Celem tego paragrafu jest podanie podstawowych rezultatów dotyczących opcji amerykańskich w modelu Blacka-Scholesa. Jak wiemy, opcje te dają posiadaczowi prawo do wykonania opcji w dowolnej chwili, dlatego analogicznie jak w przypadku rynku skończonego trzeba zastosować inne podejście niż w przypadku opcji europejskich.
Zaczniemy od definicji opcji amerykańskiej. Niech będzie funkcją ciągłą.
Opcją amerykańską american contingent claim
z funkcją wypłaty
nazywamy
instrument finansowy określony przez:
a) moment wygaśnięcia ,
b) wypłatę w chwili równą
,
c) moment realizacji opcji — jest to moment stopu
względem filtracji
przyjmujący wartości w
, a
zatem wypłata w momencie realizacji jest równa
![]() |
(11.1) |
Wymiennie z terminem opcja amerykańska z funkcją wypłaty
będziemy używać terminu opcja amerykańska z procesem wypłaty
lub opcja amerykańska o wypłacie
.
Intuicyjnie, moment wykonania opcji amerykańskiej bazuje na
informacji o cenach. O tym, czy wykonać opcję w momencie
decydujemy obserwując ceny do chwili
. Dlatego moment wykonania
jest momentem stopu i jest elementem rodziny
,
czyli rodziny momentów stopu o wartościach w
(to uzasadnia
założenie
w definicji). Wypłata zależy od wartości akcji
w chwili realizacji, a nie od całej trajektorii
do
momentu
(stąd założenie (11.1) w definicji).
Typowe przykłady opcji amerykańskich to opcja kupna o wypłacie
w chwili realizacji:
![]() |
a także opcja sprzedaży o wypłacie w chwili realizacji:
![]() |
Zatem funkcja wypłaty dla amerykańskiej opcji kupna ma postać
, a dla amerykańskiej opcji sprzedaży ma
postać
. Często dopuszcza się, że cena wykonania
opcji zmienia się wraz z czasem, ale jest funkcją deterministyczną,
tj.
, wtedy np. zmodyfikowana
amerykańska opcja kupna ma wypłatę postaci
![]() |
tj. . Jest to przykład tzw. niestandardowej
amerykańskiej opcji kupna (nonstandard american call option).
Są to opcje, dla których warunki wczesnej realizacji są nietypowe.
Przykładowo, cena realizacji może zależeć od czasu i tak np. dla
5-letniej opcji kupna cena wykonania
może wynosić 50 przez
pierwszy rok, 55 przez drugi i trzeci, a 60 w ostatnich dwu.
Celem tego paragrafu jest znalezienie racjonalnej ceny i sensownego
momentu wykonania opcji amerykańskiej za pomocą argumentów
arbitrażowych. Dla prostoty zapisu skoncentrujemy się na momencie
.
Przez strategię ,,kup i trzymaj” (buy-and-hold) związaną z opcją
amerykańską o wypłacie rozumiemy parę
,
,
. Interpretacja tej
strategii jest następująca: gdy
, to kupujemy
jednostek
opcji amerykańskiej w chwili 0, a gdy
to przeprowadzamy krótką
sprzedaż tych jednostek w chwili 0 i trzymamy je w portfelu do
momentu
, w którym zamykamy pozycję.
Strategia samofinansująca się dla modelu to trójka
, gdzie
jest strategią samofinansująca
się w modelu Blacka-Scholesa, a
jest strategią ,,kup
i trzymaj”
związaną z
i taką, że dla
zachodzi
![]() |
W definicji strategii samofinansującej się zakładamy, że gdy
wypłata amerykańska jest realizowana w momencie , to pozycja
w aktywie jest w tym momencie zamykana i wszystko co pozostaje, jest
wkładane na rachunek oszczędnościowy.
Przypomnijmy, że strategia jest
samofinansującą się w modelu Blacka-Scholesa, gdy proces bogactwa
spełnia
![]() |
Wprowadziliśmy nowy instrument bazowy, którym możemy handlować na
rynku, opcje amerykańskie. Gdy oznaczymy przez liczbę
opcji w portfelu, to strategię ,,kup
i trzymaj”
zapiszemy wzorem
.
