Zagadnienia

12.1 Krótki i długi okres dla rynku
- 12.1.1 Skutki opodatkowania – przykład analizy

12. Rynek wolnokonkurencyjny – równowaga cząstkowa

Teraz zajmiemy się połączeniem teorii konsumpcji i produkcji. Konsumenci dóbr i ich producenci spotykają sią na rynku, który ustala ceny. Zaczniemy od najprostszego ujęcia zagadnienia – podejścia równowagi cząstkowej. Polega ono na tym, że analizujemy jedynie rynek jednego dobra rozpatrywany niezależnie od innych (możemy tak postępować, jeśli już policzyliśmy funkcje popytu, podaży i kosztów uczestników rynku, i zakładamy, że wszystkie ceny pozostałych dóbr nie zmieniają się – jest to założenie nieco wygórowane). Na tym poziomie wszystkie informacje o konsumentach czerpiemy z ich funkcji popytu na to dobro, a o producentach z ich funkcji podaży produktu i funkcji kosztów. Na tej podstawie będziemy mogli opisać skąd się biorą i jak ewoluują ceny.

Tak więc rozważamy tylko abstrakcyjny rynek jednego, ustalonego dobra (powiedzmy $i$ -tego), nie interesując się pozostałymi. Mamy zbiór $K$ konsumentów tego dobra i zbiór $F$ jego producentów – oba te zbiory są w naszej analizie skończone.

Przy ustalonych cenach pozostałych dóbr i dochodzie konsument $k$ ma fukcję popytu na dobro $i$ $\bar{x}_{{i}}^{{k}}(p_{{i}})$ .

Przy ustalonych cenach pozostałych dóbr (w tym czynników produkcji), producent $f$ ma funkcję podaży dobra $i$ $\bar{y}_{{i}}^{{f}}(p_{{i}})$ , a jeśli jest producentem jedynie dobra $i$ , także funkcję kosztów $c^{{f}}(y)$ .

Jesteśmy na rynku wolnokonkurencyjnym. Przetłumaczone na sytuację rzeczywistą, oznacza to, że wybór zarówno producentów jak i konsumentów jest podyktowany jedynie względami ekonomicznymi (nie ma zakazów ani nakazów), nie ma kosztów wejścia na rynek ani wyjścia z rynku, wszyscy uczestnicy dysponują pełną informacją o cenach: konsumenci o cenach dyktowanych przez różnych producentów (stąd nikt nie kupi po wyższej cenie niż najniższa oferowana; producent nie może więc podnosić ceny powyżej ceny rynkowej, bo nie sprzeda produkcji, a zakładamy, że zawsze zauważy, że popyt wzrósł i można podnieść cenę do nowej ceny rynkowej) oraz że to samo dobro produkowane przez różnych producentów jest postrzegane identycznie przez konsumentów. Jest to model idealny (jak np. modele ruchu bez tarcia w fizyce), ale całkiem nieźle modeluje rzeczywiste prawie konkurencyjne rynki (np. wspomniany już rynek gwoździ na Grzybowskiej albo giełdę kwiatową, ale już nie rynek samochodowy – tu marka gra rolę).

Te wszystkie elementy opisu można zastąpić dwoma założeniami: jedynym parametrem wpływającym na wybór są ceny dóbr i ceny dóbr są traktowane jako dane. Zakładamy, że wszystkie parametry poza ceną naszego dobra są ustalone.

Definicja 12.1

Funkcją popytu rynkowego na dobro $i$ nazywamy funkcję $d(p_{{i}})=\sum _{{k\in K}}\bar{x}_{{i}}^{{k}}(p_{{i}})$ .

Funkcją podaży rynkowej (albo funkcją podaży gałęzi) dobra $i$ nazywamy funkcję $s(p_{{i}})=\sum _{{f\in F}}\bar{y}_{{i}}^{{f}}(p_{{i}})$ .

Równowagą nazywamy taki stan rynku (tj. $\left(p_{{i}},s(p_{{i}}),d(p_{{i}})\right)$ – cenę, konsumpcję i produkcję), że $s(p_{{i}})=d(p_{{i}})$ (podaż równa się popytowi). Taka cena $p_{{i}}$ jest nazywana ceną równowagi i wyznacza ona wszystkie pozostałe zmienne.

