7. Wykład VII, 13.XI.2009

Uwaga 7.1

Osoby, które zajęły się wskazówką do [ostatniego w poprzednim wykładzie] Ćwiczenia 6.9, wiedzą już, dlaczego zeruje się tam współczynnik przy $t^{1}$ we wzorze na wariancję portfeli na poziomicy parametru $E$ :

$(\mu\times e)^{{\text{T}}}\Sigma\, x(E)=(\mu\times e)^{{\text{T}}}\Sigma\,\big(\text{pewna kombinacja liniowa wektorów $\Sigma^{{-1}}\mu$ oraz $\Sigma^{{-1}}e$}\big)$

$=\,\text{pewna kombinacja liniowa liczb $(\mu\times e)^{{\text{T}}}\mu=0$ oraz $(\mu\times e)^{{\text{T}}}e=0$}\,,$

por. wzór (6.2) w Wykładzie VI. Powód bardziej prozaiczny (choć związany z poprzednim, te powody wzajemnie się przenikają) jest taki: dyskutowany trójmian kwadratowy od $t$ musi przyjmować swoje minimum przy $t=0$ , bo właśnie wtedy trafiamy w portfel $x(E)$ , który minimalizuje ryzyko (a więc i wariancję) na poziomicy wartości $E$ , jak to było wyjaśniane i komentowane w Wykładzie VI.

Wspomniane osoby wiedzą też, że ta czysto kwadratowa (bez przesunięcia powodowanego wyrazem z $t^{1}$ ) zależność wariancji od $t$ jest taka sama (jeśli chodzi o zmienność) na każdej z poziomic parametru $E$ tnących prostą krytyczną, tzn., że współczynnik przy $t^{2}$ nie zależy od $E$ . Istotnie,

$\sigma^{2}\big(x(E)+t\,\mu\times e\big)=\sigma^{2}\big(x(E)\big)+\Big[(\mu\times e)^{{\text{T}}}\Sigma(\mu\times e)\Big]\, t^{2}.$

Powtarzamy, jeszcze raz po Wykładzie VI: równanie pocisku Markowitza w każdym niezdegenerowanym przypadku powstaje przez podstawienie szczególnych wartości $\alpha,\,\beta,\,\gamma$ do ogólnego równania (6.4).

(Jeśli ktoś ogólne wzory lubi mniej niż konkretne obliczenia, ten liczy bezpośrednio wariancje portfeli krytycznych $x(E)$ . Np w przykładzie Krzyżewskiego (rozpoczętym w Wykładzie V, kontynuowanym w Wykładzie VI)

$\sigma^{2}(x(E))=\begin{bmatrix}-\frac{3}{11}E-\frac{2}{11}&\frac{17}{11}E+\frac{15}{11}&-\frac{14}{11}E-\frac{2}{11}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}19&6&1\\ 6&3&1\\ 1&1&\frac{1}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-\frac{3}{11}E-\frac{2}{11}\\ \frac{17}{11}E+\frac{15}{11}\\ -\frac{14}{11}E-\frac{2}{11}\end{bmatrix}=\frac{12}{11}E^{2}+\frac{38}{11}E+\frac{31}{11}\,,$

jak w Przykładzie 6.3. W przyszłości nie będziemy już precyzować sposobu, w jaki policzony został pocisk Markowitza w niezdegenerowanym modelu Blacka.)

Uwaga 7.2 (i zarazem ćwiczenie)

Wiemy już doskonale, że niezdegenerowane macierze $\Sigma$ wraz z niestałymi wektorami $\mu$ zawsze generują pociski Markowitza jako granice minimalne w modelach Blacka. Jednakże nie zawsze na odwrót! Oto przykład modelu Blacka, w którym macierz kowariancji jest tylko nieujemnie określona (więc teoria Blacka jako taka się nie stosuje), a mimo to granica minimalna jest w nim gałęzią najprawdziwszej niezdegenerowanej hiperboli.

