Zagadnienia

11.1 Opcje amerykańskie
11.2 Opcje egzotyczne
11.3 Zagadnienia i zadania na ćwiczenia

11. Opcje amerykańskie i egzotyczne w modelu Blacka-Scholesa

11.1. Opcje amerykańskie

Celem tego paragrafu jest podanie podstawowych rezultatów dotyczących opcji amerykańskich w modelu Blacka-Scholesa. Jak wiemy, opcje te dają posiadaczowi prawo do wykonania opcji w dowolnej chwili, dlatego analogicznie jak w przypadku rynku skończonego trzeba zastosować inne podejście niż w przypadku opcji europejskich.

Zaczniemy od definicji opcji amerykańskiej. Niech $g\colon\mathbb{R}_{+}\times[0,T]\to\mathbb{R}_{+}$ będzie funkcją ciągłą.

Definicja 11.1

Opcją amerykańską $($ american contingent claim $)$ z funkcją wypłaty $g$ nazywamy instrument finansowy określony przez:

a) moment wygaśnięcia $T$ ,
b) wypłatę w chwili $t$ równą $Z_{t}=g(S_{t},t)$ ,
c) moment realizacji opcji — jest to moment stopu $\tau$ względem filtracji $({\cal F}_{t})$ przyjmujący wartości w $[0,T]$ , a zatem wypłata w momencie realizacji jest równa

$\displaystyle X^{a}=g(S_{{\tau}},\tau).$ (11.1)

Wymiennie z terminem opcja amerykańska z funkcją wypłaty $g$ będziemy używać terminu opcja amerykańska z procesem wypłaty $Z_{t}$ lub opcja amerykańska o wypłacie $X^{a}$ .

Intuicyjnie, moment wykonania opcji amerykańskiej bazuje na informacji o cenach. O tym, czy wykonać opcję w momencie $t$ decydujemy obserwując ceny do chwili $t$ . Dlatego moment wykonania jest momentem stopu i jest elementem rodziny ${\cal T}_{{[0,T]}}$ , czyli rodziny momentów stopu o wartościach w $[0,T]$ (to uzasadnia założenie $(c)$ w definicji). Wypłata zależy od wartości akcji $S_{{\tau}}$ w chwili realizacji, a nie od całej trajektorii $S$ do momentu $\tau$ (stąd założenie (11.1) w definicji). Typowe przykłady opcji amerykańskich to opcja kupna o wypłacie w chwili realizacji:

$X^{a}=(S_{{\tau}}-K)^{+},$

a także opcja sprzedaży o wypłacie w chwili realizacji:

$Y^{a}=(K-S_{{\tau}})^{+}.$

Zatem funkcja wypłaty dla amerykańskiej opcji kupna ma postać $g^{C}(x,t)={=}(x-K)^{+}$ , a dla amerykańskiej opcji sprzedaży ma postać $g^{P}(x,t)=(K-x)^{+}$ . Często dopuszcza się, że cena wykonania opcji zmienia się wraz z czasem, ale jest funkcją deterministyczną, tj. $K\colon[0,T]\to\mathbb{R}_{+}$ , wtedy np. zmodyfikowana amerykańska opcja kupna ma wypłatę postaci

$X^{a}=(S_{{\tau}}-K_{{\tau}})^{+},$

tj. $g^{C}(x,t)=(x-K_{t})^{+}$ . Jest to przykład tzw. niestandardowej amerykańskiej opcji kupna (nonstandard american call option). Są to opcje, dla których warunki wczesnej realizacji są nietypowe. Przykładowo, cena realizacji może zależeć od czasu i tak np. dla 5-letniej opcji kupna cena wykonania $K_{t}$ może wynosić 50 przez pierwszy rok, 55 przez drugi i trzeci, a 60 w ostatnich dwu.

Celem tego paragrafu jest znalezienie racjonalnej ceny i sensownego momentu wykonania opcji amerykańskiej za pomocą argumentów arbitrażowych. Dla prostoty zapisu skoncentrujemy się na momencie $t=0$ .

Przez strategię ,,kup i trzymaj” (buy-and-hold) związaną z opcją amerykańską o wypłacie $X^{a}$ rozumiemy parę $(c,\tau)$ , $c\in\mathbb{R}$ , $\tau\in{\cal T}_{{[0,T]}}$ . Interpretacja tej strategii jest następująca: gdy $c>0$ , to kupujemy $c$ jednostek opcji amerykańskiej w chwili 0, a gdy $c<0$ to przeprowadzamy krótką sprzedaż tych jednostek w chwili 0 i trzymamy je w portfelu do momentu $\tau$ , w którym zamykamy pozycję.

Definicja 11.2

Strategia samofinansująca się dla modelu $(B,S,X^{a})$ to trójka $(\varphi,c,\tau)$ , gdzie $\varphi$ jest strategią samofinansująca się w modelu Blacka-Scholesa, a $(c,\tau)$ jest strategią ,,kup i trzymaj” związaną z $X^{a}$ i taką, że dla $t\in(\tau,T]$ zachodzi

$\varphi _{t}^{1}=0,\quad\varphi _{t}^{0}=\frac{\varphi _{{\tau}}^{1}S_{{\tau}}}{B_{{\tau}}}+\varphi _{{\tau}}^{{0}}+\frac{cg(S_{{\tau}},\tau)}{B_{{\tau}}}.$

W definicji strategii samofinansującej się zakładamy, że gdy wypłata amerykańska jest realizowana w momencie $\tau$ , to pozycja w aktywie jest w tym momencie zamykana i wszystko co pozostaje, jest wkładane na rachunek oszczędnościowy.

