Kontrakt terminowy futures jest to instrument finansowy
zobowiązujący obie strony kontraktu do realizacji w przyszłości
transakcji na określonych w nim warunkach. W chwili zawierania
kontrakt futures nic nie kosztuje, zatem jest wart . Kontraktami
terminowymi futures (w przeciwieństwie do forward) handluje się na
giełdzie. Obie strony kontraktu nie znają się wzajemnie, gdyż
kontrakt zawarły poprzez pośrednika — giełdę. Kontrakty futures
odznaczają się następującymi cechami:
kontrakty są standaryzowane, czyli są ściśle określone wszystkie warunki kontraktu, w tym nominalna wielkość przedmiotu kontraktu futures i termin dostawy,
cena futures jest ustalana na giełdzie,
w każdej chwili można kontrakt futures zamknąć wchodząc w pozycję przeciwną,
kontrakt jest rozliczany codziennie za pomocą procedury dziennej aktualizacji depozytu (marking-to-market).
Kontrakty tego rodzaju obarczone są ryzykiem związanym ze zmianami cen, ale zostało wyeliminowane ryzyko związane z niewywiązaniem się jednej ze stron z warunków umowy. Na różnych rynkach istnieją różne kontrakty futures, m.in. kontrakty futures na akcje — instrument bazowy stanowią akcje, kontrakty futures walutowe — instrument bazowy stanowi waluta innego kraju, kontrakty futures na indeks giełdowy. Z kontraktem futures związane są ceny:
cena futures w dniu zawarcia kontraktu — po takiej cenie zostanie zawarta transakcja w przyszłości,
cena kontraktu futures na rynku — cena dzisiejsza tego kontraktu, cena zmieniająca się każdego dnia w okresie notowań,
cena bieżąca przedmiotu kontraktu (spot price).
Wejście w kontrakt futures nic nie kosztuje, ale podmiot chcący
uczestniczyć w rynku futures musi wnieść na konto pewien depozyt
zabezpieczający — wadium. Codziennie Izba Rozrachunkowa (clearing house) koryguje stan konta o zmianę cen kontraktu futures
w ciągu dnia. Gdy cena wzrośnie w ciągu dnia o , to stan rachunku
sprzedającego kontrakt zmaleje o
, a kupującego wzrośnie o
.
Obie strony muszą utrzymywać na rachunku pewną ustaloną sumę (maintenance margin level). Gdy wartość rachunku po rozliczeniu
spada poniżej tej wielkości Izba Rozrachunkowa wzywa inwestora do
natychmiastowej dopłaty pieniędzy na rachunek. Gdy wezwanie zostanie
zignorowane następuje zamknięcie kontraktu.
Intuicyjnie można sobie wyobrażać, że kontrakt futures jest zamykany na końcu dnia handlowego (bo jest rozliczany) i otwierany na nowo następnego dnia, czyli kontrakt futures można traktować jako ciąg jednodniowych kontraktów forward. Taka procedura jednocześnie daje inwestorowi możliwość zamknięcia pozycji w każdej chwili. Inwestor zamyka pozycję wchodząc w kontrakt przeciwny, czyli otwiera pozycję przeciwną do tej, którą zajął wchodząc na rynek futures. Może to zrobić w każdej chwili, zarówno gdy chce zrealizować osiągnięte zyski, jak i wycofać się by zminimalizować straty. Przy okazji warto zaznaczyć, że bardzo mało kontraktów (niektóre źródła podają, że mniej niż 2%) jest w istocie rozliczanych w momencie wygaśnięcia, czyli dla większości uczestników dostawa przedmiotu kontraktu futures jest jedynie potencjalna.
Wykorzystując idee poznane wcześniej skonstruujemy teraz model rynku kontraktów terminowych futures. W związku ze specyfiką kontraktów futures model ten różni się trochę od modelu rynku skończonego, opisywanego do tej pory.
Jak poprzednio, zakładamy, że mamy ustaloną przestrzeń
probabilistyczną , gdzie
jest zbiorem
skończonym,
, a prawdopodobieństwo
jest
takie, że
dla każdego
. Transakcje na
rynku odbywają się w chwilach
,
i mamy
daną filtrację
,
opisującą
wiedzę o rynku (
-ciało
opisuje wiedzę do
chwili
), taką że
.
