Wyznaczenie ceny arbitrażowej osiągalnej wypłaty poprzez
znalezienie strategii replikującej jest często bardzo trudne,
szczególnie gdy mamy długi horyzont czasowy
i dużo scenariuszy.
Przedstawimy teraz alternatywne podejście do tego problemu —
metodę martyngałową. Spotkaliśmy się już z nią w rozdz. 2, w którym
była przedstawiona jako jedna z możliwych metod wyceny, choć nie
było widać jej zalet w porównaniu z metodą replikacji. Do badania
rynku skończonego, a więc bardziej skomplikowanego, okaże się ona
bardzo przydatna. Metoda ta pozwala na wypisanie jawnych wzorów na
za pomocą wartości oczekiwanych.
Często przy badaniu rynków finansowych wyróżniamy instrument
pierwotny o numerze 0, którego zadaniem jest mierzenie wartości
pieniądza w czasie (proces dyskontujący, czynnik dyskontujący, numéraire). My przyjmiemy, że odpowiada lokacie
pieniędzy w banku na znany procent
tzn.
. W dalszym
ciągu na oznaczenie rynku będziemy stosowali wymiennie
lub
lub
. Dysponując procesem dyskontującym
wprowadzimy pojęcie zdyskontowanego procesu cen:
Wektor , gdzie
dla
,
nazwiemy zdyskontowanym procesem cen.
Okazuje się, że samofinansowalność strategii można sprawdzić badając zachowanie zdyskontowanego procesu bogactwa.
Strategia jest samofinansująca
się wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich
zachodzi
równość
![]() |
(4.1) |
Ustalmy strategię . Warunek
oznacza
z definicji
![]() |
który jest równoważny warunkowi
![]() |
co z kolei jest równoważne, jak pokazaliśmy w dowodzie tw.
3.1 (udowodnionego dla dowolnych cen , a więc możemy
wziąć
zamiast
) faktowi:
![]() |
a jest to warunek (4.1), gdyż .
Z lematu 4.1 wynika
Strategia jest samofinansująca się wtedy i tylko wtedy,
gdy dla wszystkich
zachodzi:
![]() |
(4.2) |
Zmiana czynnika dyskontującego nie zmienia klasy portfeli samofinansujących się.
W lemacie 4.1 rozpatrzone zostało dyskontowanie
przez proces , ale to samo zachodzi, gdy weźmiemy dowolne
,
takie że
dla każdego
, gdyż następujące warunki są równoważne:
i) dla każdego
,
ii) dla każdego
,
iii) dla każdego
, gdzie
.
Ta uwaga jest przydatna, gdyż czasami wygodnie jest zmienić jednostki, w których mierzone są wartości instrumentów podstawowych i pochodnych (bierzemy inny proces dyskontujący).
Teraz wprowadzimy podstawowe pojęcie dla rozważań dotyczących wyceny, a mianowicie pojęcie miary martyngałowej.
Miarę probabilistyczną na
równoważną z
nazywa się miarą
martyngałową dla
zdyskontowanego procesu cen ,
gdy
jest
-martyngałem względm filtracji
,
rynku , gdy dla każdej strategii
proces
zadany wzorem
![]() |
czyli zdyskontowany proces bogactwa, jest -martyngałem
względm filtracji
.
Symbolem (odpowiednio
)
będziemy oznaczać klasę miar martyngałowych dla procesu
(odpowiednio dla rynku
).
a) Warto zauważyć, że klasy ,
zależą od czynnika dyskontującego. (patrz ćw. 2.12).
b) Dla przestrzeni probabilistycznej o skończonej liczbie
elementów miara probabilistyczna
jest równoważna z
wtedy i
tylko wtedy, gdy
dla kazdego
.
Wprost z definicji miary martyngałowej dla rynku mamy
Jeśli , to dla dowolnego portfela
i dowolnej chwili
![]() |
(4.3) |
Okazuje się, że zachodzi równość zbiorów ,
.
Miara jest miarą martyngałową dla rynku
wtedy
i tylko wtedy, gdy
jest miarą martyngałową dla
zdyskontowanego procesu cen.
Niech będzie miarą martyngałową dla procesu cen. Weźmy dowolne
. Korzystając
z (4.2) i z prognozowalności
mamy
![]() |
Zatem jest, dla dowolnego
,
-martyngałem względem filtracji
tzn.
