Zagadnienia

5.1 Zadania

5. Martyngały z czasem dyskretnym

Do tej pory, dysponując ciągiem zmiennych losowych, nie wiązaliśmy z ich indeksami żadnej interpretacji. W wielu naturalnych sytuacjach można je interpretować jako współrzędną czasową. W konkretnych przypadkach często $X_{n}$ opisuje zachowanie układu w chwili $n$ . Tak więc indeks odpowiada za czas.

Załóżmy, że $T$ jest ,,zbiorem czasów”: to znaczy, jest równy $\{ 0,\, 1,\, 2,\,\ldots\}$ , $\{ 1,\, 2,\,\ldots,\}$ , $\{\ldots,-2,\,-1,\, 0\}$ lub $\{ m,\, m+1,\,\ldots,\, n\}$ .

Definicja 5.1

Załóżmy, że $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ jest przestrzenią probabilistyczną, $T$ - jak wyżej. Filtracją nazywamy rodzinę $(\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}}$ , gdzie dla każdego $t$ , $\mathcal{F}_{t}$ jest $\sigma$ -ciałem zawartym w $\mathcal{F}$ oraz $\mathcal{F}_{t}\subseteq\mathcal{F}_{s}$ jeśli $s\leq t$ .

Intuicja: $\sigma$ -ciało $\mathcal{F}_{t}$ opisuje wszystko co się może zdarzyć do chwili $t$ .

Definicja 5.2

Załóżmy, że $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ jest przestrzenią probabilistyczną wyposażoną w filtrację $(\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}}$ . Funkcję $\tau:\Omega\to T\cup\{+\infty\}$ nazywamy momentem zatrzymania, jeśli dla każdego $t\in T$ mamy $\{\tau=t\}\in\mathcal{F}_{n}$ .

Intuicyjnie, moment zatrzymania jest ,,sensowną” reguła stopowania: taką, iż decyzję, czy się zatrzymywać, podejmujemy na podstawie zdarzeń z przeszłości i teraźniejszości. Spójrzmy na następujący

Przykład: Rzucamy $10$ razy monetą. Niech $X_{n}=1$ , jeśli w $n$ -tym rzucie wypadł orzeł, i $X_{n}=0$ w przeciwnym przypadku. Wprowadźmy $\sigma$ -ciała $\mathcal{F}_{n}=\sigma(X_{1},\, X_{2},\,\ldots,\, X_{n})$ , $n=1,\, 2,\,\ldots,\, 10$ (jest to tzw. naturalna filtracja względem ciągu $(X_{n})$ ) Rozważmy dwie strategie: $\tau$ - wycofujemy się, gdy wypadnie orzeł po raz pierwszy, $\sigma$ - wycofujemy się, gdy orzeł wypada po raz ostatni (jeśli wypadają same reszki, przyjmujemy $\tau=\sigma=10$ ). Intuicja podpowiada, iż $\tau$ jest sensowną regułą zatrzymania - decyzję o tym, czy się wycofać, czy nie, podejmujemy na podstawie informacji, które dopłynęły do nas do danej chwili. Strategia $\sigma$ nie jest sensowna: skąd mamy wiedzieć - nie znając przyszłości - czy orzeł, który właśnie wypadł, jest ostatni? Formalny dowód tego, że $\sigma$ nie jest momentem zatrzymania, pozostawiamy jako ćwiczenie.

Uwaga:

Warunek definiujący moment stopu można zapisać równoważnie w następujący sposób. Funkcja $\tau:\Omega\to T\cup\{+\infty\}$ jest momentem zatrzymania wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $t\in T$ , $\{\tau\leq t\}\in\mathcal{F}_{t}$ .

Dowód

$\Rightarrow$ Mamy

$\{\tau\leq t\}=\bigcup _{{k=1}}^{t}\{\tau=k\}\in\mathcal{F}_{t},$

gdyż dla każdego $k\leq t$ , $\{\tau=k\}\in\mathcal{F}_{k}\subseteq\mathcal{F}_{t}$ .

$\Leftarrow$ Mamy $\{\tau=t\}=\{\tau\leq t\}\setminus\{\tau\leq t-1\}$ i oba zdarzenia należą do $\mathcal{F}_{t}$ .

∎

Przykłady:

1) $\tau\equiv n$ jest momentem zatrzymania względem każdej filtracji:

$\{\tau=k\}=\begin{cases}\emptyset&\text{jeśli }n\neq k,\\ \Omega&\text{jeśli }n=k.\end{cases}$

2) Załóżmy, że $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ jest przestrzenią probabilistyczną wyposażoną w filtrację $(\mathcal{F}_{n})_{{n\in T}}$ . Załóżmy, że $(X_{n})_{{n\in T}}$ jest rodziną zmiennych losowych (procesem stochastycznym) o tej własności, że dla każdego $n$ , zmienna $X_{n}$ jest mierzalna względem $\mathcal{F}_{n}$ (mówimy, że proces stochastyczny $(X_{n})$ jest adaptowany do filtracji $(F_{n})$ ). Dalej, niech $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ oraz

$\tau _{B}(\omega)=\inf\{ n\in T:X_{n}(\omega)\in B\},$

przy czym przyjmijmy konwencję $\inf\emptyset=+\infty$ . Funkcja $\tau _{B}$ to moment pierwszego dojścia procesu $(X_{n})$ do zbioru $B$ . Wówczas $\tau _{B}$ jest momentem zatrzymania: dla każdego $n$ ,

$\begin{split}\{\tau _{B}=n\}&=\{ X_{n}\in B\mbox{ oraz }X_{k}\notin B\mbox{ dla }k<n\}\\ &=\{ X_{n}\in B\}\cap\bigcap _{{k<n}}\{ X_{k}\in B^{c}\}\in\mathcal{F}_{n}.\end{split}$

Analogiczny fakt zachodzi, gdy zmienne $X_{n}$ przyjmują wartości w $\mathbb{R}^{d}$ , albo ogólniej, w przestrzeni metrycznej $E$ .

Definicja 5.3

Załóżmy, że $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ jest przestrzenią probabilistyczną wyposażoną w filtrację $(\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}}$ i niech $\tau$ będzie momentem zatrzymania. Definiujemy

$\begin{split}\mathcal{F}_{{\tau}}&=\{ A\in\mathcal{F}:A\cap\{\tau=n\}\in\mathcal{F}_{n}\mbox{ dla wszystkich }n\}\\ &=\{ A\in\mathcal{F}:A\cap\{\tau\leq n\}\in\mathcal{F}_{n}\mbox{ dla wszystkich }n\}.\end{split}$

Intuicyjnie, $\mathcal{F}_{{\tau}}$ opisuje wszystkie zdarzenia, które mogą zajść do momentu $\tau$ .