W modelu występują trzy spółki ( $k=3$ ). Macierz kowariancji zmiennych stóp zwrotu ze spółek oraz wektor wartości oczekiwanych stóp zwrotu ze spółek to

$\Sigma=\begin{pmatrix}2&1&0\\ 1&1&1\\ 0&1&2\end{pmatrix},\qquad\mu=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}.$

(7.1)

Ta macierz jest tylko nieujemnie określona (stosuje się wiedza z Wykładu II, wszystkie minory centralne w $\Sigma$ są nieujemne). Nie jest dodatnio określona – jej wyznacznik znika.

Jest pouczającym (i niezbyt łatwym) ćwiczeniem policzyć w tym modelu obraz $\mathcal{M}(H)$ odwzorowania Markowitza. Odpowiedzią okazuje się być prawa ( $\sigma>0$ ) gałąź pewnej niezdegenerowanej hiperboli – zbiór bez wnętrza na płaszczyźnie (mimo, że wymiar modelu jest trzy; to jeszcze inna osobliwość tego przykładu).

Wskazówka:

Obliczenie pokaże, że tym obrazem jest prawa gałąź hiperboli $\sigma^{2}-(E-2)^{2}=1$ . Jednak równocześnie … inne obliczenie pokazuje, że wszystkie portfele Blacka $x\in H$ są w tym przykładzie krytyczne:

$\det\big(\Sigma x,\,\mu,\, e\big)=\begin{vmatrix}2x_{1}+x_{2}&1&1\\ 1&2&1\\ x_{2}+2x_{3}&3&1\end{vmatrix}=2-2x_{1}-2x_{2}-2x_{3}=0\,.$

Czyli – porównaj Wykład VI – wszystkie w ogóle portfele relatywnie (tj przy $E=\text{const}$ ) minimalizują ryzyko! Ich obrazy leżą zatem na granicy minimalnej w tym modelu Blacka. Dziwne to wszystko, nieprawdaż?

Rozwiązanie:

Trzeba zajmować się obiema składowymi odwzorowania Markowitza w punkcie – portfelu Blacka. Zajmijmy się najpierw wartością oczekiwaną portfela:

$E=x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=x_{1}+2(1-x_{1}-x_{3})+3x_{3}=2-x_{1}+x_{3}\,,$

więc $E-2=-x_{1}+x_{3}$ (za chwilę ten związek okaże się pomocny). Teraz pierwsza składowa odwzorowania, a dokładniej mówiąc – wariancja portfela:

	$\displaystyle\sigma^{2}$	$\displaystyle=\, 2x_{1}^{{\, 2}}+x_{2}^{{\, 2}}+2x_{3}^{{\, 2}}+2x_{2}(x_{1}+x_{3})$
		$\displaystyle=\, 2x_{1}^{{\, 2}}+(1-x_{1}-x_{3})^{2}+2x_{3}^{{\, 2}}+2(1-x_{1}-x_{3})(x_{1}+x_{3})$
		$\displaystyle=\, 2x_{1}^{{\, 2}}+1-2(x_{1}+x_{3})+(x_{1}+x_{3})^{2}+2x_{3}^{{\, 2}}+2(x_{1}+x_{3})-2(x_{1}+x_{3})^{2}$
		$\displaystyle=\, 1+(-x_{1}+x_{3})^{2}\,=\, 1+(E-2)^{2}\,.$

Związek podany we wskazówce zachodzi więc dla każdego portfela Blacka; wariancja portfela w tym przykładzie zależy tylko od wartości oczekiwanej portfela(!)

Wyjaśnienie tego zjawiska jest następujące: forma kwadratowa związana z macierzą $\Sigma$ jest dodatnio określona na wektorach reprezentowanych przez punkty z płaszczyzny afinicznej $H$ , i również kres dolny jej wartości na tych wektorach jest dodatni (równy 1, jak wynika z powyższego rachunku). Kłopot sprawiałyby tylko pewne wektory o sumie składowych zero, gdyż takie są w tym przykładzie wektory własne macierzy $\Sigma$ odpowiadające wartości własnej 0. Jednakże takie wektory w analizie portfelowej nie są używane.

W rozwiązaniu łamigłówki podanej w Uwadze 7.2 wspomnieliśmy, że suma składowych portfela nigdy nie jest zero. Otóż jest pewien wyjątek, dopuszczany w tzw. podejściu Lintnera, o czym wspominamy w Wykładzie IX. Takie inwestowanie à la Lintner, z zerową czy nawet ujemną sumą składowych portfela, w teorii Blacka nie jest dopuszczane.

