Centralne twierdzenie graniczne dotyczy zachowania się rozkładu sum niezależnych zmiennych losowych, przy odpowiedniej normalizacji i pewnych dodatkowych założeniach. Intuicyjnie, suma dużej liczby ,,małych”, niezależnych zmiennych losowych ma rozkład normalny. Główny wynik niniejszego rozdziału jest następujący.
Załóżmy, że dla każdego , zmienne
,
,
,
są niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej
, takimi, że
![]() |
Dodatkowo, załóżmy, że jest spełniony warunek Lindeberga
![]() |
(L) |
Wówczas
Powstaje tu naturalne pytanie, co tak naprawdę mówi warunek Lindeberga. Intuicyjnie rzecz biorąc, oznacza on, iż przy zbiegającym do nieskończoności,
zmienne
,
,
,
są
,,równie małe”. Innymi słowy, w
-tym wierszu nie ma zmiennych losowych, które byłyby dominujące w stosunku do pozostałych. Ściślej, mamy następujące
dwie własności.
Wnioski z warunku Lindeberga
1. Mamy . Istotnie, dla każdego
,
![]() |
2. Mamy . Rzeczywiście, dla dowolnego
,
![]() |
o ile jest dostatecznie duże.
Sformułujmy teraz nieco inną wersję CTG.
Załóżmy, że są niezależnymi zmiennymi losowymi całkowalnymi z kwadratem,
,
Var
,
. Jeśli jest spełniony warunek Lindeberga
![]() |
(L) |
to
![]() |
Wynika to bezpośrednio z twierdzenia Lindeberga, przy ,
Powstaje naturalne pytanie: kiedy warunek Lindeberga jest spełniony? Podamy tu kilka własności wymuszających ten warunek.
Załóżmy, że ,
,
są niezależne i mają ten sam rozkład o dodatniej wariancji. Oznaczmy
,
Var
. Wówczas warunek Lindeberga jest spełniony i
![]() |
Wystarczy sprawdzić warunek Lindeberga. Mamy
![]() |
na mocy twierdzenia Lebesgue'a.
∎Sprawdzenie dwóch poniższych warunków pozostawiamy jako ćwiczenie.
Załóżmy, że są wspólnie ograniczonymi niezależnymi zmiennymi losowymi spełniającymi warunek
Var
. Wówczas spełniony jest warunek Lindeberga.
Załóżmy, że dla każdego ,
,
,
,
są niezależnymi, scentrowanymi zmiennymi losowymi spełniającymi warunki
![]() |
oraz
![]() |
Wówczas jest spełniony warunek Lindeberga.
Przechodzimy do dowodu twierdzenia Lindeberga.
Załóżmy, że ,
są liczbami zespolonymi, z których każda ma moduł niewiększy niż
. Wówczas
![]() |
Stosujemy indukcję. Dla nierówność jest oczywista. Dalej, załóżmy, że jest ona prawdziwa dla pewnego
spróbujmy ją udowodnić dla
. Oznaczając
,
, mamy
![]() |
co kończy dowód.
∎Dla dowolnego oraz
mamy
![]() |
Stosujemy indukcję. Dla mamy
![]() |
Dalej, załóżmy, że nierówność zachodzi dla pewnego . Wówczas
![]() |
Dowód jest zakończony.
∎Oznaczmy ,
,
. Na mocy twierdzenia Levy-Cramera wystarczy udowodnić, że dla każdego
,
Ustalmy więc
. Mamy
![]() |
Stosujemy teraz pierwszy z powyższych lematów oraz fakt, iż , gdzie
. W konsekwencji,
![]() |
Wystarczy wykazać, że dążą do
. Zbieżność ciągu
do
jest oczywista na mocy warunku
. Zajmijmy się teraz ciągiem
. Ustalmy
. Istnieje
taka,że jeśli
, to
. Jak już wiemy, warunek Lindeberga pociąga za sobą, iż dla dostatecznie dużych
,
, a co za tym idzie,
![]() |
a więc ciąg zbiega do
. Wreszcie, dla ustalonego
, korzystając z drugiego z powyższych lematów (z
oraz z
),
![]() |
Zatem
![]() |
dla dostatecznie dużych . Stąd teza.
