Zagadnienia

4.1 Zadania

4. Warunkowa wartość oczekiwana

Warunkowa wartość oczekiwana jest jednym z kluczowych pojęć w teorii prawdopodobieństwa. Zacznijmy od sytuacji gdy warunkujemy względem zdarzenia.

Definicja 4.1

Załóżmy, że $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ jest przestrzenią probabilistyczną oraz $B$ jest zdarzeniem o dodatnim prawdopodobieństwie. Niech $X$ będzie całkowalną zmienną losową. Warunkową wartością oczekiwaną $X$ pod warunkiem $B$ nazywamy liczbę

$\mathbb{E}(X|B)=\int _{\Omega}X(\omega)\mathbb{P}(d\omega|B).$

Stwierdzenie 4.1

Przy założeniach jak wyżej,

$\mathbb{E}(X|B)=\frac{1}{\mathbb{P}(B)}\int _{B}Xd\mathbb{P}.$

(*)

Dowód:

Stosujemy standardową metodę komplikacji zmiennej $X$ .

1. Załóżmy najpierw, że $X=1_{A}$ , gdzie $A\in\mathcal{F}$ . Wówczas

$\mathbb{E}(X|B)=\mathbb{P}(A|B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}=\frac{1}{\mathbb{P}(B)}\int _{B}1_{A}d\mathbb{P}.$

2. Z liniowości, dowodzona równość zachodzi także dla zmiennych prostych (kombinacji liniowych indykatorów zdarzeń).

3. Teraz jeśli $X$ jest nieujemną zmienną losową, to bierzemy niemalejący ciąg $(X_{n})$ zmiennych prostych zbieżny prawie na pewno do $X$ . Pisząc (*) dla $X_{n}$ i zbiegając z $n\to\infty$ dostajemy (*) dla $X$ , na mocy twierdzenia Lebesgue'a o monotonicznym przejściu do granicy pod znakiem całki.

4. Jeśli $X$ jest dowolną zmienną losową, to rozważamy rozbicie $X=X_{+}-X_{-}$ i stosujemy (*) dla $X_{+}$ oraz $X_{-}$ ; po odjęciu stronami dostajemy (*) dla $X$ .

∎

Przechodzimy do definicji warunkowej wartości oczekiwanej względem $\sigma$ -ciała.

Definicja 4.2

Załóżmy, że $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ jest przestrzenią probabilistyczną, $\mathcal{M}$ jest pod- $\sigma$ -ciałem $\mathcal{F}$ , a $X$ jest całkowalną zmienną losową. Warunkową wartością oczekiwaną $X$ pod warunkiem $\mathcal{M}$ nazywamy taką zmienną losową $\eta$ , że są spełnione następujące dwa warunki.

1) $\eta$ jest mierzalna względem $\mathcal{M}$ .

2) Dla każdego $B\in\mathcal{M}$ ,

$\int _{B}\eta d\mathbb{P}=\int _{B}Xd\mathbb{P}.$

Oznaczenie: $\mathbb{E}(X|\mathcal{M})$ .

W szczególności gdy $X=1_{A}$ , $A\in\mathcal{F}$ , to definiujemy prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia $A$ pod warunkiem $\mathcal{M}$ poprzez $\mathbb{P}(A|\mathcal{M})=\mathbb{E}(1_{A}|\mathcal{M}).$

Twierdzenie 4.1

Załóżmy, że $X$ jest całkowalną zmienną losową, a $\mathcal{M}$ jest pod- $\sigma$ -ciałem $\mathcal{F}$ . Wówczas warunkowa wartość oczekiwana istnieje i jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do równości p.n.

Dowód:

Dla dowolnego $B\in\mathcal{M}$ definiujemy $\nu(B)=\int _{B}Xd\mathbb{P}$ . Funkcja $\nu:\mathcal{M}\to\mathbb{R}$ jest przeliczalnie addytywną funkcją zbioru. Ponadto jeśli $\mathbb{P}(B)=0$ , to $\nu(B)=0$ (jest to tzw. absolutna ciągłość $\nu$ względem $\mathbb{P}$ ). Na mocy twierdzenia Radona-Nikodyma istnieje $\mathcal{M}$ -mierzalna zmienna losowa $\eta$ będąca gęstością $\nu$ względem $\mathbb{P}$ , tzn. taka, że dla wszystkich $B\in\mathcal{M}$ ,

$\int _{B}X\mathbb{P}=\nu(B)=\int _{B}\eta d\mathbb{P}.$

Jednoznaczność jest oczywista: jeśli $\eta _{1}$ , $\eta _{2}$ są zmiennymi losowymi spełniającymi 1) oraz 2), to w szczególności, dla każdego $B\in\mathcal{M}$ , $\int _{B}\eta _{1}d\mathbb{P}=\int _{B}\eta _{2}d\mathbb{P}$ , skąd $\eta _{1}=\eta _{2}$ p.n.

