Zagadnienia

6.1 Cena sprzedającego i kupującego
6.2 Uogólniona cena arbitrażowa
6.3 Zagadnienia i zadania na ćwiczenia

6. Uogólnienia ceny arbitrażowej

Dla wypłat nieosiągalnych nie mamy zdefiniowanej ceny. Teraz spróbujemy rozszerzyć pojęcie ceny, by móc wyceniać wypłaty nieosiągalne.
Na rynku bez możliwości arbitrażu cenę instrumentu osiągalnego można wyliczyć korzystając z pojęcia miary martyngałowej (wzór (4.6)). Tę wielkość chciałoby się przyjąć jako cenę wypłaty nieosiągalnej, choć nie widać sensu ekonomicznego takiego postępowania. Ale dla wypłat nieosiągalnych wielkość $E_{{P^{*}}}(YB_{T})$ zależy od wyboru miary martyngałowej $P^{*}$ (patrz przykł. 4.2a). Dlatego dla wypłat nieosiągalnych musimy postępować inaczej. Będziemy naśladować postępowanie z ćwiczenia 2.15 wprowadzające pojęcie zabezpieczenia doskonałego. Pozwoli to wprowadzić pojęcia ceny kupującego i ceny sprzedającego będące rozszerzeniem ceny arbitrażowej.

6.1. Cena sprzedającego i kupującego

Definicja 6.1

Ceną sprzedającego wypłatę $X$ nazywamy wielkość

$\Pi _{0}^{s}(X)=\inf\{ z:\exists\varphi\in\Phi\quad V_{0}(\varphi)=z,\ V_{T}(\varphi)\geq X\}.$

(6.1)

Jest to najmniejsza wielkość kapitału początkowego pozwalającego sprzedającemu pokryć swoje zobowiązania bez ryzyka, czyli doskonale zabezpieczyć wypłatę $X$ , gdyż sprzedający mając tę kwotę i postępując zgodnie ze strategią $\varphi$ otrzymuje w chwili $T$ ze swojej inwestycji co najmniej $X$ . Cena sprzedającego $\Pi _{0}^{s}(X)$ jest zawsze skończona, bo wypłata $X$ jest ograniczona przez pewną stałą $K$ , a stała jest wypłatą osiągalną mającą skończoną cenę. Korzystając z definicji infimum możemy otrzymać warunek równoważny z (6.1):

$\Pi _{0}^{s}(X)=\sup\{ z:\forall\varphi\in\Phi\quad V_{0}(\varphi)=z,\quad P(V_{T}(\varphi)<X)>0\}.$

Gdy sprzedający weźmie zapłatę mniejszą niż $\Pi _{0}^{s}(X)$ , to z dodatnim prawdopodobieństwem poniesie stratę.

Patrząc z drugiej strony na transakcję mamy cenę kupującego. Jest to maksymalna cena, jaką kupujący jest gotowy zapłacić za walor $X$ . Jest to maksymalny kapitał taki, że startując z pożyczki równej temu kapitałowi kupujący jest w stanie znaleźć strategię $\varphi$ generującą kapitał $V_{T}(\varphi)$ w chwili $T$ i taką, że wraz z wypłatą $X$ otrzymywaną w chwili $T$ kupujący osiąga pozycję nieujemną:

$\Pi _{0}^{b}(X)=\sup\{ z:\exists\varphi\in\Phi\quad V_{0}(\varphi)=-z,\quad V_{T}(\varphi)+X\geq 0\}.$

(6.2)

Lemat 6.1

Równoważne sformułowania ceny kupującego:

$\displaystyle\Pi _{0}^{b}(X)$	$\displaystyle=-\inf\{ z:\exists\varphi\in\Phi\quad V_{0}(\varphi)=z,\quad V_{T}(\varphi)\geq-X\}.$	(6.3)
$\displaystyle\Pi _{0}^{b}(X)$	$\displaystyle=-\Pi _{0}^{s}(-X),$	(6.4)
$\displaystyle\Pi _{0}^{b}(X)$	$\displaystyle=\sup\{ z:\exists\varphi\in\Phi\quad V_{0}(\varphi)=z,\quad V_{T}(\varphi)\leq X\}.$	(6.5)

Z (6.5) wynika, że cenę kupującego można interpretować jako cenę najdroższej strategii dającej w chwili $T$ wypłatę mniejszą lub równą wypłacie $X$ .