Uwagi:

1) $\mathcal{F}_{\tau}$ jest $\sigma$ -ciałem,

2) jeśli $\tau\equiv n$ , to $\mathcal{F}_{\tau}=\mathcal{F}_{n}$ .

Własności:

1) Jeśli $\tau _{1}$ , $\tau _{2}$ są momentami zatrzymania, to $\tau _{1}\wedge\tau _{2}=\min\{\tau _{1},\tau _{2}\}$ oraz $\tau _{1}\vee\tau _{2}=\max\{\tau _{1},\tau _{2}\}$ też są momentami zatrzymania. Istotnie,

$\{\tau _{1}\wedge\tau _{2}\leq n\}=\{\tau _{1}\leq n\}\cup\{\tau _{2}\leq n\}\in\mathcal{F}_{n},$

$\{\tau\vee\tau _{2}\leq n\}=\{\tau _{1}\leq n\}\cap\{\tau _{2}\leq n\}\in\mathcal{F}_{n}.$

2) Jeśli $\tau _{1}$ , $\tau _{2}$ są takimi momentami zatrzymania, że $\tau _{1}\leq\tau _{2}$ , to $\mathcal{F}_{{\tau _{1}}}\subseteq\mathcal{F}_{{\tau _{2}}}$ . Istotnie, jeśli $A\in\mathcal{F}_{{\tau _{1}}}$ , to dla każdego $n$ ,

$A\cap\{\tau _{2}\leq n\}=(A\cap\{\tau _{1}\leq n\})\cap\{\tau _{2}\leq n\},$

i dwa ostatnie przecinane zbiory należą do $\mathcal{F}_{n}$ .

3) Moment zatrzymania $\tau$ jest mierzalny względem $\mathcal{F}_{\tau}$ . Istotnie,

$\{\tau\leq a\}\cap\{\tau=n\}=\begin{cases}\emptyset&\mbox{jeśli }a<n,\\ \{\tau=n\}&\mbox{jeśli }a\geq n\end{cases}\,\,\in\mathcal{F}_{n}.$

4) Załóżmy, że $(X_{t})_{{t\in T}}$ jest adaptowany do danej filtracji, a $\tau$ jest momentem zatrzymania względem tej filtracji spełniającym warunek $\tau<\infty$ (jest to tzw. skończony moment stopu. Wówczas zmienna $X_{\tau}$ jest mierzalna względem $\mathcal{F}_{\tau}$ . Istotnie,

$\{ X_{\tau}\leq a\}\cap\{\tau=n\}=\{ X_{n}\leq a\}\cap\{\tau=n\}\in\mathcal{F}_{n},$

jako że oba przecinane zdarzenia należą do $\mathcal{F}_{n}$ .

Przechodzimy do definicji głównych pojęć niniejszego rozdziału.

Definicja 5.4

Załóżmy, że $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ jest przestrzenią probabilistyczną wyposażoną w filtrację $(\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}}$ . Załóżmy, że $(X_{t})_{{t\in T}}$ jest adaptowanym ciągiem całkowalnych zmiennych losowych. Mówimy, że $(X_{t},\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}}$ jest

a) martyngałem, jeśli dla wszystkich $s,\, t\in T$ , $s\leq t$ zachodzi $\mathbb{E}(X_{t}|\mathcal{F}_{s})=X_{s}$ .

b) nadmartyngałem, jeśli dla wszystkich $s,\, t\in T$ , $s\leq t$ zachodzi $\mathbb{E}(X_{t}|\mathcal{F}_{s})\leq X_{s}$ .

c) podmartyngałem, jeśli dla wszystkich $s,\, t\in T$ , $s\leq t$ zachodzi $\mathbb{E}(X_{t}|\mathcal{F}_{s})\geq X_{s}$ .

Jeśli filtracja jest ustalona, to mówimy po prostu, że $(X_{t})_{{t\in T}}$ jest martyngałem (nad-, pod-), jeśli zachodzą powyższe warunki.

Uwagi:

a) $(X_{t})$ jest martyngałem, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych $s,\, t\in T$ , $s<t$ , oraz $A\in\mathcal{F}_{s}$ zachodzi

$\int _{A}X_{t}d\mathbb{P}=\int _{A}X_{s}d\mathbb{P}.$

Analogicznie dla nad- i podmartyngałów.

b) U nas $T=\{ 0,\, 1,\, 2,\,\ldots\}$ , $\{ 1,\, 2,\,\ldots\}$ , $\{ m,\, m+1,\,\ldots,\, n\}$ , $\{\ldots,\,-2,\,-1,\, 0\}$ .

c) $(X_{t})$ jest martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy jest nad- i podmartyngałem.

d) $(X_{t})$ jest podmartyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy $(-X_{t})$ jest nadmartyngałem.

e) Jeśli $(X_{t})$ , $(Y_{t})$ są martyngałami względem tej samej filtracji i $a,\, b\in\mathbb{R}$ , to $(aX_{t}+bY_{t})$ też jest martyngałem. Analogiczny fakt zachodzi dla nad- i podmartyngałów, o ile $a,\, b>0$ .

f) Jeśli zbiór $T$ jest taki jak w b), to $(X_{t})_{{t\in T}}$ jest martyngałem wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich $n\in T$ takich, że $n+1\in T$ , zachodzi $\mathbb{E}(X_{{n+1}}|\mathcal{F}_{n})=X_{n}$ (analogiczny fakt zachodzi dla nad- i podmartyngałów).

Dowód:

$\Rightarrow$ oczywiste (szczególny przypadek).

$\Leftarrow$ Załóżmy, że $m,\, n\in T$ , $m>n$ . Wówczas $\mathcal{F}_{n}\subseteq\mathcal{F}_{{m-1}}$ , a więc na mocy własności warunkowej wartości oczekiwanej,

$\mathbb{E}(X_{m}|\mathcal{F}_{n})=\mathbb{E}(\mathbb{E}(X_{m}|\mathcal{F}_{{m-1}})|\mathcal{F}_{n})=\mathbb{E}(X_{{m-1}}|\mathcal{F}_{n}),$

i dalej przez indukcję.

∎

Przykłady:

1) Załóżmy, że $\xi _{1},\,\xi _{2},\,\ldots$ są niezależnymi, całkowalnymi zmiennymi losowymi o średniej $0$ . Niech $X_{n}=\xi _{1}+\xi _{2}+\ldots+\xi _{n}$ i $\mathcal{F}_{n}=\sigma(X_{1},X_{2},\,\ldots,X_{n})$ , $n=1,\, 2,\,\ldots$ . Wówczas $(X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n=1}}^{\infty}$ jest martyngałem:

$\begin{split}\mathbb{E}(X_{{n+1}}|\mathcal{F}_{n})&=\mathbb{E}(X_{n}+\xi _{{n+1}}|\mathcal{F}_{n})\\ &=\mathbb{E}(X_{n}|\mathcal{F}_{n})+\mathbb{E}(\xi _{{n+1}}|\mathcal{F}_{n})=X_{n}+\mathbb{E}\xi _{{n+1}}=X_{n}.\end{split}$

2) Załóżmy, że $X$ jest całkowalną zmienną losową, $(\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}}$ jest filtracją i niech $X_{t}=\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_{t})$ dla $t\in T$ . Wówczas $(X_{t},\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}}$ jest martyngałem.