Przypomnijmy, że strategia $\varphi=(\varphi^{0},\varphi^{1})$ jest samofinansującą się w modelu Blacka-Scholesa, gdy proces bogactwa $V_{t}(\varphi)=\varphi _{t}^{1}S_{t}+\varphi _{t}^{0}B_{t}$ spełnia

$V_{t}(\varphi)=V_{0}(\varphi)+\int _{0}^{t}\varphi _{u}^{1}dS_{u}+\int _{0}^{t}\varphi _{u}^{0}dB_{u}.$

Wprowadziliśmy nowy instrument bazowy, którym możemy handlować na rynku, opcje amerykańskie. Gdy oznaczymy przez $\varphi^{2}$ liczbę opcji w portfelu, to strategię ,,kup i trzymaj” zapiszemy wzorem $\varphi _{t}^{2}=c{\bf 1}_{{[0,\tau)}}(t)$ .

Gdy $U_{0}$ jest wartością w chwili 0 opcji amerykańskiej z wypłatą $X^{a}$ , to wartości portfela $\bar{\varphi}=(\varphi,c,\tau)=(\varphi^{0},\varphi^{1},\varphi^{2})$ w momencie początkowym i końcowym wynoszą:

	$\displaystyle V_{0}(\bar{\varphi})$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\varphi _{0}^{0}+\varphi _{0}^{1}S_{0}+cU_{0},$		(11.2)
	$\displaystyle V_{T}(\bar{\varphi})$	$\displaystyle=$	$\displaystyle e^{{rT}}\Big(\varphi _{{\tau}}^{{0}}+e^{{-r\tau}}\varphi _{{\tau}}^{1}S_{{\tau}}+e^{{-r\tau}}cg(S_{{\tau}},\tau))\Big)=e^{{rT}}\varphi _{T}^{{0}}.$		(11.3)

Mówimy, że portfel samofinansującej się $\bar{\varphi}$ jest dopuszczalny, gdy $\varphi$ jest strategią dopuszczalną. Klasę strategii dopuszczalnych oznaczymy przez $\Psi$ . Definiujemy klasę portfeli arbitrażowych:

$\mathcal{A}\stackrel{\rm df}{=}\{\bar{\varphi}:V_{0}(\bar{\varphi})<0,V_{T}(\bar{\varphi})\geq 0,\bar{\varphi}\hbox{\rm\ strategia dopuszczalna}\}.$

Równoważnie jest to klasa portfeli dopuszczalnych $\bar{\varphi}$ , takich że

$V_{0}(\bar{\varphi})=0,\quad V_{T}(\bar{\varphi})\geq 0,\quad P(V_{T}(\bar{\varphi})>0)>0,$

bo istnieje rachunek oszczędnościowy ze stopą procentową $r\geq 0$ .

Definicja 11.3

Na rynku $(B,S,X^{a},{\Psi})$ z ceną początkową $U_{0}$ wypłaty $X^{a}$ istnieje arbitraż, gdy zachodzi jeden z warunków $(a)$ , $(b)$ :

a) istnieje arbitraż związany z pozycją długą (tj. posiadacza opcji amerykańskiej), czyli gdy istnieje moment stopu $\tau\in{\cal T}_{{[0,T]}}$ taki, że dla pewnego $\varphi$ strategia $\psi=(\varphi,1,\tau)\in\mathcal{A}$ ,
b) istnieje arbitraż związany z pozycją krótką (tj. wystawcy opcji amerykańskiej), czyli gdy istnieje $\varphi$ strategia taka, że dla wszystkich momentów stopu $\tau\in{\cal T}_{{[0,T]}}$ strategia $\psi=(\varphi,-1,\tau)\in\mathcal{A}.$

Gdy nie istnieje arbitraż, to mówimy, że model jest wolny od arbitrażu.

Te dwa rodzaje arbitrażu wynikają z niesymetrycznej pozycji sprzedawcy i nabywcy opcji amerykańskiej. Nabywca może wybrać termin wykonania, a sprzedawca musi zabezpieczyć wypłatę.

Z definicji wynika, że na rynku nie ma arbitrażu, gdy zachodzą dwa warunki:

a) dla wszystkich $\varphi$ i wszystkich $\tau$ mamy $(\varphi,1,\tau)\not\in\mathcal{A}$ ,
oraz
b) dla każdego $\varphi$ istnieje $\tau$ takie, że $(\varphi,-1,\tau)\not\in\mathcal{A}.$

Punkt a) mówi, że posiadacz opcji amerykańskiej nie może znaleźć momentu wykonania opcji $\tau$ i strategii $\varphi$ działania na rynku akcji i rachunku bankowego dających zysk bez ryzyka. Natomiast punkt b) oznacza, że niezależnie od tego, jaką politykę prowadzi sprzedawca opcji (czyli niezależnie od $\varphi$ ), nabywca może wybrać taki moment wykonania $\tau$ , że sprzedawca nie ma zysku bez ryzyka.

Definicja 11.4

Ceną arbitrażową opcji amerykańskiej $X^{a}$ nazywamy cenę $U_{0}$ , dla której opisany model rynku jest modelem wolnym od arbitrażu.

