Co wiemy na temat rzeczywistych rozkładów zmiennych stóp zwrotu?
Najczęściej nie wiemy nic konkretnego na temat rozkładów zmiennych stóp zwrotu z akcji spółek notowanych na giełdzie. Markowitz był tego świadom od samego początku. Na stronie 82 w swoim podstawowym artykule [19] pisał
… Perhaps there are ways, by combining statistical techniques and the
judgment of experts, to form reasonable probability beliefs .
We could use these beliefs to compute the attainable efficient combinations
of
. The investor, being informed of what
combinations
were attainable, could state which he desired. We could then find
the portfolio which gave this desired combination.
(Początkową część tego cytatu czytelnik znajdzie też dalej
w tych wykładach – na Rysunku 7.2 w Wykładzie VII, gdzie
strona 82 została trochę ucięta przy skanowaniu.)
Natomiast całą pracę [19] kończył Markowitz takimi oto uwagami, rozwijającymi i ukonkretniającymi te wcześniejsze.1To quasi-powtórzenie pokazuje, jaką wagę przykładał on do zagadnienia znalezienia właściwych parametrów w analizie portfelowej.
To use the -
rule in the selection of securities
we must have procedures for finding reasonable
and
.
These procedures, I believe, should combine statistical techniques and
the judgment of practical men. My feeling is that the statistical
computations should be used to arrive at a tentative set of
and
. Judgment should then be used in increasing or decreasing
some of these
and
on the basis of factors or nuances
not taken into account by the formal computations. Using this revised
set of
and
, the set of efficient
combinations
could be computed, the investor could select the combination he preferred,
and the portfolio which gave rise to this
combination could be
found.
One suggestion as to tentative and
is to use
the observed
,
for some period of the past. I believe
that better methods, which take into account more information, can be
found. I believe that what is needed is essentially a ,,probabilistic”
reformulation of security analysis. I will not pursue this subject here,
for this is ,,another story”. It is a story of which I have read only
the first page of the first chapter.
Zgodnie z sugestią Markowitza zawartą w drugim akapicie powyższego cytatu, estymujemy zatem podstawowe parametry takich zmiennych stóp zwrotu, używając estymatorów z jednakowymi (mówi się też: jednorodnymi) wagami, jak w przykładach w Wykładzie I.
Realnie zmienne losowe w analizie portfelowej mogą mieć najrozmaitsze rozkłady. Oto pewna para takich rozkładów, pojawiająca się w obecnie już klasycznym przykładzie ,,5 stanów giełdy” (pochodzącym z dawniejszych wykładów [13] profesora Krzyżewskiego na Wydziale MIM UW; przykładzie wtedy przesuniętym na ćwiczenia, a teraz analizowanym tutaj aż do Rysunku 2.1 włącznie, z niespodziewanym nawrotem do niego jeszcze w Przykładzie 3.3 w Wykładzie III):
stan | prawdopodobieństwo wystąpienia | ![]() |
![]() |
hossa | ![]() |
![]() |
![]() |
wzrost | ![]() |
![]() |
![]() |
stabilizacja | ![]() |
![]() |
![]() |
spadek | ![]() |
![]() |
![]() |
bessa | ![]() |
![]() |
![]() |
Wartości zmiennych losowych i
to stopy
wzrostu (które mogą też być ujemne) notowań spółek A i B w zaproponowanych
tu możliwych stanach giełdy, w ustalonym okresie inwestycyjnym.
Na podstawie tak podanych danych surowych tworzymy tabelę rozkładu
łącznego zestawu zmiennych , albo,
jak niektórzy wolą powiedzieć, tabelę rozkładu zmiennej losowej
dwuwymiarowej.
Następnie obliczamy podstawowe parametry rozkładów zmiennych
i
(tj rozkładów brzegowych wspomnianej
zmiennej losowej dwuwymiarowej):
![]() |
![]() |
![]() |
W dwóch przykładach w Wykładzie I mogliśmy tylko policzyć estymatory
tych parametrów dla zmiennych stóp zwrotu
oraz
; rozkładów tamtych zmiennych nie
znaliśmy. Dzięki estymatorom policzonym dla pierwszej pary tamtych
zmiennych mogliśmy m. in. dopracować się wykresu podanego na
Rysunku 1.2 w Wykładzie I.
Teraz zmienne losowe znamy dokładnie. Postawmy pytanie, jak w przykładzie
,,5 stanów giełdy” wygląda analogiczny do tamtego wykres na płaszczyźnie
?
(Dla nas na tym wykresie ważny jest tylko zaznaczony łuk hiperboli. Znaczenie odcinka prostej widocznego poniżej łuku hiperboli znane jest tylko studentowi – autorowi wykresu.)
Wprowadzimy teraz cały zestaw oznaczeń ogólnie przyjętych w teorii Markowitza [19, 21, 22] – tzw. Markowitz setup:
Ilość spółek notowanych na giełdzie oznaczamy .
Zmienne losowe – stopy zwrotu z notowań tych spółek w
ustalonym okresie inwestycyjnym oznaczamy .
