Aby analizować zagadnienia teorii wyboru, potrzebujemy trochę teorii optymalizacji. Niektóre z poniższych faktów są zapewne państwu znane.
Zaczniemy od warunku koniecznego optymalności (tzw. warunku pierwszego rzędu).
(mnożniki Lagrange'a)
Niech i niech funkcje
i
dla
będą
różniczkowalne. Jeżeli w punkcie
, jest
przyjmowane maximum (minimum)
na zbiorze
dla
i gradienty funkcji
są liniowo niezależne w
, to istnieje taki wektor
, że
.
Funkcję nazywamy lagrangianem, a wektor
nazywamy mnożnikami Lagrange'a.
Twierdzenie można sformułować następująco: punkt optymalny
dla optymalizacji z ograniczeniami równościowymi wraz wektorem
mnożników musi być punktem krytycznym lagrangianu (zerowanie
pochodnej po to równości definiujące zbiór
dopuszczalny).
Uwaga: Dla uproszczenia zapisu wyników maksymalizacji
(minimalizacji) funkcji po zbiorze
, wprowadzimy symbole
(
) na
zbiór tych punktów, w których maksimum (minimum) jest
przyjmowane.
Ponadto, jeżeli maksymalizujemy funkcję po pewnym zbiorze i ten
zbiór okaże się pusty, wówczas za maksimum przyjmujemy (analogicznie za minimum
).
Znajdowanie maksimum ściśle monotonicznej,
ściśle wklęsłej i różniczkowalnej funkcji
użyteczności na Walrasowskim zbiorze budżetowym
(gdzie
) przy pomocy
mnożników Lagrange'a.
W niniejszym przykładzie rozwiązujemy zagadnienie, z jakim mamy do
czynienia zazwyczaj przy wyborze konsumenta: funkcja użyteczności
jest ściśle monotoniczna, i wklęsła, a zbiory budżetowe są walrasowskie. Ponieważ jest monotoniczna, więc
. Ponieważ ponadto
jest ściśle monotoniczna, także
, co sprowadza optymalizację z
ograniczeniem nierównościowym do optymalizacji z ograniczeniem
równościowym.
Lagrangian zagadnienia ma postać , a więc warunki konieczne na to, aby w
punkcie
o obu współrzędnych dodatnich było przyjmowane
maksimum to:
,
,
.
Przeanalizujmy dwa pierwsze równania:
,
.
Ponieważ jest ściśle monotoniczna, w
nie może
być przyjmowane maksimum globalne
, a ponieważ funkcja jest
ściśle wklęsła, pochodna może się zerować tylko w
maksimum globalnym, stąd wiemy, że
. Możemy więc podzielić równania przez siebie stronami. Otrzymamy
.
Jest to warunek konieczny maksymalizacji w naszym przypadku. Ma on
interpretacje zarówno ekonomiczną jak i graficzną. Obie będą bardziej oczywiste, jeżeli powyższe równanie pomnożymy
przez :
.
Prawa strona to oczywiście nachylenie ograniczenia budżetowego,
natomiast lewa to nachylenie krzywej obojętności przechodzącej
przez punkt (co łatwo wynika z twierdzenia o funkcji uwikłanej), a więc to, co otrzymaliśmy, to warunek konieczny styczności:
równość nachyleń w punkcie styczności.
Interpretacja ekonomiczna brzmi: krańcowa stopa substytucji równa się, co do modułu, stosunkowi cen.
Krańcową stopą substytucji pomiędzy dobrami i
w punkcie
nazywamy współczynnik kierunkowy krzywej obojętności w punkcie
. Oznaczamy ją skrótem
(od angielskiego marginal rate of substitution).
Z twierdzenia o funkcji uwikłanej mamy więc .
W niektórych podręcznikach krańcowa stopa substytucji jest definiowana bez minusa, a czasem nawet zdarzają się niekonsekwencje: jest definiowana jako nachylenie, a więc z minusem, a potem minus ginie w stwierdzeniu ”krańcowa stopa substytucji równa się stosunkowi cen” i tym podobnych.
Interpetacja łopatologiczna słowa ”krańcowy”, czyli pochodnych w ekonomii, jako skutku zmiany o jednostkę. W przypadku teorii wyboru konsumenta ma to niewielki sens, natomiast w przypadku wyboru producenta, przy bardzo dużych nakładach produkcji może być w miarę przyzwoitym przybliżeniem.
A więc ekonomista może zdefiniować krańcową stopę
substytucji słowami: ”o ile musi zmienić się konsumpcja dobra
jesłi konsumpcja dobra
zwiększyła się o jednostkę,
abyśmy pozostali na tej samej krzywej obojętności”.
Warunek dostateczny optymalności uogólnia warunek dostateczny dla
przypadku optymalizacji bez ograniczeń: jeśli w dopuszczalnym
spełniony jest warunek pierwszego rzędu i macierz drugiej pochodnej
jest dodatnio określona w dowolnym kierunku dopuszczalnym (tzn.
dla
takich, że
), to w punkcie
jest przyjmowane minimum,
jeśli natomiast ujemnie określona – maksimum. Ponieważ jednak
badanie określoności macierzy dla wektorów z pewnej
podprzestrzeni nie jest trywialne, sformułujemy ten warunek
równoważnie.
Niech . Jeśli w dopuszczalnym punkcie
spełnione są
warunki pierwszego rzędu dla pewnego mnożnika
i
jeśli dla
minory główne
macierzy
spełniają warunek
, to w
jest przyjmowane minimum, jeśli natomiast
, to maksimum.
