Zagadnienia

15.1 Preferencje na loteriach i użyteczność oczekiwana
- 15.1.1 Stosunek do ryzyka

15. Wybór w warunkach niepewności

Jest to wykład wprowadzający do wyboru w warunkach niepewności, z konieczności jedynie okrojony.

Zainteresowani mogą doczytać więcej w monografiach Varian [2] i Mas-Colell, Whinston, Green [1].

15.1. Preferencje na loteriach i użyteczność oczekiwana

Dotychczas rozważaliśmy sytuacje wyboru, w których wszystko było deterministyczne. W rzeczywistości większość ważnych decyzji podejmowanych jest w sytuacjach, gdzie wynik podjętej decyzji jest niepewny. Podejmiemy próbę modelowania takich sytuacji.

Niech $\mathbb{C}$ oznacza zbiór wszystkich możliwych wyników (np. $\mathbb{C}=\mathbb{X}=\mathbb{R}_{{+}}^{{n}}$ – zbiór wszystkich koszyków konsumpcji, które mogą być dostępne konsumentowi; $\mathbb{C}=\mathbb{R}$ – stan konta albo, ogólniej wartość posiadanego majatku). Na zbiorze $\mathbb{C}$ (na razie jeszcze wszystko jest deterministyczne) mamy zdefiniowaną racjonalną relację preferencji podejmującego decyzje.

Definicja 15.1

Loterią prostą nazwiemy dowolny rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze $\mathbb{C}$ .

Jeśli mamy loterie proste $L_{{k}}$ dla $k=1,\ldots,K$ i liczby nieujemne $\alpha _{{k}}$ sumujące się do $1$ , to układ $\left(L_{{1}},\ldots,L_{{K}};\alpha _{{1}},\ldots,\alpha _{{K}}\right)$ nazywamy loterią złożoną.

Zbiór wszystkich loterii oznaczymy przez $\mathcal{L}$ .

Loteria złożona jest to pewien rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze składających się na nią loterii prostych – loteria, w której zbiorem możliwych wyników są loterie.

Każdy element zbioru $\mathbb{C}$ możemy utożsamić z trywialną loterią prostą skoncentrowaną na tym wyniku.

Będziemy chcieli umieć porównywać różne loterie zdefiniowane na zbiorze $\mathbb{C}$ .

Jeżeli $\mathbb{C}$ jest zbiorem skończonym $\{ c_{{1}},\ldots,c_{{n}}\}$ to loterię prostą możemy utożsamić ze zbiorem prawdopodobieństw $\{ p_{{1}},\ldots,p_{{n}}\}$ , gdzie $p_{{i}}$ jest prawdopodobieństwem tego, że wynik będzie $c_{{i}}$ . W tej sytuacja loteria ma prostą interpretację geometryczną jako punkt sympleksu $(n-1)$ -wymiarowego.

W rzeczywistości, jeśli nawet mamy loterię, której wynikami są loterie proste, najbardziej interesuje nas, jakie jest faktyczne prawdopodobieństwo wyników $c_{{i}}$ . Jeżeli mamy loterię złożoną o składowych $L_{{k}}=\{ p_{{1}}^{{k}},\ldots,p_{{n}}^{{k}}\}$ , to faktyczne prawdopodobieństwo $c_{{i}}$ jest równe $p_{{i}}=\sum _{{k=1}}^{{K}}\alpha _{{i}}\cdot p_{{i}}^{{k}}$ .

Ze względu na prostotę będziemy się na razie zajmować sytuacjami, kiedy zbiór $\mathbb{C}$ jest skończony, jednakże wyniki przenoszą się na większe zbiory.

Podobnie jak w przypadku relacji preferencji w ogólnej teorii wyboru, chcemy aby na zbiorze wszystkich loterii (prostych i złożonych) była zdefiniowana pewna racjonalna relacja preferencji $\succeq$ . Aby miała ona sens, na loteriach trywialnych musi się pokrywać z relacją preferencji na zbiorze wyników. Oprócz tego będą nas interesować nas pewne szczególne własności tej relacji.