Są to zmienne losowe na tej samej (bliżej nie precyzowanej, por.
powyższy długi cytat z pracy Markowitza) przestrzeni probabilistycznej,
przyjmujące wartości z
, o których zawsze będziemy
zakładać, że ich wartości oczekiwane
oraz wariancje
,
, są wszystkie skończone.
Będziemy pisali krótko: ,
,
, gdzie
dla
.
Wektor wartości oczekiwanych oznaczamy
, zaś wektor zmiennych losowych
oznaczamy
.
Będziemy mówić, że wektorowa zmienna losowa ma wektorową
wartość oczekiwaną
. Wektor odchyleń standardowych
będziemy (czasem) oznaczać
.
Wreszcie macierz kowariancji wektorowej zmiennej losowej
oznaczamy
![]() |
Teoria, którą będziemy poznawać na tych wykładach, nie jest (o ile ktoś miałby jeszcze co do tego wątpliwości) oderwana od życia. Oto – dla ilustracji tej tezy – treść ulotki banku ING BSK z roku 2009, reklamującej pewien nowy produkt banku: ,, Na wysokość wypłaty na koniec programu wpływa wzrost wartości portfela inwestycyjnego. Strategia inwestycyjna została oparta na innowacyjnym modelu matematycznym, który zdobył nagrodę Nobla (Markowitz Efficient Frontier Theory). Jego unikalność polega na tym, że generuje stabilne dochody zarówno na rynkach wzrostowych, jak i spadkowych.”
W Wykładzie I (Rysunek 1.1) dowiedzieliśmy się, jak fundusz
wielkiego inwestora Warrena Buffetta ,,bije” (w długim i trudnym
okresie czasu 2006 - 2010 obejmującym kryzys finansowy lat 2008-9)
amerykańską giełdę. W naszym kraju też zdarzają się godne uwagi
osiągnięcia na podobnym polu. Dokładniej, w pierwszej połowie
roku 2010, w V Mistrzostwach Polski Inwestorów, zwycięzca w
kategorii akcje (pan Andrzej Laskowski z Redy) zwiększył
wartość swojego portfela aż o 78.
Obserwacja. 2.1
![]() |
Dowód wynika wprost z wcześniej podanych (i znanych już z wykładu RP 1) definicji.
W przykładzie ,,5 stanów giełdy”, wobec obliczeń
zrobionych już wcześniej, wektor i macierz
to
![]() |
Przypomnienie. Kryterium Sylvestera, poznane na I roku
na wykładach z GALu, wyjaśnia, kiedy macierz rzeczywista
i symetryczna wymiaru
jest dodatnio określona:
![]() |
gdzie to minor
w macierzy
używający
wierszy o numerach
oraz kolumn o numerach
(używamy tu oznaczeń ze zbyt mało w Polsce
znanego podręcznika z teorii macierzy i algebry liniowej [6]).
Minory
w kryterium Sylvestera to minory główne macierzy
.
Znane jest też podobne kryterium na temat nieujemnej określoności
macierzy, aczkolwiek nie wchodzi ono do standardowego kursu GALu.
Mianowicie, dla macierzy , kwadratowej
rzeczywistej symetrycznej,
![]() |
przy wszystkich . Minory
to minory
centralne macierzy
.
To nowe kryterium jest w istocie dość szybkim wnioskiem z kryterium Sylvestera – patrz [6], strona 270. Kluczowe miejsce w rozumowaniu, aczkolwiek piękne, jest tam jednak zredagowane niezmiernie lakonicznie. Dla wygody czytelnika, poniżej przytaczamy właściwy fragment wspomnianej strony z [6].
(W rozwinięciu minora centralnego
występują wyrazy z nieujemnymi współczynnikami przy potęgach
— dlaczego?)
W tej chwili mamy już język, lecz jest on jeszcze dla nas martwą
literą. Jak Markowitz koduje, czy modeluje, swoje portfele?
Wskazówki dostarcza już Wykład 1, gdzie co prawda występują
tylko dwie spółki, zaś portfele opisywane są punktami leżącymi
na prostej
w pierwszej ćwiartce (czyli spełniającymi
warunki
i
). Ze swojego kapitału
,
inwestor przeznaczał tam
na zakup akcji pierwszej spółki
(i kupował tych akcji
) oraz
na zakup akcji drugiej spółki (których kupował
).
Teraz, gdy dostępne są akcje spółek o numerach ,
inwestor dzieli swój kapitał
na części
![]() |
gdzie oczywiście oraz
. Następnie, dla
,
za kwotę
kupuje on akcje spółki numer
.
Możliwe portfele inwestora są więc teraz opisywane punktami
![]() |
takimi, że oraz
.
Zbiór wszystkich takich punktów oznaczamy symbolem ,
. Jest to tzw. sympleks standardowy
w
[w wersji pdf Rysunek 2.3 wypada dopiero na następnej stronie]:
W Wykładzie I widzieliśmy, że zainwestowanie własnego kapitału w akcje
spółek A i B, opisane (czy zakodowane) portfelem ma stopę zwrotu (lub, krócej: taki portfel ma stopę zwrotu)
.2To w dalszym ciągu jest
zmienna losowa! Czy analogicznie jest gdy inwestuje się kapitał w
akcje
spółek? Tzn czy w dalszym ciągu ma miejsce odpowiedniość
![]() |
(2.1) |
wiążąca dany portfel Markowitza ze zmienną losową stojącą po prawej stronie w (2.1) jako jego stopą zwrotu ?
