Wykażemy, że cena tzn. cena arbitrażowa w chwili wypłaty osiągalnej zdefiniowana jako wartość procesu replikującego jest dobrze określona i znajdziemy wzór pozwalający liczyć te cenę.

Następne twierdzenie opisuje klasę wypłat replikowalnych.

Twierdzenie 10.2 ma jedną wadę z punktu widzenia zastosowań w praktyce, nie podaje explicite sposobu, w jaki można replikować wypłatę, gdyż jego dowód korzysta z twierdzenia o reprezentacji martyngału, a zwykle nie znamy jawnej postaci procesu w przedstawieniu (10.4). Gdy uda nam się znaleźć przedstawienie (10.4) dla którego znamy postać , to wzory (10.5) zadają strategię replikującą.

W sytuacji gdy wypłata zależy tylko od ceny końcowej , to można podać portfel replikujący i jego wartość w jawnej postaci.

Kontrakt forward na kupno akcji. Zajmiemy się teraz kontraktem forward na kupno akcji na rynku Blacka-Scholesa . Jak wiemy, wypłata z takiego kontraktu jest zadana wzorem , gdzie jest ceną kontraktu forward w chwili 0. Wypłata jest osiągalna, gdyż jest to kombinacja liniowa wypłat osiągalnych. Wiemy też, że

(10.13)

Stąd, ponieważ jest -martyngałem, mamy

Cena forward to taka wielkość , że cena kontraktu w chwili 0 jest równa 0, wejście w kontrakt nic nie kosztuje, czyli , tzn.

Znając znajdujemy wartość kontraktu w chwili korzystając z (10.13):

(10.14)

A jak wygląda portfel replikujący? Z (10.14) wiemy, że replikuje gdy , czyli na przykład gdy , . Ten portfel jest kombinacją portfeli ,,kup i trzymaj” (więc jest samofinansujący się); należy kupić jedną akcję pożyczając z banku kwotę na jej zakup i trzymać ten portfel bez zmian do momentu realizacji kontraktu. W powyższych rozważaniach nie wykorzystywaliśmy własności rynku specyficznych dla rynku Blacka-Scholesa, więc to rozumowanie jest prawdziwe dla dowolnego rynku z czasem ciągłym bez możliwości arbitrażu.

Zajmiemy się teraz szczególnym przypadkiem funkcji wypłaty, a mianowicie opcjami kupna. Wyprowadzimy sławne wzory Blacka-Scholesa.

Rozważymy teraz opcję sprzedaży. Ponieważ

więc

Stąd otrzymujemy formułę zgodności ceny opcji kupna i ceny opcji sprzedaży (parytet kupna-sprzedaży):

(10.19)

gdzie i  oznaczają cenę w chwili odpowiednio opcji kupna i opcji sprzedaży o cenie wykonania i terminie wykonania .

Z (10.19) i tw. 10.4 otrzymujemy cenę europejskiej opcji sprzedaży. Przyjmując

(10.20)

mamy

Dowód wniosku pozostawimy jako zadanie (ćw. 10.4).

. Warto zauważyć, że żadna z wielkości występujących w formułach Blacka-Scholesa nie zależy od oczekiwanej stopy zwrotu inwestora (zatem od jego oceny ryzyka i od jego preferencji). Zależą one natomiast od:
– bieżącej ceny akcji ,
– ceny wykonania ,
– czasu pozostałego do realizacji opcji,
– współczynnika zmienności ,
– stopy procentowej bez ryzyka .
Osoby zarządzające ryzykiem w instytucjach finansowych są zainteresowane tym, jak bardzo mogą zmienić się ceny opcji w ich portfelach inwestycyjnych, gdy zmienia się dokładnie jeden z powyższych parametrów, gdyż takie zmiany mają wpływ na wartość całego portfela. Zbadamy teraz pod tym kątem własności ceny opcji kupna. Dla prostoty rozważymy cenę opcji w chwili zero, tj.

gdzie . Zbadamy, jak zmienia się cena opcji, gdy zmieniamy jeden parametr, a pozostałe są zamrożone. Będziemy korzystali z jawnej postaci wzoru na cenę opcji kupna (10.15) lub z przedstawienia

(10.23)

Teraz przeanalizujemy zależność funkcji od czynników wymienionych powyżej. Okazuje się, że

• a) Funkcja jest funkcją rosnącą jako funkcja zmiennej — bieżącej ceny akcji.

• b) Funkcja jest malejąca jako funkcja zmiennej — ceny wykonania.