Okazuje się, że założenie braku arbitrażu prowadzi do istnienia jednoznacznie wyznaczonej ceny arbitrażowej.

Twierdzenie 11.1

Niech $g{(x,t)}$ będzie funkcją o liniowym wzroście (czyli spełniającą warunek $|g(x,t)|\leq Ax+B)$ . Załóżmy, że na rynku $(B,S,X^{a},{\Psi})$ nie ma możliwości arbitrażu. Wtedy cena arbitrażowa w chwili $t$ opcji amerykańskiej z funkcją wypłaty $g$ jest równa:

$\Pi^{a}_{t}(X^{a})=essup_{{\tau\in{\cal T}_{{[t,T]}}}}E_{{P^{*}}}(e^{{-r(\tau-t)}}g(S_{{\tau}},\tau)|{\cal F}_{t}),$

(11.4)

gdzie $P^{*}$ jest miarą martyngałową dla rynku Blacka-Scholesa $(B,S,\Phi(P^{*}))$ .

Przypomnijmy, że supremum istotne rodziny zmiennych losowych $\{\zeta _{{\alpha}}\} _{{\alpha\in A}}$ jest to jedyna zmienna losowa $\eta$ (ozn. $\eta=essup_{{\alpha\in A}}\zeta _{{\alpha}}$ ) o własnościach:

a) $\zeta _{{\alpha}}\leq\eta$ $P$ -p.n. dla każdego $\alpha$ ,
b) jeśli $\zeta _{{\alpha}}\leq\gamma$ $P$ -p.n. dla każdego $\alpha$ , to $P(\eta\leq\gamma)=1.$

Idea dowodu tw. 11.1 jest analogiczna do idei dowodu twierdzenia podającego cenę arbitrażową wypłaty amerykańskiej dla modelu z czasem dyskretnym. Korzysta się z ogólnych faktów z teorii optymalnego stopowania. Gdy $Z_{t}^{*}=e^{{-rt}}g(S_{t},t)$ jest zdyskontowanym procesem wypłaty, to dowodzimy, że obwiednia Snella procesu $Z^{*}$ , czyli najmniejszy nadmartyngał majoryzujący $Z^{*}$ , jest postaci

$I_{{t}}=essup_{{\tau\in{\cal T}_{{[t,T]}}}}E_{{P^{*}}}(Z_{\tau}^{*}|{\cal F}_{t})$

i daje nam cenę arbitrażową $\Pi _{t}$ . Ponadto moment wykonania zadany jest wzorem:

$\tau _{t}=\inf\{ u\in[t,T]\:\ I_{u}=Z_{u}^{*}\}.$

W szczególności

$\Pi _{0}=\sup _{{\tau\in{\cal T}_{{[0,T]}}}}E_{{P^{*}}}(e^{{-r\tau}}g(S_{{\tau}},\tau)),$

a optymalny moment wykonania

$\tau _{0}=\inf\{ u\in[0,T]\ :I_{u}=e^{{-ru}}g(S_{u},u)\}.$

Szczegóły techniczne można znaleźć w Myneni [Myn], Karatzas [Kar]. Warto zauważyć, że zachodzi też twierdzenie odwrotne: warunek

$U_{0}=\sup _{{\tau\in{\cal T}_{{[0,T]}}}}E_{{P^{*}}}(e^{{-r\tau}}g(S_{{\tau}},\tau))$

implikuje, że na rynku $(B,S,X^{a},{\Psi})$ nie ma możliwości arbitrażu (patrz ćw. 11.2).

Można udowodnić (patrz ćw. 11.1), że istnieje portfel dopuszczalny $\varphi$ , spełniający warunki: $V_{0}(\varphi)=U_{0}$ i

$V_{t}(\varphi)\geq g(S_{t},t),$

(11.5)

czyli $\varphi$ jest portfelem zabezpieczającym opcję amerykańską z kapitałem początkowym równym cenie opcji amerykańskiej. Dla tego portfela zachodzi

$V_{{\tau _{0}}}(\varphi)=g(S_{{\tau _{0}}},\tau _{0}).$

Ze wzoru (11.4) wynika, analogicznie jak w przypadku dyskretnym, że cena opcji amerykańskiej o wypłacie $(Z_{t})_{{t\leq T}}$ jest nie mniejsza niż cena opcji europejskiej o wypłacie $Z_{T}$ . Ponadto

Twierdzenie 11.2

Europejska opcja kupna i standardowa amerykańska opcja kupna o tym samym terminie zapadalności i tej samej cenie wykonania mają równe ceny.

Załóżmy, że $t=0$ (dla $t>0$ dowód jest analogiczny). Niech $Z_{t}=g^{C}(S_{t})$ , gdzie $g^{C}(x)=(x-K)^{+}.$ Wtedy z (11.4)

$C_{0}=E_{{P^{*}}}(e^{{-rT}}(S_{T}-K)^{+})\leq\Pi _{0}^{a}(X^{a}),$

zatem by zakończyć dowód trzeba pokazać nierówność przeciwną. Wystarczy pokazać, że dla dowolnego momentu stopu $\tau\leq T$ zachodzi:

$E_{{P^{*}}}(e^{{-r\tau}}(S_{{\tau}}-K)^{+})\leq C_{0}=E_{{P^{*}}}(e^{{rT}}(S_{T}-K)^{+}),$

