Dla wypłat nieosiągalnych nie mamy zdefiniowanej ceny. Teraz
spróbujemy rozszerzyć pojęcie ceny, by móc wyceniać wypłaty
nieosiągalne.
Na rynku bez możliwości arbitrażu cenę instrumentu osiągalnego można
wyliczyć korzystając z pojęcia miary martyngałowej (wzór
(4.6)). Tę wielkość chciałoby się przyjąć jako cenę wypłaty
nieosiągalnej, choć nie widać sensu ekonomicznego takiego
postępowania. Ale dla wypłat nieosiągalnych wielkość
zależy od wyboru miary martyngałowej
(patrz przykł.
4.2a). Dlatego dla wypłat nieosiągalnych musimy postępować
inaczej. Będziemy naśladować postępowanie z ćwiczenia
2.15 wprowadzające pojęcie zabezpieczenia doskonałego.
Pozwoli to wprowadzić pojęcia ceny kupującego
i ceny sprzedającego będące rozszerzeniem ceny arbitrażowej.
Ceną sprzedającego wypłatę
nazywamy wielkość
![]() |
(6.1) |
Jest to najmniejsza wielkość kapitału początkowego pozwalającego
sprzedającemu pokryć swoje zobowiązania bez ryzyka, czyli doskonale
zabezpieczyć wypłatę , gdyż sprzedający mając tę kwotę
i postępując zgodnie ze strategią
otrzymuje w chwili
ze swojej inwestycji co najmniej
. Cena sprzedającego
jest zawsze skończona, bo wypłata
jest ograniczona
przez pewną stałą
, a stała jest wypłatą osiągalną mającą
skończoną cenę. Korzystając z definicji infimum możemy otrzymać
warunek równoważny z (6.1):
![]() |
Gdy sprzedający weźmie zapłatę mniejszą niż , to
z dodatnim prawdopodobieństwem poniesie stratę.
Patrząc z drugiej strony na transakcję mamy cenę kupującego. Jest to
maksymalna cena, jaką kupujący jest gotowy zapłacić za walor .
Jest to maksymalny kapitał taki, że startując z pożyczki równej temu
kapitałowi kupujący jest w stanie znaleźć strategię
generującą kapitał
w chwili
i taką, że wraz
z wypłatą
otrzymywaną w chwili
kupujący osiąga pozycję
nieujemną:
![]() |
(6.2) |
Równoważne sformułowania ceny kupującego:
![]() |
![]() |
(6.3) | ||
![]() |
![]() |
(6.4) | ||
![]() |
![]() |
(6.5) |
Z (6.5) wynika, że cenę kupującego można interpretować
jako cenę najdroższej strategii dającej w chwili wypłatę
mniejszą lub równą wypłacie
.
Niech będzie rynkiem bez możliwości
arbitrażu. Wtedy
![]() |
![]() |
|||
![]() |
|||
![]() |
|||
![]() |
bo z liniowości przestrzeni portfeli mamy . Z założenia braku arbitrażu
(patrz ćw. 6.2).
Dla wypłaty osiągalnej pojęcia ceny kupującego i sprzedającego pokrywają się z ceną arbitrażową. Zatem są rozszerzeniami ceny arbitrażowej na wszystkie wypłaty.
Niech będzie rynkiem bez możliwości
arbitrażu, a
wypłatą osiągalną. Wtedy
![]() |
Okazuje się, że ceny i
można znaleźć
korzystając z miar martyngałowych.
Niech będzie rynkiem bez możliwości arbitrażu. Wtedy
![]() |
(6.6) |
![]() |
(6.7) |
Korzystając z (6.4) wystarczy udowodnić
(6.7) (bo .
Jeśli wypłata
jest osiągalna, to
nie
zależy od wyboru miary martyngałowej,
![]() |
i teza zachodzi na mocy tw. 6.2. Niech będzie wypłatą
nieosiągalną, a
osiągalną taką, że
(takie
istnieje zawsze, bo zbiór
jest skończony, więc
). Wtedy dla każdego
zachodzi
![]() |
a więc
![]() |
(6.8) |
Z (6.8) wobec dowolności otrzymujemy
![]() |
czyli
![]() |
Ostatnią część dowodu twierdzenia zostawiamy jako zadanie dla Czytelnika.
∎Monotoniczność cen Gdy rynek jest
wolny od arbitrażu oraz wypłaty spełniają
, to
![]() |
Warto zauważyć, że w przeciwieństwie do ceny arbitrażowej ceny kupującego i sprzedającego nie są operatorami liniowymi (patrz ćw. 6.5), czyli rozszerzenia nie zachowują własności liniowości na całej dziedzinie, choć są liniowe na przestrzeni wypłat osiągalnych.
Wróćmy znowu do rynku z przykł. 4.2a. Jak widzieliśmy,
istnieje na nim wiele miar martyngałowych. Postać wypłat osiągalnych
znaleźliśmy w przykł. 4.3. Wypłata jest
osiągalna, gdy
.
Znajdziemy teraz cenę kupującego i sprzedającego wypłaty
nieosiągalnej. Załóżmy, że
![]() |
Korzystając z (6.6) mamy:
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
a z (6.8) mamy:
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
Przypadek rozpatrujemy podobnie.
