Rozważymy teraz prosty, ale bardzo ważny model Coxa-Rossa-Rubinsteina (CRR). Nazywa go się także modelem dwumianowym. Powstał później niż model Blacka-Scholesa. Ma zastosowanie przy konstrukcji metod numerycznych dla obliczania cen różnych skomplikowanych wypłat.
Na rynku są dwa podstawowe instrumenty, rachunek bankowy z procesem cen:
i instrument ryzykowny (np. akcja) z procesem cen zadanym wzorem:
(5.1) |
gdzie są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
przy czym . Wielkości i są stopami zwrotu z akcji, gdy cena zmienia się odpowiednio na i , gdyż
Z tej definicji widać, że na model CRR można patrzeć jako na niezależne jednookresowe dwustanowe modele o tej samej stopie zwrotu, gdyż można ten model zrealizować na przestrzeni probabilistycznej , gdzie , , zaś jest prawdopodobieństwem produktowym jednoznacznie wyznaczonym przez . Wtedy
Zbadamy własności tak zdefiniowanego modelu rynku. Rozpatrzymy model ogólniejszy. Niech będą określone jak wyżej, natomiast jest pewnym prawdopodobieństwem na . Zauważmy, że
(5.2) |
zatem znajomość prawdopodobieństwa jest równoważna znajomości rozkładu łącznego wektora .
Do badania własności użyjemy aparatu miar martyngałowych. Dlatego zaczynamy od nastepującego lematu:
jest martyngałem względem rozkładu prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy, gdy
Jeśli rynek jest wolny od arbitrażu, to .
Gdy rynek jest wolny od arbitrażu, to istnieje miara martyngałowa dla , więc z lematu 5.1 mamy , czyli . Ale przyjmuje z dodatnim prawdopodobieństwem wartości oraz , więc średnia należy do wnętrza przedziału, tj. .
∎Z lematu 5.1 otrzymujemy natychmiast istnienie miary martyngałowej, będącej miarą produktową, dla rynku CRR, gdy .
Niech . Jeśli jest produktowym rozkładem prawdopodobieństwa wyznaczonym przez , to zdyskontowany proces cen jest -martyngałem.
Z definicji prawdopodobieństwa i definicji wynika niezależność zmiennych . Stąd i z postaci rozkładu otrzymujemy
i lemat 5.1 kończy dowód.
∎Jedyność miary martyngałowej wynika z kolejnego twierdzenia.
Jeśli rynek CRR jest wolny od arbitrażu, to jest zupełny.
Należy udowodnić, że jeśli zdyskontowany proces cen jest -martyngałem, to jest produktowym rozkładem prawdopodobieństwa wyznaczonym przez . Jest to równoważne faktowi, że są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie:
Dla dowolnego z lematu 5.1 otrzymujemy , a ponieważ zmienna losowa przyjmuje dwie wartości, więc
(5.3) |
Ponadto
Stąd oznaczając
(5.4) |
mamy z (5.3):
Rozwiązując to równanie otrzymujemy
a więc jest zmienną losową stałą i jest taka sama dla każdego . Stąd dla dowolnego
(5.5) |
czyli zmienne losowe mają jednakowy rozkład. Aby wykazać niezależność zmiennych losowych względem miary wystarczy udowodnić, że dla i dla dowolnych zachodzi:
(5.6) |
Dowodzimy (5.6) używając indukcji matematycznej (ćwiczenie 5.1).
Zatem rozkład jest produktowym rozkładem prawdopodobieństwa wyznaczonym przez ; teraz z (5.2) otrzymujemy, że prawdopodobieństwo martyngałowe jest produktowym rozkładem prawdopodobieństwa wyznaczonym przez .
∎Udowodnić (5.6).
Do dowodu (5.6) dla użyjemy indukcji matematycznej i wykażemy, że (5.6) zachodzi dla dowolnego , a więc i dla . Z (5.5) wynika, że (5.6) zachodzi dla . Zakładając, że równość (5.6) jest prawdziwa dla wykażemy, że jest również prawdziwa dla .
gdzie w ostatniej równości skorzystaliśmy z (5.4), (5.5) i z założenia indukcyjnego.