Portfele efektywne (w źródle) i granica efektywna (w obrazie)

Wprowadzimy za chwilę dwa kluczowe w analizie portfelowej pojęcia: efektywności danego portfela i granicy efektywnej w danym modelu. Przewijają się one przez teksty poświęcone analizie portfelowej od samego jej historycznego początku – porównaj np obszerny cytat z [19] w Wykładzie II (,,the set of efficient $E,\, V$ combinations”), czy też reprodukcję strony 82 z tej samej pracy na Rysunku 7.2 poniżej. Już na tej reprodukcji można oglądać pewną (uproszczoną, wyidealizowaną) granicę efektywną!

By zobaczyć te pojęcia w odpowiedniej perspektywie, chcemy przez chwilę włączyć zmienne losowe pojawiające się w analizie portfelowej w pewien szerszy schemat. Zbiory portfeli Markowitza $\Delta^{k}$ i portfeli Blacka $H$ to przykłady wachlarzy możliwych scenariuszy inwestycyjnych, oznaczanych ogólnie $\mathfrak{X}$ . Elementy wachlarza, np portfele akcji (choć mogą to być też inwestycje w obligacje, nieruchomości, instrumenty pochodne …) mają przypisane do siebie zmienne losowe wyrażające możliwe stopy zysku z danego scenariusza w ustalonym okresie inwestycyjnym:

$\mathfrak{X}\ni A\longleftrightarrow R_{A}\,,$

gdzie

$A$ – scenariusz, albo plan,
$R_{A}$ – zmienna losowa wyrażająca stopę zysku w ustalonym okresie inwestycyjnym z tego scenariusza, planu …

Zupełnie analogicznie do tego, jak ustalonemu portfelowi akcji $x$ Markowitz czy Black przypisuje zmienną losową $x^{{\text{T}}}R$ – stopę zwrotu z tego portfela.

Dla zmiennych losowych generalnie istnieją różne miary ryzyka, z których jedną jest odchylenie standardowe $\sigma$ . Ustalmy na pewien czas jedną z takich miar $f$ .

Definicja 7.1 (relacja porównująca scenariusze inwestycyjne)

$A\underset{\mathbb{E},\, f}{\preccurlyeq}B\quad\text{ dla }\quad A,\, B\in\mathfrak{X}\quad\text{ gdy}$

$\mathbb{E}(R_{A})\le\mathbb{E}(R_{B})\quad\text{ i }\quad f(R_{A})\ge f(R_{B})\,.$

Jest to częściowy porządek w wachlarzu $\mathfrak{X}$ . (Oczywiście, ogólnie nie każde dwa scenariusze można porównywać taką relacją $\underset{\mathbb{E},\, f}{\preccurlyeq}$ .)
Mówimy, że scenariusz $A$ jest nie lepszy niż $B$ , albo, że $B$ dominuje $A$ (względnie: $A$ jest dominowany przez $B$ ).

Definicja 7.2 (scenariusz efektywny)

Mówimy, że scenariusz $A\in\mathfrak{X}$ jest efektywny w sensie danej relacji $\underset{\mathbb{E},f}{\preccurlyeq}$ , gdy $A$ nie jest dominowany przez żaden scenariusz $B\in\mathfrak{X}$ taki, że przynajmniej jedna z nierówności w Definicji 7.1 jest ostra.

Interpretacja geometryczna Definicji 7.2.
Używając analogu odwzorowania Markowitza, tzn. rysując ,,mapy” na płaszczyźnie $\mathbb{R}^{2}(f,\,\mathbb{E})$ , scenariusz $A$ jest efektywny w sensie $\underset{\mathbb{E},\, f}{\preccurlyeq}$ gdy nie istnieje scenariusz $B$ taki, że punkt $\big(f(R_{A}),\,\mathbb{E}(R_{A})\big)^{{\text{T}}}$ leży w domkniętym kątowniku `południowo-wschodnim' o wierzchołku $\big(f(R_{B}),\,\mathbb{E}(R_{B})\big)^{{\text{T}}}$ bez samego tego wierzchołka – patrz górna część Rysunku 7.1 (nieistnienie wyrażone jest czerwonym przekreśleniem jak przy znaku zakazu).
To samo można też wyrazić dualnie: ma nie istnieć $B$ , którego obraz leżałby w domkniętym kątowniku [uwaga!] północno-zachodnim o wierzchołku w obrazie $A$ i był różny od obrazu $A$ (czyli: leżałby w domkniętym kątowniku j. w. bez wierzchołka). [W wersji pdf ilustrujący tę interpretację Rysunek 7.1 dopiero otwiera następną stronę.]