Twierdzenie 6.1

Niech ${\cal M}$ będzie rynkiem bez możliwości arbitrażu. Wtedy

$\Pi _{0}^{s}(X)\geq\Pi _{0}^{b}(X).$

		$\displaystyle\Pi _{0}^{s}(X)-\Pi _{0}^{b}(X)=\inf\{ z:\exists\varphi\in\Phi\ V_{0}(\varphi)=\ z,\ V_{T}(\varphi)\geq X\}\,+$
		$\displaystyle\mbox{}+\inf\{ y:\exists\psi\in\Phi\ V_{0}(\psi)=y,\ V_{T}(\psi)\geq-X\}\geq$
		$\displaystyle\geq\inf\{ z+y:\ \exists\varphi,\psi\in\Phi\ V_{0}(\varphi)=z,V_{0}(\psi)=y,\ V_{T}(\varphi)\geq X,\ V_{T}(\psi)\geq-X\}$
		$\displaystyle\geq\inf\{\bar{z}:\exists\bar{\varphi}\in\Phi\ V_{0}(\bar{\varphi})=\bar{z},\ V_{T}(\bar{\varphi})\geq 0\}=I,$

bo z liniowości przestrzeni portfeli mamy $V_{0}(\varphi+\psi)=x+y,\quad V_{T}(\varphi+\psi)\geq 0$ . Z założenia braku arbitrażu $I\geq 0$ (patrz ćw. 6.2).

∎

Dla wypłaty osiągalnej pojęcia ceny kupującego i sprzedającego pokrywają się z ceną arbitrażową. Zatem są rozszerzeniami ceny arbitrażowej na wszystkie wypłaty.

Twierdzenie 6.2

Niech ${\cal M}$ będzie rynkiem bez możliwości arbitrażu, a $X$ wypłatą osiągalną. Wtedy

$\Pi _{0}^{s}(X)=\Pi _{0}(X)=\Pi _{0}^{b}(X).$

Niech $\varphi$ replikuje $X$ , czyli $V_{T}(\varphi)=X$ , stąd i z (6.5) i (6.1)

$\Pi^{b}_{0}(X)\geq V_{0}(\varphi)\geq\Pi _{0}^{s}(X)$

i tw. 6.1 daje tezę.

∎

Okazuje się, że ceny $\Pi _{0}^{s}(X)$ i $\Pi _{0}^{b}(X)$ można znaleźć korzystając z miar martyngałowych.

Twierdzenie 6.3

Niech ${\cal M}$ będzie rynkiem bez możliwości arbitrażu. Wtedy

$\Pi _{0}^{b}(X)=\inf _{{P\in{\cal P}({\cal M})}}E_{P}\Big(\frac{X}{B_{T}}\Big),$

(6.6)

$\Pi _{0}^{s}(X)=\sup _{{P\in{\cal P}({\cal M})}}E_{P}\Big(\frac{X}{B_{T}}\Big).$

(6.7)

Korzystając z (6.4) wystarczy udowodnić (6.7) (bo $-\sup(-x_{{\alpha}})={=}\inf x_{{\alpha}})$ . Jeśli wypłata $X$ jest osiągalna, to $E_{P}(\frac{X}{B_{T}})$ nie zależy od wyboru miary martyngałowej,

$\Pi _{0}(X)=E_{P}\Big(\frac{X}{B_{T}}\Big)$

i teza zachodzi na mocy tw. 6.2. Niech $X$ będzie wypłatą nieosiągalną, a $Y$ osiągalną taką, że $Y\geq X$ (takie $Y$ istnieje zawsze, bo zbiór $\Omega$ jest skończony, więc $|X|\leq K={\rm const}$ ). Wtedy dla każdego $P\in{\cal P}({\cal M})$ zachodzi

