Celem tego rozdziału jest wprowadzenie pewnego nowego typu zbieżności zmiennych losowych, tzw. zbieżności według rozkładu. Zacznijmy od pewnych
intuicji związanych z tym pojęciem. Jak sama nazwa wskazuje, zbieżność ta odnosi się do rozkładów zmiennych losowych. Zatem, aby ją zdefiniować
(na początek, dla rzeczywistych zmiennych losowych), potrzebujemy metody
pozwalającej stwierdzić czy dwa rozkłady prawdopodobieństwa na są ,,bliskie”. Jeśli tak na to spojrzeć, to automatycznie narzuca się użycie
tzw. całkowitej wariacji miary. Ściślej, definiujemy odległość dwóch miar probabilistycznych
,
na
jako całkowitą wariację ich różnicy:
![]() |
gdzie supremum jest wzięte po wszystkich rozbiciach prostej rzeczywistej na przeliczalną liczbę zbiorów borelowskich .
I teraz mówimy, że
zbiega do
jeśli
gdy
.
To podejście jest jednak zbyt restrykcyjne i zbieżność według rozkładu wprowadzimy w inny sposób.
W całym niniejszym rozdziale, jest przestrzenią metryczną,
oznacza klasę podzbiorów borelowskich
oraz
![]() |
Niech będzie ciągiem miar probabilistycznych na
(rozkładów prawdopodobieństwa na
). Mówimy, że ciąg
jest zbieżny według rozkładu do
(lub słabo zbieżny do
), jeżeli dla każdej funkcji
mamy
. Oznaczenie:
.
Dowód poprawności definicji: Musimy udowodnić, że jeśli oraz
, to
. Innymi słowy, musimy wykazać następujący fakt.
Załóżmy, że ,
są takimi rozkładami w
, że dla każdej funkcji
,
. Wówczas
.
Przytoczmy pomocniczy fakt z Topologii I.
Niech będzie domkniętym podzbiorem
. Wówczas dla każdego
istnieje
jednostajnie ciągła spełniająca
oraz
![]() |
Wystarczy udowodnić, że dla każdego domkniętego zachodzi
(teza wynika wówczas prosto z lematu o
układach). Dla każdego
i
, Lemat 1.1 daje funkcję
o odpowiednich własnościach. Widzimy, iż dla każdego
,
, zatem
![]() |
Przykłady:
Załóżmy, że jest ciągiem punktów z
oraz
. Wówczas
wtedy i tylko wtedy, gdy
Istotnie,
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej funkcji
mamy
, czyli
.
Załóżmy, że jest ciągiem miar probabilistycznych na
, zadanym przez
![]() |
Wówczas , gdzie
jest rozkładem jednostajnym na
. Istotnie, dla dowolnej funkcji
,
![]() |
Ważna uwaga: Z tego, że nie wynika, że dla dowolnego
mamy
. Np. weźmy
oraz ciąg
liczb rzeczywistych taki, że
oraz
. Jak już wiemy,
, ale
![]() |
Niech ,
(
będą miarami probabilistycznymi na
. Następujące warunki są równoważne.
a) .
b) Dla każdej funkcji jednostajnie ciągłej,
.
c) Dla każdego domkniętego ,
.
d) Dla każdego otwartego ,
.
e) Dla każdego takiego, że
, mamy
.
a) b) – oczywiste.
b) c) Ustalmy
i niech
. Na mocy Lematu 1.1 istnieje
jednostajnie ciągła, przyjmująca wartości w
, równa
na
oraz
na
. Mamy
![]() |
Zatem , i z dowolności
wynika, co trzeba.
c) a) Wystarczy udowodnić, że dla każdej funkcji
,
![]() |
(1.1) |
gdyż po zastąpieniu przez
dostaniemy
, a więc w rzeczywistości mamy równość, gdyż
.
Zauważmy, że jeśli , to istnieją
oraz
takie, że
przyjmuje wartości w przedziale
. Co więcej, jeśli wykażemy (1.1) dla
, to nierówność będzie także zachodzić dla
. Innymi słowy, możemy bez straty ogólności założyć, że
dla każdego
.
