Zagadnienia

8.1 Skompensowane prawo popytu
8.2 Równanie Słuckiego i jego konsekwencje

8. Teoria wyboru konsumenta – funkcje popytu i ich własności – ciąg dalszy

8.1. Skompensowane prawo popytu

Konsekwencją słabego aksjomatu ujawnionych preferencji jest bardzo silny fakt, który ekonomiści nazywają skompensowanym prawem popytu. Mówi ono, że zmiana popytu jest ”przeciwna” do kierunku zmiany ceny, jeżeli rozważymy zmianę ceny skompensowaną zmianą dochodu, tak, aby uprzednio konsumowany koszyk był nadal na naszym ograniczeniu budżetowym.

Definicja 8.1

Skompensowane prawo popytu:

Dla każdego $\mathbf{p},\mathbf{p}^{{\prime}},m,m^{{\prime}}$ takich, że $m^{{\prime}}=(\mathbf{p}^{{\prime}})^{{T}}x(\mathbf{p},m)$ zachodzi nierówność $\left(\mathbf{p}^{{\prime}}-\mathbf{p}\right)^{{T}}\left(x(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})-x(\mathbf{p},m)\right)\leq 0$ z ostrą nierównością, jeśli $x(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})\neq x(\mathbf{p},m)$ .

Stwierdzenie 8.1

Jeżeli funkcja popytu $x$ jest jednorodna stopnia $0$ i spełnia prawo Walrasa, to $x$ spełnia słaby aksjomat ujawnionych preferencji wtedy i tylko wtedy, gdy $x$ spełnia skompensowane prawo popytu.

( $\Rightarrow$ ) Jeśli $x(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})=x(\mathbf{p},m)$ to, oczywiście, $\left(\mathbf{p}^{{\prime}}-\mathbf{p}\right)^{{T}}\left(x(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})-x(\mathbf{p},m)\right)=0$ .

W przeciwnym przypadku – $x(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})\neq x(\mathbf{p},m)$ mamy $\left(\mathbf{p}^{{\prime}}-\mathbf{p}\right)^{{T}}\left(x(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})-x(\mathbf{p},m)\right)=\left(\mathbf{p}^{{\prime}}\right)^{{T}}\left(x(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})-x(\mathbf{p},m)\right)+\mathbf{p}^{{T}}\left(x(\mathbf{p},m)-x(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})\right)$ .

Ponieważ zmiana jest skompensowana, $\left(\mathbf{p}^{{\prime}}\right)^{{T}}x(\mathbf{p},m)=m^{{\prime}}$ , a z prawa Walrasa wynika, że $\left(\mathbf{p}^{{\prime}}\right)^{{T}}x(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})=m^{{\prime}}$ . Stąd $\left(\mathbf{p}^{{\prime}}\right)^{{T}}\left(x(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})-x(\mathbf{p},m)\right)=0$ .

Z tego, że $\left(\mathbf{p}^{{\prime}}\right)^{{T}}x(\mathbf{p},m)=m^{{\prime}}$ wynika, na mocy SAUP, że $\mathbf{p}^{{T}}x(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})>m$ . Stąd i z prawa Walrasa, na mocy którego $\mathbf{p}^{{T}}x(\mathbf{p},m)=m$ , wynika, że $\mathbf{p}^{{T}}\left(x(\mathbf{p},m)-x(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})\right)<0$ .

( $\Leftarrow$ ) Aby dowieść tej implikacji, potrzebujemy następującego Lematu.

Lemat 8.1

Jeżeli funkcja popytu $x$ jest jednorodna stopnia $0$ i spełnia prawo Walrasa, to słaby aksjomat ujawnionych preferencji jest rónoważny słabemu aksjomatowi ujawnionych preferencji dla zmian skompensowanych (i.e. tylko dla $m^{{\prime}}=\left(\mathbf{p}^{{\prime}}\right)^{{T}}x(\mathbf{p},m)$ ).

Załóżmy teraz, że SAUP dla zmian skompensowanych nie zachodzi, tzn. istnieje taki $\mathbf{p}^{{\prime}}$ i $m^{{\prime}}=\left(\mathbf{p}^{{\prime}}\right)^{{T}}x(\mathbf{p},m)$ , że $x(\mathbf{p},m)\neq x(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})$ i $\mathbf{p}^{{T}}x(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})\leq m$ .