$E_{P}\Big(\frac{Y}{B_{T}}\Big)\geq E_{P}\Big(\frac{X}{B_{T}}\Big),$

a więc

$\Pi _{0}(Y)\geq\sup _{{P\in{\cal P}({\cal M})}}E_{P}\Big(\frac{X}{B_{T}}\Big).$

(6.8)

Z (6.8) wobec dowolności $Y$ otrzymujemy

$\inf\{ z:\exists\varphi\in\Phi\quad V_{0}(\varphi)=z,\ V_{T}(\varphi)\geq X\}\ \geq\ \sup _{{P\in{\cal P}({\cal M})}}E_{P}\Big(\frac{X}{B_{T}}\Big),$

czyli

$\Pi _{0}^{s}(X)\geq\sup _{{P\in{\cal P}({\cal M})}}E_{P}\Big(\frac{X}{B_{T}}\Big).$

Ostatnią część dowodu twierdzenia zostawiamy jako zadanie dla Czytelnika.

∎

Wniosek 6.1

Monotoniczność cen Gdy rynek jest wolny od arbitrażu oraz wypłaty $X,Y$ spełniają $X\geq Y$ , to

$\Pi^{s}_{0}(X)\geq\Pi^{s}_{0}(Y),\quad\Pi^{b}_{0}(X)\geq\Pi^{b}_{0}(Y).$

Wniosek jest konsekwencją wzorów (6.6) i (6.7) oraz własności wartości oczekiwanej.

∎

Warto zauważyć, że w przeciwieństwie do ceny arbitrażowej ceny kupującego i sprzedającego nie są operatorami liniowymi (patrz ćw. 6.5), czyli rozszerzenia nie zachowują własności liniowości na całej dziedzinie, choć są liniowe na przestrzeni wypłat osiągalnych.

Przykład 6.1

Wróćmy znowu do rynku z przykł. 4.2a. Jak widzieliśmy, istnieje na nim wiele miar martyngałowych. Postać wypłat osiągalnych znaleźliśmy w przykł. 4.3. Wypłata $X=(x_{1},x_{2},x_{3})$ jest osiągalna, gdy $x_{1}+3x_{2}-4x_{3}=0$ . Znajdziemy teraz cenę kupującego i sprzedającego wypłaty nieosiągalnej. Załóżmy, że

$x_{1}+3x_{2}-4x_{3}>0.$

Korzystając z (6.6) mamy:

	$\displaystyle\Pi _{0}^{b}(X)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\inf _{{P\in{\cal P}({\cal M})}}E_{P}\Big(XB_{T}^{{-1}}\Big)=$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle\inf _{{p\in(0,4/5)}}\ \frac{5}{6}\Big(\frac{-p(x_{1}+3x_{2}-4x_{3})}{4}+\frac{x_{1}+4x_{2}}{5}\Big)=\frac{x_{2}+4x_{3}}{6},$

a z (6.8) mamy:

	$\displaystyle\Pi _{0}^{s}(X)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\sup _{{P\in{\cal P}({\cal M})}}E_{P}\Big(XB_{T}^{{-1}}\Big)=$
		$\displaystyle=$	$\displaystyle\sup _{{p\in(0,4/5)}}\ \frac{5}{6}\Big(\frac{-p(x_{1}+3x_{2}-4x_{3})}{4}+\frac{x_{1}+4x_{2}}{5}\Big)=\frac{x_{1}+4x_{2}}{6}.$

Przypadek $x_{1}+3x_{2}-4x_{3}<0$ rozpatrujemy podobnie.

Gdy cena przekracza $\Pi _{0}^{s}(X)$ , to sprzedający ma możliwość uzyskania zysku bez ryzyka, a gdy cena jest mniejsza niż $\Pi _{0}^{b}(X)$ , to kupujący ma możliwość arbitrażu (patrz ćw. 6.4).