.
Należy jeszcze udowodnić, że jeśli jest miarą martyngałową
dla rynku, to jest miarą martyngałową dla procesu cen. Weźmy
strategię
polegającą na kupnie jednostki
-tego
instrumentu bazowego na początku i trzymaniu go do końca, tzn.
,
, dla
. Jest to strategia samofinansująca się. Zatem
jest
-martyngałem i
![]() |
(4.4) |
Ponadto zachodzi
![]() |
zatem z (4.4) mamy
![]() |
Czyli dla współrzędna
jest
-martyngałem, tzn.
jest
-martyngałem, więc
.
Twierdzenie to pozwala sprowadzić badanie czy jest miarą
martyngałową dla rynku, a więc czy dla wszystkich
procesy
są
-martyngałami, do badania czy
proces zdyskontowanych cen, a więc jeden proces, jest
–martyngałem. Od tego momentu będziemy mówić o mierze
martyngałowej opuszczając dalsze rozróżnienie, gdyż jest ono
nieistotne.
Jak pokazuje następne twierdzenie, badanie możliwości arbitrażu sprowadza się do badania istnienia miar martyngałowych:
(Pierwsze podstawowe twierdzenie matematyki finansowej).
Rynek jest rynkiem bez
możliwości arbitrażu wtedy i tylko wtedy gdy istnieje miara martyngałowa.
Dostateczność.
Weźmy (z założenia takie
istnieje). Korzystając z (4.3) otrzymujemy, że na rynku nie
ma możliwości arbitrażu. Istotnie, gdyby istniał arbitraż
,
to
oraz
i
. A że
, to
![]() |
a więc prawa strona wzoru (4.3) dla byłaby dodatnia,
a lewa równałaby się zeru. Sprzeczność.
Zajmiemy
się teraz koniecznością. Zbiór jest skończony, więc każdą
zmienną losową
można utożsamiać
z wektorem
, gdzie
,
.
I na odwrót, wektor
wyznacza
zmienną losową
, a mianowicie przyjmujemy
dla
każdego
. Niech
![]() |
(przypomnijmy iż oznacza, że
dla każdego
). Każdy element
wyznacza zmienną losową nieujemną i na
odwrót, każdej zmiennej losowej nieujemnej (poza zmienną losową
równą stale zeru) odpowiada jeden element ze zbioru
. Niech
![]() |
![]() |
||
![]() |
Zatem elementem jest, przy zastosowaniu utożsamienia opisanego
powyżej, zdyskontowany zysk w chwili
, gdy stosujemy strategię
, dla której kapitał początkowy jest równy zeru, czyli
elementami
są zdyskontowane zyski (w chwili
) strategii
, których kapitał początkowy jest równy zeru.
Jak łatwo zauważyć, fakt nieistnienia arbitrażu można zapisać
w terminach i
, a mianowicie
![]() |
Zatem z założeń twierdzenia wynika, że .
Ponadto
jest liniową podprzestrzenią
, a
![]() |
jest zbiorem zwartym i wypukłym. Oczywiście , więc
. Korzystając z twierdzenia o oddzielaniu można
ściśle oddzielić zbiór zwarty i wypukły od podprzestrzeni liniowej.
Zatem istnieje
(tj. element
ortogonalny do
,
czyli taki że
,
), taki że:
![]() |
(4.5) |
Wektor mający
na
-tym miejscu i zero na pozostałych
należy do
, więc z (4.5) mamy
.
Zdefiniujmy miarę probabilistyczną
![]() |
gdzie Jest ona równoważna z
(bo
dla każdego
). Teraz wykażemy, że
jest miarą martyngałową. Dla dowolnego procesu
prognozowalnego
, korzystając
z tw. 3.2 dobieramy proces prognozowalny
,
taki że
jest portfelem
samofinansującym się o kapitale początkowym równym zeru. Wtedy
oczywiście
![]() |
a ponieważ , więc
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
przy czym w ostatniej równości skorzystaliśmy z lematu
4.1. Stąd wynika, że dla każdego
i dla dowolnego procesu prognozowalnego ograniczonego
mamy
![]() |
a więc ,
, jest
-martyngałem. Czyli
jest miarą martyngałową.
Niech będzie rynkiem bez możliwości arbitrażu.
