Pod koniec poprzedniego wykładu poznaliśmy pojęcie krytycznej wartości współczynnika korelacji, oczywiście w danym modelu Markowitza w wymiarze dwa, a także wartości podkrytycznych i nadkrytycznych tego współczynnika.
Prześledzić na Rysunku 3.4 (Wykład III), które narysowane tam gałęzie hiperbol odpowiadają wartościom współczynnika korelacji jakiego typu. (Widać tam wyraźnie hiperbolę z krytycznym współczynnikiem korelacji. Które z pozostałych hiperbol mają korelacje podkrytyczne, które zaś nadkrytyczne?)
Aby jeszcze utrwalić pojęcie krytycznej wartości współczynnika korelacji,
Wyprowadzić wzór na bezpośrednio z formuły
w Wykładzie III.
Czubek hiperboli (3.4) będzie znajdował się na wysokości
(tzn. będzie obrazem portfela
) lub na wysokości
(tzn. będzie obrazem portfela
) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja
dana wzorem
w Wykładzie III będzie miała minimum w
lub w
.
Rozwijając wskazówkę i używając wzoru na z Wykładu III,
musi być albo
![]() |
co po prostych przekształceniach daje
![]() |
czyli
![]() |
albo też
![]() |
co od razu prowadzi do
![]() |
Komentarz do pierwszego ćwiczenia: widać wyraźnie, że tylko dla
podkrytycznych ryzyko w modelu Markowitza można zmniejszać poniżej wartości
. Ta własność mogłaby też być definicją
podkrytyczności: wartość
jest podkrytyczna w danym modelu
Markowitza, gdy kres dolny ryzyk portfeli w tym modelu jest mniejszy
od
.
Uwaga nt kanonicznych hiperbol (3.4) w Wykładzie III. Należy mocno
podkreślać, że te hiperbole należą do pęku hiperbol zaczepionych w dwóch punktach
i przy tym są wszystkie położone kanonicznie. Ze zmianą parametru zmienia się,
jak to już badaliśmy, punkt przecięcia ich asymptot oraz kąt rozwarcia asymptot.
Jednak kanoniczne położenie pozostaje! Poniżej przytoczone są kopie rysunków
z podręcznika [10], które nie respektują kanoniczności położenia hiperbol
w takim pęku.
Pod pierwszym z rysunków zmieniony jest oryginalny podpis, bo jeszcze nie wiemy, co to jest krótka sprzedaż. Na rysunku powinna być jedna z kanonicznie położonych hiperbol (3.4) z Wykładu III.
Pod drugim z rysunków też zmieniony jest podpis. (Na nim także rzędna punktu
przecięcia asymptot hiperboli wypadałaby poza przedział .)
Na koniec tej części proponujemy czytelnikowi zastanowić się nad zdegenerowanym
przypadkiem , który dotąd (od samego początku) wykluczaliśmy.
Zanalizować zależność obrazu odwzorowania Markowitza
od
w sytuacji
(
i
mogą być równe lub różne – bez znaczenia; przyjąć na przykład, że są różne).
Dwa techniczne aspekty w analizie portfelowej: hiperbole i parabole.
Pamiętamy, że równanie (3.4) w Wykładzie III to równanie hiperboli, czasami
zdegenerowanej, i że w takiej hiperboli w analizie portfelowej interesująca
jest tylko prawa gałąź położona w półpłaszczyźnie (i wręcz, w
podejściu Markowitza, tylko niewielka część tej gałęzi). To samo równanie staje
się równaniem paraboli, gdy spojrzymy na nie jako wiążące zmienne z płaszczyzny
. Pamiętamy też, że w tę płaszczyznę idzie zmodyfikowane
odwzorowanie Markowitza
. Jak ogólnie wiążą się
ze sobą hiperbole i parabole?