Uwaga do ewentualnych wykresów: ze względu na tradycję ekonomiści rysują osie w wykresach popytu i podaży na odwrót – cena na pionowej, ilość na poziomej (czyli w rzeczywistości to, co rysujemy, będzie odwrotną funkcją popytu i podaży). Przyjmiemy tę konwencję, gdyż chyba nie ma książki, w której byłoby inaczej.

12.1. Krótki i długi okres dla rynku

Podobnie jak w przypadku podaży firmy, tak i podaż gałęzi może być z definicji długo-, średnio- albo krótko-okresowa. Tak więc sytuacja na rynku, a co za tym idzie równowaga też może być zależna od długości okresu. Tu określenia długości będą miały nieco inne znaczenie.

Znów nie ma tu precyzyjnej definicji długości okresu. Generalnie im krótszy okres, tym większa liczba czynników ustalona, co wpływa na postać funkcji podaży – im dłuższy okres, tym bardziej zmienna; ponadto z upływem czasu może pojawiać się coraz więcej kopii dobrze prosperującej firmy, natomiast coraz więcej firm mających straty upada. W naszych rozważaniach przyjmiemy następujący podział:

przez bardzo krótki okres będziemy rozumieć taki, w którym wszystkie czynniki ustalone, a więc produkcja ustalona;

krótki okres – pewna część czynników produkcji ustalona, zbiór $F$ ustalony – nie powstają ani nie upadają firmy, firmy mogą produkować nawet przy ujemnym zysku, jeśli z utargu pokrywają przynajmniej koszty zmienne;

średni okres – wszystkie czynniki produkcji zmienne, istnieje tylko koszt stały istnienia firmy, zbiór $F$ ustalony, firmy produkują tylko jeśli zysk nieujemny (zakładamy że produkują też przy zysku $0$ );

długi okres – wszystko zmienne; powstają kopie firmy przynoszącej zysk dodatni, upadają firmy przynoszące stratę.

Zakładamy, że wszystkie rozważane funkcje są gładkie, funkcje kosztów są wypukłe, koszty krańcowe dążą do nieskończoności przy produkcji dążącej do nieskończoności, koszty przeciętne i koszty przeciętne zmienne mają kształt litery $U$ .

Stwierdzenie 12.1

Funkcje podaży dążą z czasem do (poziomej przy założeniu, że osie są na odwrót!) prostej, zwanej funkcją długookresowej podaży gałęzi (w naszym rozumieniu nie jest to funkcja), gdzie cena równa się kresowi dolnemu zbioru minimów kosztów przeciętnych ( $p^{{*}}=\min _{{f\in F}}\min _{{y>0}}\frac{c^{{f}}(y)}{y}$ ). Wówczas wszyscy producenci mają zysk równy $0$ i każdy z nich produkuje na poziomie $\mathop{\rm{Argmin}}_{{y>0}}\frac{c^{{f}}(y)}{y}$ , a liczba firm jest taka, żeby popyt był równy podaży.

Rys. 12.1. Krzywe popytu i podaży w długim okresie – uwaga, osie są na odwrót!.

Jak to działa w rzeczywistości, czyli coś w rodzaju dowodu:

Niech $f$ firma taka, że $\min _{{j\in F}}\min _{{y>0}}\frac{c^{{j}}(y)}{y}=\min\frac{c^{{f}}(y)}{y}$ i to minimum jest przyjmowane dla $y=y^{{*}}$ .

Jeśli $p>p^{{*}}$ , to z czasem pojawiają się kopie firmy $f$ , bo osiąga ona dodatnie zyski i największe ze wszystkich firm, ale popyt się nie zmienił, więc cena musi spaść, gdyż inaczej producenci zostaliby z towarem. Jeśli natomiast $p<p^{{*}}$ , to wszystkie firmy przynoszą stratę. W długim okresie część z nich zaprzestanie produkcji i rozwiąże się, a więc przy tym samym popycie spadnie podaż. Stąd cena musi wzrosnąć, gdyż konsumenci są skłonni zapłacić więcej, byle tylko dostać brakujące dobro.