Dowód:

Weźmy $s,\, t\in T$ , $s<t$ . Mamy, na mocy własności warunkowej wartości oczekiwanej,

$\mathbb{E}(X_{t}|\mathcal{F}_{s})=\mathbb{E}(\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_{t})|\mathcal{F}_{s})=\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_{s})=X_{s}.$

∎

Martyngał taki jak w przykładzie 2) nazywamy prawostronnie domkniętym. Czasami nazywa się tak martyngał wraz z domknięciem: $(X_{t},\mathcal{F}_{t})_{{T\cup\{\infty\}}}$ , gdzie $(X_{\infty},\mathcal{F}_{\infty})=(X,\mathcal{F})$ .

Stwierdzenie 5.1

Załóżmy, że $(X_{t},\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}}$ jest martyngałem, a $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ jest funkcją wypukłą taką, że $f(X_{t})$ jest zmienną całkowalną dla każdego $t\in T$ . Wówczas $(f(X_{t}),\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}}$ jest podmartyngałem.

Dowód:

Załóżmy, że $s,\, t\in T$ , $s<t$ . Wówczas, na mocy nierówności Jensena,

$\mathbb{E}(f(X_{t})|\mathcal{F}_{s})\geq f(\mathbb{E}(X_{t}|\mathcal{F}_{s}))=f(X_{s}).$

∎

Wniosek 5.1

Załóżmy, że $(X_{t},\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}}$ jest martyngałem. Wówczas

a) Jeśli dla pewnego $p\geq 1$ mamy, iż $X_{t}\in L^{p}$ dla wszystkich $t$ , to $(|X_{t}|^{p},\mathcal{F}_{t})$ jest podmartyngałem.

b) Dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$ , proces $(X_{t}\vee a,\mathcal{F}_{t})_{{t\in T}}$ jest podmartyngałem. W szczególności, $(X_{t}^{+})$ , $(X_{t}^{-})$ są podmartyngałami.

Twierdzenie 5.1 (Dooba, ,,optional sampling”)

Załóżmy, że $(X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n\geq 0}}$ jest nadmartyngałem (odp., martyngałem). Załóżmy, że $\tau _{1},\,\tau _{2}$ są momentami zatrzymania takimi, że $\tau _{1}\leq\tau _{2}$ i $\tau _{2}$ jest ograniczony. Wówczas mamy $\mathbb{E}(X_{{\tau _{2}}}|\mathcal{F}_{{\tau _{1}}})\leq X_{{\tau _{1}}}$ p.n. (odpowiednio, $\mathbb{E}(X_{{\tau _{2}}}|\mathcal{F}_{{\tau _{1}}})=X_{{\tau _{1}}}$ p.n.).

Dowód:

Załóżmy, że $\tau _{2}\leq n$ . Zauważmy najpierw, iż $X_{{\tau _{1}}},\, X_{{\tau _{2}}}$ są całkowalne, gdyż $|X_{{\tau _{i}}}|\leq\max\{|X_{1}|,|X_{2}|,\ldots,|X_{n}|\}$ . Zmienna $X_{{\tau _{1}}}$ jest mierzalna względem $\mathcal{F}_{{\tau _{1}}}$ , a zatem wystarczy wykazać, że dla każdego $A\in\mathcal{F}_{{\tau _{1}}}$ ,

$\int _{A}X_{{\tau _{2}}}d\mathbb{P}\leq\int _{A}X_{{\tau _{1}}}d\mathbb{P}$

(odpowiednio, z równością w miejscu nierówności w przypadku martyngałowym).

Załóżmy najpierw, że $\tau _{2}-\tau _{1}\leq 1$ . Mamy

$\begin{split}\int _{A}X_{{\tau _{1}}}-X_{{\tau _{2}}}d\mathbb{P}&=\int _{{A\cap\{\tau _{2}>\tau _{1}\}}}X_{{\tau _{1}}}-X_{{\tau _{2}}}d\mathbb{P}\\ &=\sum _{{k=0}}^{n}\int _{{\{\tau _{1}=k\}\cap A\cap\{\tau _{2}>k\}}}X_{k}-X_{{k+1}}\geq 0\end{split}$

(odpowiednio, $=0$ ). Ostatnia nierówność bierze się stąd, iż $\{\tau _{1}=k\}\cap A\cap\{\tau _{2}>k\}\in\mathcal{F}_{k}$ .

Weźmy teraz dowolne $\tau _{1}\leq\tau _{2}\leq n$ . Definiujemy $\tau^{{(k)}}=\max\{\tau _{1},\min\{\tau _{2},k\}\}$ . Zmienne $\tau^{{(k)}}$ są momentami zatrzymania, a ponadto

$\tau _{1}=\tau^{{(0)}}\leq\tau^{{(1)}}\leq\ldots\leq\tau^{{(n)}}=\tau _{2}$

oraz $\tau^{{(k+1)}}-\tau^{{(k)}}\leq 1$ . Zatem dla każdego $A\in\mathcal{F}_{{\tau _{1}}}\subseteq\mathcal{F}_{{\tau^{{(k)}}}}$ ,

$\int _{A}X_{{\tau _{1}}}=\int _{A}X_{{\tau^{{(0)}}}}\geq\int _{A}X_{{\tau^{{(1)}}}}\geq\int _{A}X_{{\tau^{{(2)}}}}\geq\ldots\geq\int _{A}X_{{\tau^{{(n)}}}}=\int _{A}X_{{\tau _{2}}}$

(z równościami w przypadku martyngałowym).

∎

Twierdzenie 5.2 (Dooba o zbieżności p.n. nadmartyngałów)

Załóżmy, że proces $(X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n=0,1,2,\ldots}}$ jest nadmartyngałem takim, że $\sup _{n}\mathbb{E}X_{n}^{-}<\infty$ . Wówczas ciąg $(X_{n})$ jest zbieżny p.n. do pewnej zmiennej losowej całkowalnej.