Wtedy cena arbitrażowa w chwili
osiągalnej na rynku
wypłaty
jest dana wzorem
![]() |
(4.6) |
dla dowolnej miary martyngałowej .
Aby udowodnić (4.6), weźmy strategię replikującą
wypłatę
. Wtedy z definicji ceny arbitrażowej, z (4.3)
i z tego, że
otrzymujemy:
![]() |
Ponieważ proces replikujący jest wyznaczony
jednoznacznie i równość (4.3) jest prawdziwa dla każdej
miary
, więc wzór (4.6) nie
zależy od wyboru miary martyngałowej dla rynku.
Wzór (4.6) nazywamy wzorem martyngałowym na cenę lub formułą wyceny w warunkach powszechnej obojętności względem ryzyka. W szczególności z (4.6) i liniowości wartości oczekiwanej wynika
Na rynku bez możliwości arbitrażu cena
arbitrażowa jest operatorem liniowym na przestrzeni liniowej wypłat
osiągalnych, czyli gdy i
są wypłatami osiągalnymi, to
![]() |
(4.7) |
Wniosek 4.2 można też otrzymać korzystając z definicji ceny arbitrażowej i własności iloczynu skalarnego.
(Parytet kupna-sprzedaży). Na rynku bez możliwości
arbitrażu, gdy europejskie opcje kupna i sprzedaży (dla tej samej
akcji) z tą samą ceną wykonania są osiągalne, to ich ceny są
związane wzorem:
![]() |
(4.8) |
gdzie
odp.
oznacza cenę w chwili
europejskiej opcji kupna
odp. sprzedaży
z ceną wykonania
.
Z tw. 4.2 łatwo wynika
na rynku bez możliwości arbitrażu wycena wypłaty osiągalnej za
pomocą ceny arbitrażowej (wzoru (4.6)) tworzy zgodny system
cen, w tym sensie, że rynek rozszerzony o instrument bazowy o cenie
jest dalej rynkiem bez możliwości arbitrażu.
Udowodnić wniosek 4.5.
Z własności (4.7) często korzysta się, gdy wypłatę potrafimy przedstawić jako kombinację lub jako granicę kombinacji wypłat, które potrafimy wycenić.
Znajdziemy na rynku bez możliwości arbitrażu
ceny wypłat w chwili związanych z instrumentem podstawowym
o cenie
(tj.
dla pewnego
) w następujący
sposób:
a) (jest to tzw. opcja
collar),
b) , (jest to tzw. opcja bostońska),
gdzie i
są stałymi, przy założeniu, że wypłaty
i
są osiągalne.
Szukamy profilu wypłat badając własności (odp.
), tj.
analizując postać wypłaty w zależności od ceny instrumentu bazowego,
na poszczególnych przedziałach (warto zrobić rysunek). Znajdujemy,
że dla
:
![]() |
(4.9) |
a gdy , to
. Wypłata
nie zależy od relacji
pomiędzy
i
:
![]() |
Stąd i z liniowości ceny otrzymujemy:
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
Oczywiście profil wypłat może mieć różne przedstawienia, np.
można dla
przedstawić w postaci
![]() |
(4.10) |
ale (4.9) i (4.10) prowadzą do tej samej ceny (co widać z parytetu).
a) Rozpatrzmy rynek jednookresowy z trzema możliwymi zdarzeniami losowymi. Inwestor uważa, że są one jednakowo prawdopodobne. Na rynku stopa procentowa bez ryzyka wynosi 20% i jest jedna akcja mająca proces cen postaci:
![]() |
Zbadajmy, czy na tym rynku istnieje arbitraż.
Oczywiście przy badaniu własności tego rynku nie jest istotna opinia inwestora o szansach scenariuszy. W celu zbadania, czy na tym rynku istnieje arbitraż, zbadamy, czy istnieje miara martyngałowa. Rynek jest jednookresowy, więc szukamy rozwiązania układu:
![]() |
Rozwiązanie ma postać
![]() |
przy czym . Zatem istnieje nieskończenie
wiele miar martyngałowych, czyli nie istnieje arbitraż.
b) Co będzie, gdy na rynku pojawi się jeszcze jedna akcja:
![]() |
Teraz trzeba szukać rozwiązania układu:
![]() |
Ponieważ z pierwszych trzech równań otrzymujemy, że
i
, więc nie istnieje rozwiązanie spełniające
,
. Zatem na rynku istnieje arbitraż. Znajdziemy teraz
postać portfela arbitrażowego. Szukamy portfela
takiego, że
![]() |
przy czym choć jedna nierówność jest ostra. Stąd otrzymujemy, że
![]() |
jest portfelem arbitrażowym np. portfel jest
arbitrażem.