Czyli w długim okresie to funkcja produkcji najlepszej technologii (a dokładniej jej funkcja kosztów) determinuje cenę równowagi $\min{}_{{y\geq 0}}\frac{c^{{f}}(y)}{y}$ , każda z firm będzie produkować $\mathop{\rm{Argmin}}_{{y\geq 0}}\frac{c^{{f}}(y)}{y},$ gdzie $f$ – firma stosująca najlepszą technologię, a firm będzie tyle by zaspokoić popyt.

W bardzo krótkim okresie przeciwnie – jedynie popyt determinuje równowagę (bo podaż ustalona). Ma to miejsce w sytuacji, gdy przy ustalonej produkcji następuje tzw. szok popytowy: pozytywny, czyli skokowe, nieprzewidziane zwiększenie popytu (np. miasto zostaje zamknięte z powodu epidemii lub oblężenia i ludzie zaczynają w panice kupować żywność; do niewielkiego miasta sprowadzają się imigranci itp.) lub negatywny (jak np. informacja o wściekłych krowach na rynku wołowiny). Jeżeli jest dokładnie $Q$ towaru na rynku, to ustali się cena $p$ , taka że $d_{{i}}(p)=Q$ (w bardzo krótkim okresie funkcja podaży jest na wykresie pionowa – znów uwaga na osie).

Im dłuższy okres, tym krzywa podaży jest bardziej płaska, coraz mniejszy wpływ na cenę ma popyt. Najpierw już istniejące firmy zwiększają lub zmniejszają zatrudnienie kolejnych czynników, które stały się zmienne. Potem powstają nowe firmy albo upadają istniejące. Z czasem cena wróci do poprzedniej ceny równowagi długookresowej, przy tej samej produkcji pojedynczych firm, jedynie przy większej ilości firm.

Rys. 12.2. Rynek po pozytywnym szoku popytowym – ścieżka dojścia do nowej równowagi długookresowej.

Przykład 12.1

Mamy rynek w równowadze długookresowej, na którym działają tylko firmy o funkcji produkcji Cobb-Douglasa $f(K,L)=K^{{\frac{1}{6}}}L^{{\frac{1}{3}}}$ , o kosztach stałych działalności $c_{{s}}=\frac{1}{6}$ , ceny czynników wynoszą $p_{{k}}=\frac{1}{2}$ i $p_{{l}}=1$ . Funkcja popytu to $d(p)=400-100p$ .

Jak łatwo policzyć, w krótkim okresie ( $K=\bar{K}$ , $L$ zmienne) funkcja kosztów ma postać $c(y)=\frac{1}{6}+\min _{{y=K^{{\frac{1}{6}}}L^{{\frac{1}{3}}}\\ K=\bar{K}}}\frac{1}{2}K+L=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\bar{K}+y^{{3}}\bar{K}^{{-\frac{1}{2}}}$ , a w długim okresie $c(y)=\frac{1}{6}+\min _{{y=K^{{\frac{1}{6}}}L^{{\frac{1}{3}}}}}\frac{1}{2}K+L=\frac{1}{6}+\frac{3}{2}y^{{2}}$ .

W równowadze długookresowej cena na rynku równa jest $\min _{{y\geq 0}}\frac{c(y)}{y}=1$ , każda z firm produkuje $y=\frac{1}{3}$ , przy nakładach $L=\frac{1}{9}$ i $K=\frac{1}{9}$ . Ponieważ popyt wynosi $d(1)=300$ , więc na rynku jest $900$ aktywnych firm.

Teraz zobaczmy, co się stanie, jeśli do miasta sprowadzą się nowi mieszkańcy, co zwiększy popyt do $d^{{\prime}}(p)=750-150p$ .

W bardzo krótkim okresie podaż jest $300$ , więc $300=750-150p$ , więc cena ustali się na $p^{{\prime}}=3$ . W krótkim okresie można zwiększyć produkcję zwiększając zatrudnienie pracy.