Gdy jest wartością w chwili 0 opcji amerykańskiej z wypłatą
, to wartości portfela
w momencie początkowym
i końcowym wynoszą:
![]() |
![]() |
![]() |
(11.2) | ||
![]() |
![]() |
![]() |
(11.3) |
Mówimy, że portfel samofinansującej się jest
dopuszczalny, gdy
jest strategią dopuszczalną. Klasę
strategii dopuszczalnych oznaczymy przez
. Definiujemy klasę
portfeli arbitrażowych:
![]() |
Równoważnie jest to klasa portfeli dopuszczalnych ,
takich że
![]() |
bo istnieje rachunek oszczędnościowy ze stopą procentową .
Na rynku z ceną początkową
wypłaty
istnieje arbitraż, gdy zachodzi jeden z warunków
,
:
a) istnieje arbitraż związany z pozycją długą (tj. posiadacza
opcji amerykańskiej), czyli gdy istnieje moment stopu taki, że dla pewnego
strategia
,
b) istnieje arbitraż związany z pozycją krótką (tj. wystawcy
opcji amerykańskiej), czyli gdy istnieje strategia taka,
że dla wszystkich momentów stopu
strategia
Gdy nie istnieje arbitraż, to mówimy, że model jest wolny od arbitrażu.
Te dwa rodzaje arbitrażu wynikają z niesymetrycznej pozycji sprzedawcy i nabywcy opcji amerykańskiej. Nabywca może wybrać termin wykonania, a sprzedawca musi zabezpieczyć wypłatę.
Z definicji wynika, że na rynku nie ma arbitrażu, gdy zachodzą dwa warunki:
a) dla wszystkich i wszystkich
mamy
,
oraz
b) dla każdego istnieje
takie, że
Punkt a) mówi, że posiadacz opcji amerykańskiej nie może znaleźć
momentu wykonania opcji i strategii
działania na
rynku akcji i rachunku bankowego dających zysk bez ryzyka. Natomiast
punkt b) oznacza, że niezależnie od tego, jaką politykę prowadzi
sprzedawca opcji (czyli niezależnie od
), nabywca może
wybrać taki moment wykonania
, że sprzedawca nie ma zysku bez
ryzyka.
Ceną arbitrażową opcji amerykańskiej
nazywamy cenę
, dla której opisany model rynku jest modelem
wolnym od arbitrażu.
Okazuje się, że założenie braku arbitrażu prowadzi do istnienia jednoznacznie wyznaczonej ceny arbitrażowej.
Niech będzie funkcją o liniowym
wzroście (czyli spełniającą warunek
. Załóżmy,
że na rynku
nie ma możliwości arbitrażu. Wtedy
cena arbitrażowa w chwili
opcji amerykańskiej z funkcją wypłaty
jest równa:
![]() |
(11.4) |
gdzie jest miarą martyngałową dla rynku Blacka-Scholesa
.
Przypomnijmy, że supremum istotne rodziny zmiennych losowych jest to jedyna zmienna losowa
(ozn.
)
o własnościach:
a) -p.n. dla każdego
,
b) jeśli
-p.n. dla każdego
, to
Idea dowodu tw. 11.1 jest analogiczna do idei dowodu
twierdzenia podającego cenę arbitrażową wypłaty amerykańskiej dla
modelu z czasem dyskretnym. Korzysta się z ogólnych faktów z teorii
optymalnego stopowania. Gdy jest
zdyskontowanym procesem wypłaty, to dowodzimy, że obwiednia Snella
procesu
, czyli najmniejszy nadmartyngał majoryzujący
,
jest postaci
![]() |
i daje nam cenę arbitrażową . Ponadto moment wykonania zadany
jest wzorem:
![]() |
W szczególności
![]() |
a optymalny moment wykonania
![]() |
Szczegóły techniczne można znaleźć w Myneni [Myn], Karatzas [Kar]. Warto zauważyć, że zachodzi też twierdzenie odwrotne: warunek
![]() |
implikuje, że na rynku nie ma możliwości
arbitrażu (patrz ćw. 11.2).
