Teraz uogólnimy model z poprzedniego wykładu. Dopuścimy dowolną skończoną liczbę możliwych scenariuszy i skończenie wiele chwil czasu, w których dokonuje się transakcji. Taki rynek będziemy nazywać rynkiem skończonym. Ograniczenie liczby możliwych scenariuszy pozwala uniknąć stosowania zaawansowanych narzędzi technicznych i pozwala skupić się na interpretacjach stosowanych metod i otrzymywanych wyników.
Założymy, że mamy do czynienia z rynkiem wielookresowym, czyli
chwile czasu, w których odbywają się transakcje, to są chwile
(w zależności od sytuacji odpowiada to minutom,
dniom, itp.), gdzie horyzont czasowy jest skończony:
.
Założymy ponadto, że liczba możliwych scenariuszy (przypadków) jest
skończona, zatem przestrzeń probabilistyczna
![]() |
jest zbiorem skończonym, rodzina zdarzeń ,
a prawdopodobieństwo
jest takie, że
![]() |
Wprowadźmy -ciała
,
,
które interpretujemy jako zasób wiedzy o rynku zebrany do chwili
. Nasza wiedza z czasem rośnie:
dla
, więc ciąg
jest
filtracją. Bez straty ogólności możemy założyć, że
jest
-ciałem trywialnym i
. Dla wygody oznaczmy
![]() |
Na rynku znajduje się instrumentów finansowych (instrumenty
pierwotne), których ceny za jedną jednostkę w chwili
są
opisywane przez zmienne losowe
. Są one
-mierzalne, gdyż
nasza dzisiejsza wiedza nie pozwala nam przewidzieć przyszłych cen:
w chwili
znamy jedynie ceny
dla
. Zatem
wektor cen
![]() |
gdzie symbol oznacza transpozycję, jest ciągiem adaptowanych
zmiennych losowych.
jest wektorem cen początkowych, które
znamy (cen w chwili zero), więc jest to wektor stały o wartościach
w
. Zwykle przyjmuje się (i to robimy), że
jest ceną aktywa bezryzykownego. Zakładamy, że
i
kapitalizacja jest okresowa, oprocentowanie jest stałe i równe
w skali jednego okresu
,
, a więc
![]() |
(3.1) |
Zatem jest czynnikiem dyskontującym,
czyli gdy zainwestujemy
w chwili
, to otrzymamy
w chwili
. Rynek spełniający powyższe założenia będziemy nazywać
rynkiem skończonym.
Strategią finansową (portfelem, procesem portfelowym) będziemy
nazywać dowolny proces prognozowalny
o wartościach w
:
![]() |
czyli jest zmienną losową
-mierzalną,
a dla
zmienna losowa
jest
-mierzalna. Zmienną losową
, czyli
-tą
współrzędną wektora
interpretujemy jako liczbę
jednostek
-tego waloru trzymanych w portfelu od chwili
do
chwili
. Wielkości
są dowolnymi liczbami
rzeczywistymi, co odzwierciedla fakt, że dopuszczamy krótką
sprzedaż, możliwość zaciągania kredytu w dowolnej wysokości
i zakładamy nieskończoną podzielność papierów. Prognozowalność
jest matematycznym sformułowaniem faktu, że portfel na
chwilę
, czyli wektor
jest konstruowany na
podstawie wiedzy osiągalnej do chwili
(tj. wiedzy sprzed
momentu
) i nie zmienia się do chwili
, w której inwestor
poznaje nowe ceny. Wtedy inwestor konstruuje nowy skład portfela na
następną chwilę
, czyli
.
Wartością portfela
procesem wartości, bogactwem
w chwili
nazywamy zmienną losową:
![]() |
Ponieważ jest iloczynem skalarnym wektorów losowych
i
, to będziemy używać notacji iloczynowej:
Wielkość
jest nazywana
kapitałem początkowym lub wielkością początkową
inwestycji.
Niektórzy autorzy przez portfel rozumieją parę , gdzie
jest kapitałem początkowym, a proces prognozowalny
jest strategią postępowania
w kolejnych chwilach czasu. To podejście jest równoważne
prezentowanemu na wykładzie, gdyż
jest jednoznacznie wyznaczony
przez
, a mianowicie
.
Gdy inwestor w chwili konstruuje portfel
na
chwilę
, to koszt konstrukcji tego portfela wynosi
, a jego wartość w chwili na którą był on
konstruowany, a więc w chwili
wynosi
(opisujemy rynek doskonały, a więc bez kosztów transakcji, podatków
itp.). Czyli wielkość
jest
zyskiem w chwili
wynikającym ze zmiany cen. Stąd
Proces zysku portfela
definiowany jest wzorem
![]() |
(3.2) |
dla .