Wniosek 5.2

a) Każdy nieujemny nadmartyngał $(X_{n},\mathcal{F}_{n})$ (tzn. spełniający $X_{n}\geq 0$ p.n. dla wszystkich $n$ ) jest zbieżny p.n.

b) Jeśli $(X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n=0,1,2,\ldots}}$ jest podmartyngałem spełniającym $\sup _{n}\mathbb{E}X_{n}^{+}<\infty$ , to $(X_{n})$ jest zbieżny p.n.

c) Jeśli $(X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n=0,1,2,\ldots}}$ jest nadmartyngałem, to warunek $\sup _{n}\mathbb{E}X_{n}^{-}<\infty$ jest równoważny warunkowi $\sup _{n}\mathbb{E}|X_{n}|<\infty$ (tzn. ograniczoności ciągu $(X_{n})$ w $L^{1}$ ).

Dowód wniosku:

a) jest oczywiste, b) wynika wprost z twierdzenia Dooba poprzez przejście do procesu $(-X_{n},\mathcal{F}_{n})$ , który jest nadmartyngałem. Zajmijmy się dowodem c). Implikacja $\Leftarrow$ jest oczywista. $\Rightarrow$ Mamy $|X_{n}|=X_{n}^{+}+X_{n}^{-}=X_{n}+2X_{n}^{-},$ skąd

$\mathbb{E}|X_{n}|=\mathbb{E}X_{n}+2\mathbb{E}X_{n}^{-}\leq\mathbb{E}X_{0}+2\sup _{n}\mathbb{E}X_{n}^{-}<\infty.$

∎

W dowodzie twierdzenia o zbieżności będziemy używać następujących obiektów. Załóżmy, że $(x_{n})_{{n=1,2,\ldots}}$ jest ciągiem liczbowym i niech $a<b$ to ustalone liczby rzeczywiste. Określmy

$\begin{split}\tau _{0}&=\inf\{ n:x_{n}<a\},\\ \tau _{1}&=\inf\{ n>\tau _{0}:x_{n}>b\},\\ &\ldots\\ \tau _{{2k}}&=\inf\{ n>\tau _{{2k-1}}:x_{n}<a\},\\ \tau _{{2k+1}}&=\inf\{ n>\tau _{{2k}}:x_{n}>b\},\\ &\ldots\end{split}$

Liczba $\tau _{{2k-1}}$ to moment $k$ -tego przejścia w górę ciągu $(x_{n})$ przez przedział $[a,b]$ . Niech teraz

$U_{a}^{b}=\begin{cases}\sup\{ k:\tau _{{2k-1}}<\infty\}&\mbox{jeśli }\tau _{1}<\infty,\\ 0&\mbox{jeśli }\tau _{1}=\infty\end{cases}$

będzie liczbą przejść w górę ciągu $(x_{n})$ przez przedział $[a,b]$ .

Lemat 5.1

Ciąg liczbowy $(x_{n})$ jest zbieżny (być może do $\pm\infty$ ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich $a,\, b\in\mathbb{Q}$ , $a<b$ , mamy $U_{a}^{b}<\infty$ .

Dowód:

$\Rightarrow$ Przypuśćmy wbrew tezie, że $(x_{n})$ jest zbieżny oraz że istnieją $a,\, b\in\mathbb{Q}$ takie, że $a<b$ oraz $U_{a}^{b}=\infty$ . Wówczas znajdziemy nieskończony podciąg zawierający tylko wyrazy mniejsze od $a$ oraz nieskończony podciąg zawierającego wyrazy tylko większe od $b$ . Sprzeczność.

$\Leftarrow$ Załóżmy, że $\liminf x_{n}<\limsup x_{n}$ . Wówczas istnieją $a,\, b\in\mathbb{Q}$ takie, że $\liminf x_{n}<a<b<\limsup x_{n}$ ; mamy wówczas $U_{a}^{b}=\infty$ .

∎

Lemat 5.2 (nierówność Dooba dla przejść w górę)

Załóżmy, że $(X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n=0}}^{m}$ jest nadmartyngałem. Wówczas dla dowolnych $a<b$ ,

$\mathbb{E}U_{a}^{b}\leq\frac{1}{b-a}\mathbb{E}((X_{m}-a)^{-}).$

Dowód:

Załóżmy, że $(\tau _{j})$ jest ciągiem momentów przejść ciągu $(X_{n})$ przez przedział $[a,b]$ , i niech $U_{a}^{b}$ będzie łączną liczbą przejść. Widzimy, że $(\tau _{j})$ jest ciągiem momentów zatrzymania (względem filtracji $(\mathcal{F}_{n})$ ) oraz że $U_{a}^{b}$ jest zmienną losową. Połóżmy $\tilde{\tau}_{j}=\tau _{j}\wedge m$ i wprowadźmy zmienne $Y_{k}=X_{{\tilde{\tau}_{{2k+1}}}}-X_{{\tilde{\tau}_{{2k}}}}$ , $k=1,\, 2,\,\ldots$ . Z definicji widzimy, iż jeśli $0\leq k\leq U_{a}^{b}(\omega)-1$ , to $Y_{k}(\omega)>b-a$ . Ponadto, jeśli $k=U_{a}^{b}(\omega)$ , to

$Y_{k}(\omega)=X_{m}-X_{{\tilde{\tau}_{{2k}}}}=\begin{cases}0&\mbox{jeśli }\tau _{{2k}}=\infty,\\ \geq X_{m}-a&\mbox{jeśli }\tau _{{2k}}<\infty\end{cases}\geq-(X_{m}-a)^{-}.$

Wreszcie, jeśli $k>U_{a}^{b}(\omega)$ , to $Y_{k}(\omega)=0$ . Sumując stronami powyższe związki dostajemy

$\sum _{{k=0}}^{m}(X_{{\tilde{\tau}_{{2k+1}}}}-X_{{\tilde{\tau}_{{2k}}}})\geq(b-a)U_{a}^{b}-(X_{m}-a)^{-},$

a zatem, biorąc wartość oczekiwaną,

$\sum _{{k=0}}^{m}\mathbb{E}(X_{{\tilde{\tau}_{{2k+1}}}}-X_{{\tilde{\tau}_{{2k}}}})\geq(b-a)\mathbb{E}U_{a}^{b}-\mathbb{E}(X_{m}-a)^{-}.$

Lewa strona jest niedodatnia, na mocy twierdzenia Dooba (optional sampling); dostajemy zatem żądaną nierówność.

