Zaczniemy od odpowiedzi na postawione w rozdziale I pytania o wycenę
i zabezpieczenie na przykładzie najprostszego rynku finansowego.
Jest to rynku jednookresowy dwustanowy. Na tym rynku transakcje
odbywają się w dwu chwilach: i
oraz są możliwe dwa
scenariusze wypadków, zatem przestrzeń zdarzeń elementarnych to
. Zwykle umawiamy się, że
oznacza sytuację interpretowaną jako korzystna, zaś
jako
niekorzystna. Ponadto
, a prawdopodobieństwo
(tzw. prawdopodobieństwo rzeczywiste) jest takie, że
,
.
Na rynku istnieją dwa papiery wartościowe: jeden ryzykowny (np. akcje) i drugi pozbawiony ryzyka — inwestycja polegająca na włożeniu pieniędzy na rachunek bankowy. Ryzyko rozumiemy tu jako niemożność przewidzenia ceny w przyszłości, zależy ona od zajścia konkretnego scenariusza. Niech:
oznacza cenę papieru ryzykownego (za jedną jednostkę)
w chwili
,
oznacza cenę papieru bez ryzyka (za jedną jednostkę)
w chwili
,
gdzie . Zakładamy, że stopa procentowa jest stała
i nieujemna, zatem wynosi
(
) w okresie czasu od 0 do
, czyli w naszym przypadku mamy
![]() |
(2.1) |
Natomiast
![]() |
(2.2) |
bowiem przyjmuje dwie wartości, gdyż mamy do czynienia
z dwoma scenariuszami. Możemy bez straty ogólności przyjąć, że
(dlatego
nazwaliśmy scenariuszem
korzystnym). Cenę
możemy zapisać w innej, przydatnej czasami
postaci:
![]() |
(2.3) |
gdzie wskazuje, o ile procent zmieniła się cena początkowa,
![]() |
Pierwsza próba wyceny kontraktu związana jest z wykorzystaniem metod matematyki ubezpieczeniowej. Zaprezentujemy ją na przykładzie.
Aktywo ryzykowne kosztuje w chwili
.
Zakładamy, że możliwe (i jednakowo prawdopodobne) są dwa scenariusze
wydarzeń do chwili
; cena aktywa ryzykownego w chwili
może
wynieść
lub
. Wiemy także,
że cena aktywa bez ryzyka jest równa
na początku okresu
i
na końcu. Interesuje nas, jak wycenić opcję kupna dającą
wypłatę końcową
, gdy
.
a) Skorzystamy z metod matematyki ubezpieczeniowej. Dla ustalonego
scenariusza wartość dzisiejsza strumienia pieniędzy jest równa sumie
zdyskontowanych przepływów.
Zatem możemy przypuszczać, że cena opcji jest wartością obecną
opcji, a tę liczymy jako wartość oczekiwaną zdyskontowanej wypłaty.
Wobec tego cena opcji jest równa
![]() |
ponieważ i
.
Tak wyliczona cena opcji jest równa , ale nikt rozsądny nie
będzie kupował opcji za tę cenę, gdyż lepiej kupić za te pieniądze
akcji. Wynika to z faktu, że gdy cena akcji wzrośnie, to
akcji jest warte
, a opcja daje wypłatę 5, a gdy cena akcji
wynosi
, to opcja jest bezwartościowa.
Inwestycja w akcje daje zawsze większy zysk niż opcja. Przy tej
wycenie na rynku pojawiła się możliwość uzyskania zysku bez ryzyka.
Sprzedajemy opcje i za uzyskane pieniądze kupujemy akcje. Nie
zainwestowaliśmy żadnych własnych pieniędzy, a w chwili 1 mamy pewny
zysk.
b) Poprzednia sytuacja wynikła z przyjęcia założenia, że oba
scenariusze wydarzeń są równoprawdopodobne. Załóżmy, że scenariusze
mają różne szanse realizacji. Niech scenariusz niekorzystny ma 3
razy większe szanse zajścia. Wtedy ,
i
![]() |
Jeśli inny inwestor będzie miał inne wyobrażenie o rzeczywistości
i przyjmie na przykład, że , to wtedy
.
Tu oczywiście widać, że tak wyznaczona wielkość zależy od wyboru
prawdopodobieństwa , zatem od oszacowania rynku przez inwestora.
