Do tej pory, dysponując ciągiem zmiennych losowych, nie
wiązaliśmy z ich indeksami żadnej interpretacji. W wielu naturalnych
sytuacjach można je interpretować jako współrzędną czasową. W
konkretnych przypadkach często opisuje zachowanie układu w chwili
. Tak więc indeks odpowiada za czas.
Załóżmy, że jest ,,zbiorem czasów”: to znaczy, jest równy
,
,
lub
.
Załóżmy, że jest przestrzenią
probabilistyczną,
- jak wyżej. Filtracją nazywamy
rodzinę
, gdzie dla każdego
,
jest
-ciałem zawartym w
oraz
jeśli
.
Intuicja: -ciało
opisuje wszystko co się może zdarzyć do
chwili
.
Załóżmy, że jest przestrzenią
probabilistyczną wyposażoną w filtrację
. Funkcję
nazywamy momentem zatrzymania,
jeśli dla każdego
mamy
.
Intuicyjnie, moment zatrzymania jest ,,sensowną” reguła stopowania:
taką, iż decyzję, czy się zatrzymywać, podejmujemy
na podstawie zdarzeń z przeszłości i teraźniejszości. Spójrzmy na
następujący
Przykład: Rzucamy razy monetą. Niech
, jeśli w
-tym rzucie wypadł orzeł, i
w przeciwnym
przypadku. Wprowadźmy
-ciała
,
(jest to tzw. naturalna filtracja
względem ciągu
) Rozważmy dwie strategie:
- wycofujemy się, gdy
wypadnie orzeł po raz pierwszy,
- wycofujemy się, gdy orzeł
wypada po raz ostatni (jeśli wypadają same reszki, przyjmujemy
). Intuicja podpowiada, iż
jest sensowną
regułą zatrzymania - decyzję o tym, czy się wycofać, czy nie,
podejmujemy na podstawie informacji, które dopłynęły do nas do
danej chwili. Strategia
nie jest sensowna: skąd mamy
wiedzieć - nie znając przyszłości - czy orzeł, który właśnie
wypadł, jest ostatni? Formalny dowód tego, że
nie jest
momentem zatrzymania, pozostawiamy jako ćwiczenie.
Uwaga:
Warunek definiujący moment stopu można zapisać równoważnie w
następujący sposób. Funkcja jest momentem
zatrzymania wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
,
.
Mamy
![]() |
gdyż dla każdego ,
.
Mamy
i oba zdarzenia należą do
.
Przykłady:
1) jest momentem zatrzymania względem każdej
filtracji:
![]() |
2) Załóżmy, że jest przestrzenią
probabilistyczną wyposażoną w filtrację
.
Załóżmy, że
jest rodziną zmiennych losowych
(procesem stochastycznym) o tej własności, że dla każdego
,
zmienna
jest mierzalna względem
(mówimy, że proces
stochastyczny
jest adaptowany do filtracji
). Dalej,
niech
oraz
![]() |
przy czym przyjmijmy konwencję . Funkcja
to moment pierwszego dojścia procesu
do zbioru
. Wówczas
jest momentem zatrzymania: dla każdego
,
![]() |
Analogiczny fakt zachodzi, gdy zmienne przyjmują wartości w
, albo ogólniej, w przestrzeni metrycznej
.
Załóżmy, że jest przestrzenią
probabilistyczną wyposażoną w filtrację
i niech
będzie momentem zatrzymania. Definiujemy
![]() |
Intuicyjnie, opisuje wszystkie zdarzenia, które mogą
zajść do momentu
.
Uwagi:
1) jest
-ciałem,
2) jeśli , to
.
Własności:
1) Jeśli ,
są momentami zatrzymania, to
oraz
też są momentami zatrzymania. Istotnie,
![]() |
![]() |
2) Jeśli ,
są takimi momentami zatrzymania, że
, to
. Istotnie,
jeśli
, to dla każdego
,
![]() |
i dwa ostatnie przecinane zbiory należą do .
3) Moment zatrzymania jest mierzalny względem
.
Istotnie,
![]() |
4) Załóżmy, że jest adaptowany do danej filtracji,
a
jest momentem zatrzymania względem tej filtracji
spełniającym warunek
(jest to tzw. skończony
moment stopu. Wówczas zmienna
jest mierzalna względem
. Istotnie,
![]() |
jako że oba przecinane zdarzenia należą do .