∎

Dowód twierdzenia o zbieżności nadmartyngałów

Ustalmy $a,\, b\in\mathbb{Q}$ , $a<b$ . Niech $U_{a}^{b}(m)$ będzie łączną liczbą przejść nadmartyngału $(X_{n})_{{n=1}}^{m}$ w górę przez przedział $[a,b]$ . Mamy $U_{a}^{b}(m)\uparrow U_{a}^{b}$ . Na mocy drugiego z powyższych lematów,

$\begin{split}\mathbb{E}U_{a}^{b}(m)&\leq\frac{1}{b-a}\mathbb{E}((X_{m}-a)^{-})\leq\frac{1}{b-a}\mathbb{E}(|X_{m}|+|a|)\\ &\leq\frac{1}{b-a}(\sup\mathbb{E}|X_{m}|+|a|)<\infty.\end{split}$

Zatem, na mocy twierdzenia Lebesgue'a, $\mathbb{E}U_{a}^{b}<\infty$ , skąd $U_{a}^{b}<\infty$ p.n. Zatem

$\mathbb{P}(\forall _{{a,b\in\mathbb{Q},\, a<b}}U_{a}^{b}<\infty)=1$

i na mocy pierwszego z powyższych lematów, ciąg $(X_{n})$ jest zbieżny p.n. Pozostaje tylko wykazać, że granica jest całkowalna; wynika to natychmiast z lematu Fatou:

$\mathbb{E}|\lim _{n}X_{n}|=\mathbb{E}\lim _{n}|X_{n}|\leq\liminf\mathbb{E}|X_{n}|\leq\sup _{n}\mathbb{E}|X_{n}|<\infty.$

∎

Twierdzenie 5.3 (Nierówność maksymalna dla nadmartyngałów)

Załóżmy, że $(X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n=0,1,2,\ldots}}$ jest nadmartyngałem. Wówczas dla każdego $\lambda>0$ ,

$\mathbb{P}(\sup _{n}|X_{n}|\geq\lambda)\leq K\frac{\sup _{n}\mathbb{E}|X_{n}|}{\lambda},$

przy czym można wziąć $K=1$ , jeśli nadmartyngał jest nieujemny (tzn. zmienne losowe $X_{0},\, X_{1},\,\ldots$ są nieujemne p.n.), niedodatni, bądź jest martyngałem. W przypadku ogólnym nierówność zachodzi z $K=3$ .

Dowód:

Zauważmy, iż wystarczy szacować $\mathbb{P}(\sup _{n}|X_{n}|>\lambda)$ , przez proste przejście graniczne. Mamy

$\mathbb{P}(\sup _{n}|X_{n}|>\lambda)\leq\mathbb{P}(\sup _{n}X_{n}>\lambda)+\mathbb{P}(\inf _{n}X_{n}<-\lambda).$

Zajmiemy się oddzielnie prawdopodobieństwami występującymi po prawej stronie.

a) Niech $\tau=\inf\{ n:X_{n}>\lambda\}$ . Na mocy twierdzenia Dooba (optional sampling),

$\mathbb{E}X_{0}\geq\mathbb{E}X_{{\tau\wedge n}}=\int _{{\{\tau\leq n\}}}X_{\tau}+\int _{{\{\tau>n\}}}X_{n}\geq\lambda\mathbb{P}(\max _{{k\leq n}}X_{k}>\lambda)-\int _{{\{\tau>n\}}}X_{n}^{-}.$

Stąd

$\lambda\mathbb{P}(\max _{{k\leq n}}X_{k}>\lambda)\leq\mathbb{E}X_{0}+\int _{{\{\tau>n\}}}X_{n}^{-}\leq\mathbb{E}X_{0}+\sup _{n}\mathbb{E}|X_{n}|.$

Stąd teza (gdy weźmiemy $n\to\infty$ ) gdy $(X_{n})$ jest nieujemny.

b) Rozważmy moment zatrzymania $\tilde{\tau}=\inf\{ n:X_{n}<-\lambda\}$ . Z twierdzenia Dooba,

$\begin{split}\mathbb{E}X_{n}&\leq\mathbb{E}X_{{\tilde{\tau}\wedge n}}\\ &=\int _{{\{\tilde{\tau}\leq n\}}}X_{{\tilde{\tau}}}+\int _{{\{\tilde{\tau}>n\}}}X_{n}\leq-\lambda\mathbb{P}(\min _{{k\leq n}}X_{k}<-\lambda)+\int _{{\{\min _{{k\leq n}}X_{k}\geq-\lambda\}}}X_{n},\end{split}$

skąd

$\lambda\mathbb{P}(\min _{{k\leq n}}X_{k}<-\lambda)\leq-\int _{{\{\min _{{k\leq n}}X_{k}<-\lambda\}}}X_{n}\leq\sup _{n}\mathbb{E}X_{n}^{-}.$

(**)

Stąd teza, gdy nadmartyngał jest niedodatni. Ponadto, jeśli $(X_{n})$ jest martyngałem, to stosujemy powyższą nierówność do niedodatniego nadmartyngału $(-|X_{n}|,\mathcal{F}_{n})$ .

W ogólnym przypadku, wystarczy zsumować dwie końcowe nierówności pochodzące z a) i b), dostać nierówność ze stałą $3$ .

∎

Jeśli $(X_{n})$ jest podmartyngałem, to stosując (**) dla $(-X_{n})$ dostajemy

Wniosek 5.3

Załóżmy, że $(X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n=0}}^{m}$ jest podmartyngałem. Wówczas dla $\lambda>0$ ,

$\mathbb{P}(\max _{{n\leq m}}X_{n}>\lambda)\leq\frac{1}{\lambda}\int _{{\{\max _{{n\leq m}}X_{n}>\lambda\}}}X_{n}.$

Twierdzenie 5.4 (Nierówność maksymalna Dooba)

Załóżmy, że $(X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n\geq 0}}$ jest martyngałem spełniającym warunek $X_{n}\in L^{p}$ , $n=0,\, 1,\, 2,\,\ldots$ dla pewnego $p>1$ . Wówczas

$||\sup _{n}|X_{n}|||_{p}\leq\frac{p}{p-1}\sup _{n}||X_{n}||_{p}.$

Dowód:

Niech $Y_{n}=\max _{{k\leq n}}|X_{k}|$ , $k=0,\, 1,\, 2,\ldots$ . Mamy, stosując poprzedni wniosek do podmartyngału $(|X_{k}|,\mathcal{F}_{k})_{{k=0,1,2,\ldots,n}}$ , dostajemy

$\begin{split}\mathbb{E}Y_{n}^{p}&=p\int _{0}^{\infty}\lambda^{{p-1}}\mathbb{P}(Y_{n}>\lambda)d\lambda\\ &\leq p\int _{0}^{\infty}\lambda^{{p-1}}\frac{1}{\lambda}\int _{{\{ Y_{n}>\lambda\}}}|X_{n}|d\mathbb{P}d\lambda\\ &=p\int _{0}^{\infty}\int _{\Omega}\lambda^{{p-2}}1_{{\{ Y_{n}>\lambda\}}}|X_{n}|d\mathbb{P}d\lambda\\ &=p\int _{\Omega}\int _{0}^{{Y_{n}}}\lambda^{{p-2}}|X_{n}|d\lambda d\mathbb{P}\\ &=\frac{p}{p-1}\int _{\Omega}|X_{n}|Y_{n}^{{p-1}}d\mathbb{P}\leq\frac{p}{p-1}||X_{n}||_{p}||Y_{n}||_{p}^{{(p-1)/p}}.\end{split}$

Dzieląc obustronnie przez $||Y_{n}||_{p}^{{(p-1)/p}}$ (jeśli ta liczba jest zerem, to otrzymana poniżej nierówność także jest prawdziwa) dostajemy

$||Y_{n}||_{p}\leq\frac{p}{p-1}||X_{n}||_{p}\leq\frac{p}{p-1}\sup _{k}||X_{k}||_{p}$

i wystarczy zbiec z $n\to\infty$ .