Definicja 15.2

Mówimy, że relacja $\succeq$ na $\mathcal{L}$ jest ciągła, jeśli $\forall L,L^{{\prime}},L^{{\prime\prime}}\in\mathcal{L}$ zbiory
$\left\{\alpha\in[0,1]:\alpha L+(1-\alpha)L^{{\prime}}\succeq L^{{\prime\prime}}\right\}$ i $\left\{\alpha\in[0,1]:L^{{\prime\prime}}\succeq\alpha L+(1-\alpha)L^{{\prime}}\right\}$ są domknięte.

Mówimy, że relacja $\succeq$ na $\mathcal{L}$ spełnia aksjomat niezależności, jeśli $\forall L,L^{{\prime}},L^{{\prime\prime}}\in\mathcal{L}$ $\alpha\in(0,1)$ zachodzi tożsamość $L\succeq L^{{\prime}}\Leftrightarrow\alpha L+(1-\alpha)L^{{\prime\prime}}\succeq\alpha L^{{\prime}}+(1-\alpha)L^{{\prime\prime}}$ .

Teraz przyjmiemy, że istnieje funkcja użyteczności odzwierciedlająca te preferencje – funkcja użyteczności na loteriach $U$ .

Definicja 15.3

Mówimy, że funkcja użyteczności $U$ na $\mathcal{L}$ jest funkcją użyteczności von Neumanna-Morgensterna (funkcją użyteczności oczekiwanej), jeżeli odzwierciedla relację preferencji na $\mathcal{L}$ i istnieje taka funkcja użyteczności na wynikach $u$ , że dla każdej loterii prostej $L$ jest równa wartości oczekiwanej przy rozkładzie danym loterią $L\,$ z $u$ (czyli $U(L)=E_{{L}}u$ ).

W przypadku skończonego zbioru $\mathbb{C}$ , funkcja użyteczności von Neumanna-Morgensterna spełnia $U(L)=p_{{1}}u(c_{{1}})+\cdots+p_{{n}}u(c_{{n}}\dot{)}$ .

Stwierdzenie 15.1

a) Jeżeli $U$ jest funkcją użyteczności von Neumanna-Morgensterna, to dla każdego $a>0,b\in\mathbb{R}$ funkcja $a\cdot U+b$ też jest funkcją użyteczności von Neumanna-Morgensterna.

b) Jeżeli $U_{{1}}$ i $U_{{2}}$ są funkcjami użyteczności von Neumanna-Morgensterna, to istnieje takie $a>0$ i $b\in\mathbb{R}$ , że $U_{{1}}=a\cdot U_{{2}}+b$ .

c) Jeżeli istnieje funkcja użyteczności von Neumanna-Morgensterna, to relacja preferencji jest ciągła i spełnia aksjomat niezależności.

Ćwiczenie 15.1

Udowodnić stwierdzenie.

Twierdzenie 15.1 (o użyteczności oczekiwanej)

Jeżeli relacja preferencji jest ciągła i spełnia aksjomat niezależności, to istnieje funkcja użyteczności von Neumanna-Morgensterna.

Dowód można znaleźć w Mas-Colell, Whinston i Green [1] lub Varian [2].

Przykład 15.1

Paradoks Allais

Porównajmy loterie A i B i określmy, którą z nich wolimy:

A: 1 mln z prawdopodobieństwem $1$ ;

B. 5 mln z prawdopodobieństwem $0.1$ , 1 mln z prawdopodobieństwem $0.89$ , nic z prawdopodobieństwem $0.01$ .

Zapiszmy wynik i zapomnijmy o nim. Teraz porównajmy loterie C i D:

C. 1 mln z prawdopodobieństwem $0.11$ , nic z prawdopodobieństwem $0.89$ ;

D. 5 mln z prawdopodobieństwem $0.1$ , nic z prawdopodobieństwem $0.9$ .

Znaczna większość osób (w zależności od tego, czy to matematycy, czy gospodynie domowe i czy wiedzą, że to paradoks, może to dochodzić nawet do $100\%!$ ) wybiera parę loteri (A,D) – są one dla nich ściśle lepsze. Jeśli założymy, że mają funkcję użyteczności von Neumanna-Morgensterna, można to zapisać jako układ nierówności z trzema niewiadomymi:

$\left\{\begin{array}[]{l}u(1)>0.1\cdot u(5)+0.89\cdot u(1)+0.01\cdot u(0)\text{,}\\ 0.11\cdot u(1)+0.89\cdot u(0)<0.1\cdot u(5)+0.9\cdot u(0)\text{.}\end{array}\right.$

Jak łatwo sprawdzić, ten układ jest sprzeczny.

Tak więc z bardzo oczywistych założeń (pierwotnie był to system pięciu prostych aksjomatów von Neumanna i Morgensterna, jeszcze bardziej oczywistych), wynika istnienie funkcji użyteczności von Neumanna-Morgensterna, która jak widać z paradoksu Allais, nie zawsze odzwierciedla nasze preferencje. Niemniej jednak odtąd będziemy zakładać, że taka funkcja istnieje.

Zobaczymy, co przy tym założeniu można wyliczyć. Przeanalizujemy, za ile minimalnie właściciel byłby skłonny sprzedać ryzykowny aktyw.

Ćwiczenie 15.2

Kapitan Kid zdobył mapę, która z prawdopodobieństwem 0.75 zaprowadzi go do skarbu o wartości 160 tysięcy gwinei. Inny pirat zaproponował, że odkupi mapę i wyłączne prawo do skarbu. Za jaką minimalną cenę Kid będzie skłonny je sprzedać, jeśli jego funkcja użyteczności na zbiorze możliwych wyników jest postaci $u(x)=\sqrt{x}$ . Zakładamy, że Kid ma funkcję użyteczności von Neumanna-Morgensterna na loteriach i że nie ma innego majątku?

Rozwiązanie:

Minimalna cena, za jaką Kid jest skłonny sprzedać mapę, to cena, przy której jego użyteczność od sprzedaży po tej cenie zrównuje się użytecznością loterii ”nie sprzedać”, czyli taka cena $P$ , dla której $1\cdot\sqrt{P}=0.25\cdot\sqrt{0}+0.75\cdot\sqrt{160000}$ .

Podobnie ma się sytuacja, kiedy decydujemy się na kupno ubezpieczenia – jaka maksymalnie może być jego cena:

Ćwiczenie 15.3

Sokrates jest właścicielem domu o wartości 200 talentów, poza ma jeszcze żonę Ksantypę, którą wycenia na 25. Dom może spłonąć z prawdopodobieństwem równym 0.02, ale Ksantypa na pewno zdąży uciec. Ile maksymalnie Sokrates będzie skłonny zapłacić za pełne ubezpieczenie domu, jeśli jego funkcja użyteczności na zbiorze możliwych wyników jest postaci $u(x)=\sqrt{x}$ ? Zakładamy, że nie może kupić ubezpieczenia pokrywającego tylko część szkody.

Rozwiązanie:

Wykupienie pełnego ubezpieczenia oznacza, że jego majątek będzie wynosił na pewno $225-P$ . Podobnie jak w poprzednim przykładzie porównujemy, kiedy obie użyteczności się zrównają.