∎

Uwaga: Warto tu przyjrzeć się warunkowej wartości oczekiwanej zmiennej $X$ względem $\sigma$ -ciała $\mathcal{M}$ generowanego przez co najwyżej przeliczalne rozbicie $(B_{n})$ zbiorów o dodatnim prawdopodobieństwie. Bardzo łatwo wyznaczyć tę zmienną w oparciu o powyższą definicję. Mianowicie, jak widać z warunku 1), $\mathbb{E}(X|\mathcal{M})$ musi być stała na każdym zbiorze $B_{n}$ , $n=1,\, 2,\,\ldots$ ; własność 2) natychmiast implikuje, iż $\mathbb{E}(X|\mathcal{M})=\mathbb{E}(X|B_{n})$ na zbiorze $B_{n}$ . To w jednoznaczny sposób opisuje warunkową wartość oczekiwaną.

Przechodzimy do pojęcia warunkowej wartości oczekiwanej względem zmiennej losowej. Będziemy potrzebować następującego pomocniczego faktu.

Lemat 4.1

Załóżmy, że $Y$ jest zmienną losową. Wówczas każda zmienna losowa $X$ mierzalna względem $\sigma(Y)$ ma postać $f(Y)$ dla pewnej funkcji borelowskiej $f$ .

Dowód:

Ponownie stosujemy metodę komplikacji zmiennej.

1. Załóżmy, że $X=1_{A}$ , gdzie $A\in\sigma(Y)$ . Wówczas $A=\{ Y\in B\}$ dla pewnego $B$ , skąd $X=1_{B}(Y)$ , czyli jako $f$ możemy wziąć indykator $1_{B}$ .

2. Jeśli $X$ jest zmienną prostą, to jako $f$ bierzemy kombinację liniową odpowiednich indykatorów (patrz poprzedni punkt).

3. Załóżmy, że $X$ jest nieujemną zmienną losową. Istnieje niemalejący ciąg $(X_{n})$ prostych, $\sigma(Y)$ -mierzalnych zmiennych losowych zbieżny do $X$ . Na mocy 2), mamy $X_{n}=f_{n}(Y)$ dla pewnego ciągu funkcyjnego $(f_{n})$ . Jak łatwo sprawdzić, wystarczy wziąć

$f(x)=\begin{cases}\lim _{{n\to\infty}}f_{n}(x)&\mbox{ jeśli granica istnieje,}\\ 0&\text{jeśli granica nie istnieje}.\end{cases}$

4. Jeśli teraz $X$ jest dowolną zmienną losową, to mamy $X=X_{+}-X_{-}=f_{+}(Y)-f-(Y)=f(Y)$ , gdzie $f_{+}$ , $f_{-}$ to funkcje borelowskie odpowiadające $\sigma(Y)$ -mierzalnym $X_{+}$ oraz $X_{-}$ .

∎

Definicja 4.3

Załóżmy, że $X,\, Y$ są zmiennymi losowymi, przy czym $X$ jest całkowalna. Definiujemy warunkową wartość oczekiwaną $X$ pod warunkiem $Y$ jako

$\mathbb{E}(X|Y)=\mathbb{E}(X|\sigma(Y)).$

Uwaga: Na mocy lematu mamy $\mathbb{E}(X|Y)=f(Y)$ dla pewnej funkcji borelowskiej $f$ . Liczbę $f(y)$ możemy interpretować jako $\mathbb{E}(X|Y=y)$ .