$\par$

Rys. 7.1. Efektywność abstrakcyjna oraz efektywność konkretna i do tego w aspekcie M.

Należy zauważyć, że spójna i dostatecznie szeroko akceptowana teoria rozwinęła się jedynie na bazie miary ryzyka $f(\cdot)=\sigma(\cdot)$ (odchylenie standardowe zmiennej losowej).
Ponadto w analizie portfelowej najczęściej używamy wachlarzy – zbiorów portfeli akcji: Markowitza (wtedy $\mathfrak{X}=\Delta^{k}$ , aspekt M z Wykładu VI), względnie Blacka (wtedy $\mathfrak{X}=H$ , aspekt B z Wykładu VI).¹³Najczęściej, to nie znaczy, że jedynie. Już przy analizie modelu Tobina, co nastąpi w Wykładzie XI, mielibyśmy inny typ wachlarza. Również przy ogólnym modelu Markowitza, o którym w tych wykładach nie mówimy, dodatkowe ograniczenia na udziały akcji spółek w portfelach dopuszczalnych przekładałyby się na inne, nowe wachlarze.

Powiemy, specyfikując Definicję 7.2, że portfel $x$ , w aspekcie M lub też B, jest efektywny jeśli jest on efektywny jako scenariusz inwestycyjny przy wachlarzu $\mathfrak{X}=\Delta^{k}$ (w aspekcie M) lub przy wachlarzu $\mathfrak{X}=H$ (w aspekcie B) i mierze ryzyka zawsze $f=\sigma$ .

Portfele efektywne są najważniejsze w analizie portfelowej. Nie jest je trudno znaleźć w aspekcie B (patrz np Rysunek 7.6 poniżej), natomiast w aspekcie M – ogólnie bardzo trudno (patrz np Rysunek 7.5 poniżej). Większa część pozostałych wykładów jest poświęcona szukaniu bądź wszystkich, bądź specjalnych (optymalnych w różnych sensach), portfeli efektywnych. By, tytułem przykładu, już tutaj zilustrować wagę portfeli efektywnych – można rekomendować fragment z pracy [23] podany za Przykładem 13.1 w Wykładzie XIII.¹⁴portfele i ich obrazy są tam co prawda mylone, lecz to mało znaczący szczegół

Definicja 7.3

Granica efektywna $F_{{\text{efek}}}$ , w każdym z aspektów, to obraz przy odwzorowaniu Markowitza $\mathcal{M}$ wszystkich portfeli efektywnych w rozważanym aspekcie.

Uwaga 7.3

Podkreślamy bardzo mocno, że $F_{{\text{efek}}}$ jest określona w danym aspekcie: M albo B. Przy zmianie aspektu może ona zmieniać się dramatycznie, jak pokazane w Przykładzie 7.1 poniżej.

Obserwacja. 7.1 W każdym z aspektów, B czy też M,

$F_{{\text{efek}}}\subset F_{{\min}}.$

Istotnie, warunkiem koniecznym, by portfel $x$ był efektywny, jest minimalizowanie przez $x$ odchylenia standardowego $\sigma(y)$ wśród wszystkich portfeli $y$ (lecz tylko dopuszczanych w danym aspekcie!) takich, że $E(y)=E(x)$ – porównaj interpretacja geometryczna Definicji 7.2. W przeciwnym przypadku obraz portfela $x$ leżałby na górnej (`północnej') granicy południowo-wschodnigo kątownika wyznaczonego przez pewien $\mathcal{M}(y)$ i byłby przy tym różny od wierzchołka $\mathcal{M}(y)$ tego kątownika.