15.1.1. Stosunek do ryzyka

Odtąd będziemy zajmować się sytuacją, gdy $\mathbb{C}=\mathbb{R}$ , co będzie oznaczać możliwe wartości posiadanego majątku. Teraz będziemy utożsamiać loterię (czyli rozkład) z jej dystrybuantą (funkcja $F:\mathbb{R}\rightarrow[0,1]$ taka że $F(x)$ – prawdopodobieństwo, że będziemy mieć nie więcej niż $x$ ). Dalej zakładamy, że preferencje na zbiorze loterii są wyznaczone przez funkcję użyteczności von Neumanna-Morgensterna $U$ – czyli istnieje taka funkcja $u:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ (nazywana czasem funkcją użyteczności Bernoulliego), że $U(F)=\int _{{-\infty}}^{{+\infty}}u(x)dF(x)$ (całka Stieltiesa) wyznacza preferencje. O funkcji $u$ będziemy zakładać, że jest ściśle rosnąca, ograniczona i ciągła.
Ponieważ argumentem $u$ jest wartość pieniężna majątku, warunek, że $u$ jest ściśle rosnąca jest naturalny – racjonalny (w nieco węższym znaczeniu, niż tego terminu używaliśmy w zagadnieniach teorii wyboru konsumenta).

Definicja 15.4

Podejmujący decyzję jest niechętny ryzyku (ma awersję do ryzyka), jeśli dla każdej loterii $F$ wartość oczekiwana $F$ jest niegorsza niż $F$ .

Podejmujący decyzję lubi ryzyko (jest miłośnikiem ryzyka, ma skłonność do ryzyka), jeśli dla każdej loterii $F$ , $F$ jest niegorsza niż wartość oczekiwana $F$ .

Podejmujący decyzję jest obojętny w stosunku do ryzyka, jeśli dla każdej loterii $F$ wartość oczekiwana $F$ jest równie dobra jak $F$ .

Wyrażone przy pomocy funkcji użyteczności von Neumanna-Morgensterna, definicje te mają postać:

niechęć do ryzyka: $\int _{{-\infty}}^{{+\infty}}u(x)dF(x)\leq u\left(\int _{{-\infty}}^{{+\infty}}(x)dF(x)\right)$ ;

miłość do ryzyka: $\int _{{-\infty}}^{{+\infty}}u(x)dF(x)\geq u\left(\int _{{-\infty}}^{{+\infty}}(x)dF(x)\right)$ ;

obojętność wobec ryzyka: $\int _{{-\infty}}^{{+\infty}}u(x)dF(x)=u\left(\int _{{-\infty}}^{{+\infty}}(x)dF(x)\right)$ .

Twierdzenie 15.2

Niechęć do ryzyka jest równoważna wklęsłości $u$ , miłość – wypukłości, a obojętność – liniowości funkcji $u$ .

Natychmiastowy z nierówności Jensena.

∎

Żeby lepiej zrozumieć koncepcje niechęci i miłości do ryzyka zauważmy następujące fakty, które czytelnik łatwo może udowodnić:

Stwierdzenie 15.2

a) Jeżeli ubezpieczenie jest aktuarialnie fair (wartość składki jest równa wartości oczekiwanej szkody), to osoba niechętna ryzyku wykupi pełne ubezpieczenie.

b) Jeżeli osoba niechętna ryzyku rozważa inwestycję w aktyw ryzykowny i pewny, przy czym aktyw ryzykowny ma wyższą wartość oczekiwaną stopy zwrotu niż stopa zwrotu z aktywu pewnego, to zainwestuje pewną większą od zero część pieniędzy w aktyw ryzykowny.

c) Jeżeli ubezpieczenie jest aktuarialnie fair lub jest droższe, to osoba skłonna do ryzyka nie ubezpieczy się wcale.

d) Jeżeli mamy aktyw ryzykowny i pewny, przy czym stopa zwrotu z aktywu pewnego jest wyższa niż wartość oczekiwana stopy zwrotu aktywu ryzykownego, wówczas nie można powiedzieć, w który z aktywów zainwestuje miłośnik ryzyka.

Ćwiczenie 15.4

Udowodnić stwierdzenie.