Gdy się przyjrzeć dokładniej cenom, to widać, że i w
chwili 1 ceny drugiej akcji są nie mniejsze od cen pierwszej, skąd
wynika natychmiast, że portfel
jest arbitrażem.
Powyższy przykład ilustruje fakt, że przy połączeniu dwóch rynków bez możliwości arbitrażu (w jeden) może się zdarzyć, że otrzymany rynek stanie się rynkiem z arbitrażem.
Gdy mamy rynek bez możliwości arbitrażu, to następnym pojawiającym się pytaniem jest pytanie o wypłaty osiągalne, gdyż takie wypłaty umiemy wyceniać. Okazuje się, że patrząc na zbiór miar martyngałowych potrafimy określić kiedy wszystkie wypłaty są osiągalne.
Rynek nazywamy zupełnym, gdy
każda wypłata jest osiągalna na tym rynku.
(Drugie podstawowe twierdzenie matematyki finansowej). Rynek bez możliwości arbitrażu jest zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna miara martyngałowa.
Konieczność. Niech będzie dowolną zmienną losową,
a więc dowolną wypłatą. Wypłata
jest osiągalna (bo rynek
jest zupełny). Także
(co wynika
z braku możliwości arbitrażu i tw. 4.2).
Zatem dla
mamy
![]() |
Gdy miary , to
![]() |
Stąd, biorąc , dla
, mamy
![]() |
Wobec dowolności , a więc i
mamy
.
Dostateczność. Dowód nie wprost. Załóżmy, że rynek jest
niezupełny. Wtedy istnieje nieosiągalna wypłata . Niech
będzie klasą zmiennych losowych zdefiniowaną następująco
![]() |
Zatem jest zbiorem zdyskontowanych wypłat otrzymanych za
pomocą strategii samofinansujących się przy dopuszczeniu dowolnego
kapitału początkowego.
jest podzbiorem właściwym zbioru
wszystkich zmiennych losowych
, gdyż
nie
należy do
. Istotnie, gdyby
należało do
, to
![]() |
dla pewnego , a więc z lematu 4.1
zachodziłoby
, czyli
, zatem
byłoby osiągalne.
Niech będzie miarą martyngałową. Wszystkie zmienne losowe są
–całkowalne z kwadratem (bo
jest zbiorem
skończonym) i możemy zdefiniować iloczyn skalarny wzorem
![]() |
Ponieważ jest podprzestrzenią liniową
oraz
, więc istnieje zmienna losowa
różna od 0, ortogonalna do
. Ponieważ
(bierzemy kapitał początkowy
i nic nie robimy, czyli
,
), więc zmienna losowa
, jako ortogonalna do
, ma średnią zero
![]() |
(4.11) |
Zdefiniujmy miarę probabilistyczną na podzbiorach
wzorem
![]() |
(4.12) |
gdzie .
jest miarą
probabilistyczną równoważną z
, bo
dla
każdej
i z (4.11) otrzymujemy
![]() |
Oczywiście , bo
jest zmienną losową niezerową. Udowodnimy teraz, że
jest miarą martyngałową.
W tym celu weźmy dowolny proces prognozowalny .
Korzystając z tw. 3.2 dobieramy proces prognozowalny
, taki że
jest portfelem
samofinansującym się o zerowym kapitale początkowym. Z definicji
otrzymujemy
![]() |
![]() |
![]() |
(4.13) | ||
![]() |
![]() |
Pierwszy składnik z prawej strony wzoru (4.13) jest równy
zero, gdyż jest
martyngałem.
Drugi składnik sumy z prawej strony (4.13) jest także równy
zeru, gdyż
![]() |
a jest zmienną losową ortogonalną do
w
.
Zatem
jest
-martyngałem, a więc
jest miarą
martyngałową różną od
. Otrzymaliśmy sprzeczność
z założeniem, że istnieje dokładnie jedna miara
martyngałowa.