Gdy dla innego inwestora oszacowanie szans zmian na rynku
jest
inne, to i wartość zdyskontowana wypłaty będzie inna. Która wielkość
uznać za cenę? Czym jest cena?
Zajmiemy się teraz znalezieniem właściwego sposobu wyceny opcji.
Chcemy wycenić je w zgodzie z cenami aktywa bazowego danymi
przez rynek, a więc szukamy ceny opcji w terminach cen rynkowych
aktywa bazowego.
Jak już zauważyliśmy, opcję europejską można utożsamiać z wypłatą.
Od tej pory każde aktywo pochodne będziemy utożsamiali z wypłatą
generowaną przez to aktywo.
Wypłata zależy od scenariusza, więc
jest zmienną losową.
Dowolną zmienną losową określoną na nazwiemy
wypłatą
w chwili
.
W tym modelu jest oczywiste, że dowolna
wypłata dla pewnego
. Okazuje się, że można dobrze
wycenić wypłatę korzystając z idei portfela replikującego.
Portfelem nazwiemy parę liczb
, gdzie
jest liczbą posiadanych akcji w chwili zero, zaś
jest wysokością wkładu bankowego (ewentualnie wielkością
kredytu, gdy
w chwili zero. Dla przykładu, portfel
oznacza, że w portfelu są cztery akcje, czyli inwestor
kupił 4 akcje i pożyczył 2 z banku (2 jednostki pieniądza). Każda
para
tworzy portfel, co
odzwierciedla fakt, że można handlować dowolną liczbą aktywów (są
one doskonale podzielne), dopuszczenie wartości ujemnych
oznacza, że możemy dowolnie dużo pożyczać, a dopuszczenie wartości
ujemnych
oznacza, że rynek ten dopuszcza także krótką
sprzedaż (short-selling) akcji. Krótka sprzedaż polega na
pożyczeniu i sprzedaży akcji w chwili 0 oraz odkupieniu tej samej
liczby akcji i ich zwrocie w chwili
. Posługując się żargonem
finansowym, mówimy, że inwestor zajął pozycję krótką w akcjach.
Zbiór wszystkich możliwych portfeli oznaczać będziemy przez
.
W modelu, który przyjęliśmy
. Przy innych
założeniach o rynku zbiór wszystkich rozważanych portfeli może mieć
inną postać, np. gdy nie dopuszczamy krótkiej sprzedaży,
a dopuszczamy możliwość wzięcia kredytu to
.
Niech będzie portfelem inwestora.
Wartość (bogactwo) portfela
w chwili
, oznaczane przez
, wynosi dla
i
odpowiednio:
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
Tak jest, gdyż skład portfela ustaliliśmy w chwili początkowej
() i nie ulega on zmianie do chwili końcowej równej
.
Inwestor sprzedający wypłatę musi umieć ją zabezpieczyć, co
oznacza, że wartość portfela, który sprzedający wypłatę zbudował za
otrzymane ze sprzedaży pieniądze musi być w chwili
równa
.
Mówimy, że portfel replikuje wypłatę
, gdy wartość
końcowa portfela jest równa
, czyli
![]() |
dla .
Portfel replikujący jest doskonałym
zabezpieczeniem wypłaty , gdyż eliminuje całkowicie ryzyko
związane z niepewnością, który scenariusz się zrealizuje. Na
pytanie, dla jakich wypłat istnieje portfel replikujący odpowiada
Dla każdej wypłaty istnieje dokładnie
jeden portfel replikujący. Dla wypłaty ma on postać
![]() |
(2.4) |
gdzie ,
.
Portfel replikujący dla
wypłaty
jest zadany przez układ równości:
![]() |
![]() |
![]() |
(2.5) | ||
![]() |
![]() |
![]() |
(2.6) |
i ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem (2.4) dla
dowolnych ,
, zatem dla dowolnej wypłaty portfel jest
wyznaczony jednoznacznie.
Naturalnym jest zdefiniowanie
ceny racjonalnej (godziwej) wypłaty jako początkowej
inwestycji potrzebnej do konstrukcji portfela replikującego, czyli:
Racjonalną ceną w chwili wypłaty
nazywamy liczbę
![]() |
(2.7) |
gdzie jest portfelem replikującym wypłatę
.
Z tej definicji wynika, że racjonalna cena wypłaty nie zależy od
subiektywnych ocen prawdopodobieństw zmian cen akcji, nie zależy
więc od prawdopodobieństwa . Ta cecha ceny racjonalnej pozwala
uznać ją za obiektywny miernik wartości wypłaty w przyjętym modelu.