Krótkookresowa funkcja kosztów ma postać $c(y)=\frac{2}{9}+3y^{{3}},$ a więc każda firma jest skłonna wyprodukować $\mathop{\rm{Argmax}}_{{y\geq 0}}py-c(y)$ , czyli $y=\frac{1}{3}p^{{\frac{1}{2}}}$ . Stąd funkcja podaży gałęzi to $s(p)=300p^{{\frac{1}{2}}}$ . W równowadze krótkookresowej $750-150p=300p^{{\frac{1}{2}}},$ co wyznacza cenę $p^{{\prime\prime}}=7-2\sqrt{6}$ .

W średnim okresie na rynku jest nadal 900 aktywnych firm o funkcji kosztów $c(y)=\frac{1}{6}+3y^{{2}}$ i produkcja każdej równa się $\mathop{\rm{Argmax}}_{{y\geq 0}}py-c(y)$ , czyli $y=\frac{1}{3}p$ . Stąd $s(p)=300p.$ W równowadze średniookresowej $750-150p=300p$ , co wyznacza cenę $p^{{\prime\prime\prime}}=\frac{5}{3}$ .

W długim okresie cena znów jest $1$ , każda z firm produkuje $y=\frac{1}{3}$ , przy nakładach $L=\frac{1}{9}$ i $K=\frac{1}{9}$ i ma zerowy zysk. Ponieważ popyt wynosi $d(1)=600$ , więc na rynku jest $1800$ aktywnych firm.

Rys. 12.3. Ilustracja do przykładu – pozytywny szok popytowy.

Uwaga 12.1

To, że zysk w równowadze w długim okresie jest zerowy nie jest bezsensowne: oznacza to, że przychód jest równy kosztom. Przypomnijmy jednak, że bierzemy pod uwagę koszty alternatywne. Zerowy zysk oznacza jedynie, że jeśli zainwestujemy w naszą działalność, to uzyskamy tyle samo jak przy najlepszej możliwej innej inwestycji (np. właściciel firmy zarabia za swoją pracę tyle samo ile uzyskałby jako prezes na państwowej posadzie).

Ćwiczenie 12.1

Podzespoły elektroniczne są produkowane w branży doskonale konkurencyjnej przy pomocy jednej z dwóch technologii o funkcjach kosztów długookresowych odpowiednio $c_{{1}}(y)=\frac{y^{{2}}}{2}+8$ i $c_{{2}}(y)=\frac{2y^{{2}}}{3}+6$ . Obliczyć jakie będą parametry równowagi długookresowej (liczba firm stosujących każdą z technologii, produkcja każdej firmy, produkcja łączna i cena), jeśli funkcja popytu jest równa $d(p)=7200-100p$ . Opisać proces dochodzenia do tej równowagi, jeśli początkowo cena jest równa $8$ i istnieją firmy posługujące się każdą z tych technologii (zmianę technologii traktujemy jako likwidację starej firmy i założenie nowej).

Co jeśli konkurencja nie jest doskonała: np mamy licencje (za które trzeba zapłacić) na taksówki, sprzedaż alkoholu albo administracyjne utrudnienia w konkurencji (np. urzędnik oczekuje łapówki)?

Każda firma patrzy, czy opłaca jej się wejść na rynek. Nawet jeśli zysk jest dodatni to może nie wystarczyć na pokrycie kosztu wejścia na rynek. Wówczas firmy, które już są na rynku mogą mieć wysokie zyski nawet w długim okresie – możemy je określić jako ekonomiczną ”rentę z bycia pierwszym”. Jeśli jakaś firma zdecyduje się sprzedać swoją licencję, to za cenę przynajmniej równą zdyskontowanemu strumieniowi przyszłych dochodów (przy założeniu doskonałego rynku kredytów i doskonałej informacji), a wchodząca firma nie da więcej.

12.1.1. Skutki opodatkowania – przykład analizy

Załóżmy, że jesteśmy w równowadze długookresowej. Rząd, chcąc zwiększyć wpływy do budżetu, nakłada podatek na produkt produkowany przez firmy doskonale konkurencyjne: w kwocie $t$ od jednostki. Jakie będą tego skutki?