(11.6)

gdyż stąd $\Pi _{0}^{a}(X^{a})\leq C_{0}$ . Ponieważ $S^{*}_{t}=\frac{S_{t}}{e^{{rt}}}$ jest $P^{*}$ -martyngałem, $r\geq 0$ , $\tau\leq T$ , więc

$S^{*}_{{\tau}}-e^{{-r\tau}}K\leq S^{*}_{\tau}-e^{{-rT}}K=E_{{P^{*}}}(S^{*}_{T}-e^{{-rT}}K|{\cal F}_{\tau})\leq E_{{P^{*}}}(S^{*}_{T}-e^{{-rT}}K)^{+}|{\cal F}_{\tau}).$

Prawa strona jest nieujemna, więc stąd

$(S^{*}_{{\tau}}-e^{{-r\tau}}K)^{+}\leq E_{{P^{*}}}((S^{*}_{T}-e^{{-rT}}K)^{+}|{\cal F}_{{\tau}}).$

Biorąc wartość oczekiwaną obu stron otrzymujemy (11.6).

∎

Uwaga 11.1

Warto prześledzić inne rozumowanie prowadzące do tego wyniku. Gdy $\ t<T$ , to z parytetu dla cen opcji europejskich

$\Pi^{a}_{t}(g^{c})\geq C_{t}=S_{t}-Ke^{{-r(T-t)}}+P_{t}>(S_{t}-K)^{+},$

więc wartość amerykańskiej opcji kupna w chwili $t$ jest większa niż zysk z jej realizacji w chwili $t$ , czyli nie opłaca się realizować opcji przed jej wygaśnięciem.

Z tw. 11.2 wynika, że dla znalezienia ceny amerykańskiej opcji kupna możemy korzystać ze wzoru Blacka-Scholesa na cenę europejskiej opcji kupna.

W przypadku opcji sprzedaży cena amerykańska opcji jest różna od ceny europejskiej. Ma różne dobre własności, ale nie istnieje postać jawna ceny amerykańskiej opcji sprzedaży. Do wyliczenia tej ceny stosuje się inne metody: metody Monte Carlo, metody quasi Monte Carlo, metody aproksymacji modelem CRR lub metody numeryczne związane z rozwiązywaniem równań różniczkowych cząstkowych.

11.2. Opcje egzotyczne

Są to opcje inne niż standardowe opcje kupna/sprzedaży europejskie i amerykańskie (które z kolei nazywa się opcjami waniliowymi). Zatem opcje egzotyczne mają funkcje wypłaty inne niż funkcje wypłaty związane z opcjami waniliowymi. Nie zawsze znajdują się one w obrocie giełdowym, są raczej opcjami na zamówienie (over the counter options). Są oferowane przez instytucje finansowe dla swoich klientów. Opiszemy przykładowo kilka najczęściej pojawiających się rodzajów takich opcji. Wyceny tych opcji pozostawimy jako zadanie (często bardzo trudne, jak w przypadku opcji azjatyckich).

1. Niestandardowe opcje amerykańskie, które opisaliśmy w poprzednim paragrafie.

2. Opcje bermudzkie (Bermudan options). Są to opcje, które mogą być realizowane tylko w pewne dni (zatem opcje te, obrazowo mówiąc, tworzą pomost pomiędzy opcjami europejskimi i amerykańskimi). Można je traktować jako specyficzny rodzaj opcji amerykańskich, dla których funkcja wypłaty $g(x,t)=0$ dla tych chwil $t$ , kiedy opcji nie możemy zrealizować.

3. Opcje startujące w przyszłości (forward start options). Niech $t_{0}\in(0,T)$ . W chwili $t_{0}$ jedna strona kontraktu otrzymuje opcję z terminem wygaśnięcia $T$ i ceną wykonania $S_{{t_{0}}}$ i płaci za to drugiej stronie w chwili zero. Przykładowo, dla opcji kupna startującej w przyszłości wypłata wynosi $X=(S_{T}-S_{{t_{0}}})^{+}.$

4. Opcje wyboru (chooser options, as-you-like-it options). Opcja, której właściciel w określonej chwili $t_{0}$ w przyszłości ma prawo zdecydować czy chce, żeby była to opcja sprzedaży czy kupna (czas realizacji $T$ i cena wykonania $K$ są określone z góry w momencie sprzedaży opcji). Właściciel opcji w chwili $t_{0}$ wybiera opcję o większej wartości, stąd wartość tej opcji w chwili $t_{0}$ wynosi

$\displaystyle Z$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\max(C(S_{{t_{0}}},t_{0},T,K),\ P(S_{{t_{0}}},t_{0},T,K))=$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle\max(C(S_{{t_{0}}},t_{0},T,K),\ \ C(S_{{t_{0}}},t_{0},T,K)+Ke^{{-r(T-t_{0})}}-S_{{t_{0}}})=$
	$\displaystyle=$	$\displaystyle C(S_{{t_{0}}},t_{0},T,K)+\max(0,Ke^{{-r(T-t)}}-S_{{t_{0}}}),$

co pozwala łatwo ją wycenić.

5. Opcje binarne (binary options). Są to opcje, których wypłata zależy w sposób nieciągły od ceny instrumentu pierwotnego $S_{T}$ w momencie wykonania opcji $T$ .

Przykład 11.1

a) Opcja pieniądze albo nic (opcja cash or nothing).