Należy podkreślić, że w tym modelu wszyscy inwestorzy zgadzają się
co do przyszłych wielkości cen akcji, czyli do tego że ceny mogą
przyjmować dwie znane z góry wartości.
Znaleźć cenę
racjonalną wypłaty .
Korzystając z tw. 2.1 otrzymujemy, że cena
racjonalna wypłaty jest równa
![]() |
(2.8) |
Niech .
Inwestor uważa, że prawdopodobieństwo wzrostu ceny akcji wynosi
, a spadku
.
Akcja kosztująca teraz
za 3 miesiące będzie miała cenę
![]() |
Niech stopa procentowa na depozyt 3-miesięczny wynosi
. Wycenić opcję kupna z ceną wykonania
i momentem
wygaśnięcia za 3 miesiące.
Wypłata z tej opcji ma postać
![]() |
Portfel
replikuje opcję, gdy
, czyli gdy
![]() |
dla i dla
. Zatem dla
wartości podanych w przykładzie otrzymujemy, że portfel
jest portfelem replikującym, gdy
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
Ten układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie:
![]() |
Stąd cena racjonalna wypłaty z opcji jest równa
![]() |
Opisać postępowanie inwestora sprzedającego opcję kupna i chcącego zabezpieczyć wypłatę z opcji. Co się dzieje, gdy opcja jest sprzedawana po cenie innej niż racjonalna?
W chwili inwestor postępuje następująco:
Działanie | rozliczenie |
---|---|
Sprzedaje jedną opcję | ![]() |
Kupuje ![]() |
![]() |
Tworzy depozyt bankowy (ew. bierze kredyt) | ![]() |
Na mocy definicji racjonalnej ceny mamy
![]() |
Zatem koszt początkowy takiego postępowania inwestora sprzedającego opcję jest równy zeru.
W chwili inwestor postępuje następująco:
Działanie | rozliczenie |
---|---|
Realizuje opcję | ![]() |
Sprzedaje akcje | ![]() |
Podejmuje pieniądze z banku (ew. zwraca dług) | ![]() |
Rozliczenie końcowe
![]() |
czyli do tej transakcji nikt nie dołożył. Cena racjonalna wypłaty jest do zaakceptowania dla obu stron.
Gdyby opcja nie była sprzedawana po cenie , a po cenie
, to:
W przypadku, gdy , sprzedający ma pewny zysk
w chwili 0, gdyż wystarczy wydać
by zabezpieczyć wypłatę
dla
kupującego, resztę sprzedający zachowuje dla siebie.
Gdy (koszt zabezpieczenia jest większy niż cena
), to
kupujący ma pewny zysk
w chwili 0, gdyż aby otrzymać
wypłatę
musiałby wydać
, a kupił ją za
.
W obu przypadkach, gdy (tj. cena różni się od ceny
racjonalnej), znajdujemy portfel dający zysk bez żadnego ryzyka
i zajmując odpowiednią pozycję mamy dodatni dochód.
W ten sposób opisaliśmy rynek podając ceny instrumentu
ryzykownego, wartość
jednostki rachunku bankowego i zbiór
możliwych portfeli
. Rynek
jest zatem trójką
![]() |
Na tym rynku potrafimy wycenić każdą wypłatę (czyli każdy instrument
pochodny). Jednak powyższy model rynku trzeba jeszcze poprawić, gdyż
dopuszcza on sytuację, że dla dodatniej wypłaty może się
okazać, że jej cena jest ujemna, czyli
.
Znaleźć przykład rynku i wypłaty , której cena racjonalna jest
ujemna, tj.
.
Korzystamy z postaci ceny, czyli z (2.8). Ponieważ
, więc gdy
, to musi być
lub
. Teraz łatwo dobrać liczby
spełniające warunki zadania, np.
,
,
,
,
,
. Wtedy
. Na
tym rynku możemy osiągnąć zysk bez ryzyka pożyczając 10 jednostek
z banku i kupując za tę kwotę akcję. Wtedy w chwili
sprzedając
akcję otrzymujemy co najmniej 12, a do banku musimy zwrócić 11.
W tej sytuacji można by osiągnąć zysk bez ryzyka za pomocą odpowiedniej strategii. Stąd
Mówimy, że w modelu nie ma możliwości arbitrażu
model
nie dopuszcza możliwości arbitrażu
, gdy nie istnieje portfel
, taki że
![]() |
Portfel , dla którego powyższe warunki są spełnione
nazywamy możliwością arbitrażu.