Przykłady:

1. Załóżmy, że $X$ , $Y$ posiadają rozkłady skokowe. Oznaczmy

$P_{Y}(y)=\mathbb{P}(Y=y)\,\,\mbox{ oraz }\,\, P_{{(X,Y)}}(x,y)=\mathbb{P}(X=x,Y=y).$

Jeśli $h$ jest dowolną funkcją borelowską taką, że $h(X)\in L^{1}$ , to

$\mathbb{E}(h(X)|Y)=\sum _{{x\in S_{X}}}h(x)\frac{P_{{(X,Y)}}(x,Y)}{P_{Y}(Y)}.$

Aby to wykazać, należy sprawdzić, iż prawa strona (oznaczana dalej przez $\eta$ ) spełnia własności 1) i 2) z definicji $\mathbb{E}(h(X)|\sigma(Y))$ . Pierwszy warunek jest jasny - $\eta$ , jako funkcja $Y$ , jest $\sigma(Y)$ -mierzalna. Zajmijmy się zatem drugim warunkiem. niech $B\in\sigma(Y)$ . Ponieważ $Y$ ma rozkład dyskretny, $B$ jest co najwyżej przeliczalną sumą zdarzeń postaci $\{ Y=y\}$ oraz zdarzenia o prawdopodobieństwie $0$ . Wystarczy więc sprawdzić 2) dla zbiorów $B$ postaci $\{ Y=y\}$ . Mamy

$\int _{{\{ Y=y\}}}\eta d\mathbb{P}=\int _{{\{ Y=y\}}}\sum _{{x\in S_{X}}}h(x)\frac{P_{{X,Y}}(x,y)}{P_{Y}(y)}d\mathbb{P}=\sum _{{x\in S_{X}}}h(x)P_{{X,Y}}(x,y)$

oraz

$\int _{{\{ Y=y\}}}h(X)d\mathbb{P}=\sum _{{x\in S_{X}}}h(x)\int _{{\{ Y=y\}}}1_{{\{ X=x\}}}d\mathbb{P}=\sum _{{x\in S_{X}}}h(x)P_{{X,Y}}(x,y).$

2. Konkretny przykład. Załóżmy, że $X$ , $Y$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z parametrami $\lambda,\,\mu$ , odpowiednio. Wyznaczymy $\mathbb{E}(X|X+Y)$ .

Wiadomo, że $X+Y$ ma rozkład Poissona z parametrem $\lambda+\mu$ . Stąd

$P_{{X+Y}}(k)=\frac{(\lambda+\mu)^{k}}{k!}e^{{-(\lambda+\mu)}},\qquad k=0,\, 1,\, 2,\,\ldots.$

Ponadto, jeśli $k\geq\ell\geq 0$ , to

$\begin{split} P_{{X,X+Y}}(\ell,k)&=\mathbb{P}(X=\ell,X+Y=k)=\mathbb{P}(X=\ell)\mathbb{P}(Y=k-\ell)\\ &=\frac{\lambda^{\ell}}{\ell!}e^{{-\lambda}}\cdot\frac{\mu^{{k-\ell}}}{(k-\ell)!}e^{{-\mu}}\end{split}$

$\frac{P_{{X,X+Y}}(\ell,k)}{P_{{X+Y}}(k)}=\frac{k!\lambda^{\ell}\mu^{{k-\ell}}}{\ell!(k-\ell)!(\lambda+\mu)^{k}}={k\choose\ell}\left(\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\right)^{\ell}\left(1-\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\right)^{{k-\ell}}.$

Stąd

$\mathbb{E}(X|X+Y)=\frac{\lambda}{\lambda+\mu}(X+Y).$

3. Załóżmy, że $(X,Y)$ ma rozkład z gęstością $g$ i niech $g_{Y}(y)=\int _{\mathbb{R}}g(x,y)dx$ będzie gęstością zmiennej $Y$ . Zdefiniujmy gęstość warunkową wzorem

$g_{{X|Y}}(x|y)=\begin{cases}\frac{g(x,y)}{g_{Y}(y)}&\text{jeśli }g_{Y}(y)\neq 0,\\ 0&\text{jeśli }g_{Y}(y)=0.\end{cases}$

Wówczas dla dowolnej funkcji borelowskiej $h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ mamy

$\mathbb{E}(h(X)|Y)=\int _{\mathbb{R}}h(x)g_{{X|Y}}(x|Y)dx.$

(*)