Tak jest w istocie. Jeżeli przez oznaczymy kapitał inwestora, wtedy
będzie kwotą przeznaczoną przez niego na zakup akcji spółki
numer
. Jeśli
i
oznaczają
notowania akcji
-tej spółki odpowiednio na początku i na końcu okresu
inwestycyjnego (pamiętamy, że ta druga wielkość jest zmienną losową) oraz
jest ilością nabytych przez inwestora
akcji
-tej spółki, wtedy jego portfel
ma łącznie stopę zwrotu
![]() |
![]() |
||
![]() |
To spostrzeżenie motywuje następującą
Dla każdego portfela Markowitza
(i) Wartością oczekiwaną portfela , oznaczaną
,
nazywamy wartość oczekiwaną zmiennej stopy zwrotu przy inwestowaniu
w ten portfel, czyli zmiennej losowej stojącej po prawej stronie
w (2.1):
.
(ii) Odchyleniem standardowym (względnie wariancją) portfela ,
oznaczanym
(
), nazywamy odchylenie
standardowe (wariancję) zmiennej losowej
:
(
).
Obserwacja. 2.2
(i) dla
.
(ii) dla
.
(iii) Macierz jest nieujemnie określona i
dla
.
(i) ,
(ii) .
(iii) Dowolnie ustalamy i rozważamy zmienną losową
niezwiązaną ściśle z analizą
portfelową. Powtarzając rachunki z dowodu (ii) (w którym nie wykorzystaliśmy
założenia
),
![]() |
zaś wzór na dla
wynika z już udowodnionej części (ii).
W teorii Markowitza kluczową rolę odgrywa odwzorowanie Markowitza
:
![]() |
Często używane też jest zmodyfikowane odwzorowanie Markowitza
:
![]() |
a) W oryginalnych pracach Markowitza (i tylko Markowitza)
kolejność zmiennych jest odwrócona: jest odkładana na osi odciętych,
natomiast
(względnie
) – na osi rzędnych. Oczywiście
sam Markowitz nie nazywał tak tych odwzorowań. Mówił on tylko o `attainable
combinations' – patrz np strona 82 w [19]. Powyższe
nazwy i sam symbol
wprowadził, być może nie jako jedyny
na świecie, Krzyżewski w [13].
b) W późniejszej części teorii, którą poznaje się na wykładach
z analizy portfelowej, odwzorowania i
będą miały o wiele większą dziedzinę
![]() |
(2.2) |
Będzie to więc hiperpłaszczyzna afinicznie rozpięta przez sympleks
standardowy (oczywiście
). Okaże się przy tym,
że odwzorowania
i
idące z
zachowują
swoje wzory definicyjne z podejścia Markowitza! Patrząc na to z innej strony,
tylko przez jakiś czas zajmować się będziemy wyłącznie portfelami Markowitza
leżącymi w sympleksach standardowych
i (tym samym) mającymi
wszystkie współrzędne nieujemne.
c) Obraz będziemy nazywali
zbiorem osiągalnym (niektórzy mówią też: zbiór możliwości)
w teorii Markowitza. Podobnie,
będzie zbiorem osiągalnym
w tej sygnalizowanej w b) szerszej teorii, która później włączy w siebie
teorię Markowitza.
Uzasadnić, że punkt i pięć innych
punktów powstających z niego przez wszelkie możliwe permutacje
współrzędnych, leżą wszystkie na jednej płaszczyźnie (inaczej
mówiąc: wymienione punkty są współpłaszczyznowe).
Na płaszczyźnie zdefiniowanej w (2.2) przy
rozważamy prostą
oraz prostą
; nie wszystkie współczynniki
są sobie
równe. Wyznaczyć odległość tych prostych jako podzbiorów przestrzeni
wyposażonej w metrykę euklidesową.
Ta odległość jest niemniejsza (najczęściej większa) niż odległość
![]() |
odpowiednich płaszczyzn w .
Jaki wektor wyznacza kierunek obu tych prostych? Oczywiście iloczyn wektorowy
![]() |
Z kolei, jaki wektor jest równoległy do i prostopadły do obu tych prostych?
Oczywiście
![]() |
Za chwilę przyda się też jego długość
.
Ile tego wektora przenosi pierwszą prostą z zadania na drugą? Taka wielokrotność
, że
, czyli w postaci rozwiniętej
![]() |
Stąd po krótkim rachunku
![]() |
(długość wektora jest już wyznaczona wcześniej).
Tak więc szukana odległość prostych to
![]() |
Kiedy odległość prostych z Ćwiczenia 2.2 (wycinanych na przez płaszczyzny
o podanych równaniach) jest równa odległości samych płaszczyzn
i
?
Okazuje się, że aby tak było, współczynniki winny spełniać
pewne równanie.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.