Zatem model rynku jest wolny od arbitrażu, gdy nie ma
możliwości arbitrażu w klasie portfeli (strategii)
.
Interpretacja portfela arbitrażowego jest klarowna: nie mając nic na
początku, stosując strategię
, na końcu operacji nic nie
stracimy i mamy dodatni zysk dla pewnych scenariuszy.
Istnienie możliwości arbitrażu świadczy o serii poważnych błędów w wycenie instrumentów na rynku. Takie błędy są bardzo szybko wychwytywane przez arbitrażystów, skutkiem czego rynek szybko wraca do równowagi. Zatem model rynku powinien być modelem bez możliwości arbitrażu. Zbadamy wobec tego, jakie warunki trzeba narzucić na model rynku, by nie dopuszczał on możliwości arbitrażu.
Rynek jest wolny od arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy
![]() |
(2.9) |
Ze wzoru (2.3) widać, że warunek (2.9) jest równoważny warunkowi
![]() |
(2.10) |
Chcemy pokazać, że nie istnieje arbitraż. Weźmy portfel
, taki że
, czyli
. Gdy
, to
, zatem
,
i ten portfel nie jest portfelem
arbitrażowym. Gdy
, to ten portfel w chwili T ma
wartość:
![]() |
Korzystając z (2.10) otrzymujemy, że portfel
z zerowym kapitałem początkowym i
w chwili końcowej
przyjmuje wartości różnych znaków, a mianowicie gdy
, to
i
,
a gdy
to zachodzą nierówności przeciwne. Zatem portfel
o zerowej wartości początkowej nie może być
arbitrażem.
Udowodnij implikację .
Nie wprost, niech jedna z powyższych nierówności nie zachodzi.
Załóżmy, że . Weźmy portfel
, czyli
sprzedajemy krótko akcję i inwestujemy uzyskane z tej sprzedaży
pieniądze w rachunek bankowy. Wtedy proces bogactwa dla tej
strategii
spełnia
następujące warunki:
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
oraz
![]() |
Zatem jest arbitrażem. Sprzeczność.
Gdy , to przeprowadzamy analogiczne rozumowanie.
Udowodnić, że na rynku bez możliwości
arbitrażu cena racjonalna wypłaty nieujemnej jest nieujemna, czyli
, gdy
. Gdy ponadto
, to
.
Wykluczenie równości w (2.9) ma sens
ekonomiczny, gdyż wtedy wykluczamy sytuację, w której na rynku są
dwa aktywa, ale jednym z nich nikt nie handluje. Istotnie, gdy
, to zawsze należy inwestować w akcje, bo
w najgorszym przypadku dadzą tyle, co depozyt w banku, a gdy
, to zawsze należy wkładać pieniądze do banku, bo
depozyt da większy zysk niż akcje i to bez żadnego ryzyka. W obu
tych przypadkach rynek nie jest płynny i znika z niego jeden
z rodzajów aktywów.
Na rynku bez możliwości arbitrażu cena wypłaty (instrumentu
pochodnego ) jest dobrze określona. Wynika to z twierdzenia,
którego dowód przebiega w analogiczny sposób, jak rozumowanie w
ćwiczeniu 2.3.
Cena w chwili wypłaty
inna niż
, gdzie
jest portfelem replikującym wypłatę
, prowadzi do
arbitrażu.
Stąd ma sens
Niech będzie rynkiem bez możliwości arbitrażu. Wtedy
cenę racjonalną instrumentu pochodnego
nazywamy ceną arbitrażową
w chwili
na rynku
i oznaczamy
.
Okazuje się, że rynek bez możliwości arbitrażu rozszerzony o instrument pochodny (np. o opcję) pozostaje dalej rynkiem, na którym nie istnieje arbitraż (patrz zad. 2.7).
Przedstawimy teraz sposób wyliczania ceny instrumentów pochodnych na rynku bez możliwości arbitrażu, oparty na obliczaniu wartości oczekiwanej względem pewnej wyróżnionej miary probabilistycznej.