6.2. Uogólniona cena arbitrażowa

Możemy na problem wyceny instrumentów nieosiągalnych spojrzeć jeszcze inaczej. Uogólnimy pojęcie ceny arbitrażowej na dowolną wypłatę w następujący sposób:

Definicja 6.2

Liczbę $c$ nazywamy uogólnioną ceną arbitrażową wypłaty $X$ na rynku ${\cal M}=((S^{0},\ldots,S^{k}),\Phi)$ wolnym od arbitrażu, gdy istnieje proces adaptowany $S^{{k+1}}$ taki, że

$S^{{k+1}}_{0}=c,\quad S^{{k+1}}_{T}=X$

i rynek rozszerzony o instrument o cenie $S^{{k+1}}$ jest rynkiem bez możliwości arbitrażu.

Zatem $c$ jest uogólnioną ceną arbitrażową wypłaty $X$ , gdy sprzedaż wypłaty $X$ po cenie $c$ nie wprowadza na rynku możliwości arbitrażu (por. z wnioskiem 4.5). Wtedy proces $S^{{k+1}}$ jest procesem ceny wypłaty $X$ o uogólnionej cenie arbitrażowej $c$ . Z tej definicji wynika, że uogólnionych cen arbitrażowych wypłaty $X$ może być wiele. Przez $\Xi _{0}(X)$ będziemy oznaczać zbiór uogólnionych cen arbitrażowych wypłaty $X$ .

Twierdzenie 6.4

$\Xi _{0}(X)=\{ E_{P}(XB^{{-1}}_{T}):P\in{\cal P}({\cal M})\}.$

Weźmy element $x\in\Xi _{0}(X)$ . Z pierwszego podstawowego twierdzenia matematyki finansowej (tw. 4.2) wynika, że istnieje miara martyngałowa $Q$ dla rynku rozszerzonego, a mianowicie taka miara probabilistyczna $Q$ , że $S^{{*i}}$ jest $Q$ -martyngałem dla $i\in\{ 1,\dots,k+1\}$ , czyli

$S^{{*i}}_{t}=E_{Q}(S^{{*i}}_{T}|{\cal F}_{t})\quad\forall t\in\{ 0,\dots,T\},\quad i~\in\{ 1,\dots,k+1\}.$

Stąd wynika w szczególności, że $Q\in{\cal P}({\cal M})$ oraz $x=S^{{k+1}}_{0}=E_{Q}(S^{{*k+1}}_{T})=E_{Q}(XB^{{-T}})$ . Zatem $x\in\{ E_{P}(XB^{{-1}}_{T}):P\in{\cal P}({\cal M})\}$ .

Teraz udowodnimy inkluzję odwrotną. Niech $y=E_{P}(XB^{{-1}}_{T})$ dla pewnego $P\in{\cal P}({\cal M})$ . Definiujemy proces $S^{{k+1}}$ wzorem $S^{{k+1}}_{t}=B_{t}E_{P}(XB^{{-1}}_{T}|{\cal F}_{t})$ . Na mocy definicji $y=S^{{k+1}}_{0}$ , $S^{{k+1}}_{T}=X$ oraz proces $S^{{*k+1}}$ jest $P$ -martyngałem, więc rynek rozszerzony o instrument o cenie $S^{{k+1}}$ jest rynkiem bez możliwości arbitrażu. Stąd $y\in\Xi _{0}(X)$ .

∎

Z tego twierdzenia wynika, że

Wniosek 6.2

Jeśli ${\cal M}$ jest rynkiem bez możliwości arbitrażu, $X$ jest wypłatą osiągalną, to $\Xi _{0}(X)$ jest zbiorem jednoelementowym i

$\Xi _{0}(X)=\{\Pi _{0}(X)\}.$

Zatem dla wypłaty osiągalnej jej cena otrzymana z def. 6.2 jest równa cenie arbitrażowej, co uzasadnia nazywanie ceny z def. 6.2 uogólnioną ceną arbitrażową.