Można udowodnić (patrz ćw. 11.1), że istnieje portfel
dopuszczalny , spełniający warunki:
i
![]() |
(11.5) |
czyli jest portfelem zabezpieczającym opcję amerykańską
z kapitałem początkowym równym cenie opcji amerykańskiej. Dla tego
portfela zachodzi
![]() |
Ze wzoru (11.4) wynika, analogicznie jak w przypadku
dyskretnym, że cena opcji amerykańskiej o wypłacie
jest nie mniejsza niż cena opcji europejskiej o wypłacie
.
Ponadto
Europejska opcja kupna i standardowa amerykańska opcja kupna o tym samym terminie zapadalności i tej samej cenie wykonania mają równe ceny.
Załóżmy, że (dla
dowód jest analogiczny). Niech
, gdzie
Wtedy z (11.4)
![]() |
zatem by zakończyć dowód trzeba pokazać nierówność przeciwną.
Wystarczy pokazać, że dla dowolnego momentu stopu
zachodzi:
![]() |
(11.6) |
gdyż stąd .
Ponieważ
jest
-martyngałem,
,
, więc
![]() |
Prawa strona jest nieujemna, więc stąd
![]() |
Biorąc wartość oczekiwaną obu stron otrzymujemy (11.6).
∎Warto prześledzić inne rozumowanie prowadzące do tego wyniku.
Gdy , to z parytetu dla cen opcji europejskich
![]() |
więc wartość amerykańskiej opcji kupna w chwili jest większa niż
zysk z jej realizacji w chwili
, czyli nie opłaca się realizować
opcji przed jej wygaśnięciem.
Z tw. 11.2 wynika, że dla znalezienia ceny amerykańskiej opcji kupna możemy korzystać ze wzoru Blacka-Scholesa na cenę europejskiej opcji kupna.
W przypadku opcji sprzedaży cena amerykańska opcji jest różna od ceny europejskiej. Ma różne dobre własności, ale nie istnieje postać jawna ceny amerykańskiej opcji sprzedaży. Do wyliczenia tej ceny stosuje się inne metody: metody Monte Carlo, metody quasi Monte Carlo, metody aproksymacji modelem CRR lub metody numeryczne związane z rozwiązywaniem równań różniczkowych cząstkowych.
Są to opcje inne niż standardowe opcje kupna/sprzedaży europejskie i amerykańskie (które z kolei nazywa się opcjami waniliowymi). Zatem opcje egzotyczne mają funkcje wypłaty inne niż funkcje wypłaty związane z opcjami waniliowymi. Nie zawsze znajdują się one w obrocie giełdowym, są raczej opcjami na zamówienie (over the counter options). Są oferowane przez instytucje finansowe dla swoich klientów. Opiszemy przykładowo kilka najczęściej pojawiających się rodzajów takich opcji. Wyceny tych opcji pozostawimy jako zadanie (często bardzo trudne, jak w przypadku opcji azjatyckich).
1. Niestandardowe opcje amerykańskie, które opisaliśmy w poprzednim paragrafie.
2. Opcje bermudzkie (Bermudan options). Są to opcje,
które mogą być realizowane tylko w pewne dni (zatem opcje te,
obrazowo mówiąc, tworzą pomost pomiędzy opcjami europejskimi
i amerykańskimi). Można je traktować jako specyficzny rodzaj opcji
amerykańskich, dla których funkcja wypłaty dla tych chwil
, kiedy opcji nie możemy zrealizować.
3. Opcje startujące w przyszłości (forward start
options). Niech . W chwili
jedna strona
kontraktu otrzymuje opcję z terminem wygaśnięcia
i ceną
wykonania
i płaci za to drugiej stronie w chwili zero.
