Zagadnienia

2.1 Nominalne stopy oprocentowania i dyskonta.Intensywność oprocentowania
2.2 Renty

2. Podstawy teorii oprocentowania

Treść tego rozdziału jest punktem wyjścia dla samodzielnej dyscypliny zwanej często matematyką finansową. Podamy tutaj niezbędne w dalszym ciągu wykładu podstawowe wiadomości , natomiast pełniejsze opracowanie omawianych zagadnień można znaleźć w [6] lub [1]. Załóżmy , że inwestujemy dzisiaj kwotę $k_{0}$ , która po roku wzrasta do $k_{1}$ (zdarza się, że $k_{1}<k_{0}$ – wtedy wzrost jest ujemny). Liczbę $r$ określoną wzorem

$r=\frac{k_{1}}{k_{0}}-1$

(2.1)

nazywamy stopą zwrotu z tej inwestycji. Po przekształceniu wzoru (2.1) otrzymujemy

$k_{1}=k_{0}(1+r)$

(2.2)

Liczbę $1+r$ nazywamy czynnikiem akumulującym. W ciągu roku u różnych podmiotów gospodarczych zrealizują się, oczywiście, różne stopy zwrotu. W celu uporządkowania i uproszczenia dalszych rozważań przyjmujemy, że dominująca stopa zwrotu na przestrzeni kilku okresów, jest równa $i$ . Będziemy ją nazywać efektywną stopą procentową.

Jeśli więc dziś założę lokatę bankową w wysokości $k_{0}$ , to po roku otrzymam

$k_{1}=k_{0}(1+i)$

Jeśli jednak nie podejmę tych pieniędzy, ale przedłużę lokatę na rok następny, to na koniec drugiego roku trwania lokaty otrzymam

$k_{2}=k_{1}(1+i)=k_{0}(1+i)^{2}$

Kapitał rośnie zatem tak jak ciąg geometryczny, po $n$ latach będę miał w banku

$k_{n}=k_{0}(1+i)^{n}$

Kwotę $i_{n}$ , która przyrosła w $n$ -tym roku, nazywamy bieżącymi odsetkami; wynosi ona

$i_{n}=k_{n}-k_{{n-1}}=ik_{{n-1}}$

Spójrzmy teraz na rozważany problem z innej strony. Chcę dysponować kapitałem $k_{1}$ za rok od dziś. Ile powinienem teraz zainwestować ( $k_{0}=$ ?), jeśli efektywna stopa procentowa wynosi $i$ ? Odpowiedź uzyskujemy przekształcając wzór (2.2)

$k_{0}=\frac{k_{1}}{1+i}$

(2.3)

Liczbę

$v=\frac{1}{1+i}$

(2.4)

nazywamy czynnikiem dyskontującym. Poglądowo można powiedzieć, że a kumuluje on wstecz (rys.1). Wzór (2.3) zapiszemy teraz w postaci bardziej przypominającej (2.2)

$k_{0}=k_{1}(1-d)$

(2.5)

Liczbę $d$ występującą w tej zależności nazywamy efektywną stopą dyskontową. Ze wzorów (2.3),(2.4) i (2.5) wynika, że

$d=1-v=\frac{i}{1+i}=iv$

(2.6)

Liczba $d$ jest miarą odsetek pobieranych z góry. Jeśli więc pożyczamy od kogoś $1$ zł z efektywną stopą dyskonta $d$ , to dostajemy tylko $(1-d)$ zł, a po roku oddajemy kapitał $1$ zł. Pożyczkodawca osiągnął więc stopę zwrotu

$\frac{1}{1-d}-1=\frac{1}{v}-1=i$

Taką samą stopę zwrotu osiągnąłby pobierając odsetki po roku, w wysokości $i$ zł.

Równanie typu

$k_{n}=k_{0}(1+i)^{n}$

(2.7)

nazywamy równaniem wartości. Jeśli trzy spośród czterech liczb $k_{0},k_{n},i,n$ są dane, to czwartą można obliczyć z tego równania. Jeśli niewiadomą jest czas inwestycji $n$ , to z równania (2.7) otrzymuje się na ogół niecałkowitą wartość $n$ (najczęściej niewymierną). Dlatego wprowadza się tzw. kapitalizację ciągłą. Wyjaśnimy krótko jej sens.

Niech $t$ będzie dowolną liczbą dodatnią (np. $t=10\frac{1}{3}$ ). Chcę pobrać z banku początkowy depozyt $k_{0}$ po czasie $t$ . Bank wypłaca mi

$k_{t}=k_{0}(1+i)^{t}$

Odsetki były tu naliczane cały czas ( w sposób ciągły), a nie tylko dopisywane na koniec roku.