Dla tej opcji wypłata $X$ w chwili wygaśnięcia $T$ wynosi:

— dla binarnej opcji kupna $X=Z{\bf 1}_{{\{ S_{T}>K\}}}$ ,

— dla binarnej opcji sprzedaży $X=Z{\bf 1}_{{\{ S_{T}<K\}}}$ ,

gdzie stałe $Z$ i $K$ zostały ustalone z góry.

b) Opcja walor albo nic (opcja asset or nothing).

Dla tej opcji wypłata $X$ w chwili wygaśnięcia $T$ wynosi:

— dla opcji kupna $X=S_{T}{\bf 1}_{{\{ S_{T}>K\}}}$ ,

— dla opcji sprzedaży $X=S_{T}{\bf 1}_{{\{ S_{T}<K\}}}$ ,

gdzie stała $K$ została ustalone z góry.

Zauważmy, że opcje powyższe można porównać do zakładu, czy cena waloru jest większa czy nie od z góry ustalonego progu $K$ . Opcja kupna daje niezerową wypłatę, gdy cena instrumentu pierwotnego $S_{T}$ jest większa niż stała $K$ (cena wykonania), natomiast opcja sprzedaży daje zysk, gdy $S_{T}<K$ .

Takie opcje na ogół łatwo wyceniać (patrz ćw. 11.5). Inna spotykana nazwa takich opcji to opcje cyfrowe (digital).

6. Opcje zależne od trajektorii (path-dependent options). Są to opcje, dla których funkcja wypłaty zależy od cen akcji w całym okresie trwania kontraktu, tj. $X=f(S.)$ , gdzie $f$ jest funkcją rzeczywistą określona na przestrzeni funkcji ciągłych $C[0,T]$ (dla ustalonej $\omega$ trajektoria procesu cen $S.(\omega)$ należy do przestrzeni $C[0,T]$ ).

a) Przykład takich opcji stanowią opcje azjatyckie, dla których wypłata zależy od średniej ceny waloru w określonym przedziale czasowym $[t_{0},T]$ . Są one bardzo popularne na rynku, gdyż są tańsze do odpowiadających im standardowych opcji europejskich, są użyteczne na rynkach o małej płynności, a więc na rynkach o większym ryzyku, a ponadto branie średniej zabezpiecza przed manipulacją cenami blisko daty wygaśnięcia opcji. Wypłatą z opcji kupna jest $X=\max(0,S_{{sr}}-K)$ , a z opcji sprzedaży $X=\max(0,K-S_{{sr}})$ , gdzie $K$ jest ceną realizacji opcji, a $S_{{sr}}$ średnią cena waloru. Są różne sposoby obliczania średniej $S_{{sr}}$ np. dla kontraktu zawartego na $n$ dni można wziąć $S_{{sr}}$ jako średnią arytmetyczną z cen zamknięcia w $i$ -tym dniu $i=1,2,\dots,n$ , czyli $S_{{sr}}=\frac{1}{n}\sum _{{i=1}}^{n}S(\frac{i}{N})$ , gdzie $N$ to liczba dni handlu w roku (zwykle przyjmuje się $N$ równe 252), ale też można wziąć jako $S_{{sr}}$ średnią geometryczną. Rozważa się też opcje ze średnimi ,,ciągłymi”:

— średnią arytmetyczną $S_{{sr}}=\frac{1}{T-t_{0}}\ \int _{{t_{0}}}^{T}S(t)dt$ ,

— średnią geometryczną $S_{{sr}}=\exp\Big(\frac{1}{T-t_{0}}\ \int _{{t_{0}}}^{T}\ln S(t)dt\Big)$

(te średnie otrzymujemy przez przejście graniczne dla średnich liczonych w sposób dyskretny). Opcje opisane powyżej są to opcje azjatyckie I rodzaju (average value Asian option). Rozważa się też opcje azjatyckie II rodzaju (average strike Asian option) — są to opcje o wypłatach $X=\max(S_{T}-S_{{sr}},0)$ (dla opcji kupna) i $X=\max(0,S_{{sr}}-S_{T})$ (dla opcji sprzedaży).

b) Innym przykładem opcji zależnych od trajektorii są opcje typu lookback (lookback option).

Są to opcje, z których dochód zależy od maksimum lub minimum ceny instrumentu podstawowego. Właściciel opcji kupna typu lookback ma zagwarantowane kupno waloru (akcji) po najniższej cenie, po jakiej walor był sprzedawany w okresie ważności opcji, natomiast właściciel opcji sprzedaży sprzedaje walor po najwyższej cenie w okresie $[0,T]$ . Zatem wypłata z opcji kupna wynosi $X=S_{T}-S_{{min}}$ , a wypłata z opcji sprzedaży to $X=S_{{\max}}-S_{T}$ , gdzie $S_{{\min}}$ , $S_{{\max}}$ są, odpowiednio, najmniejszą i największą ceną instrumentu pierwotnego w ustalonym okresie $[0,T]$ .

7. Opcje barierowe (barrier options). Te opcje są też zależne od trajektorii. Wypłata z tych opcji zależy od tego, czy w ustalonym okresie czasu cena waloru spadnie poniżej pewnej ustalonej wartości, lub/oraz czy cena waloru przekroczy pewną ustaloną wartość. Te ustalone wartości nazywa się barierami. Zasadniczo dzielimy je na opcje wyjścia (knock-out option) i wejścia (knock-in option). Opcje wyjścia przestają istnieć, gdy cena waloru przekroczy pewną ustaloną barierę, a opcje wejścia zaczynają istnieć, gdy cena waloru przekroczy barierę.