Przykładowo, dla opcji kupna startującej w przyszłości wypłata
wynosi
4. Opcje wyboru (chooser options, as-you-like-it
options). Opcja, której właściciel w określonej chwili
w przyszłości ma prawo zdecydować czy chce, żeby była to opcja
sprzedaży czy kupna (czas realizacji
i cena wykonania
są
określone z góry w momencie sprzedaży opcji). Właściciel opcji
w chwili
wybiera opcję o większej wartości, stąd wartość tej
opcji w chwili
wynosi
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
|||
![]() |
![]() |
co pozwala łatwo ją wycenić.
5. Opcje binarne (binary options). Są to opcje, których
wypłata zależy w sposób nieciągły od ceny instrumentu pierwotnego
w momencie wykonania opcji
.
a) Opcja pieniądze albo nic (opcja cash or nothing).
Dla tej opcji wypłata w chwili wygaśnięcia
wynosi:
— dla binarnej opcji kupna ,
— dla binarnej opcji sprzedaży ,
gdzie stałe i
zostały ustalone z góry.
b) Opcja walor albo nic (opcja asset or nothing).
Dla tej opcji wypłata w chwili wygaśnięcia
wynosi:
— dla opcji kupna ,
— dla opcji sprzedaży ,
gdzie stała została ustalone z góry.
Zauważmy, że opcje powyższe można porównać do zakładu, czy cena
waloru jest większa czy nie od z góry ustalonego progu . Opcja
kupna daje niezerową wypłatę, gdy cena instrumentu pierwotnego
jest większa niż stała
(cena wykonania), natomiast opcja
sprzedaży daje zysk, gdy
.
Takie opcje na ogół łatwo wyceniać (patrz ćw. 11.5). Inna spotykana nazwa takich opcji to opcje cyfrowe (digital).
6. Opcje zależne od trajektorii (path-dependent
options). Są to opcje, dla których funkcja wypłaty zależy od cen
akcji w całym okresie trwania kontraktu, tj. , gdzie
jest funkcją rzeczywistą określona na przestrzeni funkcji ciągłych
(dla ustalonej
trajektoria procesu cen
należy do przestrzeni
).
a) Przykład takich opcji stanowią opcje azjatyckie, dla których
wypłata zależy od średniej ceny waloru w określonym przedziale
czasowym . Są one bardzo popularne na rynku, gdyż są
tańsze do odpowiadających im standardowych opcji europejskich, są
użyteczne na rynkach o małej płynności, a więc na rynkach o większym
ryzyku, a ponadto branie średniej zabezpiecza przed manipulacją
cenami blisko daty wygaśnięcia opcji. Wypłatą z opcji kupna jest
, a z opcji sprzedaży
,
gdzie
jest ceną realizacji opcji, a
średnią cena
waloru. Są różne sposoby obliczania średniej
np. dla
kontraktu zawartego na
dni można wziąć
jako średnią
arytmetyczną z cen zamknięcia w
-tym dniu
, czyli
, gdzie
to
liczba dni handlu w roku (zwykle przyjmuje się
równe 252), ale
też można wziąć jako
średnią geometryczną. Rozważa się też
opcje ze średnimi ,,ciągłymi”:
— średnią arytmetyczną ,
— średnią geometryczną
(te średnie otrzymujemy przez przejście graniczne dla średnich
liczonych w sposób dyskretny). Opcje opisane powyżej są to opcje
azjatyckie I rodzaju (average value Asian option). Rozważa się
też opcje azjatyckie II rodzaju (average strike Asian option)
— są to opcje o wypłatach (dla opcji
kupna) i
(dla opcji sprzedaży).
b) Innym przykładem opcji zależnych od trajektorii są opcje typu lookback (lookback option).
Są to opcje, z których dochód zależy od maksimum lub minimum ceny
instrumentu podstawowego. Właściciel opcji kupna typu lookback ma
zagwarantowane kupno waloru (akcji) po najniższej cenie, po jakiej
walor był sprzedawany w okresie ważności opcji, natomiast właściciel
opcji sprzedaży sprzedaje walor po najwyższej cenie w okresie
. Zatem wypłata z opcji kupna wynosi
,
a wypłata z opcji sprzedaży to
, gdzie
,
są, odpowiednio, najmniejszą i największą ceną
instrumentu pierwotnego w ustalonym okresie
.
