Zagadnienia

3.1 Zadania

3. Centralne Twierdzenie Graniczne

Centralne twierdzenie graniczne dotyczy zachowania się rozkładu sum niezależnych zmiennych losowych, przy odpowiedniej normalizacji i pewnych dodatkowych założeniach. Intuicyjnie, suma dużej liczby ,,małych”, niezależnych zmiennych losowych ma rozkład normalny. Główny wynik niniejszego rozdziału jest następujący.

Twierdzenie 3.1 (Lindeberg)

Załóżmy, że dla każdego $n$ , zmienne $X_{{1n}}$ , $X_{{2n}}$ , $\ldots$ , $X_{{r_{n}n}}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej $0$ , takimi, że

$\sum _{{k=1}}^{{r_{n}}}\mathbb{E}X_{{kn}}^{2}\xrightarrow{n\to\infty}1.$

Dodatkowo, załóżmy, że jest spełniony warunek Lindeberga

$\sum _{{k=1}}^{{r_{n}}}\mathbb{E}X_{{kn}}^{2}1_{{\{|X_{{kn}}|>\varepsilon\}}}\xrightarrow{n\to\infty}0\quad\mbox{dla każdego }\varepsilon>0.$

(L)

Wówczas $X_{{1n}}+X_{{2n}}+\ldots+X_{{r_{n}n}}\Rightarrow\mathcal{N}(0,1).$

Powstaje tu naturalne pytanie, co tak naprawdę mówi warunek Lindeberga. Intuicyjnie rzecz biorąc, oznacza on, iż przy $n$ zbiegającym do nieskończoności, zmienne $X_{{1n}}$ , $X_{{2n}}$ , $\ldots$ , $X_{{r_{n}n}}$ są ,,równie małe”. Innymi słowy, w $n$ -tym wierszu nie ma zmiennych losowych, które byłyby dominujące w stosunku do pozostałych. Ściślej, mamy następujące dwie własności.

Wnioski z warunku Lindeberga

1. Mamy $\max _{{k\leq r_{n}}}|X_{{kn}}|\xrightarrow{\mathbb{P}}0$ . Istotnie, dla każdego $\varepsilon>0$ ,

$\begin{split}\mathbb{P}(\max _{{k\leq r_{n}}}|X_{{kn}}|>\varepsilon)&=\mathbb{P}\left(\bigcup _{{k=1}}^{{r_{n}}}\{|X_{{kn}}|>\varepsilon\}\right)\leq\sum _{{k=1}}^{{r_{n}}}\mathbb{P}(|X_{{kn}}|>\varepsilon)\\ &\leq\varepsilon^{{-2}}\sum _{{k=1}}^{{r_{n}}}\mathbb{E}X_{{kn}}^{2}1_{{\{|X_{{kn}}|>\varepsilon\}}}\xrightarrow{n\to\infty}0.\end{split}$

2. Mamy $\max _{{k\leq r_{n}}}\mathbb{E}X_{{kn}}^{2}\to 0$ . Rzeczywiście, dla dowolnego $\varepsilon>0$ ,

$\mathbb{E}X_{{kn}}^{2}=\mathbb{E}X_{{kn}}^{2}1_{{\{|X_{{kn}}|>\varepsilon\}}}+\mathbb{E}X_{{kn}}^{2}1_{{\{|X_{{kn}}|\leq\varepsilon\}}}\leq\sum _{{l=1}}^{{r_{n}}}\mathbb{E}X_{{ln}}^{2}1_{{\{|X_{{ln}}|>\varepsilon\}}}+\varepsilon^{2}\leq 2\varepsilon^{2},$

o ile $n$ jest dostatecznie duże.

Sformułujmy teraz nieco inną wersję CTG.