Przykład 7.1

Granicą efektywną $F_{{\text{efek}}}$ w modelu

$\Sigma=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&1&1\end{pmatrix},\quad\mu=\begin{pmatrix}3\\ 1\\ 2\end{pmatrix}$

rozważanym w aspekcie M jest domknięty łuk hiperboli – obraz (też zielony) zielonej połowy boku $\overline{e_{1}\, e_{3}}$ na Rysunku 7.1 w jego dolnej części. Uzasadnienie mieści się w samym tym rysunku części granicy $F_{{\min}}$ na płaszczyźnie $\mathbb{R}^{2}(\sigma,\, E)$ . Zielone punkty granicy minimalnej nie są przez nic zdominowane – nie są w cieniu żadnego innego punktu tej granicy. Natomiast czerwone punkty już są zdominowane – przez czerwone położone nad nimi! Nienarysowane punkty granicy minimalnej (mające wartości $E$ między 1 i 2) są zdominowane przez czerwone punkty.

(Porównaj też wcześniejszą analizę tego samego modelu, robioną pod innym kątem, w Wykładzie IV).

Natomiast $F_{{\text{efek}}}=\emptyset$ w tym samym modelu rozważanym w aspekcie B! Istotnie, $F_{{\min}}$ jest wtedy całą prostą $\sigma=\frac{1}{\sqrt{2}}$ – obrazem prostej $\{ x_{1}=\frac{1}{2}\}\subset H$ (obie te proste są obecne na Rysunku 7.1). Tymczasem każdy portfel z tej ostatniej prostej jest zdominowany przez jakikolwiek portfel na niej mający większą wartość oczekiwaną. Brak zatem portfeli efektywnych w sensie Definicji 7.2.

Uwaga 7.4 (ostrzeżenie)

W książce [10] na stronie 138, za portfel efektywny uznawany jest portfel, dla którego NIE istnieje portfel, mający niższe ryzyko przy danej oczekiwanej stopie zwrotu,

lub

mający wyższą oczekiwaną stopę zwrotu przy danym ryzyku.

By uniknąć patologii i być w zgodności z Definicją 7.2, podkreślone słowo danej należałoby zastąpić przez ,,nie mniejszej”, zaś podkreślone słowo danym przez ,,nie większym”.
To samo należałoby też uczynić w definicji efektywności portfela podanej w pracy [26] (linie 2-4 na stronie 278), gdzie stoi wyraźnie: ”… a portfolio is efficient if none other gives either (a) a higher expected return and the same variance of return or (b) a lower variance of return and the same expected return.”

Natomiast dokładnie tak jak w Definicji 7.2 (i to od samego początku!) proponował rozumieć efektywność Markowitz w [19]. Pisał on tam na stronie 82: ”The $E$ – $V$ rule states that the investor would (or should) want to select one of those portfolios which give rise to the $(E,\, V)$ combinations indicated as efficient in the figure; i. e., those with minimum $V$ for given $E$ or more and maximum $E$ for given $V$ or less.”

Czytelnik zechce zauważyć, że to `and' w cytacie z HMM jest koniunkcją logiczną!! (Dokonane tu wytłuszczenia nie pochodzą od autora pracy [19].) Istotnie, pierwsza część tej koniunkcji wyklucza hipotetyczne portfele, których obrazy leżałyby względem punktu $(V,\, E)$ [nasz porządek zmiennych, nie ten egzotyczny ulubiony przez HMM!!] w: $\{$ kątowniku północno-zachodnim z wąsem poziomo w lewo od $(V,\, E)$ , lecz bez wąsa pionowo w górę od $(V,\, E)\,\}$ . Natomiast druga część koniunkcji wyklucza portfele, których obrazy leżałyby w: $\{$ tymże kątowniku północno-zachodnim z wąsem pionowo w górę, lecz bez wąsa poziomo w lewo $\}$ . Łącznie koniunkcja wyklucza więc portfele, których obrazy leżałyby w całym domkniętym kątowniku północno-zachodnim bez samego wierzchołka kątownika $(V,\, E)$ , czyli te, które dominowałyby w naszym sensie [Definicja 7.1] dany portfel i przy tym miały różny od niego obraz na płaszczyźnie wariancja – wartość oczekiwana — patrz (też) interpretacja geometryczna zaraz po Definicji 7.2 powyżej.