Z prawa Walrasa mamy wówczas $\mathbf{p}^{{T}}\left(x(\mathbf{p},m)-x(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})\right)\geq 0$ i $\left(\mathbf{p}^{{\prime}}\right)^{{T}}\left(x(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})-x(\mathbf{p},m)\right)=0$ , skąd $\left(\mathbf{p}^{{\prime}}-\mathbf{p}\right)^{{T}}\left(x(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})-x(\mathbf{p},m)\right)\geq 0$ , co przeczy skompensowanemu prawu popytu – dla $x(\mathbf{p},m)\neq x(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})$ powinniśmy uzyskać nierówność ostrą w przeciwną stronę.

∎

Zauważmy, jakie są implikacje skompensowanego prawa popytu, jeśli rozważymy jedynie zmianę ceny jednego dobra: zmiana popytu na to dobro będzie przeciwna (już bez cudzysłowu) do kierunku zmiany ceny skompensowanej odpowiednim wzrostem dochodu, czyli, jak należało się spodziewać, przy skompensowanym wzroście ceny, o ile nasz popyt na to dobro się zmieni, to spadnie.

8.2. Równanie Słuckiego i jego konsekwencje

Teraz będziemy analizować efekty zmiany ceny, które już nie są skompensowane zmianą dochodu. W tej sytuacji już wiemy, że kierunek zmiany popytu nie musi być przeciwny do kierunku zmiany ceny np. w przypadku dóbr Giffena. Będziemy starali się rozłożyć zmianę popytu na skutek zmiany ceny na dwa efekty: jeden związany z samą zmianą stosunku cen, przy czym zmianę tę w jakiś sposób będziemy kompensować (tzw. efekt substytucyjny) i drugi związany ze zmianą siły nabywczej naszego dochodu (efekt dochodowy). Ten rozkład będziemy nazywać równaniem Słuckiego albo dekompozycją Słuckiego. W przypadku ciągłym ma on postać:

Twierdzenie 8.1 (Ciągłe równanie Słuckiego)

Jeżeli funkcje popytu $x$ i $h$ są funkcjami różniczkowalnymi, mają wszystkie współrzędne dodatnie dla dodatniego dochodu i wywodzą się od monotonicznych, lokalnie nienasyconych preferencji o różniczkowalnej funkcji użyteczności i mnożnik Lagrange'a jest wyznaczony jednoznacznie, to $\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial pj}=\frac{\partial h_{{i}}(\mathbf{p},v(\mathbf{p},m))}{\partial p_{{j}}}+\left(-\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial m}x_{{j}}(\mathbf{p},m)\right)$ .

Korzystamy z warunku dualności (stwierdzenie 6.6) $x_{{i}}(\mathbf{p},e(\mathbf{p},\bar{u}))=h_{{i}}(\mathbf{p},\bar{u})$ dla $\bar{u}=v(\mathbf{p},m\dot{)}$ (czyli $m=e(\mathbf{p},\bar{u})$ ).

Różniczkujemy ten warunek obustronnie po $p_{{j}}$ . Otrzymujemy $\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},e(\mathbf{p},\bar{u}))}{\partial pj}+\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},e(\mathbf{p},\bar{u}))}{\partial m}\cdot\frac{\partial e(\mathbf{p},\bar{u})}{\partial p_{{j}}}=\frac{\partial h_{{i}}(\mathbf{p},\bar{u})}{\partial p_{{j}}}$ . Z lematu Shepharda (6.4) $\frac{\partial e(\mathbf{p},\bar{u})}{\partial p_{{j}}}=h_{{j}}(\mathbf{p},\bar{u})=x_{{i}}(\mathbf{p},e(\mathbf{p},\bar{u}))$ z dualności. Podstawienie $m$ za $e(\mathbf{p},\bar{u})$ i $v(\mathbf{p},m)$ za $\bar{u}$ i przeniesienie $\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial m}x_{{j}}(\mathbf{p},m)$ kończy dowód.

∎

Ćwiczenie 8.1

Rozłożyć zmianę popytu dla preferencji Cobba-Douglasa na efekty dochodowy i substytucyjny, używając ciągłego równania Słuckiego.

Ćwiczenie 8.2

Udowodnić, że efekty substytucyjny i dochodowy z ciągłego równania Słuckiego są niezależne od wyboru konkretnej funkcji użyteczności odzwierciedlającej dane preferencje (choć odzwzorowanie popytu Hicksa jest od tego wyboru zależne).