7. Opcje barierowe (barrier options). Te opcje są też zależne od trajektorii. Wypłata z tych opcji zależy od tego, czy w ustalonym okresie czasu cena waloru spadnie poniżej pewnej ustalonej wartości, lub/oraz czy cena waloru przekroczy pewną ustaloną wartość. Te ustalone wartości nazywa się barierami. Zasadniczo dzielimy je na opcje wyjścia (knock-out option) i wejścia (knock-in option). Opcje wyjścia przestają istnieć, gdy cena waloru przekroczy pewną ustaloną barierę, a opcje wejścia zaczynają istnieć, gdy cena waloru przekroczy barierę.
Standardowo wypłata z opcji barierowych jest wypłatą z opcji waniliowych, gdy zostanie spełniony warunek związany z barierą. Standardowo dla opcji kupna występują następujące rodzaje opcji:
Opcje, które zostają unieważnione, gdy zachodzi jeden z przypadków:
cena waloru spadnie poniżej bariery (opcja down-and-out),
wtedy wypłata dla opcji kupna wynosi:
,
cena waloru przekroczy barierę (opcja up-and-out), wtedy
wypłata dla opcji kupna wynosi:
.
Opcje, które uzyskują ważność, gdy zachodzi jeden z przypadków:
cena waloru przekroczy barierę (opcja up-and-in), wtedy
wypłata dla opcji kupna wynosi:
,
cena waloru spadnie poniżej bariery (opcja down-and-in), wtedy
wypłata dla opcji kupna wynosi:
.
Warto zauważyć, że suma wypłat z opcji typu up, jak i typu out są równe wypłacie ze standardowej opcji kupna.
Analogicznie określone są standardowe opcje barierowe związane z opcją sprzedaży.
Istnieje też wiele innych opcji tego typu (tzw. opcje kombinowane) np. opcja o wypłacie
![]() |
8. Opcje z nieliniową wypłatą. Są to opcje, których wypłata
jest nieliniową funkcją ceny instrumentu pierwotnego
w momencie wykonania opcji
, zatem opcje kupna są to opcje
o wypłacie
, gdzie
jest dowolną nieliniową
funkcją np. opcja potęgowa z parametrem
jest to opcja dla
której
,
,
.
Istnieje wiele innych opcji egzotycznych, m.in. złożone, kwantylowe, koszykowe. Więcej na ten temat można znaleźć np. w książkach Kwoka [Kwok] oraz A. Werona i R. Werona [Wer].
Jak już wspominaliśmy, wycena opcji egzotycznych jest na ogół
trudnym zadaniem i bardzo często otrzymuje się formuły niejawne.
Czasem można znaleźć wzór analityczny, np. dla opcji potęgowej
z parametrem otrzymujemy
![]() |
gdzie (patrz ćw. 11.3).
Nie potrafimy już jednak znaleźć jawnych wzorów na cenę opcji
nieliniowej o bardziej skomplikowanej postaci funkcji . W takich
przypadkach często stosuje się metody symulacyjne opierające się na
mocnym prawie wielkich liczb. Zwykle takie wypłaty wycenia się za
pomocą symulacji komputerowych i procedur numerycznych bazujących na
przybliżaniu geometrycznego ruchu Browna przez model CRR.