To temat niemal bez dna. Z wielu dostępnych wątków wybieramy hasło ,,stożkowa” w encyklopedii WSiP-u [w wersji pdf odpowiedni rysunek jest dopiero na następnej stronie]:
Czy każde dwie hiperbole na płaszczyźnie są podobne?
Nie, oczywiście nie; kąt między asymptotami hiperboli jest niezmiennikiem przy podobieństwach płaszczyzny. (Czy to jest jedyny niezmiennik, czy też jest jeszcze coś?)
To nie było trudne ćwiczenie. Jednak ma ono swoje drugie dno. Mianowicie asymptoty hiperboli zakodowane są niejako w niej samej oglądanej z daleka (im dalej, tym lepiej). Czy pamiętamy jeszcze gałąź hiperboli ilustrującej pierwszy przykład w Wykładzie I (Rysunek 1.2)? Ta sama gałąź oglądana z większej odległości wygląda tak [w wersji pdf Rysunek 4.4 jest dopiero dwie strony dalej]:
(fragment aktywny w podejściu Markowitza jest jasny i wyróżniony w całym ,,pocisku”). W ten sposób przykład rozpoczynający Wykład I został obejrzany i z bliska i z daleka. Zaczynamy już odczuwać w samej hiperboli obecność jej asymptot, prawda? Zróbmy jeszcze analogiczną rzecz z przykładem ,,5 stanów giełdy” z Wykładu II, który, przypomnijmy, z bliska już był ilustrowany na Rysunku 2.1 (tylko fragment ważny w podejściu Markowitza). Ten sam przykład oglądany z bardzo daleka wygląda następująco (cała gałąź, nie tylko fragment Markowitza; w wersji pdf Rysunek 4.5 jest dopiero dwie strony dalej):
Jest to wycinek oryginalnej pracy studenckiej; sam student dopisał na swoim
wykresie, że `nie są to półproste' (tylko oglądane z daleka wąsy
hiperboli! Omyłkowo też nazwał poziomą oś zamiast
.)
Z daleka sama hiperbola zanika i widzimy (niemal) tylko jej asymptoty.
W dużej skali asymptoty całkowicie dominują hiperbolę.
Jak to wygląda dla parabol?
Czy każde dwie parabole na płaszczyźnie są podobne?
Podać np podobieństwo przenoszące parabolę
na parabolę
,
gdzie
jest ustalone.
Parabole są bardziej zakręcone i przez to lepiej niż hiperbole będą
w tych wykładach nadawały się do rysunków eksponujących styczności
różnych krzywych. W wielu sytuacjach praktycznych będziemy więc raczej
posługiwali się parabolami (i zmodyfikowanym przekształceniem Markowitza
) niż hiperbolami (i odzorowaniem Markowitza
).
Seria doświadczeń – zastosowań wzoru (3.4) z Wykładu III.
![]() |
Podstawiamy do wzoru (3.4) ,
,
i uzyskujemy obraz boku
(oglądany, powtórzmy, na
).
Analogicznie, podstawiając do (3.4) odpowiednie wielkości,
obraz boku ,
obraz boku .
Narysujmy uzyskane parabole na jednym rysunku: pierwszą z nich niebieską, drugą zieloną, trzecią czerwoną (górna część rysunku poniżej). Czujemy, że czegoś tu brakuje do pełnego obrazu; nie bardzo jednak wiemy, czego.
![]() |
Korzystając z obliczeń już wykonanych w Przykładzie 4.1,
obraz boku ,
obraz boku .
Obraz boku jest inny. Zgodnie z wiedzą
z Wykładu III, ten obraz ma bardzo proste równanie
(bo
oraz
).
Teraz już możemy narysować wszystkie trzy obrazy na jednym rysunku, analogicznie jak w Przykładzie 4.1 i używając tych samych co tam kolorów (patrz dolna część Rysunku 4.6 powyżej). I tu czegoś brakuje do pełnego obrazu!