Twierdzenie 3.2

Załóżmy, że $X_{1},\, X_{2},\,\ldots,\,$ są niezależnymi zmiennymi losowymi całkowalnymi z kwadratem, $m_{n}:=\mathbb{E}X_{n}$ , $\sigma _{n}^{2}=$ Var $X_{n}$ , $b_{n}^{2}=\sum _{{k=1}}^{n}\sigma _{n}^{2}$ . Jeśli jest spełniony warunek Lindeberga

$b_{n}^{{-2}}\sum _{{k=1}}^{n}\mathbb{E}|X_{k}-m_{k}|^{2}1_{{\{|X_{k}-m_{k}|>\varepsilon b_{n}\}}}\xrightarrow{n\to\infty}0,$

(L)

$\frac{X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}-m_{1}-m_{2}-\ldots-m_{n}}{b_{n}}\Rightarrow\mathcal{N}(0,1).$

Wynika to bezpośrednio z twierdzenia Lindeberga, przy $r_{n}=n$ , $X_{{kn}}=(X_{k}-m_{k})/b_{n}.$

∎

Powstaje naturalne pytanie: kiedy warunek Lindeberga jest spełniony? Podamy tu kilka własności wymuszających ten warunek.

Stwierdzenie 3.1

Załóżmy, że $X_{1}$ , $X_{2}$ , $\ldots$ są niezależne i mają ten sam rozkład o dodatniej wariancji. Oznaczmy $m=\mathbb{E}X_{1}$ , $\sigma^{2}=$ Var $X_{1}$ . Wówczas warunek Lindeberga jest spełniony i

$\frac{X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}-nm}{\sqrt{n}\sigma}\Rightarrow\mathcal{N}(0,1).$

Dowód:

Wystarczy sprawdzić warunek Lindeberga. Mamy

$\frac{1}{n\sigma^{2}}\sum _{{k=1}}^{n}\mathbb{E}|X_{n}-m|^{2}1_{{\{|X_{n}-m|>\varepsilon\sigma\sqrt{n}\}}}=\frac{1}{\sigma^{2}}\mathbb{E}|X_{1}-m|^{2}1_{{\{|X_{1}-m|>\varepsilon\sigma\sqrt{n}\}}}\to 0,$

na mocy twierdzenia Lebesgue'a.

∎

Sprawdzenie dwóch poniższych warunków pozostawiamy jako ćwiczenie.

Stwierdzenie 3.2

Załóżmy, że $X_{1},\, X_{2},\,\ldots$ są wspólnie ograniczonymi niezależnymi zmiennymi losowymi spełniającymi warunek $\sum _{{k=1}}^{n}$ Var $X_{k}\to\infty$ . Wówczas spełniony jest warunek Lindeberga.

Stwierdzenie 3.3 (Lapunow)

Załóżmy, że dla każdego $n$ , $X_{{1n}}$ , $X_{{2n}}$ , $\ldots$ , $X_{{r_{n}n}}$ są niezależnymi, scentrowanymi zmiennymi losowymi spełniającymi warunki

$\sum _{{k=1}}^{{r_{n}}}\mathbb{E}X_{{kn}}^{2}\xrightarrow{n\to\infty}1$

oraz

$\sum _{{k=1}}^{{r_{n}}}\mathbb{E}|X_{{kn}}|^{{2+\delta}}\xrightarrow{n\to\infty}0\qquad\mbox{dla pewnego }\delta>0.$

Wówczas jest spełniony warunek Lindeberga.

Przechodzimy do dowodu twierdzenia Lindeberga.

Lemat 3.1

Załóżmy, że $a_{1},\, a_{2},\,\ldots,\, a_{n}$ , $b_{1},\, b_{2},\,\ldots,\, b_{n}$ są liczbami zespolonymi, z których każda ma moduł niewiększy niż $1$ . Wówczas

$|a_{1}a_{2}\ldots a_{n}-b_{1}b_{2}\ldots b_{n}|\leq\sum _{{k=1}}^{n}|a_{k}-b_{k}|.$

Dowód:

Stosujemy indukcję. Dla $n=1$ nierówność jest oczywista. Dalej, załóżmy, że jest ona prawdziwa dla pewnego $n$ spróbujmy ją udowodnić dla $n+1$ . Oznaczając $a=a_{1}a_{2}\ldots a_{n}$ , $b=b_{1}b_{2}\ldots b_{n}$ , mamy

$\begin{split}|a_{1}a_{2}\ldots a_{{n+1}}-b_{1}b_{2}\ldots b_{{n+1}}|&=|aa_{{n+1}}-bb_{{n+1}}|\\ &\leq|aa_{{n+1}}-ab_{{n+1}}|+|ab_{{n+1}}-bb_{{n+1}}|\\ &=|a||a_{{n+1}}-b_{{n+1}}|+|b_{{n+1}}||a-b|\\ &\leq\sum _{{k=1}}^{{n+1}}|a_{k}-b_{k}|,\end{split}$

co kończy dowód.

