Zagadnienia

10.1 Technologia
10.2 Maksymalizacja zysku

10. Teoria wyboru producenta

Teraz zajmiemy się stroną podażową gospodarki, czyli odpowiemy na pytanie, skąd biorą się konsumowane przez nas dobra.

Znów będziemy mieć do czynienia z podejmowaniem decyzji. Tym razem podejmującego decyzję będziemy nazywać producentem albo firmą. Będziemy przez to rozumieć dowolną jednostkę zajmującą się produkcją, tzn. zużywającą pewne dobra, by uzyskać inne. Nie interesuje nas struktura wewnętrzna firmy, czy właściwości zarządzania, ani nawet to, czy ma jakąkolwiek formę prawną. Dzięki temu możemy przejść od razu do analizy zachowań rynkowych. Zaczniemy od tego, z czego wybiera firma, czyli jakimi technologiami dysponuje.

10.1. Technologia

Zakładamy, że mamy w sumie $n$ dóbr. Plan albo inaczej proces produkcyjny to dowolny wektor $\mathbf{y}\in\mathbb{R}^{{n}}$ . Jeżeli dla procesu produkcyjnego $\mathbf{y}$ jego $i$ -ta współrzędna $y_{{i}}$ jest ujemna, to dobro $i$ jest czynnikiem produkcji, natomiast jeśli jest dodatnia, to $i$ jest produktem. Zbiór osiągalnych (fizycznie, prawnie, etc.) planów produkcyjnych będziemy oznaczać przez $\mathbb{Y}$ – zbiór produkcyjny.

Przykład 10.1

Jajecznica z pięciu jaj. Przepis kulinarny jako plan produkcyjny.

Aby usmażyć jedną porcję jajecznicy z pięciu jaj, potrzeba zużyć: pięć jaj, 2g tłuszczu, 1 szczyptę soli, 0.01 m ${}^{{3}}$ gazu, 15 minut pracy kucharza, 10 minut dzierżawy patelni; nie dodawać cukru.

Formalnie, proces produkcyjny zapiszemy jako $\left[-5,-2,-1,-0.01,-15,-10,0,+1\right]^{{T}}$ , jeśli współrzędne oznaczają kolejno składniki wymienione w przepisie w odpowiednich jednostkach, a ostatnia jajecznicę.

W celach obliczeniowych wygodnie jest zapisać zbiór produkcyjny przy pomocy funkcji:

Definicja 10.1

Funkcję $F:\mathbb{R}^{{n}}\rightarrow\mathbb{R}$ nazywamy funkcją transformacji, jeśli $\mathbb{Y}=\{ y:F(y)\leq 0\}$ i $F(y)=0\Leftrightarrow y\in\mathop{\rm{Bd}}\mathbb{Y}$ . Zbiór $\{ y:F(y)=0\}$ nazywamy wówczas granicą transformacji.

Przypadek szczególny

Szczególnie interesować będzie nas sytuacja, z którą przeważnie mamy do czynienia w rzeczywistości: kiedy mamy tylko jeden, ustalony produkt i funkcja transformacji ma szczególną postać: jest różnicą pewnej funkcji od nakładów czynników produkcji i wielkości produktu. Dla wyróżnienia produkt będzie zawsze na ostatniej współrzędnej. Tak więc $\mathbb{Y=}\left\{\left[-z_{{1}},-z_{{2}},\ldots,-z_{{n-1}},y\right]^{{T}}:y\leq f(z_{{1}},z_{{2}},\ldots,z_{{n-1}}),z_{{i}}\geq 0\right\}$ . Tę sytuację będziemy określać jako przypadek szczególny.

Zauważmy, że rzeczywiście jest to przypadek szczególny szerszego modelu z funkcją transformacji $F$ , w naszym przypadku możemy np. wziąć $F(\mathbf{y})=\max(y_{{1}},\ldots,y_{{n-1}},y_{{n}}-f(-y_{{1}},\ldots,-y_{{n-1}}))$ .

