Na tym wykładzie zaczniemy poznawać teorię Jamesa Tobina – również, jak
i Markowitz, laureata nagrody Nobla z ekonomii (nawet wcześniejszego, bo
już z roku 1981), który wzbogacił modelowanie inwestowania – i osiągania
zysków na giełdzie! – o możliwość zaciągania pożyczek i/lub lokowania części
środków w banku oferującym, bez żadnego ryzyka, stałą stopę zwrotu
w zadanym okresie inwestycyjnym.16Tobin jest również znany, może
nawet bardziej, z idei wprowadzenia czegoś w rodzaju firewallu chroniącego
przed kryzysami spekulacyjnymi – tzw. podatku Tobina od wszelkich
operacji finansowych, którą to ideę głosił od bardzo dawna, jednak zawsze z
miernymi efektami praktycznymi. Niejeden raz okrzykiwano go, właśnie w związku
z tym pomysłem, ,,lewakiem”. Jego idea odżyła na nowo w trakcie kryzysu
lat 2008-9.
Oryginalnie Tobin wzbogacił w ten sposób teorię Markowitza (dla przypomnienia – dopuszczalne są w niej tylko długie pozycje w inwestycjach giełdowych). Modelem Tobina sensu stricto zajmiemy się w przyszłości. Pojęciowo i też matematycznie prostsze jest wzbogacenie, o pożyczki i/lub lokaty w banku, modelu Blacka (dla przypomnienia – dopuszczalne są w nim także krótkie pozycje, i to w nieograniczonej wysokości).
Jest to zmodyfikowany model Tobina, w żargonie matematyki
finansowej nazywany też czasami krótko ,,Black z dodanym walorem
bezryzykownym ”. Należy podkreślić wyidealizowany charakter
również tego modelowania: pożyczki i lokaty w banku są oprocentowane
dokładnie tak samo, przy czym – one także! – możliwe są w
nieograniczonej wysokości.
Pamiętamy wzór bilansowy (5.3) (Wykład V) leżący u podstaw krótkiej
i długiej sprzedaży w teorii Blacka. Obecnie inwestor może dodatkowo
pożyczyć dowolną ilość środków w banku, oprocentowanych
w okresie inwestycyjnym. Jeśli tak postąpi, to jego poprzedni
bilans (5.3) przybierze postać
![]() |
(8.1) |
Środki własne inwestora i uzyskane z krótkich sprzedaży
zostają tu jeszcze powiększone o pożyczone w banku
, po czym sumę tych wszystkich środków inwestor przeznacza na
zwyczajny zakup akcji o numerach
.
Gdy natomiast inwestor deponuje część już posiadanych środków,
np wielkość (zależną wprawdzie od jego kapitału wyjściowego oraz od
już poczynionych krótkich sprzedaży akcji, jednak wobec dowolności tych
drugich – w praktyce nieograniczoną), we wspomnianym banku, wtedy bilans
(5.3) zamienia się na
![]() |
(8.2) |
Zwyczajne zakupy inwestora składają się teraz z ,,zakupu”
bezryzykownego i bezpiecznego zysku o stopie za kwotę
oraz z zakupów akcji spółek o numerach
za kwoty
.
W przypadku pożyczki w banku, bilans (8.1) zapisujemy w postaci
![]() |
(8.3) |
Natomiast w przypadku depozytu w banku, bilans (8.2) zapisujemy w postaci
![]() |
(8.4) |
W zmodyfikowanym modelu Tobina portfel inwestora zostaje zatem
zakodowany w postaci dodatnich liczb (
,
długie pozycje), ujemnych liczb
(
,
krótkie pozycje), ewentualnych zer na miejscach spółek, którymi
inwestor w ogóle się nie zainteresował, oraz dodatkowej współrzędnej
![]() |
opisującej jego postępowanie względem banku. Wszystkie te współrzędne,
niezależnie od znaku współrzędnej , zawsze sumują się do 1,
jak to widzimy w (8.3) i (8.4).