Przechodzimy do definicji głównych pojęć niniejszego rozdziału.
Załóżmy, że jest przestrzenią
probabilistyczną wyposażoną w filtrację
.
Załóżmy, że
jest adaptowanym ciągiem
całkowalnych zmiennych losowych. Mówimy, że
jest
a) martyngałem, jeśli dla wszystkich ,
zachodzi
.
b) nadmartyngałem, jeśli dla wszystkich ,
zachodzi
.
c) podmartyngałem, jeśli dla wszystkich ,
zachodzi
.
Jeśli filtracja jest ustalona, to mówimy po prostu, że jest martyngałem (nad-, pod-), jeśli zachodzą powyższe warunki.
Uwagi:
a) jest martyngałem, wtedy i tylko
wtedy, gdy dla dowolnych
,
, oraz
zachodzi
![]() |
Analogicznie dla nad- i podmartyngałów.
b) U nas ,
,
,
.
c) jest martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy jest nad- i
podmartyngałem.
d) jest podmartyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy
jest
nadmartyngałem.
e) Jeśli ,
są martyngałami względem tej samej
filtracji i
, to
też jest martyngałem.
Analogiczny fakt zachodzi dla nad- i podmartyngałów, o ile
.
f) Jeśli zbiór jest taki jak w b), to
jest
martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich
takich,
że
, zachodzi
(analogiczny fakt
zachodzi dla nad- i podmartyngałów).
oczywiste (szczególny przypadek).
Załóżmy, że
,
. Wówczas
, a więc na mocy własności warunkowej wartości
oczekiwanej,
![]() |
i dalej przez indukcję.
∎Przykłady:
1) Załóżmy, że są niezależnymi,
całkowalnymi zmiennymi losowymi o średniej
. Niech
i
,
. Wówczas
jest martyngałem:
![]() |
2) Załóżmy, że jest całkowalną zmienną losową,
jest filtracją i niech
dla
. Wówczas
jest martyngałem.
Weźmy ,
. Mamy, na mocy własności warunkowej
wartości oczekiwanej,
![]() |
Martyngał taki jak w przykładzie 2) nazywamy prawostronnie
domkniętym. Czasami nazywa się tak martyngał wraz z domknięciem:
, gdzie
.
Załóżmy, że jest martyngałem, a
jest funkcją wypukłą taką, że
jest zmienną całkowalną
dla każdego
. Wówczas
jest
podmartyngałem.
Załóżmy, że ,
. Wówczas, na mocy nierówności
Jensena,
![]() |
Załóżmy, że jest martyngałem. Wówczas
a) Jeśli dla pewnego mamy, iż
dla wszystkich
, to
jest podmartyngałem.
b) Dla dowolnej liczby rzeczywistej , proces
jest podmartyngałem. W szczególności,
,
są
podmartyngałami.
Załóżmy, że jest nadmartyngałem
(odp., martyngałem). Załóżmy, że
są momentami
zatrzymania takimi, że
i
jest ograniczony.
Wówczas mamy
p.n. (odpowiednio,
p.n.).
Załóżmy, że . Zauważmy
najpierw, iż
są całkowalne, gdyż
. Zmienna
jest mierzalna względem
, a zatem wystarczy
wykazać, że dla każdego
,
![]() |
(odpowiednio, z równością w miejscu nierówności w przypadku martyngałowym).
Załóżmy
najpierw, że . Mamy
![]() |
(odpowiednio, ). Ostatnia nierówność bierze się stąd, iż
.
Weźmy teraz dowolne . Definiujemy
. Zmienne
są
momentami zatrzymania, a ponadto
![]() |
oraz . Zatem dla każdego
,
![]() |
(z równościami w przypadku martyngałowym).