Wyróżnimy teraz specjalną klasę portfeli:
Strategię nazywamy samofinansującą się, gdy
![]() |
(3.3) |
dla .
Ta własność strategii oznacza, że
inwestor zmienia swoją pozycję (portfel) z na
bez konsumpcji lub dopływu kapitału z zewnątrz.
W chwili
inwestor dysponuje kapitałem
, który
w całości przeznacza na zakup portfela
, płacąc ceny
za aktywa.
Niech będzie klasą strategii
samofinansujących się. Wprost z definicji wynika, że
jest
przestrzenią liniową. Podamy teraz bardzo przydatną charakteryzację
portfeli samofinansujących się, mówiącą, że w chwili
kapitał
takiego portfela jest równy sumie kapitału początkowego i wartości
procesu zysku tego portfela w tej chwili. Zysk w chwili
jest
sumą zysków w poprzednich chwilach wynikających tylko ze zmiany cen
z
w chwili
na
w chwili
, gdzie
.
Portfel jest samofinansujący
się wtedy i tylko wtedy, gdy dla
wszystkich
spełniona jest równość
![]() |
(3.4) |
Konieczność.
![]() |
Korzystając z założenia , mamy
![]() |
Dostateczność. Z założenia (3.4) dla dowolnego mamy
![]() |
(3.5) |
Ponadto, z definicji
![]() |
Porównując prawe strony widzimy, że
dla wszystkich
, co
oznacza, że
.
Z powyższego twierdzenia wynika, że bogactwo portfela dla strategii samofinansującej się zależy tylko od portfela i zmian cen.
Z dowodu tw. 3.1 wynika, że portfel
jest samofinansujący się wtedy i tylko wtedy, gdy dla
wszystkich
zachodzi (3.5), czyli:
![]() |
Udowodnić, że portfel stały jest strategią samofinansującą się.
Ponieważ iloczyn skalarny jest liniowy, więc
![]() |
(3.6) |
a stąd teza wynika natychmiast.
Okazuje się, że gdy inwestor postępuje zgodnie ze strategią samofinansującą, to wartość portfela jest całkowicie zdeterminowana przez bogactwo początkowe i strategię postępowania z aktywami ryzykownymi.
Dla dowolnego procesu prognozowalnego
,
i dowolnego rzeczywistego
istnieje
jednoznacznie wyznaczony proces prognozowalny
,
, taki, że strategia
jest samofinansującą się
i jej początkowe bogactwo jest równe
.
Wielkość początkowa inwestycji jest równa , zatem
![]() |
i stąd mamy wyznaczoną jednoznacznie stałą :
![]() |
Dalej skorzystamy z zasady indukcji matematycznej. Załóżmy, że
jest wyznaczone jednoznacznie i jest
-mierzalne. Z warunku samofinansowalności (3.3) mamy
![]() |
a stąd jest wyznaczone jednoznacznie wzorem
![]() |
Wszystkie składniki z prawej strony są -mierzalne,
więc
jest
–mierzalne. Mamy zatem
jednoznacznie określony proces prognozowalny
.
Strategię nazywamy arbitrażem
strategią arbitrażową
, gdy
![]() |
oraz
![]() |
Ponieważ dla każdego
, więc warunki
z definicji są równoważne następującym:
![]() |
oraz
![]() |
b) Warunek braku arbitrażu na rynku można też wyrazić inaczej:
![]() |
Widać, że definicja 3.4 uogólnia pojęcie arbitrażu dla rynku jednookresowego dwustanowego, a jednocześnie wyraża to pojęcie w terminach prawdopodobieństwa i nie używa pojęcia scenariusza, więc łatwo ją przenieść na szerszą klasę modeli.
Modelem rynku finansowego nazwiemy pare . Rynek
nazywamy rynkiem bez
możliwości arbitrażu
bezarbitrażowym, pozbawionym arbitrażu
,
gdy nie istnieje strategia arbitrażowa w klasie strategii
samofinansujących się.
Pojęcie arbitrażu zdefiniowaliśmy
globalnie. Okazuje się, że nasza definicja obejmuje przypadek, gdy
można mieć zysk bez żadnego nakładu i bez ryzyka we wcześniejszych
chwilach czasu. Intuicyjnie można to uzasadnić w następujący sposób:
wiemy, że istnieje arbitraż w chwili na pewnym zbiorze
.