∎

Lemat 3.2

Dla dowolnego $y\in\mathbb{R}$ oraz $k=0,\, 1,\, 2,\,\ldots$ mamy

$\left|e^{{iy}}-\left(1+iy+\frac{(iy)^{2}}{2!}+\ldots+\frac{(iy)^{k}}{k!}\right)\right|\leq\frac{|y|^{{k+1}}}{(k+1)!}.$

Dowód:

Stosujemy indukcję. Dla $k=0$ mamy

$|e^{{iy}}-1|=\left|i\int _{0}^{y}e^{{ix}}dx\right|\leq|y|.$

Dalej, załóżmy, że nierówność zachodzi dla pewnego $k$ . Wówczas

$\begin{split}&\left|e^{{iy}}-\left(1+iy+\frac{(iy)^{2}}{2!}+\ldots+\frac{(iy)^{{k+1}}}{(k+1)!}\right)\right|\\ &=\left|i\int _{0}^{y}e^{{ix}}-\left(1+ix+\frac{(ix)^{2}}{2!}+\ldots+\frac{(ix)^{k}}{k!}\right)dx\right|\\ &\leq\int _{0}^{{|y|}}\left|e^{{ix}}-\left(1+ix+\frac{(ix)^{2}}{2!}+\ldots+\frac{(ix)^{k}}{k!}\right)\right|dx\\ &\leq\int _{0}^{{|y|}}\frac{x^{{k+1}}}{(k+1)!}dx=\frac{|y|^{{k+2}}}{(k+2)!}.\end{split}$

Dowód jest zakończony.

∎

Dowód twierdzenia Lindeberga:

Oznaczmy $\sigma _{{kn}}=(\mathbb{E}X_{{kn}}^{2})^{{1/2}}$ , $k=1,\, 2,\,\ldots,\, r_{n}$ , $n=1,\, 2,\,\ldots$ . Na mocy twierdzenia Levy-Cramera wystarczy udowodnić, że dla każdego $t\in\mathbb{R}$ , $\varphi _{{X_{{1n}}+X_{{2n}}+\ldots+X_{{r_{n}n}}}}(t)\to e^{{-t^{2}/2}}.$ Ustalmy więc $t\in\mathbb{R}$ . Mamy

$\begin{split} A_{n}:=&|\varphi _{{X_{{1n}}+X_{{2n}}+\ldots+X_{{r_{n}n}}}}(t)-e^{{-t^{2}/2}}|=\left|\prod _{{k=1}}^{{r_{n}}}\varphi _{{X_{{kn}}}}(t)-\prod _{{k=1}}^{{r_{n}}}e^{{-\sigma _{{kn}}^{2}t^{2}/2}}\right|\\ &+\underbrace{\left|e^{{-t^{2}\sum _{{k=1}}^{{r_{n}}}\sigma _{{kn}}^{2}/2}}-e^{{-t^{2}/2}}\right|}_{{D_{n}}}.\end{split}$

Stosujemy teraz pierwszy z powyższych lematów oraz fakt, iż $e^{{-x}}=1-x+r(x)$ , gdzie $r(x)/x\xrightarrow{x\to 0}0$ . W konsekwencji,

$A_{n}\leq\underbrace{\sum _{{k=1}}^{{r_{n}}}\left|\varphi _{{X_{{kn}}}}-1+\frac{\sigma _{{kn}}^{2}t^{2}}{2}\right|}_{{B_{n}}}+\underbrace{\sum _{{k=1}}^{{r_{n}}}|r(t^{2}\sigma _{{kn}}^{2}/2)|}_{{C_{n}}}+D_{n}.$