• c) Funkcja jest funkcją rosnącą jako funkcja czasu pozostałego do realizacji opcji.

• d) Funkcja jest rosnąca jako funkcja zmiennej — współczynnika zmienności.

• e) Funkcja jest rosnąca jako funkcja zmiennej — stopy procentowej bez ryzyka.

W praktyce, by obliczyć cenę opcji musimy znać współczynnik zmienności . Jest to wielkość rynkowa i trzeba ją znaleźć patrząc na zachowanie rynku. W tym celu powszechnie stosowane są dwie metody:

a) metoda zmienności historycznej (historic volatility) — estymacja z danych z przeszłości,

b) metoda zmienności implikowanej (implied volatility).

Omówimy je kolejno.

Ad a). Metoda ta opiera się na danych z rynku — danych historycznych. Aby estymować obserwujemy ceny w ustalonych okresach czasu o równej długości (np. codziennie, co tydzień itp.). Oznaczmy:

— liczba obserwacji; obserwacji dokonujemy w chwilach , takich, że odstępy czasu pomiędzy obserwacjami są równe,

— długość przedziału czasu pomiędzy obserwacjami (liczona w latach),

— zaobserwowana cena akcji na końcu -tego przedziału czasu .

Niech będzie teoretyczną ceną akcji na końcu -tego przedziału, tj. i niech

— są to tzw. logarytmiczne zwroty cen. Wtedy , czyli jest ciągłą stopą zwrotu w -tym przedziale (ale nie w skali roku). Ponieważ założyliśmy, że rynek opisuje model Blacka-Scholesa, więc ze wzoru (9.5) wynika, że są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie normalnym z wariancją i wartością średnią zależną od preferencji inwestora (rynku).

Z rynku mamy obserwacje cen, czyli wielkości , a stąd możemy wyznaczyć wielkości . Odchylenie standardowe zmiennej losowej jest równe , a estymatorem odchylenia standardowego niezależnym od wartości średniej jest statystyka

gdzie . Podkreślmy, że ten estymator nie zależy od wartości średniej. Zatem estymuje . Stąd współczynnik zmienności jest estymowany przez Błąd standardowy tej estymacji wynosi w przybliżeniu .

Wybranie właściwego nie jest łatwe. Im większe , tym lepszy estymator, ale używamy starszych danych, a jak powszechnie wiadomo, model Blacka-Scholesa w miarę poprawnie opisuje rynek dla krótkich okresów czasu. Z badań empirycznych wynika, że dla długich okresów czasu zmienia się w czasie (nie jest stacjonarne). Zawsze szacowanie przyszłej wartości na podstawie przeszłości obarczone jest błędem. Należy wybrać taki okres czasu, by estymator miał dobre własności i jednocześnie na tyle krótki, że założenie, iż rynek jest opisany przez model Blacka-Scholesa można zaakceptować. Na ogół przyjęcie długości okresu czasu używanego do estymacji jest dyktowane doświadczeniem osoby wykonującej takie szacowania. Podkreślmy jeszcze raz, że stosując metodę historyczną zakładamy, że parametr nie zmieni się w czasie, a więc metoda ta nie uwzględnia możliwych zmian wielkości parametru (czyli tego, że po pewnym czasie rynek opisuje model Blacka-Scholesa z inną zmiennością).

Ad b). Metoda zmienności implikowanej opiera się na przekonaniu, że zmienność jest zdeterminowana przez rynek.

Z (10.24) wynika, że cena opcji jest rosnącą funkcją parametru , gdy pozostałe czynniki są stałe. Zatem znając z rynku wielkości: (cena akcji), , , i  (cena opcji obserwowana na rynku) możemy znaleźć tę wartość , przy której cena teoretyczna opcji jest równa cenie rynkowej, czyli tę wartość dla której . Dokładniej, zakładamy, że są ustalone i znane. Jak wiemy

Inaczej mówiąc, jest tą wielkością odchylenia standardowego stopy zwrotu z akcji, która przy zastosowaniu wzoru Blacka-Scholesa daje cenę teoretyczną opcji równą cenie opcji na rynku. Gdy , to istnieje dokładnie jedno dodatnie rozwiązanie (10.25), co wynika z (10.24). Zmienność implikowana jest rozwiązaniem tego nieliniowego równania (10.25). Rozważamy to w obecnej chwili , znamy , więc bez straty ogólności możemy założyć, że .