Ustalmy taką funkcję i weźmy dodatnią liczbę całkowitą
. Rozważmy zbiory
![]() |
Oczywiście oraz zbiory
są parami rozłączne. Ponadto,
![]() |
Zauważmy, że
![]() |
i jest zstępującym ciągiem zbiorów domkniętych. Zatem
,
, i podstawiając dostajemy
![]() |
oraz
![]() |
Przeprowadzamy analogiczne oszacowania dla : w szczególności mamy
![]() |
skąd wynika, na mocy c),
![]() |
Wystarczy tylko zbiec z do nieskończoności.
c) d): oczywiste po przejściu do dopełnień zbiorów.
c) e) Załóżmy, że
spełnia warunek
. Ponieważ
oraz
, mamy
. Z drugiej strony, korzystając z c) oraz d), mamy
![]() |
a zatem wszędzie mamy równości: to oznacza tezę podpunktu e).
e) c) Weźmy dowolny domknięty zbiór
. Dla każdego
zbiór
jest domknięty. Ponadto, zbiór
jest co najwyżej przeliczalny; zatem istnieje ciąg
liczb dodatnich malejący do
taki, że
dla każdego
. Ponieważ
, mamy więc
dla każdego
, a zatem, korzystając z e), przy ustalonym
,
![]() |
Zbiegając z , mamy
oraz
, na mocy tego, iż
jest domknięty.
Załóżmy, że ,
są rozkładami prawdopodobieństwa w
(
), o dystrybuantach
,
, odpowiednio. Wówczas
wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego punktu
, w którym
jest ciągła.
Weźmy punkt
ciągłości dystrybuanty
i niech
. Zauważmy, iż
; w przeciwnym razie
miałaby nieciągłość w punkcie
(istotnie, mielibyśmy
![]() |
Zatem na mocy podpunktu e) Twierdzenia 1.1, .
Najpierw udowodnimy
Załóżmy, że jest przestrzenią metryczną,
jest
-układem takim, że każdy zbiór otwarty jest sumą skończoną lub przeliczalną zbiorów z
. Jeśli
,
(
) są miarami probabilistycznymi na
takimi, że dla każdego
mamy
, to
.
Udowodnimy, że dla każdego zbioru otwartego ,
. Ustalmy więc zbiór otwarty
oraz
. Z założeń lematu istnieje skończony ciąg
elementów
taki, że
![]() |
Mamy , skąd, na mocy wzoru włączeń i wyłączeń,
![]() |
Wystarczy skorzystać z tego, że było dowolne.
Wracamy do dowodu stwierdzenia. Dla każdego istnieje co najwyżej przeliczalnie wiele hiperpłaszczyzn
prostopadłych do osi
, o dodatniej mierze
; niech
oznacza dopełnienie sumy wszystkich takich hiperpłaszczyzn (sumujemy także po
). Jak łatwo zauważyć,
jest gęstym podzbiorem
oraz każdy punkt z
jest punktem ciągłości
. Zbiór
![]() |
jest -układem i każdy zbiór otwarty jest sumą skończoną lub przeliczalną zbiorów z
.
Mamy
![]() |
Wystarczy skorzystać z poprzedniego lematu.
∎Załóżmy, że ,
(
) są zmiennymi losowymi o wartościach w
oraz
jest miarą probabilistyczną na
.
(i) Mówimy, że ciąg jest zbieżny według rozkładu do
, jeśli
. Oznaczenie:
lub
.
(ii) Mówimy, że ciąg jest zbieżny według rozkładu do
, jeśli
. Oznaczenie
lub
.
Uwagi:
W definicji zbieżności według rozkładu, zmienne mogą być określone na różnych przestrzeniach probabilistycznych.
Słaba zbieżność odnosi się wyłącznie do rozkładów zmiennych losowych. Na przykład, rozważmy ciąg , zadany na przestrzeni probabilistycznej
wzorem
![]() |
Jak łatwo zauważyć, nie jest ani zbieżny prawie na pewno, ani według prawdopodobieństwa. Natomiast z punktu widzenia słabej zbieżności, jest to ciąg stały:
. Ciąg ten zbiega słabo do
oraz do
.
Załóżmy, że jest przestrzenią ośrodkową oraz
,
,
(
) są zmiennymi losowymi o wartościach w
, przy czym dla każdego
, zmienne
oraz
są określone na tej samej przestrzeni probabilistycznej. Jeśli
oraz
, to
.
Biorąc , dostajemy stąd natychmiast następujący fakt.
Jeśli zbiega do
według prawdopodobieństwa, to zbiega także według rozkładu.
Niech będzie dowolnym domkniętym podzbiorem przestrzeni
i ustalmy
. Zbiór
jest domknięty i mamy
![]() |
Zatem
![]() |
i przechodząc z do
dostajemy
. Z dowolności
oraz podpunktu c) Twierdzenia 1.1 wynika teza.
Niech będzie pewnym zbiorem miar probabilistycznych na
. Mówimy, że ten zbiór jest ciasny (jędrny) jeśli dla każdego
istnieje zwarty podzbiór
przestrzeni
taki, że
dla każdego
.
Przykład:
Załóżmy, że jest rodziną zmiennych losowych o wartościach rzeczywistych, takich, że dla pewnego
,
. Wówczas rodzina rozkładów
jest ciasna.