∎

Twierdzenie 5.5 (Zbieżność martyngałów w $L^{1}$ )

Załóżmy, że $(X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n\geq 0}}$ jest martyngałem. następujące warunki są równoważne.

a) rodzina $\{ X_{n}:n=0,\, 1,\, 2,\,\ldots\}$ jest jednostajnie całkowalna.

b) $(X_{n})$ jest zbieżny w $L^{1}$ .

c) Istnieje zmienna losowa $X\in L^{1}$ taka, że $X_{n}=\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_{n})$ , $n=0,\, 1,\, 2,\,\ldots$ (czyli martyngał jest prawostronnie domknięty).

Co więcej, jeśli te warunki są spełnione, to $(X_{n})$ jest zbieżny p.n. do

$X_{\infty}=\mathbb{E}(X|\sigma(\bigcup _{n}\mathcal{F}_{n}))$

(*)

i $X_{\infty}$ jest jedyną zmienną losową mierzalną względem $\sigma$ -ciała $\sigma(\bigcup _{n}\mathcal{F}_{n})$ taką, że $X_{n}=\mathbb{E}(X_{\infty}|\mathcal{F}_{n})$ , $n=0,\, 1,\, 2,\,\ldots$ .

Wniosek 5.4 (Twierdzenie Levy'ego)

Jeśli $X\in L^{1}$ oraz $(\mathcal{F}_{n})$ jest filtracją, to

$\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_{n})\xrightarrow{\mbox{p.n. i w }L^{1}}\mathbb{E}\left[X\Big|\sigma\left(\bigcup _{n}\mathcal{F}_{n}\right)\right].$

Dowód twierdzenia o zbieżności

a) $\Rightarrow$ b) Na mocy jednostajnej całkowalności dostajemy, iż $\sup _{n}\mathbb{E}|X_{n}|<\infty$ . Zatem na mocy twierdzenia Dooba martyngał $(X_{n})$ jest zbieżny p.n., a zatem także według prawdopodobieństwa. łącząc to z jednostajną całkowalnością dostajemy zbieżność w $L^{1}$ .

b) $\Rightarrow$ c) Załóżmy, że $X_{m}\to X_{\infty}$ w $L^{1}$ . Dla ustalonego $n$ i $m>n$ mamy $\mathbb{E}(X_{m}|\mathcal{F}_{n})=X_{n}$ . Z drugiej strony, $\mathbb{E}(X_{m}|\mathcal{F}_{n})\to\mathbb{E}(X_{\infty}|\mathcal{F}_{n})$ w $L^{1}$ , gdyż operator warunkowej wartości oczekiwanej jest kontrakcją w $L^{1}$ : istotnie,

$||\mathbb{E}(X_{m}|\mathcal{F}_{n})-\mathbb{E}(X_{\infty}|\mathcal{F}_{n})||_{1}\leq||X_{m}-X_{\infty}||_{1}\to 0.$

Stąd $\mathbb{E}(X_{\infty}|\mathcal{F}_{n})=X_{n}$ .

c) $\Rightarrow$ a) Pozostawiamy jako ćwiczenie.

Pozostaje wykazać drugą część twierdzenia. Wiemy już, że warunki a), b), c) pociągają za sobą, iż $X_{n}=\mathbb{E}(X_{\infty}|\mathcal{F}_{n})$ , $n=0,\, 1,\, 2,\,\ldots$ (gdzie $X_{\infty}$ jest granicą, w sensie zbieżności w $L^{1}$ i p.n., martyngału $(X_{n})$ ). Oczywiście $X_{\infty}$ jest mierzalna względem $\sigma(\bigcup _{n}\mathcal{F}_{n})$ . Przypuśćmy teraz, że $Y$ jest całkowalną zmienną losową, mierzalną względem tego $\sigma$ -ciała, dla której $X_{n}=\mathbb{E}(Y|\mathcal{F}_{n})$ , $n=0,\, 1,\, 2,\,\ldots$ . Zatem $\mathbb{E}(X_{\infty}|\mathcal{F}_{n})=\mathbb{E}(Y|\mathcal{F}_{n})$ , skąd dla dowolnego $n$ i dowolnego $A\in\mathcal{F}_{n}$ ,

$\int _{A}X_{\infty}d\mathbb{P}=\int _{A}Yd\mathbb{P}.$

Klasa $\bigcup _{n}\mathcal{F}_{n}$ jest $\pi$ -układem. Klasa tych zbiorów $A$ , dla których zachodzi powyższa równość, jest $\lambda$ -układem. Z lematu o $\pi$ - $\lambda$ układach mamy, iż powy'rsza równo'sć całek zachodzi dla dowolnego $A\in\sigma(\bigcup _{n}\mathcal{F}_{n})$ . Na mocy mierzalności $X_{\infty}$ oraz $Y$ względem tego $\sigma$ -ciała, mamy, iż $X_{\infty}=Y$ p.n.

Wreszcie, pozostaje udowodnić równość (*). Jeśli $X_{n}=\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_{n})$ , to

$\begin{split} X_{n}&=\mathbb{E}\left[X_{n}|\sigma\left(\bigcup _{n}\mathcal{F}_{n}\right)\right]=\mathbb{E}\left[\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_{n})\Big|\sigma\left(\bigcup _{n}\mathcal{F}_{n}\right)\right]\\ &=\mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left(X\Big|\sigma\left(\bigcup _{n}\mathcal{F}_{n}\right)\right)\Big|\mathcal{F}_{n}\right].\end{split}$

Na mocy powyższych rozważań o jednoznaczności, dostajemy (*). Dowód jest zakończony.

∎

Wniosek 5.5 (Prawo $0-1$ Kołmogorowa)

Załóżmy, że $X_{1}$ , $X_{2}$ , $\ldots$ są niezależnymi zmiennymi losowymi i $\mathcal{F}_{n}=\sigma(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n})$ dla $n\geq 1$ . Wówczas jeśli $A\in\bigcap _{{n=0}}^{\infty}\sigma(X_{{n+1}},X_{{n+2}},\ldots)$ , to $\mathbb{P}(A)\in\{ 0,1\}$ .