Wystarczy wykazać, że $(B_{n}),\,(C_{n}),\,(D_{n})$ dążą do $0$ . Zbieżność ciągu $(D_{n})$ do $0$ jest oczywista na mocy warunku $\sum _{{k=1}}^{{r_{n}}}\sigma _{{kn}}^{2}\to 1$ . Zajmijmy się teraz ciągiem $(C_{n})$ . Ustalmy $\varepsilon>0$ . Istnieje $\delta>0$ taka,że jeśli $|x|<\delta$ , to $|r(x)/x|<\varepsilon$ . Jak już wiemy, warunek Lindeberga pociąga za sobą, iż dla dostatecznie dużych $n$ , $\max _{{k\leq r_{n}}}t^{2}\sigma _{{kn}}^{2}/2<\delta$ , a co za tym idzie,

$C_{n}=\sum _{{k=1}}^{{r_{n}}}\left|\frac{r(t^{2}\sigma _{{kn}}^{2}/2)}{t^{2}\sigma _{{kn}}^{2}/2}\right|t^{2}\sigma _{{kn}}^{2}/2<\frac{t^{2}\varepsilon}{2}\sum _{{k=1}}^{{r_{n}}}\sigma _{{kn}}^{2}\to\frac{t^{2}\varepsilon}{2},$

a więc ciąg $(C_{n})$ zbiega do $0$ . Wreszcie, dla ustalonego $\varepsilon>0$ , korzystając z drugiego z powyższych lematów (z $k=2$ oraz z $k=3$ ),

$\begin{split}&\left|\varphi _{{X_{{kn}}}}-1+\frac{\sigma _{{kn}}^{2}t^{2}}{2}\right|=\left|\mathbb{E}(e^{{itX_{{kn}}}}-1-itX_{{kn}}+t^{2}X_{{kn}}^{2}/2)\right|\\ &\leq\mathbb{E}\left|e^{{itX_{{kn}}}}-1-itX_{{kn}}+t^{2}X_{{kn}}^{2}/2\right|1_{{\{|X_{{kn}}|\leq\varepsilon\}}}\\ &\quad+\mathbb{E}\left|e^{{itX_{{kn}}}}-1-itX_{{kn}}+t^{2}X_{{kn}}^{2}/2\right|1_{{\{|X_{{kn}}|>\varepsilon\}}}\\ &\leq\mathbb{E}\frac{|X_{{kn}}t|^{3}}{6}1_{{\{|X_{{kn}}|\leq\varepsilon\}}}+\mathbb{E}\left|e^{{itX_{{kn}}}}-1-itX_{{kn}}\right|1_{{\{|X_{{kn}}|>\varepsilon\}}}+\mathbb{E}\frac{t^{2}X_{{kn}}^{2}}{2}1_{{\{|X_{{kn}}|>\varepsilon\}}}\\ &\leq\frac{|t|^{3}\varepsilon}{6}\sigma _{{kn}}^{2}+2\mathbb{E}\frac{t^{2}X_{{kn}}^{2}}{2}1_{{\{|X_{{kn}}|>\varepsilon\}}}.\end{split}$

Zatem

$B_{n}\leq\frac{|t|^{3}}{6}\varepsilon\sum _{{k=1}}^{{r_{n}}}\sigma _{{kn}}^{2}+t^{2}\sum _{{k=1}}^{{r_{n}}}\mathbb{E}X_{{kn}}^{2}1_{{\{|X_{{kn}}|>\varepsilon\}}}\leq\frac{2|t|^{3}}{6}\varepsilon+\varepsilon$

dla dostatecznie dużych $n$ . Stąd teza.

∎

Jako wniosek, otrzymujemy

Twierdzenie 3.3 (de Moivre'a-Laplace'a)

Załóżmy, że $\xi _{n}$ ma rozkład Bernoulliego z parametrami $n$ , $p$ . Wówczas

$\frac{\xi _{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}}\Rightarrow\mathcal{N}(0,1).$

Dowód:

Niech $X_{1},\, X_{2},\,\ldots$ będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie dwupunktowym $\mathbb{P}(X_{n}=0)=1-p,$ $\mathbb{P}(X_{n}=1)=p$ . Mamy

$\frac{\xi _{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}}\sim\frac{X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}}$

i wystarczy skorzystać z odpowiedniej wersji CTG.