Podobnie jak w rozważanym ćwiczeniu 2.2 przyjmijmy, że
,
,
,
i niech
. Wtedy
![]() |
Łatwo obliczyć, że portfel replikujący ma
postać: i
, a stąd
. Zatem
, a więc istnieje jedno
takie, że
![]() |
czyli , gdzie
,
. Okazuje się, że dla tego rozkładu
prawdopodobieństwa
zachodzi także
![]() |
Czy to jest przypadek wynikający ze szczególnego doboru danych? Czy cena jest wartością oczekiwaną wypłaty względem pewnego rozkładu?
W tym przykładzie nie zależy od prawdopodobieństwa subiektywnego
, potencjalnie zależy zaś od wypłaty
, a jednocześnie
dla cen akcji zachodzi
. Chciałoby się, aby
w sytuacji ogólnej
(a więc rozkład
) zależało tylko od cen
, a nie zależało od postaci funkcji
. Okazuje się, że taki
rozkład można zawsze znaleźć. Pokazanie tego będzie naszym
celem.
Rynek bez możliwości arbitrażu spełnia warunek (2.10)
z którego wynika, że , więc
jest kombinacją
wypukłą końców odcinka, czyli istnieje
, takie że
![]() |
(2.11) |
Liczby i
zadają nowe prawdopodobieństwo
,
takie że
![]() |
Wtedy korzystając z (2.11) otrzymujemy
![]() |
Zatem zachodzi
![]() |
(2.12) |
czyli otrzymaliśmy wzór przedstawiający cenę dzisiejszą jako
zdyskontowaną wartość oczekiwaną ceny jutrzejszej względem
prawdopodobieństwa . Zwykle ważne są nie wielkości cen,
a proporcje pomiędzy nimi. Interesuje nas stosunek cen różnych
aktywów. W tym celu wyrażamy wszystko w terminach wartości jakiegoś
ustalonego aktywa. Najczęściej cenę jednostki w banku
(inwestycja bez ryzyka) uznajemy za jednostkę ceny na rynku
i wszystkie inne ceny wyrażamy w tych jednostkach (czyli dyskontem
jest rachunek bankowy). Wtedy jednostka na rachunku bankowym ma
stałą wartość: jeśli
jest zdyskontowanym procesem wartości
jednostki w banku, tj.
, to
![]() |
Zamiast procesu cen rozważamy zdyskontowany proces cen
:
![]() |
Jest to konwencja techniczna, bardzo ułatwiająca obliczenia. Jak
było widać we wzorze (2.12), dla prawdopodobieństwa
zachodzi równość:
![]() |
Dla rynku
jednookresowego dwustanowego jest to równoważne faktowi, że
jest
-martyngałem z czasem
względem filtracji
,
, gdyż
. Stąd definicja:
Miarę probabilistyczną nazywamy miarą
martyngałową dla zdyskontowanego procesu cen
, gdy miara
jest równoważna z
oraz
jest
-martyngałem.
Przypomnijmy, że miara jest równoważna z
, gdy obie mają te
same zbiory miary zero. Z założenia
, dla
, więc miara
równoważna z
spełnia ten sam
warunek:
, dla
.
Na rynku istnieje miara martyngałowa
dla zdyskontowanego procesu cen
wtedy i tylko wtedy, gdy
jedyne rozwiązanie równania
![]() |
(2.13) |
względem należy do przedziału
.
Gdy
jest miarą martyngałową, to zachodzi
, a stąd wynika (2.13)
i
.
Gdy (2.13) ma rozwiązanie
, to definiując miarę probabilistyczną
wzorem
otrzymujemy
miarę
równoważną z
i spełniającą
.
Stąd
jest miarą martyngałową.
Jedyne rozwiązanie równania (2.13) jest postaci
![]() |
(2.14) |
więc miara martyngałowa jest zadana
przez wielkości wyznaczające cenę i przez wielkość stopy
procentowej.
Obecnie możemy sformułować podstawowe twierdzenie tego paragrafu:
Rynek jest wolny od
arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje miara martyngałowa dla
zdyskontowanego procesu cen
. Wtedy cena arbitrażowa w chwili
dowolnej wypłaty
w chwili
jest dana wzorem
![]() |
(2.15) |
gdzie jest miarą martyngałową.
Pierwsza część twierdzenia wynika z lematu 2.1, tw. 2.2, uwagi 2.1 oraz z tego, że
![]() |
Został do udowodnienia wzór (2.15) podający cenę arbitrażową.