Gdy ustalimy czas do wygaśnięcia opcji i gdy rynek jest opisany przez model Blacka-Scholesa to powinno być stałe i równe z modelu. W rzeczywistości, gdy używa się opcji o różnych cenach wykonania dla tej samej akcji, czyli rozpatrujemy funkcję (implikowana krzywa zmienności), to jako funkcja nie jest stałą, ma miejsce tzw. efekt uśmiechu zmienności (implikowana krzywa zmienności jest wypukła i ma minimum). W praktyce otrzymuje się różne kształty wykresu funkcji. Stąd jedną z metod znajdowania zmienności implikowanej dla rynku jest branie odpowiednio ważonej średniej ze współczynników zmienności implikowanej obliczanych dla różnych opcji, przy czym najlepiej brać te opcje, których cena jest bardziej czuła na zmiany parametru . Inną metodą jest wybór , w taki sposób by ceny teoretyczne wybranych opcji były jak najbliższe cen rynkowych tych opcji, tj. by

dla . Zwykle wybiera się kryterium metody najmniejszych kwadratów, by ocenić, co to znaczy najbliższe, tj. rozwiązuje się problem minimalizacji

gdzie , i jako przyjmuje się rozwiązujące ten problem. Jeszcze innym wyjściem jest taka modyfikacja modelu, w której parametr przestaje być stały (są to modele stochastycznej zmienności).

Z punktu widzenia praktyka można zapytać: po co szukać , przecież na rynku mamy ceny opcji kupna i sprzedaży zadane przez prawo popytu i podaży na rynku. Do handlowania tymi opcjami nie trzeba znać . To prawda, ale mając mamy dobrze opisany model cen i model rynku. Wtedy potrafimy wyceniać opcje egzotyczne i opcje tworzone na żądanie, których ceny nie są dostępne na rynku w każdej chwili, gdyż nie są to instrumenty płynne (dokładniej, możemy wtedy zastosować procedury, najczęściej przybliżone, konstruowane w celu wyceny opcji egzotycznych, patrz 11.2). Ponadto znajomość współczynnika zmienności jest niezbędna do konstruowania portfeli zabezpieczających.

Warto podkreślić, że procedura znajdowania wielkości implikowanych była możliwa, gdyż znaliśmy jawny wzór na ceny opcji i mogliśmy go odwrócić. Stąd widać jak ważne są w tym modelu rynku który konstruujemy jawne wzory na ceny instrumentów którymi handlujemy.

Rozważymy teraz opcje na akcje płacące dywidendy (wzór Mertona z roku 1973). Zaczniemy od rozumowania nieformalnego.

Niech akcja o cenie równej płaci dywidendę z ciągłą stopą w skali roku, proporcjonalną do poziomu ceny (sensowność takiego spojrzenia uzasadnili Samuelson [Sam] oraz Samuelson i Merton [Sam-M], jest stałą. Wypłata dywidendy powoduje spadek ceny akcji (część wartości idzie na dywidendę). Zatem jeśli cena akcji wzrośnie z  do , to gdyby nie było dywidendy, cena akcji wzrosłaby w okresie od do do wielkości . Stąd cena opcji europejskiej na akcję o wartości w chwili płacącą dywidendę jest równa cenie opcji na akcję nie płacącą dywidendy o cenie w chwili równej , gdyż obie opcje wypłacają tyle samo w momencie (korzystamy z prawa jednej ceny). Możemy zatem użyć wzorów Blacka-Scholesa zmniejszając cenę akcji do i otrzymane w ten sposób wzory będą dawały ceny opcji na akcje płacące dywidendy.

Wyprowadzimy teraz te wzory formalnie. Rozpatrzmy rynek, na którym jest rachunek bankowy i akcja płacąca dywidendy o cenie zadanej, jak zawsze w modelu Blacka-Scholesa, wzorem

(10.26)

Z założenia, proces wartości dywidendy jest określony przez

ale proces nie jest aktywem, którym handlujemy, zatem trzeba dywidendę zainwestować w rynek: kupić akcje lub umieścić ją na rachunku bankowym. Biorąc pod uwagę dywidendę mówimy, że strategia jest samofinansującą się, gdy proces bogactwa

spełnia równanie:

(10.27)

a więc (z postaci i ) otrzymujemy

(10.28)

Rozpatrzmy proces (intuicyjnie jest procesem ceny akcji zwiększonym o stratę wynikającą z wypłaty dywidendy z ciągłą stopą ). Ze wzoru na całkowanie przez części otrzymujemy, że spełnia

(10.29)