Definicja 10.2

Funkcję $f:\mathbb{R}_{{+}}^{{n-1}}\rightarrow\mathbb{R}$ nazywamy funkcją produkcji, jeśli
$\mathbb{Y}=\left\{\left[-z_{{1}},-z_{{2}},\ldots,-z_{{n-1}},y\right]^{{T}}:y\leq f(z_{{1}},z_{{2}},\ldots,z_{{n-1}}),z_{{i}}\geq 0\right\}$ .

Poziomice funkcji $f$ nazywamy izokwantami albo krzywymi jednakowego produktu.

Krańcową stopą substytucji technicznej czynnika $l$ przez czynnik $k$ nazywamy funkcję $MRTS_{{l,k}}:\mathbb{R}_{{+}}^{{n-1}}\rightarrow\mathbb{R}$ taką że $MRTS_{{l,k}}(\mathbf{z})=-\dfrac{\frac{\partial f(z)}{\partial z_{{l}}}}{\frac{\partial f(z)}{\partial z_{{k}}}}$ .

Funkcję $\frac{\partial f(z)}{\partial z_{{l}}}$ nazywamy krańcowym produktem czynnika $i$ (oznaczane przeważnie przez $MP_{{i}}$ ).

Jeżeli krańcowa stopa substytucji technicznej jest dobrze określona, to jest miarą nachylenia izokwanty. Ekonomiczna łopatologiczna interpretacja to ”o ile trzeba zmienić nakłady czynnika $k$ , aby przy zwiększeniu nakładów czynnika $l$ o jednostkę pozostać na tej samej izokwancie”. Tu również, podobnie jak dla krańcowej stopy substytucji w modelu konsumenta, niektóre podręczniki mogą używać przeciwnego znaku w definicji, a nawet pojawiać się podobna niekonsekwencja co do znaku jak w przypadku MRS w modelu konsumenta – jak w poniższym zadaniu.

Ćwiczenie 10.1

Skomentować i zilustrować obliczeniami prawdę ekonomiczną ”krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał jest malejąca, jeśli technologia jest taka, że produkty krańcowe są dodatnie i malejące oraz krańcowy produkt pracy rośnie gdy rosną nakłady kapitału”.

Wskazówka:

To, o co chodziło autorom, mówiąc potocznie, to ”izokwanta jest coraz mniej stroma ze wzrostem $L$ …”

To co da się udowodnić to: ”moduł $MRTS_{{L,K}}(L,K(L))$ jest malejący (gdzie $K(L)$ oznacza zapis danej izokwanty przy użyciu funkcji uwikłanej) jeśli technologia jest taka, że $\frac{\partial f}{\partial L},\frac{\partial f}{\partial K}>0$ , $\frac{\partial^{2}f}{\partial L^{2}},\frac{\partial^{2}f}{\partial K^{2}}<0$ oraz $\frac{\partial^{2}f}{\partial L\partial K}>0$ ”.

Wracamy do ogólnego modelu.

Będziemy rozważać następujące własności zbioru produkcyjnego:

1. $\mathbb{Y}\neq\emptyset$ ;

2. $\mathbb{Y}$ jest domknięty;

3. możliwość marnotrawstwa (po angielsku eufemistycznie ”free disposal”): jeżeli $\mathbf{y}\in\mathbb{Y}$ to dla $\mathbf{y}^{{\prime}}\leq\mathbf{y}$ mamy $\mathbf{y}^{{\prime}}\in\mathbb{Y}$ – zawsze można zużyć więcej czynników albo uzyskać mniejszy produkt.

Warunki 1-3 są minimalnymi założeniami w modelu producenta i zawsze będziemy je przyjmować.

Ćwiczenie 10.2

Pewna firma na Malcie zajmuje się odsalaniem wody morskiej na potrzeby lokalnych wodociągów. Z litra wody morskiej można wyprodukować $0.9$ litra wody odsolonej, a jako produkt uboczny powstaje $0.02$ kilo soli, które także można sprzedać. Aby to uzyskać, potrzebna jest także energia elektryczna – 1 jednostka na każdą tonę wody morskiej (dostarczenie mniejszej ilości oznacza, że przetworzyć da się tylko tyle ton wody, ile dostarczono energii, reszta wraca do morza).

Wypisać zbiór $\mathbb{Y}$ , zakładając możliwość marnotrawstwa.