Ten brakujący element układanki to punkty krytyczne odwzorowania
![]() |
które w taki sposób pierwszy scharakteryzował K. Krzyżewski
w wykładach [13], gdzie – uwaga – dziedziną jest teraz cała
płaszczyzna , a nie tylko sympleks
. To znaczy punkty,
w których rząd pochodnej
nie jest maksymalny (czyli, tu, jest mniejszy od 2).
Należy podkreślić, że o portfelach krytycznych twórcy analizy portfelowej
mówili od samego początku – patrz np strona z pracy [19]
reprodukowana jako Rysunek 14.2 w Wykładzie XIV, albo strona 85 w
tej samej [19] – tylko krytyczność portfela rozumieli
(będąc ekonomistami, nie matematykami) w sensie warunkowej
minimalizacji ryzyka, a nie w sensie AM II. Wybrana tutaj
ahistoryczna (i bardziej matematyczna niż ekonomiczna)
kolejność objaśnień ma, jak się wydaje, zdecydowaną
przewagę dydaktyczną.
Pewien kłopot skrywa się w tym, że nie jest zbiorem otwartym
w
, tylko jest rozmaitością kowymiaru 1, zresztą parametryzowaną
jedną jedyną parametryzacją, np
(mówimy, że
jest jednym płatem).
Trzeba wtedy zapisać w tej parametryzacji,
policzyć punkty krytyczne takiego odwzorowania, a potem zobaczyć,
jakie punkty odpowiadają im na
.
Dla Przykładu 4.1 dostajemy w ten sposób
![]() |
Warunek
oznacza
,
tzn.
.
To w parametrach, zaś na płaszczyźnie odpowiadają im punkty
.
Widzimy, że punkty krytyczne w Przykładzie 4.1 tworzą prostą,
zwaną prostą krytyczną. Na tej prostej ,
, stąd
,
, co pozwala zapisać obraz
tej prostej przy odwzorowaniu
.
Istotnie,
. Jest to zatem obraz
prostej boku
przesunięty w poziomie o
!
Teraz dopiero można ,,domknąć” górną część Rysunku 4.6 i – jako wartość
dodaną! – zrozumieć zachowanie odwzorowania na
[w wersji pdf Rysunek 4.7 jest dopiero na następnej stronie].
Obraz prostej krytycznej (będziemy mówili: pocisk Markowitza, tu:
zmodyfikowany pocisk Markowitza) okazuje się styczny: do obrazu
boku na wysokości
i do obrazu
boku
na wysokości
. Dlaczego
akurat na takich wysokościach? Bo są to wartości
w punktach
przecięcia prostej krytycznej z odpowiednimi bokami:
,
.
Ktoś może się zapytać, skąd biorą się takie styczności jak na rysunku
powyżej? Dlaczego pocisk Markowitza jest styczny do obrazów boków ciętych
prostą krytyczną? (Te styczności mają, oczywiście, też miejsce na płaszczyźnie
.) Dotykamy tu samej istoty krytyczności. Punkty cięcia
prostych są krytyczne i dlatego w ich obrazach mamy styczności
obrazów prostych. Będziemy do tego wracać w dalszych wykładach i tego
wielokrotnie używać.
Co przekształcenie w Przykładzie 4.1
robi z trójkątem
? (Wiemy już, który bok przeprowadza
na który łuk. Jeszcze nie wiemy, który kawałek wnętrza
przeprowadza na który kawałek płaszczyzny.)
Analogiczne obliczenia dla Przykładu 4.2, w którym z kolei bardziej
naturalnie jest użyć parametryzacji , wyglądają następująco.
![]() |
a więc .
Punkty krytyczne odwzorowania
znowu tworzą więc pewną prostą (!)
, której
-obrazem jest tym razem pionowa
prosta
.
W świetle powyższych obliczeń, do czego ,,domykają” się wykresy w dolnej części Rysunku 4.6 ?
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.