Dla wygody czytelnika (prawie) całą przywoływaną tu stronę z [19] reprodukujemy na Rysunku 7.2 poniżej. [W wersji pdf rysunek przeskoczył na następną stronę.]

$\par$

Rys. 7.2. Najważniejsza być może strona z pracy [19].

W książce [22] – wydanie późniejsze od [19] o 48 lat – autor, na pewno dydaktycznie przejrzyściej (lecz cały czas dokładnie o tym samym!) mówi w Definicji na stronie 6, które punkty w jego mapie $\widetilde{\mathcal{M}}$ są nieefektywne:
”An obtainable $EV$ combination is inefficient if another obtainable combination has either higher mean and no higher variance, or less variance and no less mean. [And] efficient are those which are not inefficient.”

Przykład 7.2

Granicą efektywną $F_{{\text{efek}}}$ w przykładzie Krzyżewskiego (aspekt oczywiście M) jest cała granica minimalna: $F_{{\text{efek}}}=F_{{\min}}$ .
Istotnie, policzmy wysokości na osi $\overrightarrow{OE}$ czubków gałęzi hiperbol – obrazów, korzystając z obliczeń w Wykładach: V (dla boków) i VI (dla prostej krytycznej; jej obraz to – jak wiemy – pocisk Markowitza).

Dla boku $\overline{e_{1}\, e_{2}}$ jest to	$-\frac{3}{10}$ ,	poniżej aktywnego obszaru $[0,\, 1]$ ;
dla boku $\overline{e_{2}\, e_{3}}$ :	$-\frac{4}{3}$ ,	poniżej aktywnego obszaru $[-1,\, 0]$ ;
dla boku $\overline{e_{3}\, e_{1}}$ :	$-\frac{37}{35}$ ,	poniżej aktywnego obszaru $[-1,\, 1]$ ;
dla prostej krytycznej:	$-\frac{19}{12}$ ,	poniżej aktywnego obszaru $[-\frac{15}{17},\,-\frac{2}{3}]$ .

Widzimy, że wszystkie łuki hiperbol, odpowiadające aktywnym w aspekcie M obszarom wartości $E$ dla tych hiperbol, leżą w górnych połowach odpowiednich gałęzi hiperbol. Jest to dobrze widoczne na Rysunku 7.3 poniżej; najciekawsze tam miejsce jest jeszcze pokazane w znacznym powiększeniu na następnym Rysunku 7.4. [W wersji pdf oba te rysunki przeskakują niestety aż dwie strony dalej.]

$\par$

Rys. 7.3. Zbiór osiągalny w modelu Markowitza z Przykładu 5.1 (na płaszczyźnie $\mathbb{R}^{2}(\sigma^{2},\, E)$ ).

Istotnie więc, wszystkie cztery łuki hiperbol tworzących $F_{{\min}}$ leżą w górnych połowach odpowiednich gałęzi hiperbol. Te łuki są zatem zbudowane z $\mathcal{M}$ –obrazów portfeli efektywnych.

Zauważmy przy okazji, że wysokość czubka samego pocisku Markowitza, owe $-\frac{19}{12}$ , pojawiła się już w Uwadze 6.2 w Wykładzie VI; wtedy jako zwiastun niebezpieczeństw związanych z modelowaniem Blacka.

Na Rysunku 7.3 jest widoczna jeszcze jedna rzecz godna uwagi: granica minimalna ma punkt załamania na wysokości $E=0$ .

Ćwiczenie 7.1

Używając wzorów obrazów boków w tym przykładzie (podanych na początku Wykładu V), policzyć kąt załamania granicy minimalnej w aspekcie M, na Rysunku 7.3 na wysokości $E=0$ .

Rozwiązanie:

Należy obliczyć kąt, pod jakim przecinają się przy $E=0$ łuki dwu parabol (tak, parabol!) o znanych wzorach. Ten kąt ma miarę $\text{arctg}\frac{6-4}{1+6\cdot 4}=\text{arctg}\frac{2}{25}$ , czyli około $4^{{\circ}}34^{{\prime}}26^{{\prime\prime}}$ .

$\par$

Rys. 7.4. Powiększenie fragmentu Rysunku 7.3.