Wtedy wybieramy strategię wstrzymania się od jakichkolwiek działań
do momentu
. Gdy w chwili
znajdziemy się w zbiorze
(zatem
scenariusz sprzyjał zajściu zdarzenia
), to wykorzystujemy naszą
okazję. Wchodzimy w kontrakt arbitrażowy, następnie w chwili
realizujemy zysk, który natychmiast wkładamy na rachunek bankowy
i ostatecznie osiągamy dodatni zysk. Gdy w chwili
nie znajdziemy
się w zbiorze
, to nic nie robimy (zatem na końcu mamy zero). Tę
intuicję potwierdza twierdzenie mówiące, że jeśli na rynku nie
istnieje arbitraż globalny, to nie istnieje arbitraż lokalny, czyli
arbitraż w jednym okresie. Aby móc porównywać wartość portfela
w różnych chwilach czasu musimy uwzględniać oprocentowanie, zatem
porównujemy zdyskontowane wartości portfela, czyli porównujemy
w różnych chwilach wartości procesu
. Dlatego twierdzenie o arbitrażu lokalnym
przybiera postać:
Jeżeli na rynku nie ma
możliwości arbitrażu, to dla każdego
,
i dla
mamy
i) implikuje
.
ii) implikuje
.
Sformalizujemy idee opisane powyżej. Udowodnimy punkt
i) twierdzenia. Ustalmy chwilę , strategię
i
takie, że
i
![]() |
(3.7) |
Zdefiniujemy teraz proces . Niech
, a dla
niech
![]() |
gdzie jest funkcją wskaźnikową zbioru
, tj.
![]() |
Z postaci wynika, że jest to proces prognozowalny, a więc
jest portfelem. Sprawdzamy teraz, że portfel
jest
samofinansujący się, korzystając z warunku (3.6) i z tego,
że
.
Gdy lub
, to
, więc
.
Gdy , to
![]() |
||||
![]() |
Natomiast gdy , to
![]() |
Ponieważ , więc z (3.7) i definicji
otrzymujemy
![]() |
Stąd, oraz z tego, że ,
oraz
z założenia o braku arbitrażu wynika, że
. Zatem
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
Ponieważ , więc
, zatem
![]() |
co wraz z założeniem (3.7) daje punkt i).
Punkt ii) dowodzi się analogicznie.
∎Teraz naszym celem będzie podanie metody wyceny i zabezpieczania
instrumentów
finansowych na rynku bez możliwości arbitrażu. Jak zawsze,
instrument europejski utożsamiamy z wypłatą, którą otrzymuje jego
posiadacz w określonej chwili , wobec tego zaczniemy od ścisłej
definicji wypłaty.
Wypłatą europejską
w chwili
nazywamy dowolną
–mierzalną zmienną losową.
Oznacza to, że wypłata europejska zależy od wiedzy zebranej na
rynku. Gdy wypłata zależy od cen instrumentów podstawowych tzn. od
, to instrument nazywamy instrumentem pochodnym. Później zajmiemy
się instrumentami, których nie da się opisać przy pomocy jednej
wypłaty w momencie
.
Strategię nazywamy strategią
replikującą wypłatę
gdy
![]() |
czyli gdy wartość portfela w chwili jest równa
. Wypłatę
nazywa się osiągalną, gdy istnieje strategia ją replikująca.
Warto zauważyć, że wypłaty osiągalne tworzą podprzestrzeń liniową
w zbiorze wypłat.
Mówimy, że wypłata jest jednoznacznie replikowalna w modelu
, gdy dla dowolnych strategii
replikujących
mamy
dla wszystkich
. Wtedy proces
nazywamy procesem
replikującym
lub procesem bogactwa
w
. Jak
wiemy, na rynku jednookresowym dwustanowym wszystkie wypłaty są
osiągalne, istnieje dokładnie jedna strategia replikująca, więc
wypłaty osiągalne są jednoznacznie replikowalne. W modelu rynku
skończonego nie wszystkie wypłaty są osiągalne (patrz ćw.
3.10), ale wypłaty osiągalne są jednoznacznie
replikowalne, choć nie oznacza to, że istnieje dokładnie jedna
strategia replikująca (patrz zad. 3.9).
Jeśli jest rynkiem bez
możliwości arbitrażu, to każda wypłata
osiągalna w
jest jednoznacznie replikowalna w
.
Nie wprost. Załóżmy, że istnieją strategie ,
replikujące
, takie że dla pewnego
mamy
dla
i
. Rozważymy dwa przypadki.
I. Niech i niech
Bez straty ogólności można założyć, że
.