Uwaga 6.1

Zachodzą równości:

	$\displaystyle\inf\{ x:x\in\Xi _{0}(X)\}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\inf _{{P\in{\cal P}({\cal M})}}E_{P}(XB^{{-1}}_{T})=\Pi _{0}^{b}(X),$
	$\displaystyle\sup\{ x:x\in\Xi _{0}(X)\}$	$\displaystyle=$	$\displaystyle\sup _{{P\in{\cal P}({\cal M})}}E_{P}(XB^{{-1}}_{T})=\Pi _{0}^{s}(X).$

Zbiór $\{ E_{P}(XB^{{-1}}_{T}):P\in{\cal P}({\cal M})\}$ jest pusty (gdy na rynku jest arbitraż) lub jest odcinkiem, gdyż zbiór miar martyngałowych ${\cal P}({\cal M})$ jest zbiorem wypukłym. Można udowodnić, że gdy rynek jest wolny od arbitrażu, ale nie jest zupełny, to jest to przedział otwarty. Odcinek o końcach $\Pi _{0}^{b}(X)$ i $\Pi _{0}^{s}(X)$ nazywamy przedziałem braku arbitrażu. Przedział $[\Pi _{0}^{b}(X),\Pi _{0}^{s}(X)]$ jest przedziałem cen akceptowanych przez obie strony kontraktu. Stąd potencjalny zysk (gdyż ceny są losowe) jest traktowany jako wynagrodzenie za zgodę na ryzyko. Z rozważań przeprowadzonych w tym paragrafie wiemy, że cena akceptowana przez obie strony kontraktu należy do przedziału $[\Pi _{0}^{b}(X),\Pi _{0}^{s}(X)]$ . Celem dalszych badań, których nie będziemy tu opisywać, jest znalezienie najlepszej ceny z tego przedziału, czyli należy znaleźć miarę martyngałową $Q$ , zwaną miarą wyceniającą, dającą cenę za pomocą wzoru $E_{Q}(XB^{{-1}}_{T})$ . Są różne metody wyboru takiej miary martyngałowej $Q$ . Zależą one od subiektywnie przyjętych kryteriów.

6.3. Zagadnienia i zadania na ćwiczenia

Ćwiczenie 6.1

Udowodnić lemat 6.1.

Rozwiązanie:

(6.3) wynika natychmiast z tego, że

$\sup _{{\varphi\in{\cal A}}}(-V_{0}(\varphi))=-\inf _{{\varphi\in{\cal A}}}\ V_{0}(\varphi),$

gdzie ${\cal A}=\{\varphi\in\Phi\ :\ V_{T}(\varphi)\geq-X\}.$

Ćwiczenie 6.2

Udowodnić tw. 6.1.

Ćwiczenie 6.3

Udowodnić tw. 6.2 bez korzystania z tw. 6.1.

Rozwiązanie:

a) $\Pi^{s}_{0}(X)=\Pi _{0}(X).$ Niech $\varphi$ replikuje $X$ , tj. $V_{T}(\varphi)=X$ , stąd

$\Pi _{0}(X)=V_{0}(\varphi)\geq\Pi _{0}^{s}(X).$

Pokażemy, że zachodzi równość. Warunek $\Pi _{0}(X)>\Pi _{0}^{s}(X)$ pociąga za sobą istnienie strategii $\psi\in\Phi$ takiej, że

$\Pi _{0}^{s}(X)\leq V_{0}(\psi)<V_{0}(\varphi)\ \hbox{oraz}\ V_{T}(\psi)\geq X.$

Ale wtedy portfel $\psi-\varphi$ jest arbitrażem, gdyż $V_{T}(\psi-\varphi)\geq 0$ i $V_{0}(\psi-\varphi)<0$ .

b) $\Pi _{0}^{b}(X)=\Pi _{0}(X)$ . Niech portfel $\varphi$ replikuje $X$ . Wtedy $V_{T}(\varphi)=X$ , więc z (6.5)

$\Pi _{0}(X)\leq\Pi _{0}^{b}(X).$

Gdyby $\Pi _{0}(X)<\Pi _{0}^{b}(X)$ , to istniałoby $\psi\in\Phi$ takie, że

$V_{T}(\Psi)\leq X\quad\hbox{i}\quad\Pi _{0}^{b}(X)\geq V_{0}(\psi)>V_{0}(\varphi).$