Istotnie, ustalmy
i
. Na mocy nierówności Czebyszewa, dla każdego
,
![]() |
o ile ; wystarczy więc wziąć
.
(i) (Twierdzenie odwrotne) Jeśli jest zbiorem ciasnym, to z każdego ciągu elementów
można wybrać podciąg zbieżny.
(ii) (Twierdzenie proste) Jeśli jest przestrzenią polską (tzn. ośrodkową i zupełną) i
ma tę własność, że z każdego ciągu można wybrać podciąg zbieżny, to
jest zbiorem ciasnym.
Potrzebne nam będą następujące trzy fakty: z Topologii, Analizy Funkcjonalnej oraz Teorii Miary.
Załóżmy, że jest przestrzenią metryczną zwartą. Wówczas
jest ośrodkowa.
Załóżmy, że jest dodatnim funkcjonałem liniowym ciągłym, tzn.
(i) dla dowolnych
,
.
(ii) Istnieje stała taka, że
dla wszystkich
.
(iii) Dla dowolnej nieujemnej funkcji mamy
.
Wówczas istnieje dokładnie jedna miara skończona na
taka, że
dla dowolnej funkcji
.
Załóżmy, że jest miarą skończoną na
. Wówczas dla każdego
istnieje ciąg
zbiorów domkniętych zawartych w
oraz ciąg
zbiorów otwartych zawierających
, takie, że
oraz
.
Załóżmy, że jest ciasny. Wobec tego, dla każdego
istnieje zwarty podzbiór
przestrzeni
taki, że
dla wszystkich
. Bez straty ogólności możemy założyć, że ciąg
jest wstępujący (zastępując ten ciąg, w razie potrzeby, przez ciąg
).
Niech będzie ciągiem miar z
. Dla większej przejrzystości dowodu, podzielimy go na kilka części.
1. Na mocy Stwierdzenia 1.4, dla każdego ,
jest przestrzenią ośrodkową. Niech
będzie jej przeliczalnym gęstym podzbiorem. Dla każdego
, ciąg
jest ograniczonym ciągiem liczbowym; można z niego wybrać podciąg zbieżny. Stosując metodę przekątniową widzimy, iż istnieje podciąg
taki, że dla wszystkich
, ciąg
jest zbieżny.
2. Pokażemy, że dla każdego i każdej funkcji
, ciąg
jest zbieżny. Ustalmy
oraz
takie, że
. Mamy
![]() |
Dwa skrajne składniki po prawej stronie szacują się przez ; na przykład, mamy
![]() |
środkowy składnik nie przekracza o ile
,
są dostatecznie duże; wynika to z definicji podciągu
.
3. Oznaczmy , dla
. Jest oczywiste, że
spełnia założenia Twierdzenia Riesza. Zatem istnieje miara
na
taka, że
dla wszystkich
,
. Rozszerzmy tę miarę na
, kładąc
.
4. Udowodnimy, że dla każdego ciąg
spełnia warunek Cauchy'ego. ściślej, wykażemy, że
![]() |
(1.3) |
Najpierw załóżmy, że jest zbiorem domkniętym i niech
. Niech
będzie nieujemną funkcją jednostajnie ciągłą pochodzącą z Lematu 1.1. Mamy
![]() |
Zbiegając teraz z do nieskończoności dostajemy
![]() |
Weźmy teraz ; ponieważ
, otrzymujemy (1.3) dla zbiorów domkniętych, na mocy twierdzenia Lebesgue'a. Aby otrzymać tę nierówność w przypadku ogólnym, posłużymy się regularnością. Dla dowolnego
istnieją ciągi
oraz
zbiorów
domkniętych zawartych w
, takie, że
oraz
. Korzystając z (1.3) dla zbioru domkniętego
i zbiegając z
otrzymujemy żądaną nierówność.
5. Wiemy, na mocy poprzedniej części, że ciąg jest zbieżny dla każdego
. Oznaczmy jego granicę przez
. Wykażemy, że
jest miarą probabilistyczną oraz
. Pierwsza własność wyniknie z następujących trzech faktów.
a) .
b) dla
takich, że
c) Jeśli oraz
, to
.
Dowód a) Mamy . Zbiegając z
do nieskończoności dostajemy
, i teraz dążąc z
do nieskończoności otrzymujemy
.
Dowód b) Jasne na mocy definicji i tego, że
jest miarą dla każdego
.
Dowód c) Na mocy (1.3), mamy dla wszystkich
oraz
. Zatem, dla dowolnego
,
![]() |
Zbiegając z widzimy, że
, co na mocy dowolności
daje
, czyli
.
Pozostało już tylko sprawdzić, że . Dla usalonej
, mamy
![]() |
Na mocy ciasności, . Ponadto, z definicji
,
gdy
. Wreszcie,
![]() |
Zatem gdy
. Dowód jest zakończony.