Stąd , czyli zdyskontowany proces spełnia

(10.30)

Zmieniając miarę na równoważną miarę probabilistyczną o gęstości

(10.31)

i korzystając z tego, że

jest procesem Wienera na względem otrzymujemy z (10.30):

(10.32)

Zbadajmy teraz dynamikę procesu wartości portfela spełniającego (10.28). Ze wzoru Itô i z (10.29) mamy

(10.33)

Dalej ze wzoru na całkowanie przez części, z (10.33) i (10.32) mamy

(10.34)

więc proces jest -lokalnym martyngałem. Dlatego na rynku, na którym handlujemy akcją płacącą dywidendy oraz istnieje rachunek bankowy można w standardowy sposób zdefiniować zbiór strategii dopuszczalnych , arbitraż i model rynku bez możliwości arbitrażu . Powtarzając poprzednie rozumowania otrzymujemy wzory na ceny opcji kupna na tym rynku:

A ponieważ jest -martyngałem, więc możemy powtórzyć rozumowanie przeprowadzone dla rynku Blacka-Scholesa albo starannie przyglądając się tamtym rachunkom zobaczyć, że

gdzie jest wzorem dającym wycenę opcji kupna w modelu Blacka-Scholesa. W ten sposób otrzymujemy wzory Mertona:

Podkreślmy jeszcze raz, że wzory wyprowadziliśmy przy założeniu, że wypłacana dywidenda jest stała. Gdy zmienia się, to jako przybliżenie należy wziąć średnią z rocznych stóp. Stopa dywidendy , którą można otrzymać z danych historycznych, zmienia się nieznacznie w ciągu kwartału, zatem dla opcji o krótkim terminie zapadalności można zakładać, że stopa jest stała. W rzeczywistości założenie, że pojedyncza spółka płaci dywidendę zgodnie z modelem Samuelsona jest nierealistyczne. Ale okazuje się, że ten model można stosować z powodzeniem do indeksów giełdowych. W tym celu zakładamy, że indeks jest opisywany przez geometryczny proces Wienera. Teoretycznie tak nie musi być, bo jest to średnia ważona procesów cen, które są geometrycznymi procesami Wienera. Ale dla zastosowań praktycznych taki model jest sensowny i dobrze przybliża rzeczywistość.

Opcje walutowe. Wzory Mertona (10.35) i (10.36) można zastosować do wyceny opcji walutowych, czyli opcji wystawianych na walutę zagraniczną a wycenianych w walucie krajowej. Cena waluty zagranicznej jest po prostu kursem wymiany i jest zadana wzorem (9.2) z odpowiednio dobranymi , . Posiadacz waluty zagranicznej otrzymuje dywidendę , która jest stopą procentową bez ryzyka dla tej waluty. Zatem można zastosować wzory (10.35) i (10.36) dla . Jak łatwo zauważyć (patrz ćw. 10.13), cena kontraktu forward w chwili na dostawę jednostki waluty zagranicznej w momencie przy kursie wymiany wynosi:

(10.39)

Korzystając z tego otrzymujemy wzory Garmana-Kohlhagena, niezależnie otrzymane przez Bigera i Hulla (1983), na ceny (w walucie krajowej) opcji kupna i sprzedaży wystawianych na walutę obcą:

gdzie

W standardowy sposób można otrzymać cenę w walucie krajowej dowolnej wypłaty na rynku zagranicznym. Oczywiście jest ona równa cenie tej wypłaty w walucie zagranicznej (patrz ćw. 10.14).

Jak wiemy ze wzoru (10.39) cena forward w chwili na dostawę jednostki waluty zagranicznej w momencie przy kursie wymiany wynosi:

gdzie jest miarą martyngałową dla . Gdy wymieniamy walutę zagraniczną na krajową, to kurs wymiany jest procesem i jego dynamika przy jego mierze martyngałowej (czyli przy mierze martyngałowej na rynku zagranicznym) jest równa

(10.40)

gdzie jest procesem Wienera przy mierze martyngałowej . Zatem cena forward jednostki waluty krajowej (w jednostkach waluty zagranicznej) jest równa

a stąd wynika, że ceny forward są, jak należało oczekiwać na rynku bez możliwości arbitrażu, zgodne.

(10.41)

Ale cena forward na dostawę jednej jednostki waluty zagranicznej w chwili nie jest na ogół nieobciążonym estymatorem wartości kursu wymiany w chwili . Jest to tzw. paradoks Siegela (patrz ćw. 10.15).