Z dowodu twierdzenia mamy natychmiast.
Jeśli rynek CRR jest wolny od arbitrażu, to są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie:
Założyliśmy, że stopa procentowa , więc od tego momentu mówiąc o modelu CRR będziemy zawsze zakładać, że
Cena arbitrażowa wypłaty w modelu CRR jest dana wzorem
gdzie miara martyngałowa jest wyznaczona przez .
Ponieważ model rynku CRR jest wolny od arbitrażu i zupełny, więc teza wynika natychmiast z tw. 4.3.
∎Cena arbitrażowa europejskiej opcji kupna z terminem wykonania i ceną wykonania na akcję o cenie zadanej przez proces jest równa:
(5.7) |
gdzie , .
Ponieważ dla , więc
Korzystając z niezależności od i mierzalności względem i znanego twierdzenia o obliczaniu takich wartości oczekiwanych mamy tezę.
∎Cenę europejskiej opcji kupna z terminem wykonania i ceną wykonania w chwili otrzymujemy ze wzoru (5.7) i obserwacji .
Niech w modelu CRR ; ; ;
; . Wycenić europejskie opcje kupna i sprzedaży z ceną
wykonania 90.
Miara martyngałowa jest zadana przez .
Z (5.7) lub wzoru ogólnego znajdujemy cenę opcji kupna
, a z parytetu cenę opcji sprzedaży
.
Problem replikacji. Zajmiemy się teraz problemem replikacji wypłaty postaci , dla pewnego (taką postać wypłaty mają np. opcje). Gdy replikuje , to
zatem
Ponieważ przyjmuje dwie wartości: i , więc na zbiorze , mamy
a na zbiorze , to mamy
Ponieważ proces jest prognozowalny, więc nie zależy od wartości . Zatem z powyższych równości otrzymujemy liczbę akcji w chwili :
gdzie
oraz liczbę jednostek bankowych w chwili
W ten sposób, cofając się, znajdujemy postać portfela replikującego.
Udowodnić, że portfel replikujący w chwili ma postać
(5.8) | |||||
(5.9) |
Na wzór (5.8) można spojrzeć jako na dyskretny analog pochodnej wartości portfela względem możliwej zmiany ceny instrumentu podstawowego. W języku finansów takie strategie nazywa się delta zabezpieczeniem.
Z (5.8) otrzymujemy też
Gdy jest funkcją rosnącą, to . Zatem można replikować wypłatę bez korzystania z krótkiej sprzedaży.
W szczególności wynika stąd, że można tak replikować wypłatę z europejskiej opcji kupna.
Rozważymy teraz na przykładzie modelu CRR problem maksymalizacji oczekiwanej użyteczności. Inwestor ma swoją miarę użyteczności osiągniętego bogactwa, jest to funkcja użyteczności . Wartość opisuje satysfakcję inwestora posiadającego kapitał . Wartość inwestycji mierzy się przez oczekiwaną użyteczność (przy mierze subiektywnej ) kapitału osiągniętego na końcu inwestycji, czyli przez .
Funkcję nazywamy funkcją użyteczności, gdy jest niemalejąca, wklęsła, różniczkowalna i ma ciągłą pochodną. Często o zakłada się, że spełnia tzw. warunki Inady:
Najczęściej używane są: logarytmiczna funkcja użyteczności , potęgowa , oraz wykładnicza funkcja użyteczności , .
Naszym celem jest znalezienie, przy danym kapitale początkowym , strategii samofinansującej się maksymalizującej oczekiwaną użyteczność kapitału osiągniętego na końcu inwestycji, czyli strategii takiej że i
(5.12) |
Rozwiążemy ten problem w przypadku funkcji logarytmicznej , rozszerzając ją na wzorem . Ponieważ
więc problem optymalizacji sprowadza się do znalezienia maksimum
Skorzystamy z faktu, że jest -martyngałem, gdy jest miarą martyngałową, z czego wynika, że . Niech
Wtedy jest -martyngałem i oraz . Udowodnimy, że
a) Dla dowolnej strategii samofinansującej się , takiej że
(5.13) |
b) Istnieje strategia samofinansująca się , taka że
(5.14) |
Dla każdego takiego, że zachodzi
co daje (5.13).
