\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 2\end{pmatrix}.$

Podstawiamy do wzoru (3.4) $\sigma _{1}=\sigma _{2}=1$ , $\mu _{1}=3,\,\mu _{2}=1$ , $\rho=\rho _{{12}}=0$ i uzyskujemy obraz boku $\overline{e_{1}\, e_{2}}\colon\sigma^{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(E-2)^{2}$ (oglądany, powtórzmy, na $\mathbb{R}^{2}(\sigma^{2},\, E)$ ).

Analogicznie, podstawiając do (3.4) odpowiednie wielkości,
obraz boku $\overline{e_{2}\, e_{3}}\colon\sigma^{2}=\frac{1}{2}+2\left(E-\frac{3}{2}\right)^{2}$ ,
obraz boku $\overline{e_{3}\, e_{1}}\colon\sigma^{2}=\frac{1}{2}+2\left(E-\frac{5}{2}\right)^{2}$ .

Narysujmy uzyskane parabole na jednym rysunku: pierwszą z nich niebieską, drugą zieloną, trzecią czerwoną (górna część rysunku poniżej). Czujemy, że czegoś tu brakuje do pełnego obrazu; nie bardzo jednak wiemy, czego.

$\par$

Rys. 4.6. Obrazy boków sympleksu $\Delta^{3}$ w Przykładach 4.1 i 4.2.

Przykład 4.2

$\Sigma=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&1&1\end{pmatrix},\quad\mu=\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 2\end{pmatrix}.$

Korzystając z obliczeń już wykonanych w Przykładzie 4.1,
obraz boku $\overline{e_{1}\, e_{2}}\colon\sigma^{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(E-2)^{2}$ ,
obraz boku $\overline{e_{3}\, e_{1}}\colon\sigma^{2}=\frac{1}{2}+2\left(E-\frac{5}{2}\right)^{2}$ .

Obraz boku $\overline{e_{2}\, e_{3}}$ jest inny. Zgodnie z wiedzą z Wykładu III, ten obraz ma bardzo proste równanie $\sigma^{2}=1$ (bo $\sigma _{2}=\sigma _{3}$ oraz $\rho _{{23}}=1$ ).

Teraz już możemy narysować wszystkie trzy obrazy na jednym rysunku, analogicznie jak w Przykładzie 4.1 i używając tych samych co tam kolorów (patrz dolna część Rysunku 4.6 powyżej). I tu czegoś brakuje do pełnego obrazu!

Ten brakujący element układanki to punkty krytyczne odwzorowania

$\widetilde{\mathcal{M}}\colon H\longrightarrow\mathbb{R}^{2}(\sigma^{2},\, E)\,,$

które w taki sposób pierwszy scharakteryzował K. Krzyżewski w wykładach [13], gdzie – uwaga – dziedziną jest teraz cała płaszczyzna $H$ , a nie tylko sympleks $\Delta^{3}$ . To znaczy punkty, w których rząd pochodnej $d\widetilde{\mathcal{M}}(\cdot)\colon T_{{\cdot}}H\to\mathbb{R}^{2}$ nie jest maksymalny (czyli, tu, jest mniejszy od 2).
Należy podkreślić, że o portfelach krytycznych twórcy analizy portfelowej mówili od samego początku – patrz np strona z pracy [19] reprodukowana jako Rysunek 14.2 w Wykładzie XIV, albo strona 85 w tej samej [19] – tylko krytyczność portfela rozumieli (będąc ekonomistami, nie matematykami) w sensie warunkowej minimalizacji ryzyka, a nie w sensie AM II. Wybrana tutaj ahistoryczna (i bardziej matematyczna niż ekonomiczna) kolejność objaśnień ma, jak się wydaje, zdecydowaną przewagę dydaktyczną.

Pewien kłopot skrywa się w tym, że $H$ nie jest zbiorem otwartym w $\mathbb{R}^{3}$ , tylko jest rozmaitością kowymiaru 1, zresztą parametryzowaną jedną jedyną parametryzacją, np $p\colon\left(\begin{smallmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{smallmatrix}\right)\longmapsto\left(\begin{smallmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ 1-x_{1}-x_{2}\end{smallmatrix}\right)$ (mówimy, że $H$ jest jednym płatem).

Trzeba wtedy zapisać $\widetilde{\mathcal{M}}$ w tej parametryzacji, policzyć punkty krytyczne takiego odwzorowania, a potem zobaczyć, jakie punkty odpowiadają im na $H$ .

Dla Przykładu 4.1 dostajemy w ten sposób

$\widetilde{\mathcal{M}}\circ p\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_{1}^{{\, 2}}+2x_{1}x_{2}+2x_{2}^{{\, 2}}-2x_{1}-2x_{2}+1\\ x_{1}-x_{2}+2\end{pmatrix},\qquad\det d\left(\widetilde{\mathcal{M}}\circ p\right)\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \end{pmatrix}=-(6x_{1}+6x_{2}-4).$

Warunek $\text{rk}\, d\left(\widetilde{\mathcal{M}}\circ p\right)\left(\begin{smallmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{smallmatrix}\right)<2$ oznacza $\det d\left(\widetilde{\mathcal{M}}\circ p\right)\left(\begin{smallmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{smallmatrix}\right)=0$ , tzn. $x_{1}+x_{2}=\frac{2}{3}$ .
To w parametrach, zaś na płaszczyźnie $H$ odpowiadają im punkty $\left(\begin{smallmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \frac{1}{3}\end{smallmatrix}\right)\colon x_{1}+x_{2}=\frac{2}{3}$ .