Istotnie, sprawdzimy, że prawa strona spełnia warunki 1) i 2) z definicji $\mathbb{E}(h(X)|Y)$ . Oczywiście warunek 1) jest spełniony - prawa strona jest funkcją od $Y$ . Przejdźmy do 2). Dla dowolnego $B\in\sigma(Y)$ mamy, iż $B=\{ Y\in A\}$ dla pewnego $A\in\mathbb{R}$ oraz

$\begin{split}\int _{B}h(X)d\mathbb{P}&=\int _{\Omega}1_{{\{ Y\in A\}}}h(X)d\mathbb{P}=\int _{{\mathbb{R}^{2}}}1_{{\{ y\in A\}}}h(x)g(x,y)dxdy\\ &=\int _{\mathbb{R}}1_{{\{ y\in A\}}}g_{Y}(y)\int _{\mathbb{R}}h(x)g_{{X|Y}}(x|y)dxdy\\ &=\int _{B}\int _{\mathbb{R}}h(x)g_{{X|Y}}(x|Y)dxd\mathbb{P}.\end{split}$

Własności warunkowej wartości oczekiwanej

Załóżmy, że $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ jest ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech $\mathcal{M}$ będzie pewnym pod- $\sigma$ -ciałem $\mathcal{F}$ . Ponadto, o wszystkich zmiennych losowych zakładamy, że są całkowalne.

0. Mamy $\mathbb{E}(\mathbb{E}(X|\mathcal{M}))=\mathbb{E}X$ . Wynika to natychmiast z 2), jeśli weźmiemy $B=\Omega$ .

1. Niech $\alpha,\,\beta\in\mathbb{R}$ . Wówczas

$\mathbb{E}(\alpha X_{1}+\beta X_{2}|\mathcal{M})=\alpha\mathbb{E}(X_{1}|\mathcal{M})+\beta\mathbb{E}(X_{2}|\mathcal{M}).$

Istotnie: sprawdzimy, że prawa strona (oznaczana dalej przez $R$ ) spełnia warunki 1) i 2) z definicji $\mathbb{E}(\alpha X_{1}+\beta X_{2}|\mathcal{M})$ . Pierwszy warunek jest oczywisty. Aby sprawdzić drugi zauważmy, że dla dowolnego $B\in\mathcal{M}$ ,

$\begin{split}\int _{B}Rd\mathbb{P}&=\alpha\int _{B}\mathbb{E}(X_{1}|\mathcal{M}d\mathbb{P}+\beta\int _{B}\mathbb{E}(X_{2}|\mathcal{M}d\mathbb{P}=\alpha\int _{B}X_{1}d\mathbb{P}+\beta\int _{B}X_{2}d\mathbb{P}\\ &=\int _{B}\alpha X_{1}+\beta X_{2}d\mathbb{P}.\end{split}$

2. Jeśli $X$ jest nieujemną zmienną losową, to $\mathbb{E}(X|\mathcal{M})\geq 0$ p.n. Istotnie, niech $B=\{\mathbb{E}(X|\mathcal{M})<0\}$ . Wówczas $B\in\mathcal{M}$ i

$\int _{B}\mathbb{E}(X|\mathcal{M})d\mathbb{P}=\int _{B}Xd\mathbb{P}.$

Widzimy, że gdyby zdarzenie $B$ miało dodatnie prawdopodobieństwo, to lewa strona byłaby ujemna, a prawa - nieujemna.

3. Mamy

$|\mathbb{E}(X|\mathcal{M})|\leq\mathbb{E}(|X||\mathcal{M})\quad\text{p.n.}$

(*)

Istotnie, na mocy 1. oraz 2. mamy, iż nierówność $X\leq Y$ p.n. pociąga za sobą $\mathbb{E}(X|\mathcal{M})\leq\mathbb{E}(Y|\mathcal{M})$ . Stąd, z prawdopodobieństwem $1$ ,

$\mathbb{E}(X_{1}|\mathcal{M})\leq\mathbb{E}(|X_{1}||\mathcal{M})$

$-\mathbb{E}(X_{1}|\mathcal{M})\leq\mathbb{E}(|X_{1}||\mathcal{M}).$

Biorąc wartość oczekiwaną obu stron w (*) dostajemy, na mocy 0.,

$\mathbb{E}(|\mathbb{E}(X|\mathcal{M})|)\leq\mathbb{E}|X|.$

Innymi słowy, operator liniowy $\mathbb{E}(\cdot|\mathcal{M}):L^{1}(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})\to L^{1}(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ jest kontrakcją.