Wniosek 8.1

Jeżeli funkcje popytu $x$ i $h$ są różniczkowalne, mają wszystkie współrzędne dodatnie dla dodatniego dochodu i wywodzą się od preferencji o różniczkowalnej funkcji użyteczności, to macierz substytucji zdefiniowana jako $\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial pj}+\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial m}x_{{j}}(\mathbf{p},m)$ jest symetryczna, niedodatnio określona.

Wynika to z równania Słuckiego (twierdzenie 8.1) i wklęsłości $e$ po $\mathbf{p}$ (stwierdzenie 6.3c)).

∎

Pierwszą z wielkości występujących po prawej stronie równania Słuckiego nazywamy efektem substytucyjnym, drugą efektem dochodowym.

Jeżeli rozważamy efekt zmiany ceny tylko jednego dobra, to efekt substytucyjny jest zawsze przeciwny do kierunku zmiany ceny, ponieważ macierz $D_{{\mathbf{p}}}h$ jest niedodatnio określona, i nie może być zerowy, jeśli zakładamy różniczkowalność funkcji użyteczności. Natomiast znak efektu dochodowego zależy od tego, czy jest to dobro normalne czy podrzędne. W przypadku dobra podrzędnego o silnym efekcie dochodowym, dodatni efekt dochodowy może przezwyciężyć ujemny efekt substytucyjny, jak w przypadku dóbr Giffena.

Oczywiście ciągłą postać równania Słuckiego poprzedziła wersja dyskretna, a nawet dwie wersje, matematycznie trywialne. Jeśli interesować będzie nas wartość przybliżona zmiany popytu na skutek zmiany ceny z $\mathbf{p}$ na $\mathbf{p}^{{\prime}}$ , możemy skorzystać z równania Słuckiego:

$\Delta x_{{i}}=x_{{i}}(\mathbf{p}^{{\prime}},m)-x_{{i}}(\mathbf{p},m)\approx\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial pj}\Delta p_{{j}}=\frac{\partial h_{{i}}(\mathbf{p},v(\mathbf{p},m))}{\partial p_{{j}}}\Delta p_{{j}}+\left(-\frac{\partial x_{{i}}(\mathbf{p},m)}{\partial m}x_{{j}}(\mathbf{p},m)\right)\Delta p_{{j}}$ .

Wbrew temu, czego należałoby się spodziewać, dyskretne równanie Słuckiego nie jest dokładną wersją tego przybliżenia; dopiero wprowadzone później równanie Hicksa. Dyskretne równanie Słuckiego wynika z następującego spostrzeżenia.

Uwaga 8.1

$\Delta x_{{i}}=x_{{i}}(\mathbf{p}^{{\prime}},m)-x_{{i}}(\mathbf{p},m)=x_{{i}}(\mathbf{p}^{{\prime}},m)-x_{{i}}(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})+x_{{i}}(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})-x_{{i}}(\mathbf{p},m)$ .

Definicja 8.2

Jeśli $m^{{\prime}}=\mathbf{p}^{{\prime T}}x(\mathbf{p},m),$ to powyższą tożsamość nazywamy dyskretnym równaniem Słuckiego, $x_{{i}}(\mathbf{p}^{{\prime}},m)-x_{{i}}(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})$ to efekt dochodowy, a $x_{{i}}(\mathbf{p}^{{\prime}},m^{{\prime}})-x_{{i}}(\mathbf{p},m)$ – efekt substytucyjny.

Ćwiczenie 8.3

Rozpisać efekty substytucyjny i dochodowy Słuckiego dla obu dóbr w przypadku wzrostu ceny $p_{1}$ przy niezmienionej cenie $p_{2}$ dla:

a) funkcji użyteczności Cobba-Douglasa o $a_{1}+a_{2}=1$ ;

b) dóbr doskonale komplementarnych;

c) doskonałych substytutów, w przypadku gdy przed zmianą konsumowane było jedynie dobro 1 i

(i) po zmianie nadal konsumowane jest dobro 1;

(ii) po zmianie konsumowane jest tylko dobro 2.

Rys. 8.1. Dyskretny rozkład Słuckiego.

Dyskretny odpowiednik ciągłego równania Słuckiego wynika z następującego spostrzeżenia.