Punkt b wydaje się w pierwszej chwili zaskakujący. Okazuje się, że większość inwestorów giełdowych jest niechętna ryzyku! Inwestują niewielką część swego majątku w akcje, bo akcje mają większą oczekiwaną stopę zwrotu niż aktywa pewne. Osoby mające skłonność do ryzyka na pewno nie wykupią żadnego nieobowiązkowego ubezpieczenia (żadne z nich nie jest aktuarialnie fair i to z grubym okładem). Większość ludzi ma awersję do ryzyka. Kto więc ma skłonność do ryzyka? Analiza danych wykazuje, że, przynajmniej na małą skalę, klienci totolotka, a na większą skalę firm oferujących samochody na raty z wcześniejszym wykupem w drodze losowania – płacą średnio o $\frac{1}{3}$ wartości samochodu więcej (to akurat dowcip: ci ludzie zazwyczaj nie liczyli żadnej wartości oczekiwanej ani zdyskontowanego strumienia płatności, więc nawet nie wiedzą, o ile więcej zapłacili).

Możemy oceniać loterie porównując je z sytuacjami pewnymi (jak w powyższych przykładach).

Definicja 15.5

Odpowiednikiem pewnym loterii $F$ dla o soby o funkcji Bernoulliego $u$ nazywamy taką liczbę $c(F,u)$ , że $u(c(F,u))=\int _{{-\infty}}^{{+\infty}}u(x)dF(x)$ .

Stwierdzenie 15.3

Niechęć do ryzyka jest równoważna $c(F,u)\leq\int _{{-\infty}}^{{+\infty}}xdF(x)$ , miłość $c(F,u)\geq\int _{{-\infty}}^{{+\infty}}xdF(x)$ , a obojętność $c(F,u)=\int _{{-\infty}}^{{+\infty}}xdF(x)$ .

Ćwiczenie 15.5

Udowodnić stwierdzenie.

Ćwiczenie 15.6

W swoim życiu Antoni kieruje się funkcją użyteczności oczekiwanej o $u(w)=\mathop{\rm{ln}}w$ , gdzie $w$ określa wartość jego majątku.

a) Jaki jest jego stosunek do ryzyka?

b) Antoni i jego koledzy kibicują podwórkowej drużynie piłkarskiej Naprzód. Jaką maksymalnie kwotę Antoni byłby skłonny postawić na nich, jeśli kibic drużyny przeciwnej Szerszenie daje dwa do jednego na wygraną Szerszeni (za każdą złotówkę postawioną na Naprzód da dwa złote, jeśli Naprzód wygra), a Antoni jest przekonany, że prawdopodobieństwo wygranej Naprzód to dokładnie $\frac{1}{2}$ , a majątek Antoniego to $1000$ zł?

Ćwiczenie 15.7

Rodzeństwo Ania i Michał jadą pociągiem do Zakopanego. Obydwoje mieli wykupione bilety, ale bilet Ani zginął. Ryzyko złapania przez konduktora oboje szacują na $\frac{9}{10}$ , a kara za brak biletu wynosi 500zł.

Ania ma funkcję użyteczności $\sqrt{w}$ , a Michał $w^{2}$ .

a) Czy jest możliwe porozumienie obustronnie korzystne? Podać przykład takiego porozumienia, które jest niezależne od majątków obojga.

b) Wyznaczyć przedział cen po jakich Michał byłby skłonny sprzedać bilet Ani oraz przedział cen po jakich Ania byłaby skłonna kupić bilet od Michała, jeśli każde z nich ma łączny majątek wart $1000$ zł.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Skrypt do wykładu z mikroekonomii dla wydziału MIMUW 2009/2010

Zagadnienia

15. Wybór w warunkach niepewności

15.1. Preferencje na loteriach i użyteczność oczekiwana

Definicja 15.1

Definicja 15.2

Definicja 15.3

Stwierdzenie 15.1

Ćwiczenie 15.1

Twierdzenie 15.1 (o użyteczności oczekiwanej)

Przykład 15.1

Ćwiczenie 15.2

Ćwiczenie 15.3

15.1.1. Stosunek do ryzyka

Definicja 15.4

Twierdzenie 15.2

Stwierdzenie 15.2

Ćwiczenie 15.4

Definicja 15.5

Stwierdzenie 15.3

Ćwiczenie 15.5

Ćwiczenie 15.6

Ćwiczenie 15.7