Dowód

Oczywiście $1_{A}$ jest mierzalne względem $\sigma$ -ciała $\sigma\left(\bigcup _{{n=1}}^{\infty}\mathcal{F}_{n}\right)$ . Zatem na mocy twierdzenia Levy'ego,

$\mathbb{E}(1_{A}|\mathcal{F}_{n})\xrightarrow{\mbox{p.n. i w }L^{1}}\mathbb{E}\left[1_{A}\Big|\sigma\left(\bigcup _{{n=1}}^{\infty}\mathcal{F}_{n}\right)\right]=1_{A}.$

Ale z drugiej strony $1_{A}$ jest niezależne od $\mathcal{F}_{n}$ , bo $A\in\sigma(X_{{n+1}},X_{{n+2}},\ldots)$ , a to $\sigma$ -ciało jest niezależne od $\mathcal{F}_{n}$ . Stąd

$\mathbb{E}(1_{A}|\mathcal{F}_{n})=\mathbb{E}1_{A}=\mathbb{P}(A)\to 1_{A},$

a zatem $\mathbb{P}(A)=0$ lub $1$ .

∎

Zajmiemy się teraz zbieżnością w $L^{p}$ dla $p>1$ .

Twierdzenie 5.6

Załóżmy, że $(X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n=0,1,2,\ldots}}$ jest martyngałem i $p>1$ . Następujące warunki są równoważne.

a) $\sup\mathbb{E}|X_{n}|^{p}<\infty$ .

b) Rodzina $\{|X_{n}|^{p}\} _{n}$ jest jednostajnie całkowalna.

c) Martyngał $(X_{n})$ jest zbieżny w $L^{p}$ .

d) Istnieje $X\in L^{p}$ taka, że $X_{n}=\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_{n})$ .

Jeśli te warunki są spełnione, to $(X_{n})$ jest zbieżny p.n. do zmiennej losowej $X_{\infty}=\mathbb{E}(X|\sigma(\bigcup _{n}\mathcal{F}_{n}))$ .

a) $\Rightarrow$ b) Wiemy, że $\mathbb{E}\sup|X_{n}|^{p}\leq\left(\frac{p}{p-1}\right)^{p}\sup _{n}\mathbb{E}|X_{n}|^{p}<\infty$ , czyli $\sup|X_{n}|^{p}\in L^{1}$ , skąd dostajemy b) (istnienie majoranty całkowalnej).

b) $\Rightarrow$ c) Mamy, iż

$\sup _{n}\mathbb{E}|X_{n}|\leq\sup _{n}(\mathbb{E}|X_{n}|^{p})^{{1/p}}<\infty,$

a zatem na mocy twierdzenia Dooba o zbieżności nadmartyngałów, $(X_{n})$ jest zbieżny p.n.. Dokładając jednostajną całkowalność dostajemy c).

c) $\Rightarrow$ d) Mamy $X_{n}\to X_{\infty}$ w $L^{p}$ . Przy ustalonym $n$ oraz $m>n$ , $\mathbb{E}(X_{m}|\mathcal{F}_{n})=X_{n}$ . Ponieważ $\mathbb{E}(\cdot|\mathcal{F}_{n})$ jest kontrakcją w $L^{p}$ , więc $\mathbb{E}(X_{\infty}|\mathcal{F}_{n})=X_{n}$ .

d) $\Rightarrow$ a) Mamy

$\mathbb{E}|X_{n}|^{p}=\mathbb{E}|\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_{n})|^{p}\leq\mathbb{E}(\mathbb{E}(|X|^{p}|\mathcal{F}_{n}))=\mathbb{E}|X|^{p}<\infty.$

∎

5.1. Zadania

1. Załóżmy, że $(\mathcal{F}_{n})$ jest filtracją, a $(X_{n})$ jest ciągiem zmiennych losowych adaptowanych do tej filtracji. Niech $B$ będzie podzbiorem borelowskim $\mathbb{R}$ .

a) Udowodnić, że $\tau _{1}=\inf\{ n:X_{n}+n\in B\}$ jest momentem zatrzymania.

b) Udowodnić, że dla dowolnego momentu zatrzymania $\tau$ , zmienna $\tau _{2}=\inf\{ n>\tau:X_{n}\in B\}$ też jest momentem zatrzymania.

2. Dany jest ciąg $(X_{n})_{{n=1}}^{{10}}$ niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie $\mathbb{P}(X_{n}=-1)=\mathbb{P}(X_{n}=1)=1/2$ . Niech

$\tau=\inf\{ n>1:X_{n}>X_{{n-1}}\},\qquad\sigma=\sup\{ n\geq 1:X_{n}>X_{{n-1}}\}$

(przyjmujemy $\inf\emptyset=\sup\emptyset=\infty$ ). Czy $\tau$ , $\sigma$ są momentami zatrzymania?

3. Zmienne $\tau$ , $\sigma$ są momentami zatrzymania względem filtracji $(\mathcal{F}_{n})_{{n=0,1,2,\ldots}}$ . Czy zmienne $\tau^{2}$ , $\tau+1$ , $\tau+\sigma$ , $\tau-1$ , $\tau\wedge(2\sigma)$ są momentami zatrzymania?

4. Dany jest ciąg $(\xi _{n})$ niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie $\mathbb{P}(\xi _{n}=-1)=\mathbb{P}(\xi _{n}=1)=1/2$ . Niech $X_{0}=0$ i $X_{n}=\xi _{1}+\xi _{2}+\ldots+\xi _{n}$ dla $n\geq 1$ . Niech $(\mathcal{F}_{n})$ będzie naturalną filtracją generowaną przez ciąg $(X_{n})$ .

a) Udowodnić,że $(X_{n})$ oraz $(X_{n}^{2}-n)$ są martyngałami.

b) Wyznaczyć taką wartość parametru $a$ , by ciąg $(a^{n}\cos X_{n})$ był martyngałem.

c) Udowodnić, że dla $\lambda>0$ , ciąg $(\exp(\lambda X_{n}-\lambda^{2}n/2))$ jest nadmartyngałem.

5. Załóżmy, że $(X_{n})_{{n=0}}^{\infty}$ jest ciągiem niezależnych zmiennych loswych o tym samym rozkładzie o średniej $0$ . Niech $Z_{0}=0$ , $Z_{n}=X_{0}X_{1}+X_{1}X_{2}+\ldots+X_{{n-1}}X_{n}$ dla $n\geq 1$ . Udowodnić, że ciąg $(Z_{n})$ jest martyngałem.

6. Dany jest ciąg $(X_{n})$ adaptowany do filtracji $(\mathcal{F}_{n})$ . Udowodnić, że ciąg $(X_{n})$ jest martyngałem wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ograniczonego momentu zatrzymania $\tau$ zachodzi równość $\mathbb{E}X_{\tau}=\mathbb{E}X_{0}$ .