Podkreślmy jeszcze raz, że zupełność jest bardzo ważną cechą rynku,
gdyż na takim rynku potrafimy wycenić w sposób jednoznaczny każdą
wypłatę, a ponadto korzystając z faktu, że twierdzenie
o reprezentacji martyngałów (zachodzące, gdy i czas są
skończone) jest równoważne zupełności (patrz zad.4.6) można,
korzystając z lematu 4.1 i twierdzenia o reprezentacji
martyngałów, znaleźć strategię replikującą dla każdej wypłaty na
rynku zupełnym.
Teraz podamy przykłady zastosowań udowodnionych przed chwilą twierdzeń.
Rozważmy rynek z przykł. 4.2a. Jak widzieliśmy na tym rynku istnieje wiele miar martyngałowych, czyli rynek jest wolny od możliwości arbitrażu i nie wszystkie wypłaty są osiągalne.
Wypłata jest osiągalna, gdy istnieje portfel
replikujący
, tj.
,
czyli musi zachodzić:
![]() |
Stąd otrzymujemy, że wypłaty osiągalne spełniają warunek:
![]() |
(4.14) |
Wycenimy teraz wypłatę osiągalną. Korzystając z (4.6) i (4.14) mamy:
![]() |
![]() |
![]() |
(4.15) | ||
![]() |
![]() |
(4.16) |
a więc widzimy, że cena nie zależy od wyboru miary martyngałowej (co
i tak było udowodnione w tw. 4.3). Wzór (4.15)
sugeruje, że można w inny sposób znajdować wypłaty osiągalne.
Mianowicie, cena zadana wzorem (4.15) nie może zależeć od
parametru (tw. 4.3), więc współczynnik przy
w (4.16) powinien się zerować. Jest to sugestia, którą
udowodnimy w tw 4.5. I w ten sposób znowu dochodzimy do
warunku (4.14).
Przykł. 4.3 sugeruje, że można udowodnić bardzo przydatną charakteryzację wypłat osiągalnych:
Gdy rynek jest wolny od
arbitrażu, to wypłata jest osiągalna wtedy i tylko wtedy, gdy
funkcja
zadana wzorem
![]() |
jest stała.
Konieczność została udowodniona w tw. 4.3, a dostateczność pozostawiamy jako zadanie.
∎Na rynku dwuokresowym o czterech możliwych
scenariuszach stopa procentowa bez ryzyka wynosi 10%. Na tym rynku
jest jedna akcja, której ceny są opisane przez proces :
![]() |
||||
![]() |
Znaleźć ceny europejskich opcji kupna i sprzedaży z ceną wykonania
.
Zaczniemy od sprawdzenia, czy rynek jest wolny od arbitrażu.
Znajdujemy miarę martyngałową na
, a mianowicie
![]() |
Miara martyngałowa jest jedyna, więc każda wypłata jest osiągalna. Ze wzoru (4.6) otrzymujemy
![]() |
oraz
![]() |
Oczywiście obliczając wartość można było skorzystać
z parytetu.
Wycena kontraktu terminowego forward. Zajmiemy się teraz na
rynku bez możliwości arbitrażu wyceną kontraktu terminowego forward
na -ty instrument o cenie
. Wartość tego kontraktu forward
w chwili
będziemy oznaczać przez
. Kontrakt terminowy
forward jest zadany przez wypłatę
, gdzie
jest ceną
forward. Wypłata
jest osiągalna, zatem ze wzoru (4.6)
znajdujemy cenę w chwili
wypłaty
![]() |
(4.17) |
Jak wiemy, cena forward jest taką liczbą, że wartość kontraktu
forward w chwili zero jest równa zeru, tj.
, zatem ze
wzoru (4.17) otrzymujemy, że cena forward wynosi
![]() |
Warto podkreślić, że cena
forward nie ulega zmianie w czasie trwania kontraktu, natomiast
wartość kontraktu (równa zeru w chwili zawierania) zmienia się
w czasie, w szczególności zwykle jest niezerowa w chwili dostawy
(rozliczania). Wstawiając do wzoru (4.17) cenę forward
mamy
Wartość kontraktu terminowego forward na -ty instrument bazowy
wynosi w chwili
![]() |
Zanalizować rynek, czyli znaleźć wszystkie miary martyngałowe i wypłaty osiągalne ew. strategie arbitrażowe, gdy rynek jest jednookresowy z trzema możliwymi zdarzeniami losowymi i z aktywami opisanymi w następujący sposób:
a) Na rynku jest 1 akcja, a oprocentowanie wynosi 10%. Ceny akcji są opisane przez
![]() |
b) Stopa procentowa bez ryzyka wynosi 10% i na rynku są 2 akcje przyjmujące wartości:
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
a) Nie warto sprawdzać, czy istnieje miara martyngałowa, wystarczy
zauważyć, że zawsze . Portfele postaci
akcji i
jednostek w banku są portfelami
arbitrażowymi.
b) Istnieje dokładnie jedna miara martyngałowa: ,
,
. Zatem rynek jest zupełny i wszystkie
wypłaty są osiągalne.