∎

Sformułujmy teraz uogólnienie twierdzenia Lindeberga. Dowodzi się je w sposób analogiczny.

Twierdzenie 3.4

Załóżmy, że dla każdego $n$ zmienne $X_{{1n}}$ , $X_{{2n}}$ , $\ldots$ , $X_{{r_{n}n}}$ są niezależne i całkowalne z kwadratem. Oznaczmy $m_{{kn}}:=\mathbb{E}X_{{kn}}$ i przypuśćmy, że

$\sum _{{k=1}}^{{r_{n}}}\mathbb{E}X_{{kn}}\xrightarrow{n\to\infty}m,\qquad\sum _{{k=1}}^{{r_{n}}}\mbox{Var}X_{{kn}}\xrightarrow{n\to\infty}\sigma^{2}$

oraz

$\sum _{{k=1}}^{{r_{n}}}\mathbb{E}(X_{{kn}}-m_{{kn}})^{2}1_{{\{|X_{{kn}}-m_{{kn}}|>\varepsilon\}}}\to 0.$

(L)

Wówczas $X_{{1n}}+X_{{2n}}+\ldots+X_{{r_{n}n}}\Rightarrow\mathcal{N}(m,\sigma^{2}).$

Centralne twierdzenie graniczne pozwala badać zachowanie dystrybuant sum niezależnych zmiennych losowych. Istotnie, zbieżność

$\frac{X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}-(m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n})}{b_{n}}\Rightarrow\mathcal{N}(0,1)$

jest równoważna zbieżności punktowej dystrybuant:

$\begin{split}\mathbb{P}\bigg(\frac{X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}-(m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n})}{b_{n}}&\leq x\bigg)\to\Phi(x)\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _{{-\infty}}^{x}e^{{-y^{2}/2}}dy.\end{split}$

Co więcej, zbieżność jest jednostajna względem $x\in\mathbb{R}$ (por. zadanie 9 z rozdziału o słabej zbieżności). Zatem dla każdego $\varepsilon>0$ istnieje numer $n_{0}$ taki, że dla $n\geq n_{0}$ ,

$\sup _{{x\in\mathbb{R}}}|\mathbb{P}(X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}\leq xb_{n}+(m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}))-\Phi(x)|<\varepsilon,$

czyli

$\sup _{{y\in\mathbb{R}}}\left|\mathbb{P}(X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}\leq y)-\Phi\left(\frac{y-m_{1}-m_{2}-\ldots-m_{n}}{b_{n}}\right)\right|<\varepsilon.$

Powstaje naturalne pytanie w jaki sposób wyznaczać $n_{0}$ w zależności od $\varepsilon$ ; innymi słowy, w jaki sposób szacować błąd związany z przybliżeniem dysrtybuanty sumy przez dystrybuantę standardowego rozkładu normalnego.

Twierdzenie 3.5 (Nierówność Berry-Essena)

Załóżmy, że $X_{1}$ , $X_{2}$ , $\ldots$ , są niezależnymi scentrowanymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie i niech $\sigma^{2}=$ Var $X_{n}>0$ , $\rho:=\mathbb{E}|X_{n}|^{3}<\infty$ . Wówczas

$\sup _{{x\in\mathbb{R}}}\left|\mathbb{P}\left(\frac{X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}}{\sqrt{n}\sigma}\leq x\right)-\Phi(x)\right|\leq\frac{c\rho}{\sigma^{3}\sqrt{n}},$

gdzie jako $c$ można wziąć $0,7655$ (optymalna - czyli najmniejsza możliwa - wartość $c$ nie jest znana).

W szczególności, przy założeniach twierdzenia de Moivre'a-Laplace'a,

$\sup _{{x\in\mathbb{R}}}\left|\mathbb{P}\left(\frac{\xi _{n}-np}{\sqrt{np(1-p)}}\leq x\right)-\Phi(x)\right|\leq c\frac{p^{2}+(1-p)^{2}}{\sqrt{np(1-p)}}.$

Jest to niezwykle użyteczny rezultat z punktu widzenia konkretnych zastosowań: w sposób jawny określa on tempo zbieżności.