2.1. Nominalne stopy oprocentowania i dyskonta.Intensywność oprocentowania

Bank w którym mam swój ROR, kapitalizuje moje saldo (tzn. dopisuje odsetki) co miesiąc, nominalna stopa oprocentowania wynosi $13.5\%$ . Co to znaczy w praktyce? Oznacza to , że po miesiącu stan mojego konta wyniesie

$k_{{1/12}}=k_{0}\left(1+\frac{0.135}{12}\right)$

a po $l$ miesiącach

$k_{{l/12}}=k_{0}\left(1+\frac{0.135}{12}\right)^{l}$

(zakładamy , że w międzyczasie nic nie wpłacam i nic nie podejmuję); na przykład po roku mam na koncie

$k_{1}=k_{0}\left(1+\frac{0.135}{12}\right)^{{12}}\approx 1.1438k_{0}$

Powyższe rozważania streszczamy krótko:

Nominalnej stopie $i^{{(12)}}=13.5\%$ odpowiada efektywna stopa (roczna) $i\approx 14.4\%$ .

Ogólnie, jeśli dopisywanie odsetek odbywa się $m$ razy w ciągu roku (oczywiście $m$ jest całkowite!), to nominalna stopa $i^{{(m)}}$ jest powiązana z równoważną jej stopą efektywną $i$ zależnością

$\left(1+\frac{i^{{(m)}}}{m}\right)^{m}=1+i$

(2.8)

Po roku musi przyrosnąć taka sam kwota po obu stronach w zależności (2.8), chociaż po lewej przyrasta $m$ razy, a po prawej tylko raz. Rozumowanie takie można powtórzyć dla nominalnych stóp dyskontowych; otrzymuje się wówczas zależność

$\left(1-\frac{d^{{(m)}}}{m}\right)^{m}=1-d$

(2.9)

W tym kontekście ciekawe uzasadnienie można podać dla kapitalizacji ciągłej.

Załóżmy, że w naszym mieście jest nieskończenie wiele banków . Każdy z nich oferuje taką samą nominalną stopę oprocentowania $\delta$ rachunków ROR, z tym że w banku nr $m$ odsetki są kapitalizowane $m$ razy w ciągu roku – np. bank nr 365 dopisuje odsetki codziennie. Niech teraz $i_{m}$ oznacza efektywną roczną stopę oprocentowania, którą uzyskamy w banku nr $m$ . Mamy więc

$1+i_{m}=\left(1+\frac{\delta}{m}\right)^{m}$

Ponieważ liczby te wzrastają wraz z $m$ , więc im większy jest numer banku, tym korzystniejsza jest jego oferta. Czy można przebić tę nieskończoną mnogość coraz lepszych ofert? Okazuje się , że tak! Ponieważ

$\lim _{{m\rightarrow\infty}}\left(1+\frac{\delta}{m}\right)^{m}=e^{{\delta}}$

(2.10)

więc wystarczy założyć bank (nazwijmy go umownie bankiem granicznym) i zaproponować efektywną roczną stopę oprocentowania w wysokości

$i=e^{{\delta}}-1$

(2.11)

Odsetki wypłaca się raz do roku w powyższej wysokości.

Co to ma wspólnego z kapitalizacją ciągłą? Załóżmy, że chcemy wycofać pieniądze w chwili $t$ , gdzie o $t$ nic się nie zakłada. Dla większości banków $t$ nie będzie całkowitą wielokrotnością ich okresu odsetkowego ( $1/m$ roku), ale załóżmy, że taki bank zaliczy nam łaskawie ostatnią cząstkę okresu odsetkowego jako cały. Nasz początkowy kapitał $k_{0}$ wzrośnie więc po czasie $t$ w banku nr $m$ do

$k(m)=k_{0}\left(1+\frac{\delta}{m}\right)^{{[tm]+1}}$

( $[y]$ oznacza część całkowitą liczby $y$ ). Otrzymujemy stąd

$\lim _{{m\rightarrow\infty}}k(m)=k_{0}\lim _{{m\rightarrow\infty}}\left(\left(1+\frac{\delta}{m}\right)^{m}\right)^{{\frac{[tm]+1}{m}}}=k_{0}e^{{\delta t}}=k_{0}(1+i)^{t}$

Skorzystaliśmy z (2.10) i (2.11). Wobec tego nasz bank graniczny w chwili $t$ powinien wypłacić

$k_{t}=k_{0}(1+i)^{t}$

tzn. powinien kapitalizować odsetki w sposób ciągły. Liczbę

$\delta=\ln(1+i)$

(2.12)

nazywamy intensywnością oprocentowania. łatwo pokazać, że

$\lim _{{m\rightarrow\infty}}i^{{(m)}}=\lim _{{m\rightarrow\infty}}d^{{(m)}}=\delta$

gdzie $i^{{(m)}}$ , $d^{{(m)}}$ są stopami nominalnymi równoważnymi zadanej efektywnej stopie rocznej $i$ .