Niech będzie jedynym portfelem
replikującym
. Wówczas:
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
przy czym trzecia od końca równość wynika z faktu, iż jest
miarą martyngałową, zaś ostatnia z definicji
.
a) Cenę arbitrażową pochodnych obliczamy w świecie neutralnym wobec ryzyka, ale nie oznacza to, że żyjemy (lub uważamy, że żyjemy) w takim świecie.
b) Cena arbitrażowa wyliczona według wzoru (2.15) nie zależy
od preferencji, czyli wyboru prawdopodobieństwa dla modelu
ewolucji cen instrumentu bazowego (stąd niektórzy nazywają ją miarą
niezależną od preferencji. Zależy tylko od nośnika miary
—
jest taka sama dla wszystkich miar równoważnych. Oznacza to, że
inwestorzy zgadzają się co do wielkości przyszłych cen instrumentu
bazowego, choć różnią się oceną prawdopodobieństwa wystąpienia
konkretnych cen. Zatem rolą
jest określenie, jakie zdarzenia są
możliwe, a jakie nie są możliwe.
wyznacza nam klasę miar
równoważnych.
c) Jako czynnik dyskontujący wybraliśmy proces , ale to nie jest
istotne, można jako czynnik dyskontujący wybrać proces cen
(patrz ćw. 2.12).
d) Wzór (2.15) uzasadnia nazywanie miary martyngałowej
miarą wyceniającą.
Z
(2.15) wynika, że dzisiejsza cena arbitrażowa (tzn. dla
) wypłaty
jest równa wartości średniej, przy mierze
wyceniającej, zdyskontowanej wypłaty (a więc wypłaty liczonej przy
dzisiejszej wartości pieniądza).
Parytet (formuła zgodności) dla cen opcji. Okazuje się, że
ceny europejskich opcji kupna i sprzedaży z tą samą ceną wykonania
na rynku bez możliwości arbitrażu są związane wzorem, tzw.
parytetem kupna-sprzedaży:
![]() |
(2.16) |
Wzór (2.16) wynika z podzielenia obu stron równości
(1.4) przez i zastosowania wzoru
(2.15) na cenę. Parytet (wzór (2.16)) pozwala
natychmiast podać cenę opcji sprzedaży, gdy znamy cenę opcji kupna
i vice versa.
Monotoniczność ceny. Na rynku rzeczywistym większa wypłata kosztuje więcej i sensowny model rynku musi to uwzględniać.
Monotoniczność ceny
Gdy rynek jest wolny od arbitrażu oraz wypłaty
i
spełniają
, to
![]() |
Twierdzenie wynika natychmiast ze wzoru (2.15) i własności wartości oczekiwanej
![]() |
Stąd mamy intuicyjnie oczywisty
. Niech na rynku bez możliwości
arbitrażu
odpowiednio
oznacza cenę opcji kupna
odpowiednio sprzedaży
z ceną wykonania
. Wtedy
(i) ,
(ii)
Kontrakt terminowy forward jest umową zawartą w chwili początkowej
, w której jedna ze stron zobowiązuje się kupić, druga zaś
sprzedać pewne dobro (zwykle papier wartościowy) w ustalonej chwili
w przyszłości (tj.
) za określoną z góry cenę. Kontrakty
forward są zawierane wyłącznie na rynku pozagiełdowym kontraktów
negocjowanych (over-the-counter market). Kontrakt taki może
opiewać na dowolny instrument z indywidualnie negocjowaną ceną, datą
i miejscem dostawy. Rzeczywiste dostarczenie towaru jest obiektem
transakcji — wieńczy ono ponad 90% kontraktów. Są jednak
kontrakty, które kończą się rozliczeniem pieniężnym, np. kontrakty
forward na stopy procentowe (wynika to z faktu, że bazą kontraktu
jest instrument nie będący przedmiotem bezpośredniego obrotu).
W chwili zawarcia kontraktu w chwili
nie następuje żaden
przepływ gotówki ani towaru — ma on miejsce dopiero w chwili
,
w dniu realizacji kontraktu. Kontrakty forward są używane zarówno do
spekulacji jak i do zabezpieczenia się.
Strona, która zobowiązuje się do zapłaty określonej w kontrakcie
kwoty za dobro, zajmuje pozycję długą w kontrakcie forward,
a strona, która zobowiązuje się dostarczyć to dobro, zajmuje pozycję
krótką. Z punktu widzenia pozycji długiej wypłata jest równa różnicy
pomiędzy wartością instrumentu bazowego (dobra) w chwili , a ceną
dostawy
uzgodnioną w kontrakcie, np. gdy kontrakt opiewa na
akcje o cenie
, to
![]() |
Cenę dostawy taką, że wartość kontraktu w chwili
jest
równa zeru, nazywamy ceną forward i oznaczamy
.