Wartości oczekiwane portfeli w tym modelu, o ile tylko nie wszystkie parametry
są sobie równe (co oczywiście zakładamy, patrz
Twierdzenie 8.1 poniżej), są – analogicznie jak w Blacku, Uwaga 6.2 w
Wykładzie VI – nieograniczone z obu stron. A więc również z dołu; nie ma
jakiejś ,,naturalnej” granicy
od dołu dla stopy straty. Można tu,
średnio biorąc, dowolnie dużo relatywnie zyskać, lecz można też dowolnie
dużo relatywnie stracić!
Inwestor wkracza do Domu Maklerskiego ze swoimi 3000. Krótko sprzedaje
akcje pewnej spółki za 18 tysięcy, po czym pożycza jeszcze w banku
11 tysięcy. Następnie kupuje akcje dwu innych spółek w proporcji
wartościowej 3:1. Jaki jest jego portfel ?
![]() |
Po tym wprowadzeniu, teraz już formalnie:
zmodyfikowany model Tobina, budowany nad modelem Blacka
z parametrami
i
, jest to pewien inny model
Blacka
z macierzą kowariancji wymiaru
![]() |
(8.5) |
(inwestowanie w bankowy walor bezryzykowny ma zerową wariancję stopy zwrotu i jest nieskorelowane ze zwrotami z akcji spółek giełdowych – ryzykownych) oraz wektorem stóp zwrotu
![]() |
Portfele w tym modelu to wszystkie punkty z hiperpłaszczyzny
opisanej równaniem
, będącym tylko inną
postacią równań (8.3) i (8.4).
W celu uniknięcia kolizji oznaczeń z teorią Blacka, będziemy zapisywać te portfele jako
![]() |
gdzie .
Wartość oczekiwaną portfela
w tej nowej
teorii liczymy zupełnie analogicznie do tego, jak robiliśmy to w Wykładzie VI
dla portfeli Blacka, zważając tylko no to, że dla waloru bezryzykownego
nie mamy jego cen: początkowej i końcowej
i
, z których powstawałaby stopa zwrotu
,
tylko po prostu zmienna losowa
jest stałą:
.
Jeśli inwestor składa w banku na początku depozyt , wtedy na końcu
odbiera
, co w stosunku do jego kapitału własnego
daje stopę zysku
.
Jeśli natomiast na początku bierze on w banku pożyczkę ,
to na końcu musi oddać
, co daje ujemną stopę
zysku
.
Klasyczny wzór na stopę zwrotu z portfela rozszerza się
zatem z ,,Blacka” do ,,zmodyfikowanego Tobina” i mamy tutaj
,
jak również, oczywiście,
(por. (8.5)).
W tym momencie znamy już odwzorowanie Markowitza w zmodyfikowanym modelu Tobina! Teraz podstawowe pytanie teorii to – jak już było w Blacku i jak będzie w przyszłości z powrotem w Markowitzu – pytanie o postać (kształt) granicy minimalnej.
Zakładamy, że w wyjściowym modelu Blacka macierz kowariancji
jest dodatnio określona oraz spełnione jest fundamentalne założenie
(5.2) z Wykładu V. O stopie zwrotu w banku
zakładamy
tylko, że
(tj, że w banku nie stracimy wszystkiego).
Wtedy
(i) granica minimalna w zmodyfikowanym modelu Tobina to
kątownik złożony z dwu półprostych na płaszczyźnie ,
![]() |
gdzie wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnie, będąc (również) liczbą
, czyli wartością
dodatnio określonej formy kwadratowej na niezerowym wektorze.
W kątowniku tym automatycznie
. Ten kątownik jest
czasem nazywany krótko kątownikiem Tobina (lecz patrz
też Figure IV w pracy [23]).