2.2. Renty

Rent używa się w finansach i ubezpieczeniach przede wszystkim do ratalnej spłaty długów, do płacenia składek i do wypłaty emerytur.

Oto przykład wprowadzający. Od 1 stycznia $2000$ r. przez następne dziesięć lat będę otrzymywać $1$ zł na początku każdego roku. Jaka jest wartość tego ciągu wypłat na 1 stycznia $2000$ r.? Każdą z $10$ płatności trzeba zdyskontować na dziś, tak więc

$PV=1+v+v^{2}+\cdots+v^{9}$

gdzie $v$ jest czynnikiem dyskontującym. Skrót PV oznacza po angielsku present value, czyli wartość obecną tego strumienia wypłat. Nie jest to w zasadzie pojęcie dla nas nowe. Wzór (2.3) przedstawia, na przykład, wartość obecną pojedynczej wypłaty $k_{1}$ , dokonywanej za rok. Ponieważ tego typu wielkości będą się pojawiać regularnie, wprowadzamy oznaczenie $\ddot{a}_{{\overline{n}\mid}}$ na wartość obecną $n$ złotówek otrzymywanych co rok, od dziś włącznie (tak więc ostatnia $n$ –ta wpłata wpłynie po $n-1$ latach). Podobnie jak wyżej

$\ddot{a}_{{\overline{n}\mid}}=1+v+v^{2}+\cdots+v^{{n-1}}$

Sytuację tę zilustrowano na rys.2. Ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego i ze wzoru (2.6) otrzymujemy

$\ddot{a}_{{\overline{n}\mid}}=\frac{1-v^{n}}{1-v}=\frac{1-v^{n}}{d}$

(2.13)

Po przekształceniu uzyskujemy wzór

$d\ddot{a}_{{\overline{n}\mid}}+v^{n}=1$

(2.14)

który ma piękną interpretację.

Prawa strona wzoru: pożyczamy komuś $1$ zł (dziś). Strona lewa: nasz dłużnik spłaca nam na bieżąco odsetki – na początku każdego roku przez $n$ lat, w ten sposób dług zasadniczy nie zwiększa się. Po $n$ okresach zwraca nam pożyczone $1$ zł, które zdyskontowane na dziś wynosi $v^{n}$ .

Ponieważ płatności rat renty są na ogół częstsze niż raz do roku (np. miesięczne), potrzebne są dodatkowe oznaczenia. Załóżmy, że płatności będą dokonywane przez $n$ lat $m$ razy w ciągu roku, każda w wysokości $\frac{1}{m}$ zł. Wartość obecną renty oznaczamy symbolem

$\ddot{a}_{{\overline{n}\mid}}^{{(m)}}=\frac{1}{m}\left(1+v^{{\frac{1}{m}}}+v^{{\frac{2}{m}}}+\cdots+v^{{\frac{nm-1}{m}}}\right)=\frac{1}{m}\cdot\frac{1-v^{n}}{1-v^{{\frac{1}{m}}}}$

( $nm$ to liczba wszystkich rat). Na podstawie (2.9) i (2.6) mamy

$1-v^{{\frac{1}{m}}}=1-(1-d)^{{\frac{1}{m}}}=1-\left(1-\frac{d^{{(m)}}}{m}\right)=\frac{d^{{(m)}}}{m}$

tak więc ostatecznie

$\ddot{a}_{{\overline{n}\mid}}^{{(m)}}=\frac{1-v^{n}}{d^{{(m)}}}$

(2.15)

Wzór ten równie łatwo zapamiętać jak (2.13).

Użyte powyżej symbole $\ddot{a}_{{\overline{n}\mid}}$ , $\ddot{a}_{{\overline{n}\mid}}^{{(m)}}$ dotyczą rent płatnych z góry (pierwsza rata od razu) – dwie kropki na górze oznaczają taką sytuację. Odpowiednie symbole bez kropek oznaczają wartości obecne strumieni płatności przesuniętych o $1$ rok w przyszłość (płatnych z dołu). Otrzymujemy wzory

$a_{{\overline{n}\mid}}=\frac{1-v^{n}}{i}\mbox{ , }\ \ a_{{\overline{n}\mid}}^{{(m)}}=\frac{1-v^{n}}{i^{{(m)}}}$

Na zakończenie rozważmy możliwość (przynajmniej teoretyczną) ciągłego napływu gotówki na nasz rachunek bankowy. Załóżmy, że w ciągu roku wpływa nań $1$ zł. Tak więc między $3$ a $10$ marca wpływa $7/365$ zł. Gotówka, która wpływa w krótkim przedziale czasu między $t$ a $t+\Delta t$ , jest w przybliżeniu dyskontowana stałym czynnikiem $v^{t}$ ( $v^{t}\approx v^{{t+\Delta t}}$ ). Sumowanie wartości obecnych poszczególnych wpłat zastąpimy tu oczywiście całkowaniem