Wszystko jedno, przez kogo fizycznie jest płacony podatek i czy jest wliczony w cenę, rezultat będzie taki sam: zmiejszenie produkcji.

Jeżeli podatek jest wliczony w cenę i płaci go producent, wówczas przy cenie rynkowej $p^{{*}}$ , podaż producenta jest równa $s(p^{{*}}-t)$ (to oznacza przesunięcie krzywej podaży o $t$ w górę), a popyt się nie zmienia. W bardzo krótkim okresie cena nie zmieni się, czyli cały ciężar podatku ponoszą producenci. Z czasem cena będzie wzrastać, a podaż maleć, a udział konsumentów w płaceniu podatku wzrastać, aż w długim okresie cena będzie wynosić $p^{{*}}+t$ , czyli cały ciężar podatku spada na konsumentów.

Jeżeli podatek nie jest wliczony w cenę i płaci go konsument, wówczas przy cenie rynkowej $p^{{*}}$ , podaż producenta nie zmienia się a popyt jest równy $d(p^{{*}}+t)$ (ważne jest, ile łącznie muszę zapłacić, kupując dobro; to oznacza przesunięcie krzywej popytu o $t$ w dół). W bardzo krótkim okresie podaż nie zmieni się, więc cena musi spaść od $p^{{*}}-t$ , czyli cały ciężar podatku ponoszą producenci. Z czasem cena będzie wzrastać i podaż maleć, a udział konsumentów w płaceniu podatku wzrastać, aż w długim okresie cena będzie wynosić $p^{{*}}$ , czyli cały ciężar podatku spada na konsumentów.

W obu sytuacjach zysk każdego producenta i faktyczna cena płacona przez konsumenta za dobro jest taka sama.

Opodatkowanie -- przebieg zjawiska w czasie

Rys. 12.4. Opodatkowanie – przebieg procesu dostosowania do nowej sytuacji.

Zobaczmy teraz jak w średnim i długim okresie wpływy podatkowe maja się do tego, co tracą uczestnicy rynku. Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że to producent płaci podatek. W obu sytuacjach produkcja się zmniejsza, a więc wpływy rządu z podatków (pole prostokąta o bokach $t$ i $y^{{\prime}}$ ) są mniejsze niż to, co tracą łącznie konsumenci i producenci : zmniejszenie sumy ich nadwyżek (nadwyżka konsumentów przy cenie $p$ to pole figury pomiędzy krzywą popytu a poziomą prostą na wysokości płaconej ceny $p$ aż do przecięcia popytu z podażą, a producenta pole figury pomiędzy prostą poziomą na wysokości otrzymywanej ceny netto: $p$ przed podatkiem, $p-t$ po, a krzywą podaży aż do przecięcia krzywych popytu i podaży).

Rys. 12.5. Opodatkowanie – koszty społeczne.

Ćwiczenie 12.2

Rynek płynów mrozoodpornych do spryskiwaczy w Polsce jest doskonale konkurencyjny i obecnie jest w stanie rónowagi długookresowej. Działające na nim firmy mają technologię o funkcji kosztów, przy ustalonych na obecnym poziomie cenach czynników produkcji, $c(y)=y^{{2}}+4$ .

a) Obliczyć parametry tej równowagi jeśli funkcja popytu to $d(p)=600-2\cdot p$ .

b) Rząd postanowił wprowadzić podatek, w wysokości $1$ zł od butelki, motywując to dofinansowaniem funduszu przeciwdziałania alkoholizmowi. Co się będzie działo:

(i) w bardzo krótkim okresie (od razu po wprowadzeniu podatku, gdy produkcja jest jeszcze ustalona);

(ii) w krótkim okresie, gdy koszty produkcji są postaci $c^{{S}}(y)=c(y)+\frac{1}{2}(\bar{y}-y)^{{+}}$ , gdzie $\bar{y}$ to wielkość produkcji ustalona wcześniej (obliczona w punkcie a);

(iii) w średnim okresie (gdy liczba firm jest ustalona);

(iv) w długim okresie.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Skrypt do wykładu z mikroekonomii dla wydziału MIMUW 2009/2010