(ii) Jeśli ,
to kąt rozwarcia kątownika opisanego w (i) jest większy od kąta
rozwarcia kątownika asymptot w wyjściowym modelu Blacka:
![]() |
(iii) Jeśli , to kątownik Tobina pokrywa się
z kątownikiem asymptot pocisku Markowitza w wyjściowym modelu Blacka.
Dowód (i). Zgodnie z definicją granicy minimalnej, przy
dowolnej ustalonej wartości minimalizujemy
funkcję
na hiperpłaszczyźnie
. Zatem – minimalizujemy funkcję
, gdzie
(!), przy
ograniczeniach
![]() |
Jeszcze przed napisaniem warunku Lagrange'a ograniczenia te
upraszczamy, eliminując zmienną . Dostajemy wtedy
już tylko jeden warunek
,
albo
![]() |
(8.6) |
Rozwiązaniem będzie
taki, że
dla jakiegoś
. Okaże się bowiem, że taki
będzie jedyny, więc
będzie jedynym kandydatem na lokalne ekstremum
warunkowe. W rozważanej sytuacji, przy ścisłej wypukłości wariancji
w zakresie zmiennych od
do
,
będzie globalnym minimum
warunkowym (porównaj analogiczną sytuację i Ćwiczenie 6.4 w Wykładzie VI).
Istotnie, wyrażenie na ,
![]() |
(8.7) |
można wstawić do (8.6), dostając
![]() |
albo
![]() |
gdzie wielkość w mianowniku jest dodatnia, bo jest to wartość formy
kwadratowej o macierzy na niezerowym wektorze
(litery greckie
,
,
zostały zdefiniowane w Wykładzie VI).
Właśnie to wyrażenie na
podstawione do (8.7) daje
jednoznaczny wzór na
,
![]() |
czyli – należy zauważyć – wzór (36) w [23]. To poprzez warunek budżetowy daje
![]() |
Mamy już w tej chwili cały portfel Tobina
minimalizujący ryzyko na każdym
ustalonym poziomie wartości oczekiwanej
:
![]() |
(8.8) |
Portfele te, gdy przebiega
, tworzą prostą
w hiperpłaszczyźnie
. Jest to prosta krytyczna
w tym zagadnieniu, zwana prostą krytyczną Tobina.17zwracamy
uwagę na ten kapitalny fakt: nic więcej, tylko prosta, mimo, że model jest
częściowo zdegenerowany; ciekawe
Liczymy teraz wartość znalezionego relatywnego minimum wariancji portfela
na poziomie , tzn. wielkość
, opuszczając już dalej falkę nad
:
![]() |
albo, pisząc tylko zamiast
,
![]() |
Dowód części (i) jest zakończony.
Dowód (ii). Pokażemy, że kwadraty porównywanych tangensów połówek kątów rozwarcia kątowników spełniają nierówność
![]() |
(8.9) |
Rozpatrujemy w tym celu trójmian kwadratowy
![]() |
który jest wszędzie dodatni, więc ma ujemny wyróżnik.18Jest
to trójmian ; dla niego
. To, przy okazji, już
trzeci dowód podstawowego w teorii Blacka Lematu 6.1 z Wykładu VI:
. Przyjmuje on minimum w
. To znaczy, że jego
wartość w
, tzn. liczba
![]() |
jest mniejsza niż wartość w , tzn. mniejsza
niż liczba
. Nierówność (8.9)
została udowodniona, a wraz z nią część (ii) twierdzenia.
Równocześnie udowodniliśmy też część (iii): przy
równe są i tangensy kątów, i punkty na pionowej osi, w których kątownik
Tobina oraz kątownik asymptot pocisku dotykają tej osi.
Twierdzenie 8.1 jest udowodnione. Analizując kątownik Tobina wyłaniający się z części (i) w tym twierdzeniu, nasuwa się jednak następująca
Czytelnik może poczuć się lekko zdezorientowany. Tutaj częściowo
zdegenerowana macierz powoduje, że granica minimalna
nie jest już regularnym pociskiem [Markowitza], tylko degeneruje się do
kątownika z wierzchołkiem na osi
. Mówiąc po prostu,
w zmodyfikowanym Tobinie ryzyko można zredukować do zera.