7. Dany jest martyngał $(X_{n},\mathcal{F}_{n})_{{n=0,1,2,\ldots}}$ oraz moment zatrzymania $\tau$ . Udowodnić, że $(X_{{\tau\wedge n}},\mathcal{F}_{n})$ też jest martyngałem.

8. Egzaminator przygotował $m$ zestawów pytań. Studenci kolejno losują kartki z pytaniami, przy czym zestaw raz wyciągnięty nie wraca do ponownego losowania. tudent nauczył się odpowiedzi na $k$ zestawów $(k\leq m)$ . Obserwując przebieg egzaminu chce przystąpić do niego w takim momencie, żeby zmaksymalizować szanse zdania. Czy istnieje strategia optymalna?

9. Gramy w orła i reszkę symetryczną monetą. Przed $n$ -tą grą, opierając się ewentualnie na wynikach poprzednich gier, sami ustalamy stawkę w $n$ -tej grze: wybieramy $V_{n}$ , $1\leq V_{n}\leq a$ , i jeśli wypadnie orzeł dostajemy $V_{n}$ zł, jeśli reszka - płacimy $V_{n}$ zł. Niech $(S_{n})$ oznacza łączną wygraną po $n$ grach. Udowodnić, że $(S_{n})_{n}$ jest martyngałem (względem naturalnej filtracji).

10. Mamy $10$ zł w monetach $1$ zł, a potrzebujemy pilnie $20$ zł. Jedynym sposobem zdobycia tych pieniędzy jest gra w $3$ karty z szulerem (który wygrywa z prawdopodobieństwem $2/3$ ). Szuler gotów jest grać z nami wiele razy o dowolne stawki, jakie jesteśmy w stanie założyć (przyjmijmy dla uproszczenia, że stawka nie przekracza $10$ zł). Udowodnić, że niezależnie od wyboru strategii nasze szanse na uzyskanie brakujących $10$ zł nie przekraczają $1/3$ .

11. (Tożsamość Walda). Dany jest ciąg $(X_{n})$ całkowalnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie, adaptowany do filtracji $(\mathcal{F}_{n})_{{n=1,2,\ldots}}$ , taki, że zmienna $X_{{n+1}}$ jest niezależna od $\mathcal{F}_{n}$ . Udowodnić, że dla dowolnego momentu zatrzymania $\tau$ takiego, że $\mathbb{E}\tau<\infty$ , zachodzi wzór

$\mathbb{E}(X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{\tau})=\mathbb{E}X_{1}\cdot\mathbb{E}\tau.$

12. Załóżmy, że $X_{1},\, X_{2},\,\ldots$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej $0$ , spełniającymi warunek $\sum _{{n=1}}^{\infty}\mbox{Var}X_{n}<\infty$ . Udowodnić, że szereg $\sum _{{n=1}}^{\infty}X_{n}$ jest zbieżny p.n.

W zadaniach 13 - 17 poniżej rozpatrujemy ciąg $X_{1}$ , $X_{2}$ , $\ldots$ niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie $\mathbb{P}(X_{n}=1)=p=1-\mathbb{P}(X_{n}=-1)$ , i oznaczamy $S_{0}=0$ , $S_{n}=X_{1}+X_{2}+\ldots+X_{n}$ dla $n\geq 1$ . Dla $a,\, b\in\mathbb{Z}$ , $a,\, b>0$ , niech $\tau _{a}=\inf\{ n:S_{n}=a\}$ oraz $\tau _{{a,b}}=\inf\{ n:S_{n}\in\{-a,b\}\}$ .

13. Załóżmy, że $p=1/2$ i niech $\tau=\tau _{{a,b}}$ . Korzystając z teorii martyngałów obliczyć $\mathbb{P}(S_{\tau}=-a)$ , $\mathbb{P}(S_{\tau}=b)$ oraz $\mathbb{E}\tau$ .

14. Rozwiązać zadanie 13 przy założeniu $1/2<p<1$ .

15. Udowodnić, że $\mathbb{E}\tau _{a}=\infty$ .

16. Załóżmy, że $p=1/2$ oraz $\tau$ jest całkowalnym momentem zatrzymania. Udowodnić, że $\mathbb{E}S_{\tau}=0$ oraz $\mathbb{E}S_{\tau}^{2}=\mathbb{E}\tau$ .

17. Zbadać zbieżność p.n. oraz w $L^{p}$ nadmartyngału $(\exp(S_{n}-n/2))_{{n=0}}^{\infty}$ (por. zadanie 4 c)).

18. Zmienne $X_{1}$ , $X_{2}$ , $\ldots$ , są niezależne i mają ten sam rozkład skoncentrowany na liczbach nieujemnych, różny od $\delta _{{\{ 1\}}}$ , o średniej $1$ . Udowodnić, że ciąg $(X_{1}X_{2}\ldots X_{n})$ jest zbieżny p.n., ale nie jest zbieżny w $L^{1}$ .

19. W pojemniku znajduje się pewna liczba cząstek, z których każda w chwili $n$ z równym prawdopodobieństwem albo dzieli się na dwie, albo ginie. W chwili $0$ liczba cząstek wynosi $1$ . Udowodnić, że z prawdopodobieństwem $1$ po pewnym czasie wszystkie cząstki zginą, tzn. w pojemniku nie będzie ani jednej cząstki.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Wykład z Rachunku Prawdopodobieństwa II

Zagadnienia

5. Martyngały z czasem dyskretnym

Definicja 5.1

Definicja 5.2

Dowód

Definicja 5.3

Definicja 5.4

Dowód:

Dowód:

Stwierdzenie 5.1

Dowód:

Wniosek 5.1

Twierdzenie 5.1 (Dooba, ,,optional sampling”)

Dowód:

Twierdzenie 5.2 (Dooba o zbieżności p.n. nadmartyngałów)

Wniosek 5.2

Dowód wniosku:

Lemat 5.1

Dowód:

Lemat 5.2 (nierówność Dooba dla przejść w górę)

Dowód:

Dowód twierdzenia o zbieżności nadmartyngałów

Twierdzenie 5.3 (Nierówność maksymalna dla nadmartyngałów)

Dowód:

Wniosek 5.3

Twierdzenie 5.4 (Nierówność maksymalna Dooba)

Dowód:

Twierdzenie 5.5 (Zbieżność martyngałów w )

Wniosek 5.4 (Twierdzenie Levy'ego)

Dowód twierdzenia o zbieżności

Wniosek 5.5 (Prawo Kołmogorowa)

Dowód

Twierdzenie 5.6

5.1. Zadania

Twierdzenie 5.5 (Zbieżność martyngałów w $L^{1}$ )

Wniosek 5.5 (Prawo $0-1$ Kołmogorowa)