Dotąd
rozpatrywane wypłaty (opcje typu europejskiego) były typu
statycznego, czyli wypłata z opcji następuje w ustalonej chwili .
Teraz rozszerzymy pojęcie instrumentu pochodnego na opcje
amerykańskie, czyli na instrument dający posiadaczowi prawo
realizacji w dowolnej chwili
.
Opcją amerykańską o terminie
wygaśnięcia nazywamy ciąg adaptowanych nieujemnych zmiennych
losowych
,
.
Zmienną losową interpretujemy jako wypłatę otrzymaną
z realizacji opcji amerykańskiej w chwili
, a ponieważ
jest
-mierzalne, to wypłata zależy od wiedzy w chwili
.
Amerykańska opcja kupna na akcję
o cenie z ceną wykonania
(dodatnia stała) zadana jest przez
,
. Kupujący otrzymuje prawo do
zakupu akcji po cenie
w dowolnej chwili
.
Analogicznie ciąg
,
, zadaje
amerykańską opcję sprzedaży na
akcje o cenie
z ceną wykonania
.
Posiadacz opcji amerykańskiej ma prawo wykonać ją w dowolnej chwili.
Ponieważ posiadacz opcji decyduje czy chwila jej wykonania właśnie
nastąpiła i decyduje na podstawie wiedzy zebranej do tego momentu,
więc , a więc moment wykonania opcji
jest momentem stopu. Sprzedawca opcji dostając za nią zapłatę
musi postępować w taki sposób, aby w każdej chwili wartość
jego portfela
o kapitale początkowym
przewyższała
jego zobowiązania wobec kupca opcji, czyli strategia
musi
być taka, by dla wszystkich
zachodziło:
![]() |
(7.1) |
Strategię spełniająca (7.1) nazywamy strategią
zabezpieczającą opcję
amerykańską
. Zbiór wszystkich takich strategii będziemy
oznaczali przez
Z warunku
(7.1) wynika, że
![]() |
dla
dowolnego momentu stopu o wartościach w zbiorze
.
Korzystając z analogicznych argumentów jak przy definiowaniu ceny
sprzedającego przyjmujemy:
Wielkość
![]() |
(7.2) |
nazywamy ceną arbitrażową w chwili opcji amerykańskiej zadanej
przez ciąg wypłat
.
Naszym celem będzie teraz znalezienie ceny Załóżmy, że rozpatrywany
rynek jest skończony, bez możliwości arbitrażu i zupeły z jednym instrumentem
ryzykownym, czyli
.
Przez
będziemy oznaczać cenę opcji amerykańskiej w chwili
.
Zatem naszym zadaniem jest znalezienie
. W tym celu skorzystamy z tego, że w chwili
zachodzi
i wykorzystamy indukcję wsteczną.
W chwili
wystawca opcji musi mieć taki
kapitał, by zabezpieczyć jedną z wypłat: wypłatę
w chwili
albo wypłatę
w chwili
, gdyż każdą z nich może wybrać
nabywca opcji. Ponieważ rynek jest zupełny, więc wypłata
w chwili
jest osiągalna i w chwili
jej cena
jest równa
—
tyle trzeba mieć w chwili
, by zabezpieczyć wypłatę
w chwili
. Stąd cena opcji amerykańskiej w chwili
wynosi:
![]() |
Analogiczne rozumowanie daje cenę opcji amerykańskiej w chwili :
![]() |
(7.3) |
dla , gdyż wystawca musi zabezpieczyć jedną
z wypłat: natychmiastową w chwili
, tj. wypłatę
lub
wypłatę w chwili późniejszej, a ona w chwili
jest warta
.
Dzieląc obie strony przez
i oznaczając
mamy
![]() |
(7.4) |
Zatem otrzymaliśmy
Zdyskontowana cena opcji
amerykańskiej zadanej przez ciąg wypłat
jest
-nadmartyngałem zadanym wzorem (7.4).
Ze wzoru (7.4) wynika, że ciąg jest obwiednią Snella ciągu
, czyli że
jest najmniejszym
-nadmartyngałem dominującym ciąg
.
Stąd wykorzystując elementy teorii optymalnego stopowania mamy
a) — cena w chwili
opcji amerykańskiej spełnia
![]() |
(7.5) |
gdzie
bierzemy po momentach stopu
o wartościach mniejszych lub
równych
.
b) Istnieje strategia samofinansująca się o kapitale
początkowym
zabezpieczająca wypłatę z opcji amerykańskiej
.
c) Moment stopu
![]() |
(7.6) |
jest momentem realizacji opcji.