Niech
oznacza proces cen futures na instrument bazowy
o cenie
z momentem wykonania
. Wielkość
jest to
cena zapłaty w chwili
na którą się umawiamy dziś, tj. w chwili
0. Wprowadzimy oznaczenie skracające napisy:
.
Na rynku futures inwestor może inwestować w rachunek bankowy i
różnych kontraktów futures z tą samą datą realizacji i adaptowanym
procesem cen
,
, gdzie
jest ceną (kursem rozliczeniowym)
-tego kontraktu futures,
. Jak zawsze, proces
jest wartością jednostki
bankowej. Zakładamy, że kapitalizacja jest okresowa, oprocentowanie
jest stałe i równe w skali jednego okresu
,
.
Na tym rynku strategią jest proces
![]() |
gdzie jest wielkością kapitału w banku (tj. zmienną
losową adaptowaną), a
jest procesem prognozowalnym mówiącym jakie pozycje zajął inwestor
w kontraktach futures.
jest procesem prognozowalnym,
gdyż inwestor określa w chwili
liczbę pozycji zajętych na
rynku futures, które będą w jego portfelu w chwili
.
jest procesem adaptowanym, gdyż inwestor dopiero po dokonaniu
rozliczenia kontraktów futures zawartych w chwili
wie, ile ma
pieniędzy w chwili
. Ze względu na specyfikę kontraktu futures
bogactwo portfela odzwierciedla wielkość kapitału posiadanego przez
inwestora, gdyż wejście w kontrakt futures nic nie kosztuje. Zatem
definiujemy:
![]() |
(8.1) |
Strategię nazywamy samofinansującą się, gdy
![]() |
(8.2) |
tj. wartość portfela w chwili jest równa wartości w chwili
inwestycji w rachunek bankowy w chwili
zwiększonej
o rozliczenie pozycji futures (skutek procedury ,,równaj do
rynku”). Przez
oznaczać będziemy przestrzeń liniową
strategii samofinansujących się na rynku futures. Proces zysku jest
zadany wzorem:
![]() |
Z następnego twierdzenia widać, że definicja portfela samofinansującego się na rynku futures jest naturalna.
Strategia jest strategią samofinansującą się na rynku
futures wtedy i tylko wtedy, gdy
![]() |
Z warunków (8.1) i (8.2)
otrzymujemy
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
Korzystając z założeń, definicji wartości portfela
(8.1) i definicji procesu zysku
otrzymujemy
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
otrzymujemy zatem warunek (8.2), czyli jest
strategią samofinansującą się.
Rynek
nazywamy rynkiem bez możliwości arbitrażu gdy klasa strategii
samofinansujących się
nie zawiera strategii arbitrażowej
tzn. nie istnieje
, takie że
![]() |
Wypłatą europejską w chwili
nazywamy dowolną
–mierzalną zmienną losową.
Strategię
nazywamy strategią
replikującą wypłatę
gdy
Wypłatę
nazywamy osiągalną, gdy istnieje strategia ją replikująca. Jak
poprzednio, wypłatę nazwiemy jednoznacznie replikowalną, gdy dla
dowolnych strategii
replikujących
mamy
dla wszystkich
. Wtedy proces
nazywamy procesem bogactwa
.
Zachodzi twierdzenie o jednoznaczności procesu bogactwa portfela replikującego.
Gdy jest rynkiem bez możliwości
arbitrażu, to każda wypłata osiągalna jest jednoznacznie
replikowalna.
Dowód przebiega analogicznie do dowodu tw.
3.4 i pozostawiamy go jako ćwiczenie dla
Czytelnika. Korzystając z tego twierdzenia definiujemy proces ceny
arbitrażowej wypłaty osiągalnej
na rynku
bez możliwości arbitrażu jako wartość procesu bogactwa, tzn.
![]() |
gdzie jest strategią replikującą
.
Niech na rynku futures jednookresowym dwustanowym ceny pewnego aktywa wynoszą
![]() |
Znajdziemy cenę arbitrażową europejskiej opcji kupna wystawionej na
to aktywo na rynku futures, gdy miesiące,
i stopa
procentowa dla tego okresu wynosi
. Wtedy wypłata z tej opcji
wynosi
![]() |
Wielkość — wartość portfela replikującego
musi spełniać
![]() |
zatem
![]() |
Stąd
,
, zatem
cena jest równa
![]() |
Znajdujmy teraz cenę arbitrażową opcji sprzedaży na rynku futures przy tych samych parametrach. Portfel replikujący spełnia:
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
Stąd mamy ,
. Cena opcji sprzedaży wynosi
, jest zatem taka sama jak cena opcji kupna, co na
rynku futures — jak się dalej przekonamy — nie jest przypadkiem.