Cenę tę opisuje:
Załóżmy, że jest rynkiem
jednookresowym dwustanowym bez możliwości arbitrażu. Wtedy cena
forward
instrumentu bazowego o cenie
z terminem
dostawy
jest równa:
![]() |
Gdy , to wartość kontraktu jest równa
![]() |
Cena forward to taka cena dostawy , że
, zatem
![]() |
Niech na rynku bez
możliwości arbitrażu,
będzie procesem ceny
arbitrażowej
wypłaty
, czyli
,
. Niech
oznacza klasę portfeli składających się z akcji, jednostek rachunku
bankowego i jednostek instrumentu pochodnego o cenie
. Udowodnić,
że rynek
czyli rynek
rozszerzony
o instrument pochodny
jest rynkiem bez możliwości arbitrażu.
(nie wprost). Załóżmy, że na rozszerzonym rynku występuje
możliwość arbitrażu, czyli istnieją takie ,
,
, że:
![]() |
(2.17) |
i dla każdego
![]() |
(2.18) |
oraz istnieje taka, że
![]() |
(2.19) |
Ponieważ wypłata jest osiągalna i
, więc
![]() |
Stąd i z (2.17) mamy
![]() |
(2.20) |
Ponadto z (2.18)
![]() |
![]() |
![]() |
(2.21) | ||
![]() |
![]() |
||||
![]() |
![]() |
Biorąc spełniające (2.19) mamy dla tej
nierówność ostrą w (2.21), więc portfel
jest możliwością arbitrażu
dla rynku
(bo z (2.20)
), co przeczy założeniom.
Załóżmy, że akcja kosztująca 200 będzie za trzy miesiące miała cenę 150 lub 300, a stopa procentowa na depozyt trzymiesięczny jest równa 10%. Znależć cenę europejskiej opcji sprzedaży z ceną wykonania 270 i terminem wykonania za trzy miesiące korzystając z obu poznanych metod.
Wypłata z tej opcji jest równa tzn.
![]() |
Zatem portfel replikujący spełnia równania:
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
(gdyż ), a stąd
,
. Liczba akcji
jest liczbą ujemną, co
oznacza, że wystawca opcji sprzedaży zabezpieczając wypłatę dokonuje
krótkiej sprzedaży. Korzystając ze wzoru (2.8) otrzymujemy
cenę arbitrażową opcji:
![]() |
Gdy zastosujemy metodę martyngałową, to obliczamy cenę
korzystając ze wzorów (2.15) i (2.14):
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
Udowodnić, że jeżeli istnieje portfel , taki
że
oraz
, to na rynku istnieje
arbitraż.
Gdy spełnia warunki zadania, to
portfel
jest arbitrażem, bo
oraz
[ Prawo jednej ceny] Udowodnić, że na rynku
jednookresowym dwustanowym bez możliwości arbitrażu portfele mające
tę samą wartość w chwili muszą mieć tę samą wartość w chwili 0.
Niech będą takie, że
.
Wtedy, na mocy jedyności portfela replikującego na tym rynku,
, zatem
.
Udowodnić parytet kupna-sprzedaży, czyli wzór (2.16), korzystając
a) z argumentów arbitrażowych,
b) z prawa jednej ceny (patrz zad. 1.2.10).
a) Nie wprost. Gdy
![]() |
(2.22) |
to strategia polegająca na kupnie akcji i opcji sprzedaży z ceną
wykonania i sprzedaniu opcji kupna z ceną wykonania
jest
strategią arbitrażową. Istotnie, wartość tej operacji, która jest
równa
rozliczamy w banku (gdy jest ona dodatnia, to
wkładamy tę sumę do banku, gdy ujemna, to pożyczamy ją z banku).
W chwili
zawsze mamy zysk równy
![]() |
którego dodatniość wynika z warunku (2.22). Gdy
![]() |
to zajęcie pozycji przeciwnej do opisanej wyżej jest strategią arbitrażową.
b) Portfel składający się z jednej akcji i pożyczki
w wysokości
i portfel
powstały w wyniku
zakupu opcji kupna i sprzedaży opcji sprzedaży o tej samej cenie
wykonania
mają w chwili
tę samą wartość
, więc muszą
mieć tę samą wartość w chwili zero, co daje (2.16),
czyli parytet.