(Oba rysunki reprodukowane tu powyżej pochodzą z pracy magisterskiej [8], która jest jeszcze raz cytowana niżej w bieżącym Wykładzie VII.)

Ćwiczenie 7.2

Co na Rysunku 7.4 narysowane jest jednak nie w 100 $\%$ idealnie?

Skoro wiemy już, że w przykładzie Krzyżewskiego w aspekcie M cała granica minimalna (a więc: w obrazie) jest efektywna, zobaczmy, jak w nim wygląda cały zbiór portfeli efektywnych (a więc: w źródle). [W wersji pdf Rysunek 7.5 idzie dopiero dwie strony dalej.]

$\par$

Rys. 7.5. Pierwsze spotkanie z łamaną wierzchołkową, tu tożsamą z łamaną efektywną.

Zbiór ten jest więc już dosyć skomplikowany. Byłoby dobrze go zapamiętać; hasło na przyszłość – łamana efektywna, jak w podpisie pod tym rysunkiem.¹⁵ścisłe jej określenie to dopiero Definicja 11.1 w Wykładzie XI Ta przyszłość to konkretnie Wykłady: X (z Twierdzeniem 10.1 o łamanej wierzchołkowej) oraz XI (z dowodem tegoż i z dyskusją łamanych efektywnych).

Z kolei, nauczeni Przykładem 7.1, zadajemy sobie pytanie, jaki – w tym samym przykładzie Krzyżewskiego – jest zbiór portfeli efektywnych przy zmianie aspektu z M na B? I oto odpowiedź. [W wersji pdf ta odpowiedź – Rysunek 7.6 – trafia na następną stronę.]

$\par$

Rys. 7.6. Efektywna połowa prostej krytycznej w przykładzie Krzyżewskiego.

Jest więc z grubsza tak, jak w Przykładzie 7.1 – zbiory portfeli efektywnych w danych aspektach różnią się zasadniczo. Czy zapamiętamy i to rozróżnienie?

Ćwiczenie 7.3

Znaleźć wszystkie portfele efektywne w aspekcie M w modelu z Przykładu 5.2 (Wykład V) przy $\rho=0$ :

$\Sigma=\begin{pmatrix}9&3&1\\ 3&2&0\\ 1&0&4\end{pmatrix},\quad\mu=\begin{pmatrix}5\\ 4\\ 2\end{pmatrix}.$

Wskazówka:

Korzystamy bardzo mocno z Rysunku 5.3 w Wykładzie V. Dzięki temu widzimy, że do odpowiedzi (czyli do łamanej efektywnej) na pewno wchodzi cały bok $\overline{e_{1}\, e_{2}}$ . Ponadto – jeszcze jakiś przedział leżący w boku $\overline{e_{2}\, e_{3}}$ . Jaki?

Rozwiązanie:

Rozwijając myśl ze wskazówki, musimy znaleźć na boku $\overline{e_{2}\, e_{3}}$ portfel przechodzący na dzióbek hiperboli – obrazu prostej tego boku. Od takiego portfela zaczynać się tu będzie łamana efektywna. W tym celu wystarczy np policzyć lokalne dla tego boku parametry $\beta$ i $\gamma$ . Macierz kowariancji dla walorów numer 2 i 3 jest diagonalna i niemal natychmiast dostajemy $\beta=\frac{5}{2}$ oraz $\gamma=\frac{3}{4}$ . Dzióbek jest zatem na wysokości $\frac{5}{2}/\frac{3}{4}=\frac{10}{3}$ , a więc jest to $\mathcal{M}$ –obraz portfela $\big(0,\,\frac{2}{3},\,\frac{1}{3}\big)^{{\text{T}}}$ . Tym sposobem wiemy już, że brakująca część łamanej efektywnej to odcinek domknięty od napisanego tu portfela do portfela $e_{2}$ . (Łamana efektywna składa się tu z dwóch boków.)

Ćwiczenie 7.4 (kontynuacja ćwiczenia z Uwagi 7.2 powyżej)

a) Znaleźć wszystkie portfele efektywne w aspekcie M w przykładzie (7.1). Następnie narysować je na wybranym rzucie 2-wymiarowym sympleksu $\Delta^{3}$ .

b) Znaleźć wszystkie portfele efektywne w aspekcie B w przykładzie (7.1). Następnie narysować je na wybranym rzucie 2-wymiarowym płaszczyzny $H$ .