Tymczasem tamten dziwny przykład analizowany szczegółowo w Uwadze 7.2 w
Wykładzie VII pokazywał coś przeciwnego! Częściowo zdegenerowana macierz
kowariancji i jednak regularny pocisk Markowitza w granicy minimalnej.
Wyjaśnienie jest takie. Tam forma dawana macierzą nie degenerowała
się na wektorach z [hiper]płaszczyzny
, kres dolny jej wartości na
nich był 1. Natomiast teraz forma dawana macierzą
zeruje się na wektorze
(i, zresztą, w ramach
tylko na nim).
W teorii zmodyfikowanego modelu Tobina zakłada się, że
(
), co będzie później obszernie
komentowane w Wykładzie IX. To pociąga
,
więc – w szczególności – składowa
portfela (8.8)
na prostej Tobina może być sprowadzona do zera.
Przyjrzyjmy się teraz dokładniej prostej Tobina w sytuacji ogólniejszej
niż w Uwadze 8.2, gdy , tzn.
.
Wtedy też można wyzerować składową
w portfelu Tobina (8.8).
I łatwo jest wskazać dwa charakterystyczne punkty, przez które przechodzi
prosta Tobina. Są to na przykład
![]() |
Ten drugi to właśnie ten punkt na prostej Tobina, który ma zerową składową numer 0 — zaraz okaże się on portfelem tkwiącym jakby jeszcze w teorii Blacka i nierobiącym użytku z banku oferującego walor bezryzykowny. (Te dwa charakterystyczne punkty są zaznaczone na czerwono na Rysunku 9.1 w Wykładzie IX. Z pewnego względu rysunek nie pojawia się tu i teraz, lecz dopiero tam.19jednak odległość ,,portalowa” jest niewielka)
Przyjrzyjmy się dokładniej temu punktowi, zapominając o jego
współrzędnej , tzn. biorąc tylko jego część
w
terminologii z dowodu Twierdzenia 8.1 powyżej.
Czy punkt
leży w hiperpłaszczyźnie
, tzn. czy jest on portfelem
Blacka?
Tak, oczywiście, z warunku budżetowego spełnionego
tożsamościowo na prostej Tobina, bo wtedy .
Policzmy ten punkt-portfel dokładniej,
![]() |
(8.10) |
bo to jedna z najważniejszych formuł w analizie portfelowej, warta zapamiętania na dłużej. Mówiąc nawiasowo, przy jej pomocy sprawdzenie warunku budżetowego jest wdzięczne, choć – po Ćwiczeniu 8.2 – nadmiarowe:
![]() |
Na koniec tego wykładu jeszcze kilka zdań na temat specjalnej sytuacji,
osobno wybitej jako (iii) w Twierdzeniu 8.1. Gdy ,
wtedy składowej
w portfelu Tobina nie można sprowadzić
do zera i jest ona stale równa
![]() |
Prosta Tobina jest więc wtedy równoległa do ,, blaszki”
i oddalona od niej o 1 – nie ma z nią żadnego
punktu wspólnego. W szczególności jest rozłączna z prostą krytyczną
Blacka, która w blaszce leży.
Po obłożeniu odwzorowaniem Markowitza , prosta Tobina
przechodzi na asymptoty pocisku Markowitza (Twierdzenie 8.1 (iii) ),
rozłączne z samym pociskiem = obrazem prostej Blacka; patrz Figure VI
w [23].
Należy wspomnieć, że inaczej [jako podwójna styczność poniżej i powyżej
wartości ] było to ilustrowane w Rozdziale 4 książki [27],
o czym pisze też Merton w przypisie 11 na stronie 1868 w [23].
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.