Niech . Z definicji zmiennej
losowej
wynika, że przyjmuje ona wartości dodatnie na
zbiorze
. Udowodnimy, że strategia
zdefiniowana wzorami:
![]() |
jest strategią arbitrażową,
a więc doprowadzimy do sprzeczności. Strategia jest do chwili
równa różnicy strategii
i
. Gdy w chwili
zrealizuje się zdarzenie
, to nie zmieniamy postępowania, a gdy
zrealizuje się zdarzenie
to realizujemy nasz zysk i od chwili
trzymamy wszystko w banku. Zaczniemy od wykazania, że
strategia
jest samofinansująca się. Gdy
, to
![]() |
przy czym w drugiej równości
korzystamy z faktu, że i
są strategiami
samofinansującymi się. Dla
mamy:
![]() |
A ponieważ strategie replikujące
są
samofinansujące się, więc
![]() |
![]() |
|||
![]() |
zatem . Gdy
, to
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
Czyli strategia jest samofinansująca
się. Teraz sprawdzimy, że
jest arbitrażem. Z założenia
. Dalej, ponieważ strategie
replikują
,
więc
![]() |
Nieujemność wynika z dodatniości zmiennej losowej na zbiorze
i dodatniości
. A ponieważ
, więc
jest arbitrażem.
II. Przypadek zostawimy jako zadanie (ćw.
3.11).
Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.
Skonstruować
rynek skończony, dla którego wszystkie wypłaty są jednoznacznie
replikowalne i istnieje dodatnia wypłata , dla której istnieje
strategia
, taka że
oraz
.
Patrz zad. (2.4).
Analogicznie do przypadku rynku dwustanowego wprowadzamy definicję ceny arbitrażowej.
Niech będzie rynkiem bez możliwości arbitrażu. Wtedy
proces replikujący wypłaty osiągalnej
nazywamy arbitrażową ceną
na rynku
i oznaczamy przez
,
.
Z tw. 3.4 wynika, że cena arbitrażową
wypłaty osiągalnej
istnieje zawsze i jest
wyznaczona jednoznacznie.
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
Udowodnić, że strategia polegająca na kupieniu za własne
pieniądze
-tej akcji w chwili 0, sprzedaniu jej w chwili
,
i włożeniu uzyskanych pieniędzy do banku jest
samofinansująca się, gdy
a) jest ustaloną chwilą czasu,
b) jest momentem stopu.
Gdy , to strategia
ma postać
![]() |
oraz dla
. Wykażemy,
że zachodzi (3.6). Istotnie,
dla
, bo
.
Dla , z definicji
, zachodzi
b) Ponieważ ,
więc
. Zatem
![]() |
gdzie w ostatniej równości skorzystaliśmy z punktu a). Do
sprawdzenia została prognozowalność procesu .
Na rynku istnieje możliwość arbitrażu wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje portfel samofinansujący się spełniający
![]() |
oczywiste.
Gdy
ma własności
podane w zadaniu,
, to portfel
jest portfelem arbitrażowym. Istotnie,
, bogactwo początkowe
![]() |
oraz
![]() |
więc z własności portfela mamy
![]() |
Udowodnić, że gdy istnieje strategia spełniająca
i
zachodzi
, to istnieje arbitraż.
[ Prawo jednej ceny] Udowodnić, że na rynku bez możliwości
arbitrażu portfele mające tę samą wartość w chwili muszą mieć tę
samą wartość w chwili 0 (czyli muszą mieć tę samą cenę).
Niech będą takie, że
. Załóżmy, nie wprost, że
Wtedy portfel
spełnia
oraz
, z czego wynika istnienie portfela arbitrażowego —
sprzeczność z założeniem.
Z następnego zadania wynika, że na rynku bez możliwości arbitrażu wystarczy rozpatrywać jeden rachunek bankowy.
Gdy na rynku bez możliwości arbitrażu
,
są aktywami bez ryzyka, tj.
też spełnia warunek
(3.1) z pewnym
, to
.
Z założenia wynika, że dla pewnego
.
Gdy
, to portfel
jest arbitrażem,
a gdy
, to portfel
jest arbitrażem.
Podać przykład rynku bez możliwości arbitrażu i dwu
różnych strategii samofinansujących się o tej samej wartości
w chwili końcowej .
Przykład. Niech , stopa procentowa bez ryzyka wynosi 0%
i na rynku są 2 akcje przyjmujące wartości:
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
Wtedy i
replikują tę samą
wypłatę.
Rozpatrzmy rynek jednookresowy z trzema możliwymi zdarzeniami losowymi. Inwestor uważa, że są one jednakowo prawdopodobne. Na rynku stopa procentowa bez ryzyka wynosi 20% i jest jedna akcja mająca proces cen postaci:
![]() |
Czy wszystkie wypłaty są na tym rynku osiągalne?
Uzupełnić szczegóły drugiej części dowodu tw. 3.4.
Niech i niech
.
Portfel
![]() |
jest strategią samofinansującą się (kombinacja liniowa strategii samofinansujących się), dla której
![]() |
bo , oraz
![]() |
więc jest arbitrażem, co kończy dowód.
Wynik ten jest też natychmiastową konsekwencją ćw. 3.7.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.