Znajdowanie ceny, gdy korzystamy z samej definicji jest, poza prostymi przykładami jak wyżej, kłopotliwe. Stąd, jak poprzednio, w celu badania rynku i znajdowania procesów cen wypłat wprowadzamy aparat miar martyngałowych.
Miarę probabilistyczną równoważną z
nazywamy miarą
martyngałową dla rynku futures, gdy proces cen futures
jest
-martyngałem.
Warto podkreślić, że w tej definicji wykorzystujemy proces cen futures, a nie proces cen futures zdyskontowanych, jak przyjęliśmy w def. 2.6.
Przez będziemy oznaczać zbiór miar martyngałowych dla
procesu cen futures. Jak poprzednio, wygodnie jest posługiwać się
zdyskontowanym procesem bogactwa portfela
:
![]() |
Strategia jest strategią samofinansującą się na rynku
futures
wtedy i tylko wtedy, gdy dla
każdego
![]() |
(8.3) |
Dowód lematu zostawimy jako zadanie (zad 8.4).
Jeżeli , to dla każdego
proces
jest
–martyngałem.
Stąd wprowadzając — klasę miar
martyngałowych dla rynku
jako zbiór tych miar
probabilistycznych
, dla których
jest
-martyngałem dla każdego
, otrzymujemy, że
![]() |
(8.4) |
Następnie dla rynku futures dowodzi się podstawowe twierdzenia matematyki finansowej. Są one odpowiednikami podstawowych twierdzeń dla rynku akcji, a ich dowody przebiegają w podobny sposób.
Rynek jest wolny od
arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy
. Wówczas cena arbitrażowa wypłaty osiągalnej
wynosi
![]() |
(8.5) |
dla .
Rynek bez możliwości arbitrażu jest
zupełny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna miara
martyngałowa.
Znajdziemy teraz postać parytetu na rynku futures. Ponieważ
![]() |
więc ze wzoru (8.5) na cenę futures mamy
![]() |
(8.6) |
Jest to wzór dający parytet kupna-sprzedaży dla opcji na rynku futures. Stąd jako wniosek otrzymujemy
![]() |
więc na rynku futures cena opcji sprzedaży jest równa cenie opcji kupna o tej samej cenie wykonania, gdy cena wykonania jest równa obecnej cenie futures (tak było w przykł. 8.1).
Udowodnić, że rynek futures jednookresowy dwustanowy jest wolny od arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy
![]() |
(8.7) |
(oznaczenia jak w przykł. 8.1).
Nie wprost. Gdy
, to portfel
jest arbitrażem, gdyż
![]() |
(ponieważ ) i
![]() |
Gdy , to portfel
jest arbitrażem.
Niech
będzie portfelem takim,
że
. Wtedy
. Gdy
, to
i
. Gdy
, to
. Stąd korzystając z warunku
(8.7) otrzymujemy, że istnieje
taka, że
, czyli nie istnieje arbitraż.
Udowodnić, że
a) Jeśli na rynku futures jednookresowym dwustanowym miara
martyngałowa istnieje, to jest określona przez równość:
![]() |
(8.8) |
gdzie . Zatem
![]() |
(8.9) |
b) Miara martyngałowa istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy
.
Udowodnić, że gdy jest rynkiem bez
możliwości arbitrażu, to
![]() |
(8.10) |
Kontrakt futures wypłaca w chwili wielkość
![]() |
W chwili 0 ten kontrakt nic nie kosztuje, więc
![]() |
co daje (8.10).
Udowodnić lemat 8.1.
Udowodnić, że jest przestrzenią liniową.
Udowodnić tw. 8.2.
Naśladować dowód dla rynku akcji.
Udowodnić tw. 8.3.
Udowodnić tw. 8.4.
Udowodnić, że wtedy i tylko wtedy, gdy dla
każdego momentu
![]() |
Niech będzie rynkiem, na którym handlujemy instrumentami
bazowymi i kontraktami futures oraz możemy inwestować w lokaty
bankowe. Udowodnić, że
jest rynkiem bez możliwości
arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy ceny kontraktów futures i forward
są równe.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.