4. Warunkowa wersja twierdzenia Lebesgue'a o monotonicznym przejściu do granicy. Załóżmy, że $X_{n}\uparrow X$ . Wówczas $\mathbb{E}(X_{n}|\mathcal{M})\uparrow\mathbb{E}(X|\mathcal{M})$ p.n.

Aby to wykazać, zacznijmy od obserwacji iż na mocy 1. i 2., ciąg $(\mathbb{E}(X_{n}|\mathcal{M}))$ jest z prawdopodobieństwem $1$ niemalejący, a więc w szczególności zbieżny. Oznaczmy jego granicę przez $\eta$ , $\mathbb{E}(X_{1}|\mathcal{M})\leq\eta\leq\infty$ . Niech teraz $B\in\mathcal{M}$ . Mamy, na mocy 2) oraz bezwarunkowego twierdzenia Lebesgue'a,

$\int _{B}X=\lim _{{n\to\infty}}\int _{B}X_{n}=\lim _{{n\to\infty}}\int _{B}\mathbb{E}(X_{n}|\mathcal{M})=\int _{B}\eta.$

Ponieważ $\eta$ jest $\mathcal{M}$ -mierzalna, to z powyższej równości wynika, iż $\eta=\mathbb{E}(X|\mathcal{M})$ .

5. Analogicznie dowodzimy warunkowe wersje twierdzenia Lebesgue'a o zmajoryzowanym przejściu do granicy pod znakiem całki oraz lematu Fatou.

6. Załóżmy, że $X_{1}$ jest mierzalna względem $\mathcal{M}$ oraz $X_{1}X_{2}$ jest całkowalna. Wówczas

$\mathbb{E}(X_{1}X_{2}|\mathcal{M})=X_{1}\mathbb{E}(X_{2}|\mathcal{M})\quad\text{p.n}.$

(+)

W szczególności, biorąc $X_{2}\equiv 1$ , dostajemy, iż $\mathbb{E}(X_{1}|\mathcal{M})=X_{1}$ .

Sprawdzamy, że prawa strona spełnia warunki 1) oraz 2) z definicji $\mathbb{E}(X_{1}X_{2}|\mathcal{M})$ . Warunek 1) jest oczywisty, pozostaje więc sprawdzić drugi. Zastosujemy metodę komplikacji zmiennej $X_{1}$ .

a) Jeśli $X_{1}=1_{A}$ , gdzie $A\in\mathcal{M}$ , to dla dowolnego $B\in\mathcal{M}$ ,

$\int _{B}X_{1}\mathbb{E}(X_{2}|\mathcal{M})d\mathbb{P}=\int _{{A\cap B}}\mathbb{E}(X_{2}|\mathcal{M})d\mathbb{P}=\int _{{A\cap B}}X_{2}d\mathbb{P}=\int _{B}X_{1}X_{2}d\mathbb{P}.$

b) Jeśli $X_{1}$ jest zmienną prostą, to wzór $(+)$ dostajemy na mocy a) oraz liniowości warunkowych wartości oczekiwanych.

c) Jeśli $X_{1}$ jest nieujemną zmienną losową, to istnieje niemalejący ciąg $(Y_{n})$ $\mathcal{M}$ -mierzalnych zmiennych prostych, zbieżny p.n. do $X_{1}$ . Rozbijmy $X_{2}=X_{2}^{+}-X_{2}^{-}$ i zastosujmy b) do zmiennych $Y_{n}$ oraz $X_{2}^{+}$ :

$\mathbb{E}(Y_{n}X_{2}^{+}|\mathcal{M})=Y_{n}\mathbb{E}(X_{2}^{+}|\mathcal{M}).$

Zbiegając z $n\to\infty$ i korzystając z warunkowej wersji twierdzenia Lebesgue'a (własność 4.), dostajemy

$\mathbb{E}(X_{1}X_{2}^{+}|\mathcal{M})=X_{1}\mathbb{E}(X_{2}^{+}|\mathcal{M}).$

Zastępując $X_{2}^{+}$ przez $X_{2}^{-}$ i powtarzając rozumowanie, dostajemy

$\mathbb{E}(X_{1}X_{2}^{-}|\mathcal{M})=X_{1}\mathbb{E}(X_{2}^{-}|\mathcal{M})$

i po odjęciu stronami dostajemy (+).

d) Jeśli $X_{1}$ jest dowolną zmienną losową, to rozbijamy ją na różnicę $X_{1}^{+}-X_{1}^{-}$ , stoujemy c) do zmiennych $X_{1}^{+}$ , $X_{2}$ , oraz $X_{1}^{-}$ , $X_{2}$ , i odejmujemy stronami uzyskane równości.