∎Załóżmy, że proces jest nadmartyngałem
takim, że
. Wówczas ciąg
jest
zbieżny p.n. do pewnej zmiennej losowej całkowalnej.
a) Każdy nieujemny nadmartyngał (tzn. spełniający
p.n. dla wszystkich
) jest zbieżny p.n.
b) Jeśli jest podmartyngałem
spełniającym
, to
jest zbieżny p.n.
c) Jeśli jest nadmartyngałem, to
warunek
jest równoważny warunkowi
(tzn. ograniczoności ciągu
w
).
a) jest oczywiste, b) wynika wprost z
twierdzenia Dooba poprzez przejście do procesu , który
jest nadmartyngałem. Zajmijmy się dowodem c). Implikacja
jest oczywista.
Mamy
skąd
![]() |
W dowodzie twierdzenia o zbieżności będziemy używać
następujących obiektów.
Załóżmy, że jest ciągiem liczbowym i niech
to ustalone liczby rzeczywiste. Określmy
![]() |
Liczba to moment
-tego
przejścia w górę ciągu
przez przedział
. Niech teraz
![]() |
będzie liczbą przejść w górę ciągu przez przedział
.
Ciąg liczbowy jest zbieżny (być może do
) wtedy
i tylko wtedy, gdy dla wszystkich
,
, mamy
.
Przypuśćmy wbrew tezie, że
jest zbieżny oraz
że istnieją
takie, że
oraz
.
Wówczas znajdziemy nieskończony podciąg zawierający tylko wyrazy
mniejsze od
oraz nieskończony podciąg zawierającego wyrazy tylko
większe od
. Sprzeczność.
Załóżmy, że
. Wówczas
istnieją
takie, że
; mamy wówczas
.
Załóżmy, że jest nadmartyngałem.
Wówczas dla dowolnych
,
![]() |
Załóżmy, że jest ciągiem momentów przejść ciągu
przez
przedział
, i niech
będzie łączną liczbą
przejść. Widzimy, że
jest ciągiem momentów zatrzymania
(względem filtracji
) oraz że
jest zmienną losową.
Połóżmy
i wprowadźmy zmienne
,
. Z definicji widzimy, iż jeśli
, to
. Ponadto, jeśli
, to
![]() |
Wreszcie, jeśli , to
. Sumując
stronami powyższe związki dostajemy
![]() |
a zatem, biorąc wartość oczekiwaną,
![]() |
Lewa strona jest niedodatnia, na mocy twierdzenia Dooba (optional sampling); dostajemy zatem żądaną nierówność.
∎Ustalmy ,
.
Niech
będzie łączną liczbą przejść nadmartyngału
w górę przez przedział
. Mamy
. Na mocy drugiego z powyższych lematów,
![]() |
Zatem, na mocy twierdzenia Lebesgue'a, , skąd
p.n. Zatem
![]() |
i na mocy pierwszego z powyższych lematów, ciąg jest
zbieżny p.n. Pozostaje tylko wykazać, że granica jest całkowalna;
wynika to natychmiast z lematu Fatou:
![]() |
Załóżmy, że jest nadmartyngałem.
Wówczas dla każdego
,
![]() |
przy czym można wziąć , jeśli nadmartyngał jest nieujemny (tzn. zmienne
losowe
są nieujemne p.n.), niedodatni, bądź jest
martyngałem. W przypadku ogólnym nierówność zachodzi z
.
Zauważmy, iż wystarczy szacować ,
przez proste przejście graniczne. Mamy
![]() |
Zajmiemy się oddzielnie prawdopodobieństwami występującymi po prawej stronie.
a) Niech . Na mocy twierdzenia Dooba
(optional sampling),
![]() |
Stąd
![]() |
Stąd teza (gdy weźmiemy ) gdy
jest nieujemny.
b) Rozważmy moment zatrzymania .
Z twierdzenia Dooba,
![]() |
skąd
![]() |
(**) |
Stąd teza, gdy nadmartyngał jest niedodatni. Ponadto, jeśli
jest martyngałem, to stosujemy powyższą nierówność do
niedodatniego nadmartyngału
.
W ogólnym przypadku, wystarczy zsumować dwie końcowe nierówności
pochodzące z a) i b), dostać nierówność ze stałą .
Jeśli jest podmartyngałem, to stosując (**) dla
dostajemy
Załóżmy, że jest podmartyngałem.