Z zupełności rynku istnieje strategia samofinansująca się
spełniająca , a ponieważ jest
-martyngałem, to (5.14) zachodzi.
Okazuje się, że jak na rynku skończonym potrafimy znaleźć
spełniające (5.12), to na rynku skończonym nie
ma arbitrażu.
Niech będzie funkcją ściśle monotoniczną. Jeśli istnieje rozwiązanie zagadnienia (5.12), to na rynku nie ma arbitrażu.
Przeprowadzić rozumowanie niewprost.
Gdy obserwujemy rynek z czasem ciągłym, czyli gdy czas jest odcinkiem , to ceny należy opisywać modelem, w którym występują procesy z czasem ciągłym. Ale jak wiadomo, przy opisie rozmaitych zjawisk można modele z czasem ciągłym z powodzeniem aproksymować modelami dyskretnymi. Teraz opiszemy, jak wykorzystuje się model CRR do aproksymacji modelu z czasem ciągłym.
Konstruuje się ciąg przybliżeń, w którym jako -te przybliżenie bierze się model CRR skonstruowany następująco:
W tym (czyli -tym) kroku dzielimy odcinek na części o długości każda. Zakładamy, że handel odbywa się w chwilach czasu , . W czasie ciągłym rachunek oszczędnościowy jest opisywany przez równanie ( jest stałą). Chcemy dopasować stopę procentową tak, żeby otrzymać równość cen rachunków oszczędnościowych w modelu ciągłym i dyskretnym we wszystkich punktach . W tym celu bierzemy takie, że
Wtedy
Teraz dobieramy stałe i spełniające
(5.15) |
(wtedy model CRR jest bez możliwości arbitrażu i zupełny). Warunek (5.15) musi być spełniony, poza tym wyboru i dokonujemy tak, by model graniczny opisywał model z czasem ciągłym. Zrobimy to w taki sposób, by
Taki wybór zakłada pewien rodzaj symetrii ruchu cen. Niech
gdzie jest ustalona z góry. Łatwo sprawdzić, że nierówność (5.15) zachodzi dla dostatecznie dużych . Wtedy miara martyngałowa jest zadana przez podanie prawdopodobieństwa wzrostu ceny akcji
Zachodzi
Udowodnić, że , gdy .
W ten sposób skonstruowaliśmy -ty model CRR dla ciągu przybliżeń. Parametry są ustalone i zależą od parametrów i liczby kroków , a więc długości podziału . Pozostaje pytanie, jak dobrać parametry -tego przybliżenia. Stopę procentową bez ryzyka znamy. Parametr wybieramy tak, by wariancja stopy zwrotu z akcji na jednostkę czasu była równa wariancji na jednostkę czasu z modelu ciągłego (modelu Blacka-Scholesa opisanego w §9.1). Liczbę dobieramy według naszych potrzeb (ten parametr możemy zmieniać), byle było dostatecznie duże (zad. 5.11).
Możemy też bez straty ogólności założyć, że wszystkie modele (a więc i procesy z nimi związane) są skonstruowane na wspólnej przestrzeni probabilistycznej . Zakładamy też, że cena początkowa aktywa w każdym przybliżeniu jest taka sama. Jak wiemy, cena aktywa ryzykownego w -tym modelu spełnia
gdzie , , i zmienne losowe , …, są niezależne, o tym samym rozkładzie. Zapiszmy to dla inaczej:
gdzie , zatem są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
Z centralnego twierdzenia granicznego otrzymujemy po przekształceniach
(5.16) |
Stąd, gdy , to
(5.17) |
gdzie , czyli
Zatem cena w chwili otrzymana w granicy ma rozkład lognormalny (ten sam rezultat otrzymujemy dla dowolnego ).