Standardowo wypłata z opcji barierowych jest wypłatą z opcji waniliowych, gdy zostanie spełniony warunek związany z barierą. Standardowo dla opcji kupna występują następujące rodzaje opcji:

Opcje, które zostają unieważnione, gdy zachodzi jeden z przypadków:
- cena waloru spadnie poniżej bariery $B$ (opcja down-and-out), wtedy wypłata dla opcji kupna wynosi: $X=(S_{T}-K)^{+}{\bf 1}_{{\{\min _{{t\leq T}}S_{t}\geq B\}}}$ ,
- cena waloru przekroczy barierę $B$ (opcja up-and-out), wtedy wypłata dla opcji kupna wynosi: $X=(S_{T}-K)^{+}{\bf 1}_{{\{\max _{{t\leq T}}S_{t}\leq B\}}}$ .
Opcje, które uzyskują ważność, gdy zachodzi jeden z przypadków:
- cena waloru przekroczy barierę $B$ (opcja up-and-in), wtedy wypłata dla opcji kupna wynosi: $X=(S_{T}-K)^{+}{\bf 1}_{{\{\max _{{t\leq T}}S_{t}\geq B\}}}$ ,
- cena waloru spadnie poniżej bariery $B$ (opcja down-and-in), wtedy wypłata dla opcji kupna wynosi: $X=(S_{T}-K)^{+}{\bf 1}_{{\{\min _{{t\leq T}}S_{t}\leq B\}}}$ .

Warto zauważyć, że suma wypłat z opcji typu up, jak i typu out są równe wypłacie ze standardowej opcji kupna.

Analogicznie określone są standardowe opcje barierowe związane z opcją sprzedaży.

Istnieje też wiele innych opcji tego typu (tzw. opcje kombinowane) np. opcja o wypłacie

$X=f(S_{.})=(\max _{{t\leq T}}S_{t}-S_{T})^{+}{\bf 1}_{{\{\max _{{t\leq T}}S_{t}\leq B}}\}.$

8. Opcje z nieliniową wypłatą. Są to opcje, których wypłata jest nieliniową funkcją ceny instrumentu pierwotnego $S_{T}$ w momencie wykonania opcji $T$ , zatem opcje kupna są to opcje o wypłacie $X=(h(S_{T})-K)^{+}$ , gdzie $h$ jest dowolną nieliniową funkcją np. opcja potęgowa z parametrem $\alpha$ jest to opcja dla której $h(x)=x^{{\alpha}}$ , $\alpha>0$ , $\alpha\neq 1$ .

Istnieje wiele innych opcji egzotycznych, m.in. złożone, kwantylowe, koszykowe. Więcej na ten temat można znaleźć np. w książkach Kwoka [Kwok] oraz A. Werona i R. Werona [Wer].

Jak już wspominaliśmy, wycena opcji egzotycznych jest na ogół trudnym zadaniem i bardzo często otrzymuje się formuły niejawne. Czasem można znaleźć wzór analityczny, np. dla opcji potęgowej z parametrem $\alpha$ otrzymujemy

$\Pi _{0}((S_{T}^{{\alpha}}-K)^{+})=\exp\Big[\Big(\alpha-1)\Big(r+\frac{\alpha\sigma^{2}}{2}\Big)T\Big]C(S_{0}^{{\alpha}},T,K,\alpha\sigma,r_{{\alpha}}),$

gdzie $r_{\alpha}=\alpha(r-\frac{\sigma^{2}}{2})+\frac{\alpha^{2}\sigma^{2}}{2}$ (patrz ćw. 11.3).

Nie potrafimy już jednak znaleźć jawnych wzorów na cenę opcji nieliniowej o bardziej skomplikowanej postaci funkcji $h$ . W takich przypadkach często stosuje się metody symulacyjne opierające się na mocnym prawie wielkich liczb. Zwykle takie wypłaty wycenia się za pomocą symulacji komputerowych i procedur numerycznych bazujących na przybliżaniu geometrycznego ruchu Browna przez model CRR.

Jak wiemy, osiągalna wypłata $X$ w chwili $T$ ma w chwili 0 cenę $\Pi _{0}(X)=e^{{-rT}}E_{{P^{*}}}X$ . Zatem, aby znaleźć cenę wypłaty $X$ , należy obliczyć wartość oczekiwaną $E_{{P^{*}}}X$ przy mierze martyngałowej $P^{*}$ . Do wyliczenia tej wartości oczekiwanej używamy metod Monte Carlo. Symulujemy przebieg trajektorii procesu ceny instrumentu bazowego $S$ w skończonej liczbie punktów (korzystamy z tego, że przy mierze martyngałowej $P^{*}$ ceny $S$ mają rozkład normalny (wzór (9.16)), który znamy, gdy znamy $r$ i $\sigma$ ). Następnie obliczamy wartość wypłaty $X$ przy tej realizacji trajektorii i otrzymujemy liczbę $x_{1}$ . Powtarzamy to postępowanie niezależnie $m$ razy i otrzymujemy z tej symulacji ciąg wypłat $x_{1},x_{2},\dots,x_{m}$ . Korzystając z mocnego prawa wielkich liczb otrzymujemy, że cena wypłaty wynosi w przybliżeniu