Wskazówka:

Praktycznie wszystko, co niezbędne, zostało już powiedziane w Uwadze 7.2.

Garść informacji historycznych dotyczących granic $F_{{\min}}$ i $F_{{\text{efek}}}$ w aspekcie M.

W przyszłości poznamy naturalne ograniczenie górne $2^{k}-k-1$ na ilość kawałków $\#(F_{{\min}})$ , z jakich składa się granica $F_{{\min}}$ w niezdegenerowanym modelu Markowitza w wymiarze $k$ . Z Obserwacji 7.1 wynika, że takie samo jest/będzie ograniczenie na ilość kawałków $\#(F_{{\text{efek}}})$ , z jakich składa się granica $F_{{\text{efek}}}$ :

$\#(F_{{\min}})\le 2^{k}-k-1\,,\qquad\#(F_{{\text{efek}}})\le 2^{k}-k-1\,.$

$k=3$ : przykład Krzyżewskiego pokazuje, że możliwa jest ” $=$ ” w obu tych oszacowaniach, i to realizowana na tym samym przykładzie!
$k=4$ : były student Wydziału MIM UW, K. Więch podał w roku 2001 w [29] przykład (10.7), w którym osiągana jest równość w pierwszym oszacowaniu, zaś w drugim po lewej stronie stoi $\#(F_{{\text{efek}}})=5$ . (Jeszcze w wersji z roku 2000 wykładów [13] było to pytaniem otwartym, czy przy $k=4$ w pierwszym oszacowaniu możliwa jest równość.)
Ten wynik poprawił w roku 2007 inny student MIM UW A. Iwanicki, uzyskując w [9] przykład, w którym $\#(F_{{\text{efek}}})=6$ . Jego z kolei prześcignęli jeszcze inni studenci MIM-u P. Grodzki i J. Gruszczyński, którzy w 2008 w [8] podali dwa niezmiernie interesujące przykłady. W pierwszym z nich $\#(F_{{\min}})=11$ , $\#(F_{{\text{efek}}})=9$ . W drugim natomiast $\#(F_{{\min}})=\#(F_{{\text{efek}}})=10$ . Ten drugi jest przy tym tak estetyczny, że nie można go nie przytoczyć w tych wykładach:

$\Sigma\,=\begin{pmatrix}15&5&-5&3\\ 5&16&19&3\\ -5&19&34&3\\ 3&3&3&1\end{pmatrix},\quad\mu\,=\begin{pmatrix}2\\ 7\\ 8\\ -3\end{pmatrix}.$
$k=5$ : A. Iwanicki podał, także w [9], przykład, w którym osiągana jest ” $=$ ” w pierwszym oszacowaniu, $\#(F_{{\min}})=26$ ( $=2^{5}-5-1$ ). Ten przykład jest przytoczony i dyskutowany w ostatnim Wykładzie XV.
$k=6$ : Ten sam Iwanicki znalazł pod koniec roku 2007 (już po obronieniu licencjatu) przykład, w którym także osiągana jest ” $=$ ” w pierwszym oszacowaniu $\#(F_{{\min}})=57$ ( $=2^{6}-6-1$ ).

Te rezultaty w naturalny sposób prowadzą do postawienia ważnego pytania.

Ćwiczenie 7.5 (otwarte)

Czy w wymiarze 4 możliwe jest, by $\#(F_{{\text{efek}}})=11$ ?

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Analiza Portfelowa i Rynki Kapitałowe 1

7. Wykład VII, 13.XI.2009

Uwaga 7.1

Uwaga 7.2 (i zarazem ćwiczenie)

Definicja 7.1 (relacja porównująca scenariusze inwestycyjne)

Definicja 7.2 (scenariusz efektywny)

Definicja 7.3

Uwaga 7.3

Przykład 7.1

Uwaga 7.4 (ostrzeżenie)

Przykład 7.2

Ćwiczenie 7.1

Ćwiczenie 7.2

Ćwiczenie 7.3

Ćwiczenie 7.4 (kontynuacja ćwiczenia z Uwagi 7.2 powyżej)

Ćwiczenie 7.5 (otwarte)