Każdy z modeli CRR użyty w tej aproksymacji był bez możliwości arbitrażu i zupełny, więc wiemy, że cena arbitrażowa europejskiej opcji kupna jest zadana wzorem (5.7) z . W granicy otrzymujemy
(5.18) |
gdzie oznacza dystrybuantę standardowego rozkładu gaussowskiego oraz
(5.19) | |||||
(5.20) |
Dowód tego faktu pozostawiamy jako zadanie.
Podsumowując, powyższe rozważania o aproksymacji sugerują, że w ,,rozsądnym” modelu rynku cena aktywa powinna mieć rozkład lognormalny, a cena arbitrażowa europejskiej opcji kupna powinna być zadana wzorem BlackaS̄cholesa (5.18). Wzór (5.17) dowodzi że zbiega do według rozkładu, a więc gdy wypłata jest funkcją wartości końcowej ceny, tj. , to przy odpowiednich założeniach o funkcji otrzymujemy
(5.21) |
Gdy jest ograniczona, to (5.21) zachodzi i w szczególności otrzymujemy formułę wyceny dla opcji sprzedaży (a stąd korzystając z parytetu można w inny sposób otrzymać (5.18)).
Okazuje się, że można udowodnić znacznie więcej o zbieżności aproksymacji. Rozpatrzmy proces z czasem ciągłym otrzymany z procesu przez interpolację liniową, tj. dla i jest liniowy pomiędzy punktami postaci . Korzystając z tw. Donskera można udowodnić, że proces zbiega słabo w do procesu , takiego że
gdzie jest procesem Wienera. Stąd otrzymujemy, że ceny pewnych wypłat, które zależą od całej trajektorii procesu cen można otrzymać jako granicę odpowiednich wyrażeń obliczanych dla modelu CRR. Ten fakt wykorzystujemy w modelu z czasem ciągłym do liczenia cen wypłat dla których nie istnieją jawne wzory. Model CRR jest modelem opisującym rynek w sposób rekurencyjny, więc w tym modelu znacznie łatwiej liczyć całki numerycznie niż w modelu z czasem ciągłym.
Znaleźć cenę arbitrażową europejskiej opcji sprzedaży w modelu CRR.
Powtórzyć rozumowanie prowadzące do wzoru (5.7) lub skorzystać z parytetu kupno-sprzedaż.
Niech w modelu CRR . Wycenić opcję europejską o wypłacie , gdzie jest stopą zwrotu z akcji w czasie od 0 do .
Rozpatrzmy model CRR, dla którego ; .
a) Dla jakich wartości stopy procentowej model jest wolny od arbitrażu? Wyznaczyć dla tych wartości miarę martyngałową.
b) Niech . Znaleźć cenę arbitrażową europejskich wypłat:
a) . Miara martyngałowa jest zadana przez .
b) ; ; .
Niech w modelu CRR .
a) Dla jakich model jest wolny od arbitrażu?
b) Dla wycenić opcję europejską o wypłacie . Znaleźć strategię replikującą.
a) ; b) Miara martyngałowa jest zadana przez , .
Udowodnić, że w modelu CRR cena wypłaty postaci , gdzie , jest równa
(5.22) |
gdzie jest ceną arbitrażową w chwili 0 europejskiej opcji kupna akcji o cenie z terminem wykonania i z ceną wykonania .
a) Znaleźć wariancję stopy zwrotu w -tym modelu CRR.
b) Znaleźć znając wariancję stopy zwrotu (tj. przyjmując , gdzie jest wariancją teoretyczną z modelu ciągłego Blacka-Scholesa lub jest wariancją wyestymowaną z rynku.
c) Znaleźć , gdy wybierzemy inny (ogólniejszy) -ty model CRR, czyli taki, że , gdzie jest stałą dodatnią (dla rozwiązanie otrzymaliśmy w punkcie b)).
a)
b) Przyjmując , otrzymujemy równanie kwadratowe
Stąd wyliczamy , a następnie .
Udowodnić, że nierówność (5.15) zachodzi dla
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.