Jako wniosek, otrzymujemy
Załóżmy, że ma rozkład Bernoulliego z parametrami
,
. Wówczas
![]() |
Niech będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie dwupunktowym
. Mamy
![]() |
i wystarczy skorzystać z odpowiedniej wersji CTG.
∎Sformułujmy teraz uogólnienie twierdzenia Lindeberga. Dowodzi się je w sposób analogiczny.
Załóżmy, że dla każdego zmienne
,
,
,
są niezależne i całkowalne z kwadratem. Oznaczmy
i przypuśćmy, że
![]() |
oraz
![]() |
(L) |
Wówczas
Centralne twierdzenie graniczne pozwala badać zachowanie dystrybuant sum niezależnych zmiennych losowych. Istotnie, zbieżność
![]() |
jest równoważna zbieżności punktowej dystrybuant:
![]() |
Co więcej, zbieżność jest jednostajna względem (por. zadanie 9 z rozdziału o słabej zbieżności). Zatem dla każdego
istnieje numer
taki, że dla
,
![]() |
czyli
![]() |
Powstaje naturalne pytanie w jaki sposób wyznaczać w zależności od
; innymi słowy, w jaki sposób szacować błąd związany z przybliżeniem dysrtybuanty sumy przez dystrybuantę standardowego rozkładu normalnego.
Załóżmy, że ,
,
, są niezależnymi scentrowanymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie i niech
Var
,
. Wówczas
![]() |
gdzie jako można wziąć
(optymalna - czyli najmniejsza możliwa - wartość
nie jest znana).
W szczególności, przy założeniach twierdzenia de Moivre'a-Laplace'a,
![]() |
Jest to niezwykle użyteczny rezultat z punktu widzenia konkretnych zastosowań: w sposób jawny określa on tempo zbieżności.
1. Sumujemy liczb, każdą zaokrągloną z dokładnością do
. Przypuśćmy, że błędy spowodowane przez zaokrąglenia są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale
. Znaleźć przedział (możliwie krótki), do którego z prawdopodobieństwem
będzie należał błąd całkowity (tzn. po zsumowaniu).
2. Obliczyć
![]() |
3. Udowodnić Stwierdzenie 10 oraz Stwierdzenie 11.
4. Dany jest ciąg niezależnych zmiennych losowych, przy czym dla
,
![]() |
Udowodnić, że
![]() |
mimo iż Var
.
5. Zmienne losowe są niezależne, przy czym dla
,
. Niech
.
Czy ciąg zmiennych losowych
![]() |
jest zbieżny wedlug rozkładu, a jeśli tak, to do jakiej
granicy?
6. Załóżmy, że jest zmienną losową spełniającą warunki
(i) ,
(ii) Jeśli ,
są niezależne i mają ten sam rozkład co
, to
.
Wykazać, że ma rozkład Gaussa o średniej
.
7. Rzucono razy kostką. Sumujemy oddzielnie parzyste
liczby oczek i nieparzyste liczby oczek. Jakie jest przybliżone
prawdopodobieństwo tego, że suma parzystych liczb oczek będzie o co
najmniej
większa od sumy nieparzystych liczb oczek?
8. Liczba studentów przyjętych na pierwszy rok jest zmienną
losową o rozkładzie Poissona z parametrem 100. Jeśli ta liczba
przekroczy 120, tworzy się 2 grupy wykładowe. Obliczyć przybliżone
prawdopodobieństwo (korzystając z CTG), że nie trzeba będzie
tworzyć dwóch grup.
9. Dane są dwa ciągi ,
niezależnych zmiennych
losowych, przy czym zmienne
mają ten sam
rozkład wykładniczy z parametrem
, a
mają rozkład
Poissona z parametrem
. Zbadać zbieżność według rozkładu ciągu
![]() |
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.