Gdy cena przekracza , to sprzedający ma możliwość
uzyskania zysku bez ryzyka, a gdy cena jest mniejsza niż
, to kupujący ma możliwość arbitrażu (patrz ćw.
6.4).
Możemy na problem wyceny instrumentów nieosiągalnych spojrzeć jeszcze inaczej. Uogólnimy pojęcie ceny arbitrażowej na dowolną wypłatę w następujący sposób:
Liczbę nazywamy uogólnioną ceną
arbitrażową wypłaty
na rynku
wolnym od arbitrażu, gdy istnieje proces adaptowany
taki, że
![]() |
i rynek rozszerzony o instrument o cenie jest rynkiem bez
możliwości arbitrażu.
Zatem jest uogólnioną ceną arbitrażową wypłaty
, gdy
sprzedaż wypłaty
po cenie
nie wprowadza na rynku
możliwości arbitrażu (por. z wnioskiem 4.5). Wtedy proces
jest procesem ceny wypłaty
o uogólnionej cenie
arbitrażowej
. Z tej definicji wynika, że uogólnionych cen
arbitrażowych wypłaty
może być wiele. Przez
będziemy
oznaczać zbiór uogólnionych cen arbitrażowych wypłaty
.
![]() |
Weźmy element . Z pierwszego podstawowego
twierdzenia matematyki finansowej (tw. 4.2)
wynika, że istnieje miara martyngałowa
dla rynku rozszerzonego,
a mianowicie taka miara probabilistyczna
, że
jest
-martyngałem dla
, czyli
![]() |
Stąd wynika w szczególności, że oraz
. Zatem
.
Teraz udowodnimy inkluzję odwrotną. Niech
dla pewnego
. Definiujemy proces
wzorem
. Na
mocy definicji
,
oraz proces
jest
-martyngałem, więc rynek rozszerzony o instrument
o cenie
jest rynkiem bez możliwości arbitrażu. Stąd
.
Z tego twierdzenia wynika, że
Jeśli jest rynkiem bez możliwości arbitrażu,
jest
wypłatą osiągalną, to
jest zbiorem jednoelementowym i
![]() |
Zatem dla wypłaty osiągalnej jej cena otrzymana z def. 6.2 jest równa cenie arbitrażowej, co uzasadnia nazywanie ceny z def. 6.2 uogólnioną ceną arbitrażową.
Zachodzą równości:
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
Zbiór jest pusty (gdy na rynku jest arbitraż) lub jest odcinkiem,
gdyż zbiór miar martyngałowych
jest zbiorem
wypukłym. Można udowodnić, że gdy rynek jest wolny od arbitrażu, ale
nie jest zupełny, to jest to przedział otwarty.
Odcinek o końcach
i
nazywamy przedziałem
braku arbitrażu.
Przedział
jest przedziałem cen
akceptowanych przez obie strony kontraktu. Stąd potencjalny zysk
(gdyż ceny są losowe) jest traktowany jako wynagrodzenie za zgodę na
ryzyko.
Z rozważań przeprowadzonych w tym paragrafie wiemy, że cena
akceptowana przez obie strony kontraktu należy do przedziału
. Celem dalszych badań, których nie
będziemy tu opisywać, jest znalezienie najlepszej ceny z tego
przedziału, czyli należy znaleźć miarę martyngałową
, zwaną miarą
wyceniającą, dającą cenę za pomocą wzoru
. Są
różne metody wyboru takiej miary martyngałowej
. Zależą one od
subiektywnie przyjętych kryteriów.
Udowodnić lemat 6.1.
Udowodnić tw. 6.1.
a) Niech
replikuje
, tj.
, stąd
![]() |
Pokażemy, że zachodzi równość. Warunek
pociąga za sobą istnienie strategii
takiej, że
![]() |
Ale wtedy portfel jest arbitrażem, gdyż
i
.
b) . Niech portfel
replikuje
.
Wtedy
, więc z (6.5)
![]() |
Gdyby , to istniałoby
takie, że
![]() |
Ale wtedy portfel jest arbitrażem, bo
oraz
![]() |
a) Podać przykład strategii dającej zysk bez ryzyka,
gdy kontrakt został sprzedany za cenę
.
b) Załóżmy, że kupujący nabył wypłatę za cenę
.
Jak powinien postępować, by osiągnąć zysk bez ryzyka?
Ponieważ , więc istnieje portfel
,
taki że
,
oraz
. Sprzedawca kontraktu konstruuje za kwotę
portfel
i ze sprzedaży kontraktu i nabycia portfela
ma
dodatni zysk w chwili
:
![]() |
Znaleźć przykład wypłat i
, takich że
a)
![]() |
b)
![]() |
Rozpatrzmy rynek z przykł. 4.2. Niech ,
. Wtedy
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
Rozpatrzmy rynek jednookresowy z trzema możliwymi zdarzeniami losowymi. Inwestor uważa, że są one jednakowo prawdopodobne. Na rynku stopa procentowa bez ryzyka wynosi 5% i jest jedna akcja mająca proces cen postaci:
![]() |
Wycenić wypłaty:
![]() |
Wypłata jest osiągalna i
. Wypłaty
nie są osiągalne. Znajdujemy ogólną postać miary
martyngałowej
:
![]() |
Zatem ,
, a stąd
,
,
,
.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.