Na optymalizację konsumenta możemy też spojrzeć z drugiej strony: zamiast maksymalizować użyteczność przy zadanym dochodzie, jaki możemy przeznaczyć na konsumpcję, dążyć do osiągnięcia przynajmniej takiej użyteczności jak najmniejszym kosztem.
Funkcję zdefiniowaną wzorem
(gdzie przez
rozumiemy
) nazywamy funkcją wydatków (expenditure
function), a odwzorowanie
zdefiniowane wzorem
odwzorowaniem popytu Hicksa
(czasem także odwzorowaniem popytu skompensowanego dochodu).
Funkcja wydatków określa, ile minimalnie muszę wydać, aby
przy cenach móc zapewnić sobie konsumpcję o
użyteczności
.
Jeżeli jest ciągła, to odwzorowanie popytu Hicksa ma niepuste
wartości, a funkcja wydatków jest skończona dla dowolnego
.
Zbiór
jest w tej sytuacji niepusty, domknięty. Niech pewien
nalezy
do tego zbioru. Wówczas zbiór
jest niepusty, zwarty, a ponieważ wszystkie
,
. Mamy więc problem
minimalizacji funkcji ciągłej na zbiorze zwartym.
Własności popytu Hicksa.
a) Jeśli funkcja użyteczności jest quasi-wklęsła to
odwzorowanie popytu Hicksa ma wartości wypukłe, a jeżeli jest
ściśle quasi-wklęsła, to
jest co najwyżej
jednowartościowe;
b) Jeśli preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone a
jest ciągła, to nie ma nadmiarowej użyteczności, tzn.
dla
jeśli
, to
;
c) Dla ustalonego odwzorowanie
jest jednorodne
stopnia
jako odwzorowanie
;
d) Odwzorowanie popytu Hicksa przy ustalonym
jest ciągłe jako odwzorowanie
, a jeśli funkcja
jest ciągła, lokalnie nienasycona, to
obcięte do zbioru
jest
górnie półciągłe łącznie ze względu na wszystkie
zmienne.
Własności funkcji wydatków.
a) Funkcja jest niemalejącą funkcją
i
, a
jeśli preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone i
jest ciągła, to ściśle rosnącą
dla
;
b) Funkcja jest jednorodna stopnia
ze względu na
;
c) Funkcja jest wklęsła ze względu na
;
d) Funkcja przy ustalonym
jest ciągła ze względu na
, a jeśli funkcja
jest ciągła,
lokalnie nienasycona, to
obcięta do zbioru
jest ciągła łącznie ze
względu na wszystkie zmienne.
e) Jeśli preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone, a
jest, ciągła, to
.
(obu stwierdzeń:) Punkty 6.2 a) i c) oraz 6.3 a) i b) są natychmiastowe. Pozostaje więc udowodnić pozostałe pięć.
6.3 c) Weźmy dowolne wektory cen i
i
.
Niech
.
.
6.2 b) Minimum funkcji liniowej na zbiorze może być
przyjmowane jedynie na jego brzegu. Ponieważ preferencje są
monotoniczne, lokalnie nienasycone, więc poza nie będzie to
. Niech więc punkt
, w
którym jest przymowane minimum będzie punktem z brzegu zbioru
i niech
. Wówczas dla
pewnego małego
, z ciągłości
w pewnym
otoczeniu
istnieje taki
z przynajmniej jedną
nierównością ostrą, dla którego
. Z nierówności na współrzędnych
– sprzeczność.
6.3 e) Weźmy ciągi i
. Niech
.
Ponieważ preferencje są monotoniczne, lokalnie nienasycone,
przynajmniej jedna współrzędna
musi być co namniej
równa analogicznej współrzędnej
, co daje
, czyli
. Stąd i z tego,
że
jest ściśle rosnąca po
dostajemy
.
6.2 d) i 6.3 d) dowodzimy łącznie z twierdzenia o maksimum 4.1.
Najpierw dla ustalonego . Odwzorowanie
, które przyporządkowuje
zbiór
jest
niezależne od
, a więc jest ciągłe (przeciwobrazem
dowolnego rodzaju dowolnego zbioru otwartego jest albo
albo
całe
– otwarte). W twierdzeniu o maksimum
potrzebujemy jednak dodatkowo zwartych wartości. Aby to uzyskać,
musimy ograniczyć się – przynajmniej lokalnie do szukania minimum
na zbiorze zwartym. Weźmy zatem dowolne
dla którego
.
Jeśli ograniczymy się do zbioru
dla
, to dla
bliskich
: takich, że dla każdego
zachodzi
, a więc sprowadziliśmy nasze zagadnienie
do zagadnienia maksymalizacji po zbiorach zwartych, niezależnych od
, tak więc mamy tezę z twierdzenia o maksimum.
Teraz zajmiemy się globalną ciągłością. Aby to
uzyskać, musimy pokazać ciągłość odwzorowania,
oznaczmy je przez , które przyporządkowuje
zbiór
. Dodatkowo podobnie będziemy musieli uzwarcić wartości – podobnie jak poprzednio. Dalszy
schemat dowodu podobny do dowodu stwierdzeń 5.1 d) i 5.2 d).
(Lemat Shepharda)
Jeżeli funkcja użyteczności jest różniczkowalna,
monotoniczna, lokalnie nienasycona, a odwzorowanie popytu Hicksa jest
funkcją różniczkowalną po
;
,
dla każdego
oraz mnożnik Lagrange'a
jest jednoznacznie wyznaczony, to jeśli
dla każdego
, to
a) ,
b) jeżeli ponadto funkcja jest różniczkowalna jako funkcja
, macierz
jest symetryczna, niedodatnio określona, w szczególności
(tzw. ujemny efekt cenowy Hicksa).
a) Wynika natychmiast z zastosowania twierdzenia o obwiedni.
b) Uzyskujemy, różniczkując po
dwukrotnie – z
a) i wklęsłości
po
.
Obliczyć funkcję wydatków i odwzorowanie popytu Hicksa dla równej
a) przy
(doskonałe substytuty);
b) przy
(dobra doskonale komplementarne);
c) przy
(użyteczność Cobba-Douglasa).
Odwzorowania popytu Hicksa, nawet jeśli nie są funkcjami różniczkowalnymi mają ponadto tę interesującą własność, że popyt zmienia się ”w kierunku przeciwnym do zmiany ceny”. Formalnie zachodzi następujący fakt:
Jeśli , to dla każdego
,
zachodzi
nierówność
.
Rozłóżmy .
Pierwszy nawias jest ujemny, ponieważ minimum na zbiorze
jest przyjmowane na
, a
nie należy do
, drugi analogicznie.
Zagadnienia maksymalizacji użyteczności i minimalizacji wydatków są względem siebie dualne.
Aby zachodził poniższy fakt, nie potrzeba pełnych założeń modelu konsumenta
Jeżeli
preferencje są lokalnie nienasycone, ciągłe i , to:
a) ;
b) dla
;
c) ;
d) dla
.
Oczywiste.
∎O ileż prościej byłoby rozwiązać zadanie 6.1 korzystając z dualności!
Mamy daną funkcję .
Czy może być ona niejawną funkcją użyteczności przy standartowych założeniach modelu konsumenta?
Obliczyć (zakładając, że nasze postępowanie jest poprawne), oba odzworowania popytu i funkcję wydatków.
Jaka jest wyjściowa funkcja ?
Mamy daną funkcję .
Czy może być ona funkcją wydatków przy standartowych założeniach modelu konsumenta?
Obliczyć niejawną funkcję użyteczności oraz, zakładając, że nasze postępowanie jest poprawne, oba odzworowania popytu.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.