Widzimy, że punkty krytyczne w Przykładzie 4.1 tworzą prostą, zwaną prostą krytyczną. Na tej prostej $x_{1}+x_{2}=\frac{2}{3}$ , $x_{1}-x_{2}=E-2$ , stąd $x_{1}=\frac{1}{2}E-\frac{2}{3}$ , $x_{2}=\frac{4}{3}-\frac{1}{2}E$ , co pozwala zapisać obraz tej prostej przy odwzorowaniu $\widetilde{\mathcal{M}}$ .
Istotnie, $\sigma^{2}=x_{1}^{{\, 2}}+x_{2}^{{\, 2}}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}E-\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(\frac{4}{3}-\frac{1}{2}E\right)^{2}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}(E-2)^{2}$ . Jest to zatem obraz prostej boku $\overline{e_{1}\, e_{2}}$ przesunięty w poziomie o $-\frac{1}{6}$ !

Teraz dopiero można ,,domknąć” górną część Rysunku 4.6 i – jako wartość dodaną! – zrozumieć zachowanie odwzorowania $\widetilde{\mathcal{M}}$ na $\Delta^{3}$ [w wersji pdf Rysunek 4.7 jest dopiero na następnej stronie].
Obraz prostej krytycznej (będziemy mówili: pocisk Markowitza, tu: zmodyfikowany pocisk Markowitza) okazuje się styczny: do obrazu boku $\overline{e_{2}\, e_{3}}$ na wysokości $E=\frac{4}{3}$ i do obrazu boku $\overline{e_{3}\, e_{1}}$ na wysokości $E=\frac{8}{3}$ . Dlaczego akurat na takich wysokościach? Bo są to wartości $E$ w punktach przecięcia prostej krytycznej z odpowiednimi bokami: $E\big((0,\frac{2}{3},\frac{1}{3})^{{\text{T}}}\big)=\frac{4}{3}$ , $E\big((\frac{2}{3},0,\frac{1}{3})^{{\text{T}}}\big)=\frac{8}{3}$ .

$\par$

Rys. 4.7. Pierwsze spotkanie ze (zmodyfikowanym) pociskiem Markowitza ,,domykającym” wykresy w górnej części Rysunku 4.6.

Uwaga 4.1

Ktoś może się zapytać, skąd biorą się takie styczności jak na rysunku powyżej? Dlaczego pocisk Markowitza jest styczny do obrazów boków ciętych prostą krytyczną? (Te styczności mają, oczywiście, też miejsce na płaszczyźnie $(\mathbb{R}^{2}(\sigma,\, E)$ .) Dotykamy tu samej istoty krytyczności. Punkty cięcia prostych są krytyczne i dlatego w ich obrazach mamy styczności obrazów prostych. Będziemy do tego wracać w dalszych wykładach i tego wielokrotnie używać.

Ćwiczenie 4.6

Co przekształcenie $\widetilde{\mathcal{M}}$ w Przykładzie 4.1 robi z trójkątem $\Delta^{3}$ ? (Wiemy już, który bok przeprowadza na który łuk. Jeszcze nie wiemy, który kawałek wnętrza $\Delta^{3}$ przeprowadza na który kawałek płaszczyzny.)

Analogiczne obliczenia dla Przykładu 4.2, w którym z kolei bardziej naturalnie jest użyć parametryzacji $p\colon\left(\begin{smallmatrix}x_{2}\\ x_{3}\end{smallmatrix}\right)\longmapsto\left(\begin{smallmatrix}1-x_{2}-x_{3}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{smallmatrix}\right)$ , wyglądają następująco.

$\widetilde{\mathcal{M}}\circ p\begin{pmatrix}x_{2}\\ x_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_{2}^{{\, 2}}+4x_{2}x_{3}+2x_{3}^{{\, 2}}-2x_{2}-2x_{3}+1\\ -2x_{2}-x_{3}+3\\ \end{pmatrix},\qquad\det d\left(\widetilde{\mathcal{M}}\circ p\right)\begin{pmatrix}x_{2}\\ x_{3}\end{pmatrix}=4x_{2}+4x_{3}-2,$

a więc $\text{rk}\, d\left(\widetilde{\mathcal{M}}\circ p\right)\left(\begin{smallmatrix}x_{2}\\ x_{3}\end{smallmatrix}\right)<2\ \Longleftrightarrow\ x_{2}+x_{3}=\frac{1}{2}$ .
Punkty krytyczne odwzorowania $\widetilde{\mathcal{M}}$ znowu tworzą więc pewną prostą (!) $\left\{\left(\begin{smallmatrix}\frac{1}{2}\\ x_{2}\\ x_{3}\end{smallmatrix}\right)\colon x_{2}+x_{3}=\frac{1}{2}\right\}$ , której $\widetilde{\mathcal{M}}$ -obrazem jest tym razem pionowa prosta $\sigma^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+(x_{2}+x_{3})^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$ .

W świetle powyższych obliczeń, do czego ,,domykają” się wykresy w dolnej części Rysunku 4.6 ?

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Analiza Portfelowa i Rynki Kapitałowe 1

4. Wykład IV, 23.X.2009

Ćwiczenie 4.1

Ćwiczenie 4.2

Ćwiczenie 4.3

Ćwiczenie 4.4

Ćwiczenie 4.5

Wniosek 4.1

Przykład 4.1

Przykład 4.2

Uwaga 4.1

Ćwiczenie 4.6