3.1. Zadania

1. Sumujemy $10\; 0 0 0$ liczb, każdą zaokrągloną z dokładnością do $10^{{-m}}$ . Przypuśćmy, że błędy spowodowane przez zaokrąglenia są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale $(-10^{m}/2,10^{m}/2)$ . Znaleźć przedział (możliwie krótki), do którego z prawdopodobieństwem $\geq 0,95$ będzie należał błąd całkowity (tzn. po zsumowaniu).

2. Obliczyć

$\lim _{{n\to\infty}}e^{{-n}}\sum _{{k=0}}^{n}\frac{n^{k}}{k!}.$

3. Udowodnić Stwierdzenie 10 oraz Stwierdzenie 11.

4. Dany jest ciąg $(X_{n})$ niezależnych zmiennych losowych, przy czym dla $n\geq 1$ ,

$\mathbb{P}(X_{n}=-1)=\mathbb{P}(X_{n}=1)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right),\,\,\mathbb{P}(X_{n}=-n)=\mathbb{P}(X_{n}=n)=\frac{1}{2n^{2}}.$

Udowodnić, że

$\frac{X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}}{\sqrt{n}}\Rightarrow\mathcal{N}(0,1),$

mimo iż $\lim _{{n\to\infty}}$ Var $X_{n}=2$ .

5. Zmienne losowe $X_{1},X_{2},\ldots$ są niezależne, przy czym dla $n\geq 1$ , $\mathbb{P}(X_{n}=n)=\mathbb{P}(X_{n}=-n)=1/2$ . Niech $s_{n}^{2}=\sum _{{k=1}}^{n}\text{Var}X_{k}$ . Czy ciąg zmiennych losowych

$\frac{X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}}{s_{n}}$

jest zbieżny wedlug rozkładu, a jeśli tak, to do jakiej granicy?

6. Załóżmy, że $X$ jest zmienną losową spełniającą warunki

(i) $\mathbb{E}X^{2}<\infty$ ,

(ii) Jeśli $Y$ , $Z$ są niezależne i mają ten sam rozkład co $X$ , to $X\sim(Y+Z)/\sqrt{2}$ .

Wykazać, że $X$ ma rozkład Gaussa o średniej $0$ .

7. Rzucono $900$ razy kostką. Sumujemy oddzielnie parzyste liczby oczek i nieparzyste liczby oczek. Jakie jest przybliżone prawdopodobieństwo tego, że suma parzystych liczb oczek będzie o co najmniej $500$ większa od sumy nieparzystych liczb oczek?

8. Liczba studentów przyjętych na pierwszy rok jest zmienną losową o rozkładzie Poissona z parametrem 100. Jeśli ta liczba przekroczy 120, tworzy się 2 grupy wykładowe. Obliczyć przybliżone prawdopodobieństwo (korzystając z CTG), że nie trzeba będzie tworzyć dwóch grup.

9. Dane są dwa ciągi $(X_{n})$ , $(Y_{n})$ niezależnych zmiennych losowych, przy czym zmienne $(X_{n})$ mają ten sam rozkład wykładniczy z parametrem $1$ , a $(Y_{n})$ mają rozkład Poissona z parametrem $1$ . Zbadać zbieżność według rozkładu ciągu

$\frac{(X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n})^{2}-(Y_{1}+Y_{2}+\ldots+Y_{n})^{2}}{n\sqrt{n}}.$

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wykład z Rachunku Prawdopodobieństwa II

Zagadnienia

3. Centralne Twierdzenie Graniczne

Twierdzenie 3.1 (Lindeberg)

Twierdzenie 3.2

Stwierdzenie 3.1

Dowód:

Stwierdzenie 3.2

Stwierdzenie 3.3 (Lapunow)

Lemat 3.1

Dowód:

Lemat 3.2

Dowód:

Dowód twierdzenia Lindeberga:

Twierdzenie 3.3 (de Moivre'a-Laplace'a)

Dowód:

Twierdzenie 3.4

Twierdzenie 3.5 (Nierówność Berry-Essena)

3.1. Zadania