Jeśli funkcja jest wklęsła,
liniowa i
dopuszczalny
spełnia warunek pierwszego rzędu, to w
jest przyjmowane
maksimum, a jeśli
jest wypukła, to minimum.
W przypadku ograniczeń nierównościowych mamy podobne warunki pierwszego rzędu.
(warunki konieczne Kuhna-Tuckera albo Karusha-Kuhna-Tuckera)
Niech i niech funkcje
i
będą różniczkowalne. Jeżeli w punkcie
, jest przyjmowane
maximum
na zbiorze
dla
;
dla
i gradienty w
funkcji
oraz tych z
funkcji
, dla których
, są liniowo
niezależne, to istnieją takie wektory
,
że
. Ponadto jeśli
,
to
.
Powtórzyć analizę przykładu 3.1 bez założenia ścisłej dodatniości współrzędnych przy użyciu warunków koniecznych Kuhna-Tuckera.
Warunków koniecznych Kuhna-Tuckera można użyć nawet do rozwiązania zagadnień maksymalizacjnych, do których zazwyczaj nie przyszłoby nam do głowy liczenie pochodnej – maksymalizacji funkcji liniowej przy ograniczeniach liniowych.
Rozwiązać zagadnienie maksymalizacji (doskonałe substytuty) na Walrasowskim zbiorze budżetowym w
.
W przypadku ograniczeń nierównościowych wektor mnożników
(tzw. mnożników Kuhna-Tuckera) jest nieujemny, istotny jest więc
kierunek nierówności. Dlatego, aby uzyskać nieujemny wektor
mnożników w przypadku zagadnienia minimalizacji, musimy zapisać
ograniczenia w postaci . Musimy na to też
zwrócić uwagę przy warunkach drugiego rzędu.
Jeśli dopuszczalny spełnia warunek pierwszego rzędu, a
funkcja
jest wklęsła, funkcje
wypukłe,
liniowe,
to w
jest przyjmowane maksimum
na zbiorze
dla
;
dla
, a jeśli
jest wypukła a funkcje
wklęsłe,
liniowe, to minimum
na zbiorze
dla
, ;
dla
.
Funkcję nazywamy górnie (dolnie) półciągła, jeśli dla każdego
i
istnieje
, taka że dla
dla
których
zachodzi własność
(dla dolnej półciągłości
).
a) Funkcję nazywamy quasi-wklęsłą, jeśli dla każdego
i dla każdego
zachodzi warunek
.
b) Funkcja jest ściśle quasi-wklęsła, jeśli dla
każdego
i dla każdego
zachodzi warunek
.
c) Funkcja jest quasi-wypukła (ściśle),
jeśli funkcja
jest quasi wklęsła (ściśle).
Każda funkcja wklęsła jest quasi wklęsła, natomiast nie na
odwrót. W szczególności funkcja quasi wklęsła nie musi
być ciągła, a funkcja wklęsła określona na zbiorze
otwartym jest ciągła. Funkcją quasi-wklęsłą może
być nawet funkcja ściśle wypukła określona na odcinku, o
ile nie ma minimum w jego wnętrzu: na przykład .
a) Funkcja jest quasi wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy
jest wypukły;
b) Funkcja jest ściśle quasi wklęsła wtedy i tylko wtedy,
gdy
jest wypukły i
jeśli
, to
.
Na mocy tego stwierdzenia możemy coś powiedzieć na temat funkcji użyteczności odzwierciedlającej wypukłe preferencje.
Każda funkcja użyteczności odzwierciedlająca wypukłe preferencje jest quasi wklęsła, a ściśle wypukłe – ściśle quasi wklęsła.
(istnienie i jednoznaczność maximum)
a) Jeżeli funkcja jest górnie
półciągła a zbiór
niepusty, zwarty, to istnieje punkt
realizujący maksimum
na
.
b) Jeżeli funkcja jest ściśle
quasi-wklęsła a zbiór
wypukły, to istnieje co najwyżej
jeden punkt realizujący maksimum
na
.
c) Jeżeli funkcja jest quasi-wklęsła a zbiór
wypukły, to zbiór punktów realizujących
maksimum
na
jest wypukły.
(twierdzenie o obwiedni dla maksymalizacji z ograniczeniami)
a) Niech i niech funkcje
i
będą
różniczkowalne i takie, że dla każdego
,
jest przyjmowane w dokładnie jednym punkcie
dla jednoznacznego wektora mnożników
i tak zdefiniowana
funkcja
jest różniczkowalna. Definiujemy
. Dla funkcji
zachodzi następująca własność:
.
b) Niech i niech funkcje
i
będą
różniczkowalne i takie, że dla każdego
,
jest przyjmowane w dokładnie jednym punkcie
dla jednoznacznego wektora mnożników
i tak
zdefiniowane funkcje
i
są różniczkowalne.
Definiujemy
. Dla funkcji
zachodzi następująca własność:
.
(twierdzenie o obwiedni dla maksymalizacji bez ograniczeń)
Niech i niech funkcja
będzie różniczkowalna i taka, że dla
każdego
,
jest przyjmowane w
dokładnie jednym punkcie
i tak zdefiniowana funkcja
jest
różniczkowalna. Definiujemy
. Dla
funkcji
zachodzi następująca własność:
.
Udowodnić twierdzenia o obwiedni.
Niech i funkcja
. Funkcję
nazywamy (dodatnio) jednorodną stopnia
, jeżeli dla
każdego
,
mamy
.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.