Punkt a). Zdyskontowany proces ceny opcji amerykańskiej
jest obwiednią Snella ciągu zdyskontowanych wypłat
, a stąd
korzystając z teorii optymalnego stopowania wynika
(7.5).
Punkt b).
Jak wiemy, jest
–nadmartyngałem, więc
z tw. Dooba-Meyera o rozkładzie
nadmartyngału
![]() |
(7.7) |
gdzie jest martyngałem,
— procesem rosnącym
prognozowalnym,
. Rynek jest zupełny,
więc istnieje strategia
taka, że
.
Ponieważ
jest martyngałem, więc
![]() |
Stąd i z (7.7) mamy , czyli
jest kapitałem początkowym strategii
. Ponadto
czyli
![]() |
(7.8) |
a ponieważ , proces
dominuje
, więc
![]() |
czyli zabezpiecza opcję amerykańską.
Punkt c). Mając opcję nie ma sensu realizować jej
w chwili takiej, że
, bo sprzedajemy walor wart
za cenę
(lepiej opcję sprzedać za
niż ją zrealizować
i otrzymać
). Stąd moment realizacji opcji (moment stopu)
spełnia
![]() |
gdyż wiemy, że . Nie ma sensu realizować opcji po
chwili
![]() |
gdyż sprzedając opcję w chwili i kupując strategię
zabezpieczającą
otrzymamy
![]() |
i od tego momentu postępując zgodnie ze strategią mamy
portfel, którego bogactwo jest większe niż wartość opcji w chwili
. Istotnie, ponieważ (7.8)
implikuje
![]() |
oraz dla
, więc
dla
. Zatem
. Pozwala to
stwierdzić, że
jest martyngałem, gdyż wtedy
(bo
) i korzystamy
z przedstawienia (7.7).
Stąd wynika, że dla nabywcy opcji najlepszym momentem realizacji
opcji jest optymalny moment stopu dla ciągu
przy
rozkładzie prawdopodobieństwa
(korzystamy z tw.
charakteryzującego moment
optymalny). A jak wiadomo moment stopu zdefiniowany wzorem
(7.6) ma taką własność.
a) Z tw. 7.2 mamy, że
![]() |
czyli cena zdefiniowana wzorem (7.2) satysfakcjonuje
także kupującego. Kupujący chce najlepiej wykorzystać swoje prawa
i uzyskać jak największą wypłatę. Gdy kupujący realizuje opcję
w momencie stopu i otrzymuje wypłatę
, to jest
skłonny zapłacić za tę wypłatę
. A ponieważ
kupujący może zrealizować opcję w każdym momencie, więc za uczciwą
cenę uważa
, gdzie supremum bierzemy
po momentach stopu
o wartościach mniejszych lub równych
.
b) Punkt c) twierdzenia odpowiada na zasadnicze pytanie z punktu
widzenia nabywcy: kiedy należy zrealizować opcję.
Z dowodu tego punktu wynika, że moment wykonania opcji należy
wybrać jako optymalny moment stopu dla problemu optymalnego
stopowania ciągu . Taki moment nie jest wyznaczony
jednoznacznie. Jednym z takich momentów jest moment zdefiniowany
wzorem (7.6). Wybieramy go, gdyż (7.6),
daje jego jawną postać. Mamy regułę jak ten moment wyznacznaczyć
praktycznie.
Wykorzystując dowód punktu c) twierdzenia możemy zanalizować
sytuacje wystawcy opcji. Wystawca opcji stosuje strategię
i czeka na to, co zrobi nabywca. Jeżeli nabywca zrealizuje opcję
w chwili optymalnej
, to
.
Wtedy sprzedawca stosując strategię
otrzymuje całą kwotę,
którą musi wypłacić nabywcy opcji. Sprzedawca zabezpieczył swoje
zobowiązanie wobec nabywcy.
Jeśli natomiast nabywca zrealizuje opcję w innej
chwili
niż optymalna
, to wystawca ma dodatni zysk.
Istotnie, gdy moment realizacji
nie jest optymalny, to
lub
i korzystając
z (7.8) otrzymujemy zysk wystawcy:
![]() |
Zajmiemy się teraz porównaniem opcji amerykańskich i europejskich. Opcje amerykańskie dają posiadaczowi więcej praw niż europejskie, więc powinny kosztować więcej.
Niech będzie wartością w chwili
opcji
amerykańskiej zadanej przez ciąg
, a
wartością
w chwili
opcji europejskiej o wypłacie
. Wtedy
![]() |
(7.9) |
Ponadto, gdy dla każdego mamy
![]() |
(7.10) |
to dla każdego mamy
![]() |
(7.11) |
Ponieważ jest
-nadmartyngałem oraz
, więc
![]() |
Stąd , czyli zachodzi warunek (7.9).