Załóżmy, że rynek jednookresowy jest bezarbitrażowy. Udowodnić, że
rynek jest zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy liczba stanów
w (czyli scenariuszy) jest równa liczbie liniowo
niezależnych wektorów wśród wektorów
Rozpatrzmy macierz
![]() |
Rynek jest zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy równanie
ma rozwiązanie dla każdego
, co jest równoznaczne z warunkiem
, tj. z istnieniem
liniowo niezależnych kolumn
macierzy
.
Niech rynek będzie wolny od arbitrażu. Udowodnić, że jeśli funkcja
dla
jest stała, to
wypłata
jest osiągalna.
Skorzystać z idei drugiego podstawowego twierdzenia matematyki finansowej (tw. 4.4).
Udowodnić, że rynek bez możliwości arbitrażu jest zupełny wtedy
i tylko wtedy, gdy każdy proces , który jest
-martyngałem
dla pewnego
można przedstawić
w postaci
![]() |
(4.18) |
dla , gdzie
jest procesem
prognozowalnym.
W następnym zadaniu podajemy przykład ilustrujący fakt, że na rynku jednookresowym o przeliczalnej liczbie scenariuszy i aktywów może nie istnieć ani arbitraż, ani miara martyngałowa.
Niech ,
,
a prawdopodobieństwo
będzie takie że
Rozważmy rynek jednookresowy, na którym stopa procentowa bez ryzyka
. Ponadto na tym rynku jest przeliczalnie wiele aktywów,
których ceny w chwili 0 są równe 1, tj. ceny spełniają
dla
, a w chwili końcowej
:
![]() |
dla . Ceny są elementami
, więc portfele
na tym rynku są elementami
. Udowodnić, że przy powyższych
założeniach nie istnieje ani arbitraż, ani miara martyngałowa.
Zaczniemy od wykazania, że nie istnieje arbitraż. Rozpatrzmy
portfel
taki, że
![]() |
(4.19) |
Wtedy z (4.19) biorąc otrzymujemy
![]() |
a gdy , to
![]() |
Stąd oraz dla każdego
mamy
, tj.
![]() |
Stąd z kolei , ponieważ
,
a więc
. Zatem nie
istnieje arbitraż.
Nie istnieje także miara martyngałowa: nie istnieje takie, że
i
![]() |
(4.20) |
Istotnie, równość (4.20) oznacza, że dla ustalonego mamy
![]() |
Stąd z kolei otrzymujemy, że (4.20) pociąga za sobą
![]() |
(4.21) |
Doszliśmy do sprzeczności, gdyż nie istnieje miara probabilistyczna
określona na całej spełniająca (4.21).
Udowodnić, że na rynku bez możliwości arbitrażu wycena wypłaty osiągalnej za
pomocą ceny arbitrażowej (wzoru (4.6)) tworzy zgodny system
cen, w tym sensie, że rynek rozszerzony o instrument bazowy o cenie
jest dalej rynkiem bez możliwości arbitrażu.
Gdy , to
są
-martyngałami. Ponadto, z (4.6)
![]() |
więc jest też
-martyngałem, czyli
jest
miarą martyngałowa dla rynku rozszerzonego.
Na rynku dwuokresowym opisanym w ćwiczeniu 4.2 znaleźć
strategię replikującą europejską opcję kupna z ceną wykonania
.
Należy zabezpieczyć wypłatę przyjmującą wartości:
,
dla
. Trzeba znaleźć
strategię samofinansującą się
replikującą wypłatę
.
Czyli szukamy
, gdzie
oraz
, gdzie
,
i
,
, takich że
, tj.
![]() |
oraz
![]() |
(warunek samofinansowania się strategii). Rozwiązując te układy
otrzymujemy: ,
,
,
,
,
.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.