Jak wiemy, osiągalna wypłata w chwili
ma w chwili 0 cenę
. Zatem, aby znaleźć cenę wypłaty
,
należy obliczyć wartość oczekiwaną
przy mierze
martyngałowej
. Do wyliczenia tej wartości oczekiwanej używamy
metod Monte Carlo. Symulujemy przebieg trajektorii procesu ceny
instrumentu bazowego
w skończonej liczbie punktów (korzystamy
z tego, że przy mierze martyngałowej
ceny
mają rozkład
normalny (wzór (9.16)), który znamy, gdy znamy
i
). Następnie obliczamy wartość wypłaty
przy tej
realizacji trajektorii i otrzymujemy liczbę
. Powtarzamy to
postępowanie niezależnie
razy i otrzymujemy z tej symulacji ciąg
wypłat
. Korzystając z mocnego prawa wielkich
liczb otrzymujemy, że cena wypłaty wynosi w przybliżeniu
![]() |
Prześledzimy to rozumowanie na przykładzie opcji lookback
![]() |
Zaczynamy od wyznaczenia trajektorii ceny akcji. Termin do wykonania
opcji dzielimy na równych odcinków czasu. Niech
będzie
ceną na końcu i-tego odcinka,
,
. Wtedy, jak
wiemy z (9.16)
![]() |
gdzie ma rozkład normalny
![]() |
przy czym jest długością odcinka czasu liczoną w skali roku,
. Ponadto
są niezależnymi zmiennymi
losowymi. Stąd
![]() |
(11.7) |
Za pomocą tego przedstawienia wyliczamy trajektorie cen. Najpierw
generujemy wyniki niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie
i otrzymujemy ciąg realizacji
. Następnie
wyliczamy ceny na końcu każdego odcinka czasu korzystając
z (11.7):
![]() |
Dla tej konkretnej realizacji cen obliczamy zdyskontowaną wartość opcji lookback:
![]() |
Powtarzamy tę procedurę razy otrzymując ciąg wyników
i bierzemy ich średnią arytmetyczną jako estymator
Monte Carlo ceny opcji.
Klasyczna metoda Monte Carlo jest nieefektywna, więc stosuje się jej ulepszenia, ale idea wyceny pozostaje ta sama. Więcej informacji na ten temat, a także na temat innych metod numerycznych stosowanych w finansach, czytelnik może znaleźć w monografiach Glassermana [Gla], Jäckela [Ja] i Seydela [Sey].
Udowodnić, że istnieje portfel dopuszczalny o kapitale
początkowym
zabezpieczający wypłatę związaną z opcją
amerykańską, tj.
. Udowodnić, że dla tego
portfela zachodzi równość
![]() |
gdzie jest optymalnym momentem wykonania.
Z tw. Dooba-Meyera , gdzie
jest martyngałem,
— procesem rosnącym
prognozowalnym,
. Z tw. o reprezentacji martyngału
![]() |
dla pewnego procesu całkowalnego względem
.
Strategia
![]() |
(11.8) |
spełnia warunki zadania. Istotnie, z (11.4)
![]() |
a dla optymalnego momentu wykonania zachodzi równość.
Udowodnić, że warunek
![]() |
implikuje brak arbitrażu na rynku .
Nie wprost. Niech cena opcji amerykańskiej spełnia
(opcja jest na rynku
przewartościowana).
Skonstruujemy arbitraż związany z pozycją krótką. Weźmy strategię
daną wzorem (11.8) i strategię ,,kup
i trzymaj”
, gdzie
jest
dowolnym momentem stopu. Niech strategia
będzie zadana wzorem:
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
Ponieważ spełnia (11.5), więc
![]() |
a ponadto
![]() |
Zatem strategia jest arbitrażem.
Rozpatrzymy teraz przypadek (opcja na rynku jest
niedowartościowana).
Możemy założyć, że nabywca opcji zachowuje się racjonalnie i wybiera
optymalny moment realizacji opcji. Gdy wybierze on portfel , to
![]() |
i z określenia optymalnego momentu realizacji opcji wynika, że
.
Wycenić opcję potęgową
W modelu Blacka-Scholesa wycenić na chwilę opcje binarne
płacące:
a) ,
b) ,
c) ,
gdzie są stałymi.
Jak wiemy z uwagi 9.2, cena , gdzie
![]() |
a stąd a)
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
b)
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
gdzie i
. Ostatnią równość
można otrzymać np. metodą zamiany miary, jak w dowodzie tw. Blacka.
W modelu Blacka-Scholesa wycenić na chwilę
opcje binarne płacące:
a) ,
b) .
Wyprowadzić wzór łączący te dwie ceny.
Znaleźć w chwili cenę zmodyfikowanej opcji startującej
w przyszłości, czyli opcji o wypłacie
,
gdzie stała
.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.