Wówczas dla
,
![]() |
Załóżmy, że jest martyngałem
spełniającym warunek
,
dla pewnego
. Wówczas
![]() |
Niech ,
. Mamy, stosując
poprzedni wniosek do podmartyngału
,
dostajemy
![]() |
Dzieląc obustronnie przez (jeśli ta liczba
jest zerem, to otrzymana poniżej nierówność także jest prawdziwa) dostajemy
![]() |
i wystarczy zbiec z .
Załóżmy, że jest martyngałem.
następujące warunki
są równoważne.
a) rodzina jest jednostajnie całkowalna.
b) jest zbieżny w
.
c) Istnieje zmienna losowa taka, że
,
(czyli
martyngał jest prawostronnie domknięty).
Co więcej, jeśli te warunki są spełnione, to jest zbieżny
p.n. do
![]() |
(*) |
i jest
jedyną zmienną losową mierzalną względem
-ciała
taką, że
,
.
Jeśli oraz
jest filtracją, to
![]() |
a)b) Na mocy jednostajnej całkowalności dostajemy, iż
. Zatem na mocy twierdzenia Dooba martyngał
jest zbieżny p.n., a zatem także według prawdopodobieństwa.
łącząc to z jednostajną całkowalnością dostajemy zbieżność w
.
b)c) Załóżmy, że
w
. Dla
ustalonego
i
mamy
. Z drugiej strony,
w
, gdyż operator warunkowej wartości
oczekiwanej jest kontrakcją w
: istotnie,
![]() |
Stąd .
c) a) Pozostawiamy jako ćwiczenie.
Pozostaje wykazać drugą część twierdzenia. Wiemy już, że warunki
a), b), c) pociągają za sobą, iż ,
(gdzie
jest granicą, w sensie zbieżności w
i p.n., martyngału
).
Oczywiście
jest mierzalna względem
. Przypuśćmy teraz, że
jest całkowalną
zmienną losową, mierzalną względem tego
-ciała, dla
której
,
. Zatem
, skąd dla dowolnego
i
dowolnego
,
![]() |
Klasa jest
-układem. Klasa tych zbiorów
, dla
których zachodzi powyższa równość, jest
-układem. Z
lematu o
-
układach mamy, iż powy'rsza równo'sć
całek zachodzi dla dowolnego
. Na mocy
mierzalności
oraz
względem tego
-ciała, mamy,
iż
p.n.
Wreszcie, pozostaje udowodnić równość (*). Jeśli ,
to
![]() |
Na mocy powyższych rozważań o jednoznaczności, dostajemy (*). Dowód jest zakończony.
∎Załóżmy, że ,
,
są niezależnymi zmiennymi
losowymi i
dla
. Wówczas
jeśli
, to
.
Oczywiście jest mierzalne względem
-ciała
. Zatem na
mocy twierdzenia Levy'ego,
![]() |
Ale z drugiej strony jest niezależne od
, bo
, a to
-ciało jest niezależne
od
. Stąd
![]() |
a zatem lub
.
Zajmiemy się teraz zbieżnością w dla
.
Załóżmy, że jest martyngałem i
. Następujące warunki są równoważne.
a) .
b) Rodzina jest jednostajnie całkowalna.
c) Martyngał jest zbieżny w
.
d) Istnieje taka, że
.
Jeśli te warunki są spełnione, to jest zbieżny p.n. do zmiennej losowej
.
a)b) Wiemy, że
, czyli
, skąd dostajemy b) (istnienie majoranty
całkowalnej).
b)c) Mamy, iż
![]() |
a zatem na mocy twierdzenia Dooba o zbieżności nadmartyngałów,
jest zbieżny p.n.. Dokładając jednostajną całkowalność
dostajemy c).
c)d) Mamy
w
. Przy ustalonym
oraz
,
. Ponieważ
jest
kontrakcją w
, więc
.
d)a) Mamy
![]() |
1. Załóżmy, że jest filtracją, a
jest
ciągiem zmiennych losowych adaptowanych do tej filtracji. Niech
będzie podzbiorem borelowskim
.
a) Udowodnić, że jest momentem
zatrzymania.
b) Udowodnić, że dla dowolnego momentu zatrzymania , zmienna
też jest momentem zatrzymania.
2. Dany jest ciąg niezależnych zmiennych losowych
o rozkładzie
. Niech
![]() |
(przyjmujemy ).
Czy
,
są momentami zatrzymania?