$\Pi _{0}(X)=e^{{-rT}}E_{{P^{*}}}X\approx e^{{-rT}}\frac{1}{m}\sum _{{i=1}}^{m}x_{i}.$

Przykład 11.2

Prześledzimy to rozumowanie na przykładzie opcji lookback

$X=S_{T}-\min _{{t\leq T}}S_{t}.$

Zaczynamy od wyznaczenia trajektorii ceny akcji. Termin do wykonania opcji dzielimy na $n$ równych odcinków czasu. Niech $Y_{i}$ będzie ceną na końcu i-tego odcinka, $i=1,\dots,n$ , $Y_{0}=s$ . Wtedy, jak wiemy z (9.16)

$\frac{Y_{i}}{Y_{{i-1}}}=e^{{U_{i}}},$

gdzie $U_{i}$ ma rozkład normalny

$U_{i}\sim{\cal N}\Big(\Big(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\Big)\tau,\sigma^{2}\tau\Big),$

przy czym $\tau$ jest długością odcinka czasu liczoną w skali roku, $T=n\tau$ . Ponadto $U_{1},U_{2},\dots,U_{n}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi. Stąd

$Y_{n}=Y_{{n-1}}e^{{U_{n}}}=Y_{{n-2}}e^{{U_{{n-1}}}}e^{{U_{n}}}=\dots=se^{{U_{1}+U_{2}+\dots+U_{n}}}.$

(11.7)

Za pomocą tego przedstawienia wyliczamy trajektorie cen. Najpierw generujemy wyniki $n$ niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie
${\cal N}((r-\frac{\sigma^{2}}{2})\tau,\sigma^{2}\tau)$ i otrzymujemy ciąg realizacji $u_{1},u_{2},\dots,u_{n}$ . Następnie wyliczamy ceny na końcu każdego odcinka czasu korzystając z (11.7):

$y_{0}=s,\ y_{1}=ye^{{u_{1}}},\ y_{2}=y_{1}e^{{u_{2}}},\ \dots,y_{n}=y_{{n-1}}e^{{u_{n}}}.$

Dla tej konkretnej realizacji cen obliczamy zdyskontowaną wartość opcji lookback:

$x_{1}=e^{{-rT}}(y_{n}-\min _{{i\leq n}}y_{i}).$

Powtarzamy tę procedurę $m$ razy otrzymując ciąg wyników $x_{1},x_{2},\dots,x_{m}$ i bierzemy ich średnią arytmetyczną jako estymator Monte Carlo ceny opcji.

Klasyczna metoda Monte Carlo jest nieefektywna, więc stosuje się jej ulepszenia, ale idea wyceny pozostaje ta sama. Więcej informacji na ten temat, a także na temat innych metod numerycznych stosowanych w finansach, czytelnik może znaleźć w monografiach Glassermana [Gla], Jäckela [Ja] i Seydela [Sey].

11.3. Zagadnienia i zadania na ćwiczenia

Ćwiczenie 11.1

Udowodnić, że istnieje portfel dopuszczalny $\varphi$ o kapitale początkowym $U_{0}$ zabezpieczający wypłatę związaną z opcją amerykańską, tj. $V_{t}(\varphi)\geq g(S_{t},t)$ . Udowodnić, że dla tego portfela zachodzi równość

$V_{{\tau _{0}}}(\varphi)=g(S_{{\tau _{0}}},\tau _{0}),$

gdzie $\tau _{0}$ jest optymalnym momentem wykonania.

Rozwiązanie:

Z tw. Dooba-Meyera $I_{t}=M_{t}-A_{t}$ , gdzie $M$ jest martyngałem, $A$ — procesem rosnącym prognozowalnym, $A_{0}=0$ . Z tw. o reprezentacji martyngału

$I_{t}=I_{0}+\int _{0}^{t}\theta _{s}d{\bar{W}}_{s}$

dla pewnego procesu $\theta$ całkowalnego względem ${\bar{W}}$ .

Strategia

$\varphi^{0}=I_{t}-\sigma^{{-1}}\theta _{t},\qquad\varphi^{1}=e^{{rt}}\sigma^{{-1}}\theta _{t}S_{t}^{{-1}}$

(11.8)

spełnia warunki zadania. Istotnie, z (11.4)

$V_{t}(\varphi)=e^{{rt}}I_{t}=\Pi^{a}_{t}(X^{a})\geq g(S_{t},t),$

a dla $\tau _{0}$ optymalnego momentu wykonania zachodzi równość.

Ćwiczenie 11.2

Udowodnić, że warunek

$U_{0}=\sup _{{\tau\in{\cal T}_{{[0,T]}}}}E_{{P^{*}}}(e^{{-r\tau}}g(S_{{\tau}},\tau))$

implikuje brak arbitrażu na rynku $(B,S,X^{a},{\Psi})$ .

Rozwiązanie:

Nie wprost. Niech cena opcji amerykańskiej $C^{a}$ spełnia $C^{a}>U_{0}$ (opcja jest na rynku przewartościowana).