Z warunku (7.10) wynika, że
, a ponieważ
jest
-martyngałem, w szczególności
-nadmartyngałem, więc
![]() |
(7.12) |
bowiem jest najmniejszym nadmartyngałem
dominującym
. Teraz (7.9) i (7.12)
dają (7.11).
Z tw. 7.3 wynika, że amerykańska opcja kupna jest warta tyle samo, co europejska..
Ceny amerykańskiej i europejskiej opcji kupna z tym samym terminem wygaśnięcia i tę samą cena wykonania są równe.
Ogólniejszą wersję wniosku można znaleźć w ćw. 7.5.
Na rynku zupełnym opisanym w przykł. 4.2 chcemy znaleźć ceny
amerykańskiej opcji kupna i amerykańskiej opcji sprzedaży z ceną
wykonania , a także znaleźć optymalny momentem wykonania
opcji sprzedaży przez nabywcę opcji.
Jak wiemy, cena amerykańskiej opcji kupna jest równa cenie opcji
europejskiej (tw. 7.3), więc korzystając z przykł.
4.2 otrzymujemy . Obliczymy cenę
amerykańskiej opcji sprzedaży. Korzystamy ze wzoru (7.3)
kolejno dla
i
, otrzymując:
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
||
![]() |
![]() |
![]() |
Moment stopu zdefiniowany wzorem
![]() |
jest optymalnym momentem wykonania opcji sprzedaży przez jej posiadacza.
Bank ma amerykańską opcję sprzedaży akcji z ceną realizacji 60
i datą wygaśnięcia za roku. Walor (akcja) wart jest teraz 6,
a stopa procentowa bez ryzyka (kapitalizacja ciągła) wynosi
p.a.1skrót łac. per annum, w skali roku. Czy warto
opcję zrealizować teraz, czy w chwili wygaśnięcia?
Teraz mamy , wkładamy do banku i za
roku mamy
. W chwili wygaśnięcia
opcja jest warta co najwyżej 60 (gdy
). Zatem warto opcję
zrealizować teraz. Wynika to z faktu, że cena waloru jest niska
w porównaniu z ceną wykonania opcji. W takim przypadku wykonujemy
opcję i inwestujemy otrzymane pieniądze.
Mówimy, że opcja amerykańska jest zawsze
realizowalna, gdy dla dowolnego momentu stopu
o wartościach
mniejszych lub równych
istnieje strategia
taka,
że
![]() |
Udowodnić, że na rynku zupełnym każda opcja amerykańska jest zawsze realizowalna.
Ustalmy dowolny moment stopu . Na mocy zupełności rynku
wypłata
![]() |
jest osiągalna, więc istnieje takie, że
. Stąd
![]() |
a więc
![]() |
czyli .
Udowodnić, że gdy na rynku zupełnym opcja amerykańska jest wyceniana wzorem (7.5), to
a) nie istnieje arbitraż związany z pozycją krótką (tj. wystawcy opcji),
b) nie istnieje arbitraż związany z pozycją długą (tj. nabywcy opcji).
a) Nie wprost. Gdyby istniał arbitraż związany z pozycją
krótką, to sprzedawca posługiwałby się portfelem
zabezpieczającym opcję amerykańską takim, że dla każdego momentu
wykonania opcji przez kupującego, tj. momentu stopu
, ma on
zysk bez ryzyka:
![]() |
Wtedy
![]() |
dla każdego momentu stopu , co na mocy skończoności
implikuje
![]() |
sprzeczność.
Niech w modelu CRR:
. Znaleźć cenę w chwili 0 opcji amerykańskiej o wypłacie
(jest tzw. opcja rosyjska.
Znaleźć moment wykonania opcji. Znaleźć dla niej strategię
zabezpieczającą.
Z danych wynika, że rynek jest wolny od arbitrażu. Miara
martyngałowa jest wyznaczona przez
.
Znajdujemy wartość wypłaty dla każdej
ścieżki, a następnie obliczamy cenę:
.
. Moment
![]() |
jest optymalnym momentem wykonania opcji przez posiadacza. Strategię zabezpieczającą znajdujemy korzystając np. z tw. 7.2 i postaci martyngału w rozkładzie Dooba
Niech ciąg , gdzie
jest funkcją wypukłą,
nieujemną,
, zadaje opcję amerykańską na rynku zupełnym.
Udowodnić, że cena tej opcji amerykańskiej jest równa cenie opcji
europejskiej o wypłacie
.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.