Dowód prostego twierdzenia Prochorowa jest znacznie łatwiejszy i pozostawiamy go jako ćwiczenie (patrz zadanie 13).
Na zakończenie, zaprezentujemy następujące dwa fakty (bez dowodu).
Załóżmy, że jest przestrzenią ośrodkową oraz
,
(
) są miarami probabilistycznymi na
. Jeśli
, to istnieją zmienne losowe
,
(
), określone na tej samej przestrzeni probabilistycznej
takie, że
,
(
) oraz
prawie na pewno.
Załóżmy, że jest przestrzenią ośrodkową i niech
oznacza klasę wszystkich miar probabilistycznych na
. Dla
definiujemy
![]() |
Wówczas jest metryką w
(jest to tzw. metryka Levy-Prochorowa) oraz zbieżność w sensie tej metryki pokrywa się ze zwykłą zbieżnością miar probabilistycznych.
1. Udowodnić, że ciąg jest zbieżny według rozkładu do Exp
.
2. Dany jest ciąg zmiennych losowych zbieżny według
rozkładu do zmiennej losowej
. Udowodnić, że ciąg
jest zbieżny według rozkładu do zmiennej
.
3. Czy zmienne losowe posiadające gęstość mogą zbiegać
według rozkładu do zmiennej o rozkładzie dyskretnym? Czy zmienne
losowe o rozkładach dyskretnych mogą zbiegać do zmiennej o
rozkładzie ciągłym?
4. Niech będą zmiennymi losowymi, przy
czym dla
rozkład zmiennej
określony jest
następująco:
![]() |
Udowodnić, że ciąg jest zbieżny według rozkładu.
Wyznaczyć rozkład graniczny.
5. Niech oznacza rozkład Bernoulliego o
próbach
z prawdopodobieństwem sukcesu
, a
- rozkład
Poissona z parametrem
. Wykazać, że jeśli
, to
.
6. Zmienne losowe zbiegają według
rozkładu do zmiennej
stałej p.n. Wykazać, że ciąg
zbiega do
według prawdopodobieństwa.
7. Niech ,
oznaczają odpowiednio gęstości
rozkładów prawdopodobieństwa
,
na
.
Udowodnić, że jeśli
p.w., to
.
8. Niech będzie przeliczalnym podzbiorem
,
zaś
,
- miarami probabilistycznymi skupionymi na
.
Wykazać, że jeśli dla każdego
mamy
, to
.
9. Ciąg dystrybuant zbiega punktowo do dystrybuanty
ciągłej
. Wykazać, że zbieżność jest jednostajna.
10. Dane są ciągi ,
zmiennych losowych, określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej, przy czym
zbiega według rozkładu do
, a
zbiega według rozkładu do zmiennej
stałej p.n.. Udowodnić, że
zbiega według rozkładu do
. Czy teza pozostaje prawdziwa bez założenia o jednopunktowym rozkładzie
?
11. Dany jest ciąg zmiennych losowych przyjmujących wartości w przedziale
. Udowodnić, że jeśli dla każdego
mamy
, to
jest zbieżny według rozkładu.
12. Załóżmy, że jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Cauchy'ego z parametrem
, tzn. z gęstością
![]() |
Udowodnić, że , gdzie
ma rozkład wykładniczy. Wyznaczyć parametr tego rozkładu.
13. Załóżmy, że jest przestrzenią polską oraz
jest rodziną miar probabilistycznych na
, taką, że z każdego ciągu jej elementów można wybrać podciąg zbieżny.
(i) Udowodnić, że
![]() |
gdzie .
(ii) Wywnioskować z (i) proste twierdzenie Prochorowa (wskazówka: w przestrzeni metrycznej zupełnej zbiór domknięty i całkowicie ograniczony - tzn. dla każdego posiadający skończoną
-sieć - jest zwarty).
14. Załóżmy, że ciąg zbiega według rozkładu do
. Niech
będzie taką funkcją borelowską, że
.
(i) Udowodnić, że .
(ii) Udowodnić, że jeśli jest dodatkowo ograniczona, to
.
15. Załóżmy, że ciąg zbiega według rozkładu do
. Udowodnić, że
(i) .
(ii) jeśli są dodatkowo jednostajnie całkowalne, to
.
(iii) jeśli ,
,
,
są calkowalne, nieujemne i
, to
są jednostajnie całkowalne.
16. Dane są dwa ciągi oraz
zmiennych losowych, zbieżnych według rozkładu do
oraz
, odpowiednio.
(i) Czy zbiega według rozkładu do
?
(ii) Jaka jest odpowiedź w (i) jesli dodatkowo przy każdym zmienne
oraz
są niezależne?
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.