Ale wtedy portfel $\varphi-\psi$ jest arbitrażem, bo $V_{0}(\varphi-\psi)<0$ oraz

$V_{T}(\varphi-\psi)=X-V_{T}(\psi)\geq 0.$

Ćwiczenie 6.4

a) Podać przykład strategii dającej zysk bez ryzyka, gdy kontrakt $X$ został sprzedany za cenę $s>\Pi^{s}_{0}(X)$ .

b) Załóżmy, że kupujący nabył wypłatę $X$ za cenę $s<\Pi^{b}_{0}(X)$ . Jak powinien postępować, by osiągnąć zysk bez ryzyka?

Rozwiązanie:

Ponieważ $\Pi^{s}_{0}(X)<s$ , więc istnieje portfel $\varphi\in\Phi$ , taki że $V_{0}(\varphi)=z$ , $V_{T}(\varphi)\geq X$ oraz $\Pi^{s}_{0}(X)<z~<s$ . Sprzedawca kontraktu konstruuje za kwotę $z$ portfel $\varphi$ i ze sprzedaży kontraktu i nabycia portfela $\varphi$ ma dodatni zysk w chwili $T$ :

$(s-X)+(V_{T}(\varphi)-z)=(s-z)+V_{T}(\varphi)-X\geq s-z~>0.$

Ćwiczenie 6.5

Znaleźć przykład wypłat $X$ i $Y$ , takich że

$\Pi^{s}_{0}(X+Y)\neq\Pi^{s}_{0}(Y)+\Pi^{s}_{0}(X),$

$\Pi^{b}_{0}(X+Y)\neq\Pi^{b}_{0}(Y)+\Pi^{b}_{0}(X).$

Rozwiązanie:

Rozpatrzmy rynek z przykł. 4.2. Niech $Y=(1/2,1/2,1)$ , $X=-Y$ . Wtedy

	$\displaystyle\Pi^{s}_{0}(X+Y)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle 0,\quad\Pi^{s}_{0}(Y)+\Pi^{s}_{0}(X)=\frac{3}{4}-\frac{5}{12}=\frac{1}{3}>0,$
	$\displaystyle\Pi^{b}_{0}(X+Y)$	$\displaystyle=$	$\displaystyle 0,\quad\Pi^{b}_{0}(Y)+\Pi^{b}_{0}(X)=\frac{5}{12}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{3}<0.$

Ćwiczenie 6.6

Rozpatrzmy rynek jednookresowy z trzema możliwymi zdarzeniami losowymi. Inwestor uważa, że są one jednakowo prawdopodobne. Na rynku stopa procentowa bez ryzyka wynosi 5% i jest jedna akcja mająca proces cen postaci:

$S^{1}_{0}=10,\quad S^{1}_{1}(\omega _{1})=8,\quad S^{1}_{1}(\omega _{2})=11,\quad S^{1}_{1}(\omega _{3})=12.$

Wycenić wypłaty:

$X=(1,1,1),\qquad Y=(2,3,1),\qquad Z~=(1,0,0).$

Rozwiązanie:

Wypłata $X$ jest osiągalna i $\Pi _{0}(X)=1/1{,}05=0{,}95$ . Wypłaty $Y,Z$ nie są osiągalne. Znajdujemy ogólną postać miary martyngałowej $P^{*}$ :

$P^{*}(\omega _{1})=p,\ P^{*}(\omega _{2})=1{,}5-4p,\ P^{*}(\omega _{3})=3p-1/2,\quad p\in(1/6,3/8).$

Zatem $E_{{P^{*}}}(Y)=4-7p$ , $E_{{P^{*}}}(Z)=p$ , a stąd $\Pi^{s}_{0}(Y)=2{,}70$ , $\Pi^{b}_{0}(Y)=1{,}31$ , $\Pi^{s}_{0}(Z)=\frac{3}{8{,}4}=0{,}36$ , $\Pi^{b}_{0}(Z)=\frac{1}{6{,}3}=0{,}16$ .