[ Różne dyskonta] Załóżmy, że proces cen jest
czynnikiem dyskontującym, czyli
![]() |
Jest oczywiste, że miarę probabilistyczną taką, że
jest
–martyngałem nazywamy miarą martyngałową dla
procesu
.
Udowodnić, że
a) na rynku nie ma możliwości arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje miara martyngałowa dla procesu .
b) na rynku bez możliwości arbitrażu cena wypłaty jest równa
![]() |
gdzie jest miarą martyngałową dla procesu
.
Zatem jest to inny sposób wyceny wypłat.
a) jest miarą martyngałową dla
wtedy i tylko wtedy,
gdy
![]() |
co z kolei jest równoważne z
![]() |
Stąd otrzymujemy, że miara martyngałowa istnieje wtedy
i tylko wtedy, gdy rozwiązanie
równania
![]() |
czyli
![]() |
należy do , co zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
(z postaci
) i stosujemy tw. 2.2.
Warto zauważyć, że zadaje miarę martyngałową
dla
i ta miara jest różna od miary martyngałowej
dla
.
b) Niech replikuje
(taki portfel
istnieje, na podstawie tw. 2.1). Wtedy
,
Stąd
![]() |
Znaleźć na rynku jednookresowym dwustanowym wzory
ogólne na ceny europejskich opcji kupna i sprzedaży przy założeniu
.
![]() |
![]() |
(2.23) |
Uzasadnić następujące ograniczenia na ceny opcji na rynku bez możliwości arbitrażu:
![]() |
![]() |
![]() |
(2.24) | ||
![]() |
![]() |
![]() |
(2.25) |
[ Zabezpieczenie doskonałe] Rozpatrzmy rynek bez
możliwości arbitrażu. Powiemy, że portfel jest doskonałym
zabezpieczeniem
wypłaty
, gdy
. Ceną sprzedającego
nazywamy minimalny koszt
zabezpieczenia doskonałego.
a) Udowodnić, że na rynku jednookresowym dwustanowym
b) Jak zdefiniować cenę kupującego ? Czy na rynku
jednookresowym dwustanowym zachodzi
?
a) Cena sprzedającego jest zadana wzorem
![]() |
Niech portfel replikuje wypłatę
. Wtedy
, więc portfel
jest doskonałym zabezpieczeniem wypłaty
, zatem
![]() |
Udowodnimy, że zachodzi nierówność przeciwna.
Gdy portfel jest taki, że
to
z monotoniczności ceny zachodzi
, zatem
, a stąd
![]() |
Inny sposób rozwiązania — to rozwiązanie zagadnienia minimalizacji z ograniczeniami, szukamy
![]() |
przy ograniczeniach:
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
W wyniku tego postępowania też otrzymujemy
b) Zdefiniujemy cenę kupującego.
Z punktu widzenia kupującego warto zapłacić za wypłatę taką
wielkość
, żeby w chwili
kupujący miał jeszcze co najmniej
taki sam zysk, jak w przypadku, gdy użyje strategii o cenie
początkowej
. Stąd maksymalna cena akceptowana przez kupującego
to
![]() |
Z własności supremum wynika, że . Zatem
korzystając z punktu a) otrzymujemy
![]() |
Można też, analogicznie jak w przypadku ceny sprzedającego, szukać ceny kupującego jako rozwiązania zagadnienia maksymalizacji z odpowiednimi ograniczeniami.
Gdy rozważamy rynek z kosztami za transakcje, to w naszym opisie rynku musimy wiele zmienić. Opisać różnicę pomiędzy kontraktami (gdy nie ma kosztów, to oba dają tę samą wypłatę):
a) sprzedający zobowiązuje się dostarczyć kupującemu akcję za cenę
, gdy
,
b) sprzedający wypłaca kupującemu różnicę , gdy
.
Ponieważ występują koszty, więc posiadanie w chwili kwoty
pieniędzy nie wystarcza do zakupu akcji (trzeba jeszcze pokryć
koszty tego zakupu). Wartość portfela nie może być utożsamiana
z liczbą, jest bowiem obiektem wielowymiarowym. Portfel jest opisany
przez dwie zmienne losowe, z których pierwsza mówi, ile pieniędzy
jest na rachunku bankowym, a druga — ile akcji jest w portfelu.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.