Przy tych założeniach można udowodnić np. własność, że $\mathbf{y}\in\mathop{\rm{Bd}}\mathbb{Y\Leftrightarrow}\mathbf{y}$ jest efektywny, to znaczy, że nie istnieje $\mathbf{y}^{{\prime}}\in\mathbb{Y}$ dla którego $\mathbf{y}\leq\mathbf{y}^{{\prime}}$ z nierównością ostrą przynajmniej na jednej współrzędnej.

Dalsze założenia to

4. ”no free lunch” – ”nie ma czegoś takiego jak obiadek za darmo”: $\mathbb{Y\cap R}_{{+}}^{{n}}\subset\{\mathbf{0}\}$ , w finansach używa się nazwy ”brak arbitrażu”;

5. możliwość nic nie robienia: $\mathbf{0}\in\mathbb{Y}$ – nie zawarliśmy żadnego kontraktu, który nakazywał by nam coś robić (mała uwaga – później będziemy nazywać taką sytuację długim okresem dla producenta);

6. nieodwracalność procesów produkcyjnych: $\mathbf{y}\in\mathbb{Y}$ i $\mathbf{y}\neq\mathbf{0}$ , to $-\mathbf{y}\notin\mathbb{Y}$ - z jajecznicy z pieciu jaj nie można odzyskać pięciu jaj; dwóch gram tłuszczu itd.

Założenia 1-6 przymujemy standartowo w modelu producenta.

Dodatkowo możemy jeszcze rozważać

7. addytywność – jeśli $\mathbf{y}\in\mathbb{Y}$ i $\mathbf{y}^{{\prime}}\in\mathbb{Y}$ , to $\mathbf{y}+\mathbf{y}^{{\prime}}\in\mathbb{Y}$ – można postawić dwie fabryki – interesuje nas produkcja łączna;

8. wypukłość – $\mathbb{Y}$ jest wypukły.

Ponadto często ma zastosowanie jedna z własności:

9. nierosnące przychody skali – dla każdego $t\in(0,1)$ jeśli $\mathbf{y}\in\mathbb{Y}$ , to $t\cdot\mathbf{y}\in\mathbb{Y}$ ;

10. niemalejące przychody skali – dla każdego $t>1$ jeśli $\mathbf{y}\in\mathbb{Y}$ , to $t\cdot\mathbf{y}\in\mathbb{Y}$ ;

11. stałe przychody skali – dla każdego $t>0$ jeśli $\mathbf{y}\in\mathbb{Y}$ , to $t\cdot\mathbf{y}\in\mathbb{Y}$ – spełnione są własności 9. i 10.; wówczas $\mathbb{Y}$ jest stożkiem.

Zauważmy, że z tego, że $\mathbf{0}\in\mathbb{Y}$ wynika, że wypukłość $\mathbb{Y}$ implikuje nierosnące przychody skali.

W naszym przypadku szczególnym, kiedy mamy tylko jeden produkt i funkcję produkcji $f$ , wypukłość $\mathbb{Y}$ oznacza wklęsłość funkcji $f$ , natomiast warunki 9 – 10 mają postać:

9'. nierosnące przychody skali – dla każdego $t\in(0,1)$ , $z\in\mathbb{R}_{{+}}^{{n-1}}$ zachodzi nierówność $f(t\cdot z)\geq t\cdot f(z)$ (równoważnie: dla każdego $t>1$ , $z\in\mathbb{R}_{{+}}^{{n-1}}$ zachodzi $f(t\cdot z)\leq t\cdot f(z)$ );

10'. niemalejące przychody skali – dla każdego $t>1$ , $z\in\mathbb{R}_{{+}}^{{n-1}}$ zachodzi nierówność $f(t\cdot z)\mathbb{\geq}t\cdot f(z)$ ;

11'. stałe przychody skali – dla każdego $t>0$ , $z\in\mathbb{R}_{{+}}^{{n-1}}$ zachodzi $f(t\cdot z)\mathbb{=}t\cdot f(z)$ ;

Dodatkowo możemy zdefiniować malejące przychody skali – dla każdego $t\in(0,1)$ , $z\in\mathbb{R}_{{+}}^{{n-1}},z\neq\mathbf{0}$ zachodzi $f(t\cdot z)\mathbb{>}t\cdot f(z)$ (równoważnie: dla każdego $t>1$ , $z\in\mathbb{R}_{{+}}^{{n-1}},z\neq\mathbf{0}$ zachodzi $f(t\cdot z)<t\cdot f(z)$ ) i rosnące przychody skali – dla każdego $t>1$ , $z\in\mathbb{R}_{{+}}^{{n-1}},z\neq\mathbf{0}$ zachodzi $f(t\cdot z)>t\cdot f(z)$ .