7. Jeśli $\mathcal{M}_{1}\subset\mathcal{M}_{2}$ są pod- $\sigma$ -ciałami $\mathcal{F}$ , to

$\mathbb{E}(X|\mathcal{M}_{1})=\mathbb{E}(\mathbb{E}(X|\mathcal{M}_{2})|\mathcal{M}_{1})=\mathbb{E}(\mathbb{E}(X|\mathcal{M}_{1})|\mathcal{M}_{2}).$

(=)

Zacznijmy od obserwacji, iż wyrażenia stojące po skrajnych stronach są równe. Wynika to natychmiast z poprzedniej własności: zmienna losowa $\mathbb{E}(X|\mathcal{M}_{1})$ jest mierzalna względem $\mathcal{M}_{2}$ . Wystarczy więc udowodnić, że pierwsze dwa wyrazy w (=) są równe. Weźmy $B\in\mathcal{M}_{1}$ . Mamy $B\in\mathcal{M}_{2}$ , a więc

$\int _{B}\mathbb{E}(X|\mathcal{M}_{1})=\int _{B}X=\int _{B}\mathbb{E}(X|\mathcal{M}_{2})=\int _{B}\mathbb{E}(\mathbb{E}(X|\mathcal{M}_{2})|\mathcal{M}_{1}),$

skąd teza.

8. Załóżmy, że $X$ jest niezależna od $\mathcal{M}$ . Wówczas $\mathbb{E}(X|\mathcal{M})=\mathbb{E}X$ . Istotnie, sprawdzimy, że $\mathbb{E}X$ spełnia warunki 1) i 2) w definicji $\mathbb{E}(X|\mathcal{M})$ . Warunek 1) jest oczywisty: $\mathbb{E}X$ jest zmienn:a losową stałą, a więc mierzalną względem każdego $\sigma$ -ciała. Niech teraz $B\in\mathcal{M}$ . Mamy na mocy niezależności $1_{B}$ oraz $X$ ,

$\int _{B}\mathbb{E}Xd\mathbb{P}=\mathbb{E}1_{B}\mathbb{E}X=\mathbb{E}(1_{B}X)=\int _{B}Xd\mathbb{P}.$

9. Nierówność Jensena. Załóżmy, że $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ jest funkcją wypukłą taką, że $f(X)$ jest zmienną całkowalną. Wówczas

$\mathbb{E}(f(X)|\mathcal{M})\geq f(\mathbb{E}(X|\mathcal{M})).$

Będzie nam potrzebny następujący prosty fakt. Dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie.

Lemat 4.2

Załóżmy, że $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ jest funkcją wypukłą. Wówczas istnieją ciągi $(a_{n})$ , $(b_{n})$ takie, że dla dowolnego $x\in\mathbb{R}$ ,

$f(x)=\sup _{n}(a_{n}x+b_{n}).$

Powróćmy do dowodu 9. Dla ciągów $(a_{n})$ , $(b_{n})$ , gwarantowanych przez powyższy lemat, mamy $f(X)\geq a_{n}X+b_{n}$ dla każdego $n$ . Stąd, na mocy 1. oraz 2., z prawdopodobieństwem $1$ ,

$\mathbb{E}(f(X)|\mathcal{M})\geq a_{n}\mathbb{E}(X|\mathcal{M})+b_{n}.$

Poniweaż ciągi $(a_{n})$ , $(b_{n})$ są przeliczalne, to możemy wziąć supremum po $n$ po prawej stronie i dalej nierówno'sć będzie zachodziła z prawdopodobieństwem $1$ :

$\mathbb{E}(f(X)|\mathcal{M})\geq\sup _{n}(a_{n}\mathbb{E}(X||\mathcal{M})+b_{n})=f(\mathbb{E}(X|\mathcal{M})).$

Jako wniosek, dostajemy, iż dla $p\geq 1$ i $X\in L^{p}(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ ,

$\mathbb{E}(|X|^{p}|\mathcal{M})\geq[\mathbb{E}(|X||\mathcal{M})]^{p}.$

Stąd po wzięciu wartości oczekiwanej obu stron, $\mathbb{E}(|\mathbb{E}(X|\mathcal{M})|^{p})\leq\mathbb{E}|X|^{p},$ czyli

$||\mathbb{E}(X|\mathcal{M})||_{p}\leq||X||_{p}.$

Zatem warunkowa wartość oczekiwana $\mathbb{E}(\cdot|\mathcal{M})$ jest kontrakcją w $L^{p}$ .