3. Zmienne ,
są momentami zatrzymania
względem filtracji
. Czy
zmienne
,
,
,
,
są momentami zatrzymania?
4. Dany jest ciąg niezależnych zmiennych losowych
o tym samym rozkładzie
.
Niech
i
dla
. Niech
będzie naturalną filtracją generowaną przez ciąg
.
a) Udowodnić,że oraz
są martyngałami.
b) Wyznaczyć taką wartość parametru , by ciąg
był martyngałem.
c) Udowodnić, że dla , ciąg
jest nadmartyngałem.
5. Załóżmy, że jest ciągiem niezależnych
zmiennych loswych o tym samym rozkładzie o średniej
. Niech
,
dla
.
Udowodnić, że ciąg
jest martyngałem.
6. Dany jest ciąg adaptowany do filtracji
.
Udowodnić, że ciąg
jest martyngałem wtedy i tylko wtedy gdy
dla każdego ograniczonego momentu zatrzymania
zachodzi
równość
.
7. Dany jest martyngał oraz
moment zatrzymania
. Udowodnić, że
też jest martyngałem.
8. Egzaminator przygotował zestawów pytań. Studenci
kolejno losują kartki z pytaniami, przy czym zestaw raz wyciągnięty
nie wraca do ponownego losowania. tudent nauczył się odpowiedzi na
zestawów
. Obserwując przebieg egzaminu chce
przystąpić do niego w takim momencie, żeby zmaksymalizować szanse
zdania. Czy istnieje strategia optymalna?
9. Gramy w orła i reszkę symetryczną monetą. Przed -tą
grą, opierając się ewentualnie na wynikach poprzednich gier, sami
ustalamy stawkę w
-tej grze: wybieramy
,
, i
jeśli wypadnie orzeł dostajemy
zł, jeśli reszka - płacimy
zł. Niech
oznacza łączną wygraną po
grach.
Udowodnić, że
jest martyngałem (względem naturalnej
filtracji).
10. Mamy zł w monetach
zł, a potrzebujemy pilnie
zł. Jedynym sposobem zdobycia tych pieniędzy jest gra w
karty z szulerem (który wygrywa z prawdopodobieństwem
). Szuler
gotów jest grać z nami wiele razy o dowolne stawki, jakie jesteśmy w
stanie założyć (przyjmijmy dla uproszczenia, że stawka nie
przekracza
zł). Udowodnić, że niezależnie od wyboru strategii
nasze szanse na uzyskanie brakujących
zł nie przekraczają
.
11. (Tożsamość Walda). Dany jest ciąg całkowalnych zmiennych losowych o tym samym
rozkładzie, adaptowany do filtracji
, taki,
że zmienna
jest niezależna od
. Udowodnić, że dla
dowolnego momentu zatrzymania
takiego, że
,
zachodzi wzór
![]() |
12. Załóżmy, że są niezależnymi
zmiennymi losowymi o średniej
, spełniającymi warunek
. Udowodnić, że szereg
jest zbieżny p.n.
W zadaniach 13 - 17 poniżej rozpatrujemy ciąg ,
,
niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie
, i oznaczamy
,
dla
. Dla
,
, niech
oraz
.
13. Załóżmy, że i niech
. Korzystając z teorii
martyngałów obliczyć
,
oraz
.
14. Rozwiązać zadanie 13 przy założeniu .
15. Udowodnić, że .
16. Załóżmy, że oraz
jest całkowalnym momentem
zatrzymania. Udowodnić, że
oraz
.
17. Zbadać zbieżność p.n. oraz w nadmartyngału
(por. zadanie 4 c)).
18. Zmienne ,
,
, są niezależne i mają
ten sam rozkład skoncentrowany na liczbach nieujemnych, różny od
, o średniej
.
Udowodnić, że ciąg
jest
zbieżny p.n., ale nie jest zbieżny w
.
19. W pojemniku znajduje się pewna liczba cząstek, z
których każda w chwili z równym prawdopodobieństwem albo
dzieli się na dwie, albo ginie. W chwili
liczba cząstek wynosi
. Udowodnić, że z prawdopodobieństwem
po pewnym czasie
wszystkie cząstki zginą, tzn. w pojemniku nie będzie ani jednej
cząstki.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.