Skonstruujemy arbitraż związany z pozycją krótką. Weźmy strategię $\varphi$ daną wzorem (11.8) i strategię ,,kup i trzymaj” $(-1,\tau)$ , gdzie $\tau\in{\cal T}_{{[t,T]}}$ jest dowolnym momentem stopu. Niech strategia $\bar{\psi}=(\psi^{0},\psi^{1},\psi^{2})$ będzie zadana wzorem:

$\displaystyle\psi^{0}_{t}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\varphi _{t}^{0}{\bf 1}_{{[0,\tau]}}(t)+{\bf 1}_{{(\tau,T]}}\Big(\varphi _{{\tau}}^{{0}}+e^{{-r\tau}}\varphi _{{\tau}}^{1}S_{{\tau}}-e^{{-r\tau}}g(S_{{\tau}},\tau))\Big),$
$\displaystyle\psi^{1}_{t}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\varphi _{t}^{1}{\bf 1}_{{[0,\tau]}}(t),$
$\displaystyle\psi^{2}_{t}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle-{\bf 1}_{{[0,\tau]}}(t).$

Ponieważ $\varphi$ spełnia (11.5), więc

$V_{T}(\bar{\psi})=\ e^{{rT}}\psi^{0}_{T}\geq 0\ \hbox{p.n.},$

a ponadto

$V_{0}(\bar{\psi})=\ \psi _{0}^{0}+\psi _{0}^{1}S_{0}+\psi _{0}^{2}C^{a}=U_{0}-C^{a}<0.$

Zatem strategia $\bar{\psi}$ jest arbitrażem.

Rozpatrzymy teraz przypadek $C^{a}<U_{0}$ (opcja na rynku jest niedowartościowana).

Możemy założyć, że nabywca opcji zachowuje się racjonalnie i wybiera optymalny moment realizacji opcji. Gdy wybierze on portfel $-\bar{\psi}$ , to

$V_{0}(-\bar{\psi})=C^{a}-U_{0}<0$

i z określenia optymalnego momentu realizacji opcji wynika, że $V_{T}(\bar{\psi})=0$ .

Ćwiczenie 11.3

Wycenić opcję potęgową

Ćwiczenie 11.4

W modelu Blacka-Scholesa wycenić na chwilę $t=0$ opcje binarne płacące:

a) $X=Z\cdot{\bf 1}_{{\{ S_{T}>K\}}}$ ,

b) $H=\frac{S_{T}}{K_{1}}{\bf 1}_{{\{ K_{1}\leq S_{T}<K_{2}\}}}$ ,

c) $(S_{T}-Z){\bf 1}_{{\{ S_{T}<K\}}}$ ,

gdzie $K,Z,K_{1}<K_{2}$ są stałymi.

Rozwiązanie:

Jak wiemy z uwagi 9.2, cena $S_{T}=S_{0}e^{Y}$ , gdzie

$Y\sim N\Big(\Big(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\Big)T,\sigma^{2}T\Big),$

a stąd a)

	$\displaystyle\Pi _{0}(X)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle Z~e^{{-rT}}P^{}(S_{T}>K)=Ze^{{-rT}}P^{}(-Y<lnS_{0}-lnK)=$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle Z~e^{{-rT}}N\Big(\frac{\ln S_{0}-lnK+\big(r-\frac{\sigma^{2}}{2}\big)T}{\sigma\sqrt{T}}\Big).$

	$\displaystyle\Pi _{0}(H)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\frac{e^{{-rT}}}{K_{1}}E_{{P^{*}}}(S_{T}{\bf 1}_{{\{ K_{1}\leq S_{T}<K_{2}\}}})=$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle e^{{-rT}}\frac{S_{0}}{K_{1}}E_{{P^{*}}}(e^{Y}{\bf 1}_{{\{ K_{1}\leq S_{0}\ln e^{Y}<K_{2}\}}})=\frac{S_{0}}{K_{1}}[N(M_{{K_{1}}})-N(M_{{K_{2}}})],$

gdzie $M_{{K_{1}}}=\frac{\ln S_{0}-\ln K+(r+\frac{1}{2}\sigma^{{2}})T}{\sigma\sqrt{T}}$ i $M_{{K_{2}}}=\frac{\ln S_{0}-\ln K+(r-\frac{1}{2}\sigma^{{2}})T}{\sigma\sqrt{T}}$ . Ostatnią równość można otrzymać np. metodą zamiany miary, jak w dowodzie tw. Blacka.

Ćwiczenie 11.5

W modelu Blacka-Scholesa wycenić na chwilę $t=0$ opcje binarne płacące:

a) $X={\bf 1}_{{\{ S_{T}>K\}}}$ ,

b) $H={\bf 1}_{{\{ S_{T}\leq K\}}}$ .

Wyprowadzić wzór łączący te dwie ceny.

Ćwiczenie 11.6

Znaleźć w chwili $t\leq t_{0}$ cenę zmodyfikowanej opcji startującej w przyszłości, czyli opcji o wypłacie $X=(S_{T}-\alpha S_{{t_{0}}})^{+}$ , gdzie stała $\alpha>0$ .

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Modele matematyczne rynków instrumentów pochodnych I

Zagadnienia

11. Opcje amerykańskie i egzotyczne w modelu Blacka-Scholesa

11.1. Opcje amerykańskie

Definicja 11.1

Definicja 11.2

Definicja 11.3

Definicja 11.4

Twierdzenie 11.1

Twierdzenie 11.2

Uwaga 11.1

11.2. Opcje egzotyczne

Przykład 11.1

Przykład 11.2

11.3. Zagadnienia i zadania na ćwiczenia

Ćwiczenie 11.1

Ćwiczenie 11.2

Ćwiczenie 11.3

Ćwiczenie 11.4

Ćwiczenie 11.5

Ćwiczenie 11.6