Ponieważ będziemy rozpatrywać zagadnienie optymalizacyjne w zmieniających się warunkach, zbiory budżetowe, jak również zbiory optymalnych wyborów będą się zmieniać. Jeżeli będzie nas interesować zależność od parametrów, będziemy mieć do czynienia z funkcją. Jednakże wartościami tej funkcji będą przeważnie zbiory. W zasadzie funkcja o wartościach w przestrzeni zbiorów nie jest niczym strasznym, jednak jak np. narysować jej wykres? Jak łatwo stwierdzić, czy jest ona ciągła? Jest na to sposób, bez uciekania się do topologii ogólnej.
Przypomnienie ze wstępu do matematyki: ”funkcja jest to odwzorowanie wielowartościowe (relacja), które…”
Wrócimy do korzeni, czyli do odwzorowań wielowartościowych.
Odwzorowanie wielowartościowe ,
to dowolna funkcja ze zbioru
w zbiór potęgowy zbioru
(równoważnie jest to dowolny podzbiór zbioru
).
Wykresem nazywamy zbiór
.
Przeciwobrazem górnym zbioru nazywamy zbiór
, a przeciwobrazem dolnym zbioru
nazywamy zbiór
.
Odwzorowanie nazywamy półciągłym z góry (z dołu), jeśli przeciwobrazy górne (dolne) zbiorów
otwartych są otwarte.
Odwzorowanie nazywamy ciągłym, jeśli jest
równocześnie półciągłe z góry i z dołu.
Niech i odwzorowanie
. Odwzorowanie
nazywamy (dodatnio) jednorodnym stopnia
,
jeżeli dla każdego
,
,
mamy
.
Obrazowo mówiąc, półciągłość górna oznacza, że wykres nie ma ”dziur”, a dolna, że ”wąsów”.
Łatwo zauważyć, że jeśli odwzorowanie jest
jednowartościowe (czyli jest ”zwykłą” funkcją), to jego
dowolna półciągłość jako odwzorowania, implikuje ciągłość jako funkcji.
Jakie relacje inkluzji zachodzą pomiędzy:
a) a
;
b) a
;
c) a
;
d) a
;
e) i analogicznie dla .
Niech będzie funkcją ciągłą.
Narysować wykres i zbadać ciągłość odwzorowania zdefiniowanego przez
a) ;
b) ;
c) ;
a) .
(twierdzenie o maksimum)
Jeżeli funkcja jest ciągła, a odwzorowanie
jest ciągłe i
ma niepuste, zwarte wartości, to odwzorowanie
określone wzorem
jest górnie półciągłe, a funkcja
jest ciągła.
W zagadnieniach równowagi ogólnej będę nam potrzebne twierdzenia o punkcie stałym, które nie wchodzą w zakres podstawowego kursu topologii.
W przypadku, gdy mamy do czynienia z funkcją, punkt stały jest to taki punkt, który jest równy swojej wartości przy tej funkcji.
(twierdzenie Brouwera o punkcie stałym)
Jeżeli jest zbiorem niepustym, zwartym i wypukłym a funkcja
jest ciągła, to istnieje
, takie że
.
Istnieją też inne sformułowania twierdzenia Brouwera, w
których jest kulą lub sympleksem.
W przypadku odwzorowań wielowartościowych punkt stały to punkt, który należy do swojej wartości.
(twierdzenie Kakutaniego o punkcie stałym)
Jeżeli jest zbiorem niepustym, zwartym i wypukłym a odwzorowanie
o niepustych, zwartych,
wypukłych wartościach jest górnie półciągłe lub ma
wykres domknięty, to istnieje
, takie że
.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.