4.1. Zadania

1. Załóżmy, że $X$ , $Y$ są zmiennymi losowymi a $\mathcal{G}$ jest $\sigma$ -ciałem takim, że $X$ jest mierzalne względem $\mathcal{G}$ , a $Y$ jest niezależne od $\mathcal{G}$ . Niech $\phi:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ będzie funkcją borelowską taką, że $\phi(X,Y)$ jest całkowalną zmienną losową. Udowodnić, że

$\mathbb{E}[\phi(X,Y)|\mathcal{G}]=\Phi(X),$

gdzie $\Phi(x)=\mathbb{E}\phi(x,Y)$ .

2. Załóżmy, że $X$ jest całkowalną zmienną losową, a $\sigma$ -ciało $\mathcal{G}$ jest niezależne od $X$ oraz od $\sigma$ -ciała $\mathcal{M}$ . Udowodnić, że

$\mathbb{E}(X|\sigma(\mathcal{G},\mathcal{M}))=\mathbb{E}(X|\mathcal{M}).$

3. Zmienna losowa $(X,Y)$ ma gęstość

$g(x,y)=\frac{x^{3}}{2}e^{{-x(y+1)}}1_{{\{ x>0,\, y>0\}}}.$

Wyznaczyć $\mathbb{E}(Y|X)$ oraz $\mathbb{E}(Y^{2}|X)$ .

4. Zmienna losowa $(X,Y)$ ma rozkład Gaussa o wartości oczekiwanej $0$ , Var $X=\sigma _{1}^{2}$ , Var $Y=\sigma _{2}^{2}$ , Cov $(X,Y)=c$ . Obliczyć $\mathbb{P}(Y\in B|X)$ (dla $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ ) oraz $\mathbb{E}(Y|X)$ .

5. Zmienne losowe $X$ , $Y$ są niezależne i mają rozkład wykładniczy z parametrem $1$ . Obliczyć $\mathbb{P}(X\in B|X+Y)$ (dla $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ ) oraz $\mathbb{E}(\sin X|X+Y)$ .

6. Zmienne losowe $\varepsilon _{1},\,\varepsilon _{2},\,\varepsilon _{3}$ są niezależne i mają ten sam rozkład $\mathbb{P}(\varepsilon _{i}=-1)=\mathbb{P}(\varepsilon _{i}=1)=1/2$ , $i=1,\, 2,\, 3$ . Obliczyć $\mathbb{E}(\varepsilon _{1}|\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})$ oraz $\mathbb{E}(\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}|e_{1}+e_{2}e_{3})$ .

7. Wiadomo, że $p$ procent monet stanowią monety fałszywe, z orłem po obu stronach. Losujemy ze zwracaniem $n$ monet i każdą z nich wykonujemy rzut. Niech $F$ oznacza liczbę losowań, w wyniku których wyciągnięto monetę fałszywą, $O$ - liczba wyrzuconych orłów. Udowodnić, że $\mathbb{E}(F|O)=\frac{2p}{100+p}O.$

8. Zmienna losowa $X$ ma rozkład wykładniczy z parametrem $1$ , zaś $Y$ jest zmienną losową taką, że jeśli $X=x$ , to $Y$ ma rozkład wykładniczy z parametrem $x$ .

a) Wyznaczyć rozkład $Y$ .

b) Obliczyć $\mathbb{P}(X>r|Y)$ .

9. Losujemy ze zwracaniem po jednej karcie z talii $52$ kart tak długo aż wyciągniemy pika. Niech $Y$ oznacza zmienną losową równą liczbie wyciągniętych kart, a $X$ zmienną losową równą liczbie wyciągniętych kierów. Wyznaczyć $\mathbb{E}(Y|X=4)$ oraz $\mathbb{E}(X|Y=4)$ .