Chociaż w przepisie na jajecznicę z pięciu jaj mieliśmy wiele różnych czynników produkcji, obecnie w analizach działalności produkcyjnej ograniczamy się przeważnie do dwóch: pracy – pierwszego historycznie czynnika produkcji i kapitału (do którego wliczamy zarówno jajka jak i patelnię: wszystkie produkty, które możemy kupić albo wydzierżawić – przeliczone na pieniądz). W przeszłości był jeszcze jeden istotny czynnik produkcji – ziemia. Obecnie pojawiają się nowe czynniki, które dotychczas były zaniedbywane, takie jak na przykład informacja, ale nie weszły one jeszcze do standartowego kanonu mikroekonomii.

Teraz przejdziemy do tego, co jest celem producenta.

10.2. Maksymalizacja zysku

Celem producenta jest maksymalizacja zysku, które to pojęcie objaśnimy poniżej.

Podobnie jak w teorii wyboru konsumenta, producent funkcjonuje na rynku, który określa ceny wszystkich dóbr – zarówno czynników produkcji jak i produktów. Podobnie jak konsument, producent jest ”price taker” – ”biorcą cen”, czyli traktuje ceny jako dane. O takiej firmie mówi się firma konkurencyjna. Tak więc należy się spodziewać, że model producenta będzie dobrze opisywał producenta gwoździ z ul. Grzybowskiej, a nie IBM.

Zakładamy, że wszystkie ceny są ściśle dodatnie. Gdyby cena produktu była zerowa, nie opłacałoby się go w ogóle produkować, gdyby natomiast cena któregoś z czynników była zerowa, moglibyśmy go zużywać nadmiernie (marnotrawić, na co pozwala nam założenie o możliwości marnotrawstwa), gdyż nic by to nas nie kosztowało. Tak jest z powietrzem – ponieważ nic nie kosztuje, możemy go zużywać w procesie produkcyjnym ile chcemy (np. zanieczyszczać), więc tak naprawdę nie bierzemy go pod uwagę w opisie technologii. Powstają tak zwane efekty zewnętrzne – ktoś traci na naszym nadmiernym zanieczyszczaniu, więc pojawia się presja, by zmusić nas do płacenia za te szkody – np. państwo wprowadzi opłatę za emisję zanieczyszczeń, przez co dotychczas bezpłatny czynnik uzyska cenę niezerową. Tak więc w końcu wszystkie ceny są dodatnie.

Mamy więc wektor cen $\mathbf{p}\in\mathop{\rm{Int}}\mathbb{R}_{{+}}^{{n}}$ . W naszym szczególnym przypadku rozróżniamy wektor cen czynników (historycznie przyjęło się go oznaczać przez $\mathbf{w}$ ) i cenę produktu (historycznie $p$ ). Dla typowych czynników ich ceny to: dla pracy - płaca, dla kapitału – odsetki, dla ziemi – tzw. renta gruntowa.

Wróćmy do ogólnego modelu. Przy cenach $\mathbf{p}$ dla procesu produkcyjnego $\mathbf{y}$ nasz zysk równa się $\mathbf{p}^{{T}}\mathbf{y}$ .

Celem firmy jest maksymalizacja zysku, więc zagadnienie optymalizacyjne producenta ma postać

$\max _{{\mathbf{y}\in\mathbb{Y}}}\mathbf{p}^{{T}}\mathbf{y}\text{,}$

(przy użyciu funkcji transformacji $\max _{{F(\mathbf{y})\leq 0}}\mathbf{p}^{{T}}\mathbf{y}$ ).