Uwaga 8.2

$\Delta x_{{i}}=x_{{i}}(\mathbf{p}^{{\prime}},m)-x_{{i}}(\mathbf{p},m)=x_{{i}}(\mathbf{p}^{{\prime}},m)-h_{{i}}(\mathbf{p}^{{\prime}},v(\mathbf{p},m))+h_{{i}}(\mathbf{p}^{{\prime}},v(\mathbf{p},m))-x_{{i}}(\mathbf{p},m)$ .

Definicja 8.3

Powyższą tożsamość nazywamy równaniem Hicksa, $x_{{i}}(\mathbf{p}^{{\prime}},m)-h_{{i}}(\mathbf{p}^{{\prime}},v(\mathbf{p},m))$ to efekt dochodowy Hicksa, a $h_{{i}}(\mathbf{p}^{{\prime}},v(\mathbf{p},m))-x_{{i}}(\mathbf{p},m)$ – efekt substytucyjny Hicksa.

Rys. 8.2. Rozkład Hicksa.

Ćwiczenie 8.4

Rozpisać efekty substytucyjny i dochodowy Hicksa dla obu dóbr w przypadku wzrostu ceny $p_{1}$ przy niezmienionej cenie $p_{2}$ dla:

a) funkcji użyteczności Cobba-Douglasa o $a_{1}+a_{2}=1$ ;

b) dóbr doskonale komplementarnych;

c) doskonałych substytutów, w przypadku gdy przed zmianą konsumowane było jedynie dobro 1 i

(i) po zmianie nadal konsumowane jest dobro 1;

(ii) po zmianie konsumowane jest tylko dobro 2.

Interpretacja obu dyskretnych rozkładów wektora zmiany popytu na sumę dwóch wektorów jest taka sama: efekt zmiany ceny rozkładamy na efekt substytucyjny, mający jedynie odzwierciedlać reakcję na zmianę stosunku cen i zaniedbywać skutki zmiany siły nabywczej, i efekt dochodowy wynikający ze zmiany siły nabywczej dochodu. Efekt substytucyjny, to w każdym wypadku zmiana popytu spowodowana zmianą ceny skompensowaną taką zmianą dochodu, aby nie zmieniła się siła nabywcza dochodu, a efekt dochodowy to różnica zmiany popytu i efektu substytucyjnego. Niejednoznaczność wynika z niejasnej interpretacji terminu ”siła nabywcza”: równanie Hicksa gwaranuje, że nie zmienia się sytuacja konsumenta (jest tak samo dobra), a równanie Sluckiego jedynie że uprzednio wybrany koszyk znajduje się nadal na ograniczeniu budżetowym konsumenta (na skutek dodania lub odjęcia ”na papierze” dochodu). Oczywiście efekty Słuckiego łatwiej wyliczyć – nie musimy odwoływać się do nieobserwowalnej funkcji popytu Hicksa.

Podobnie jak w przypadku ciągłego równania Słuckiego, efekty substytucyjne są zawsze ujemne, a znak efektu dochodowego zależy od tego, czy dobro jest normalne czy podrzędne.

Ćwiczenie 8.5

Udowodnić, że efekty substytucyjny i dochodowy z rozkładu Słuckiego (dyskretnego) i rozkładu Hicksa są niezależne od wyboru konkretnej funkcji użyteczności odzwierciedlającej dane preferencje.

Ćwiczenie 8.6

Która z krzywych jest bardziej elastyczna cenowo, tzn. silniej reaguje spadkiem popytu na wzrost ceny (czyli ma większą co do modułu elastyczność cenową). Rozważamy tylko sytuację, gdy nie występuje efekt Giffena.

Wskazówka:

Skorzystać z ciągłego równania Słuckiego.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Skrypt do wykładu z mikroekonomii dla wydziału MIMUW 2009/2010

Zagadnienia

8. Teoria wyboru konsumenta – funkcje popytu i ich własności – ciąg dalszy

8.1. Skompensowane prawo popytu

Definicja 8.1

Stwierdzenie 8.1

Lemat 8.1

8.2. Równanie Słuckiego i jego konsekwencje

Twierdzenie 8.1 (Ciągłe równanie Słuckiego)

Ćwiczenie 8.1

Ćwiczenie 8.2

Wniosek 8.1

Uwaga 8.1

Definicja 8.2

Ćwiczenie 8.3

Uwaga 8.2

Definicja 8.3

Ćwiczenie 8.4

Ćwiczenie 8.5

Ćwiczenie 8.6