Stąd mamy następujące obiekty:

Definicja 10.3

Funkcję $\Pi:\mathop{\rm{Int}}\mathbb{R}_{{+}}^{{n}}\rightarrow\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ , taką że $\Pi(\mathbf{p})=\max _{{\mathbf{y}\in\mathbb{Y}}}\mathbf{p}^{{T}}\mathbf{y}$ nazywamy funkcją zysku, a odwzorowanie $\mathbf{y}:\mathop{\rm{Int}}\mathbb{R}_{{+}}^{{n}}\multimap\mathbb{Y}$ , takie że $\mathbf{y}(\mathbf{p})=\mathop{\rm{Argmax}}_{{\mathbf{y}\in\mathbb{Y}}}\mathbf{p}^{{T}}\mathbf{y}$ – ogólnym odwzorowaniem podaży.

Jeżeli funkcja transformacji jest wystarczająco regularna, można skorzystać z mnożników Lagrange'a: ponieważ maksymalizowana funkcja jest liniowa i wszystkie współrzędne wektora $\mathbf{p}$ są dodatnie, maksimum jest przyjmowane na brzegu (o ile jest osiągalne), czyli tam, gdzie $F(\mathbf{y})=0$ .

Warunki pierwszego rzędu będą więc miały postać $p_{{l}}=\lambda\frac{\partial F(\mathbf{y})}{\partial y_{{l}}},$ stąd $\frac{p_{{l}}}{p_{{k}}}=\dfrac{\frac{\partial F(\mathbf{y})}{\partial y_{{l}}}}{\frac{\partial F(\mathbf{y})}{\partial y_{{k}}}}$ .

Stwierdzenie 10.1

Jeśli $\mathbb{Y}$ wykazuje niemalejące przychody skali, to albo $\Pi(\mathbf{p})=0$ przy czym $\mathbf{0}\in\mathbf{y}(\mathbf{p})$ , albo $\Pi(\mathbf{p})=+\infty$ i $\mathbf{y}(\mathbf{p})=\emptyset$ i nie da się tego znaleźć warunkami pierwszego rzędu.

Ćwiczenie 10.3

Udowodnić stwierdzenie.

Jaka jest postać warunków pierwszego rzędu dla przypadku szczególnego, kiedy mamy jeden produkt i funkcję produkcji $f$ ? Wówczas $\Pi([w_{{1}},w_{{2}},\ldots,w_{{n-1}},p]^{{T}})=\max _{{\mathbf{z}\geq\mathbf{0}}}p\cdot f(\mathbf{z})-\mathbf{w}^{{T}}\mathbf{z}$ .

Z mnożników Kuhna-Tuckera w optymalnym $\mathbf{z}^{{*}}$ mamy $p\frac{\partial f(\mathbf{z}^{{*}})}{\partial z_{{l}}}-w_{{l}}-(-\mu _{{l}})=0$ dla pewnego $\mu _{{l}}\geq 0$ , przy czym jeśli $z_{{l}}^{{*}}>0$ , to $\mu _{{l}}=0$ . Stąd $p\frac{\partial f(\mathbf{z}^{{*}})}{\partial z_{{l}}}\leq w_{{l}}$ z równością gdy $z_{{l}}^{{*}}>0$ .

To wyrażenie ma oczywiście łopatologiczną interpretację ekonomiczną: ”jednostkowe zwiększenie nakładów czynnika $l$ nie zwiększy zysku, gdyż płacimy za nie co najmniej tyle samo, co zwiększamy przychód”.

Ćwiczenie 10.4

Zbadać przychody skali i obliczyć funkcję zysku oraz uogólnione odwzorowanie podaży dla technologii o funkcji produkcji

a) Cobba-Douglasa $f(z_{1},z_{2})=z_{1}^{{a_{1}}}\cdot z_{2}^{{a_{2}}}$ dla $a_{i}>0$ ;

b) technologii liniowej $f(z_{1},z_{2})=z_{1}\cdot{a_{1}}+z_{2}\cdot{a_{2}}$ dla $a_{i}>0$ ;

c) technologii Leontiewa $f(z_{1},z_{2})=min\{ z_{1}\cdot{a_{1}},z_{2}\cdot{a_{2}}\}$ dla $a_{i}>0$ .

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Skrypt do wykładu z mikroekonomii dla wydziału MIMUW 2009/2010