5. Zadania,III

33. Za składkę jednorazową netto (x) kupuje rentę życiową ciągłą, która przez najbliższe $n$ lat będzie mu wypłacać z intensywnością $a$ na rok, a po dożyciu wieku (x+n) z intensywnością $b$ na rok, aż do śmierci. Niech $Y$ oznacza wartość obecną tych świadczeń emerytalnych na moment wystawienia polisy. Dane są:

$\delta=0,04,\ \ n=10,\ \ \mbox{}_{n}p_{x}=0,332871,$

$\bar{a}_{{x:\overline{n}\mid}}=6,09967,\ \ \mbox{}^{2}\bar{a}_{{x:\overline{n}\mid}}=5,25444,\ \ \bar{a}_{{x+n}}=3,25975,\ \ \mbox{}^{2}\bar{a}_{{x+n}}=2,9242.$

Wykazać, że:

$Var(Y)=5,05565a^{2}+3,11643ab+1,98029b^{2}$

34. Niech $P((IA)_{x})$ oznacza regularną składkę netto, którą będzie płacić ubezpieczony (x) na początku każdego roku aż do śmierci za ubezpieczenie rosnące, które wypłaci uposażonym $k+1$ , jeżeli umrze on w $k+1.$ roku ważności polisy. Udowodnić wzór:

$P((IA)_{{x+1}})=\frac{P((IA)_{x})-P_{x}}{v-P_{x}}.$

Rozwiązanie. Z wzoru

$(IA)_{x}=\sum _{{k=0}}^{{\infty}}v^{{k+1}}(k+1)\mbox{}_{k}p_{x}q_{{x+k}}$

łatwo uzyskujemy zależność rekurencyjną

$(IA)_{x}=A_{x}+vp_{x}(IA)_{{x+1}}.$

Mamy zatem

$P((IA)_{x})=\frac{(IA)_{x}}{\ddot{a}_{x}}=P_{x}+vp_{x}\cdot\frac{(IA)_{{x+1}}}{\ddot{a}_{{x+1}}}\cdot\frac{\ddot{a}_{{x+1}}}{\ddot{a}_{x}}=P_{x}+vp_{x}P((IA)_{{x+1}})\frac{\ddot{a}_{x}-1}{vp_{x}\ddot{a}_{x}}=P_{x}+P((IA)_{{x+1}})(v-P_{x})$

skąd wynika teza.

35. Rozważamy kontrakt ubezpieczeniowy ciągły ogólnego typu dla osoby w wieku (x). Wiadomo, że dla każdego $t\ge 0$ mamy zależność:

$\pi(t)=c(t)\mu _{{x+t}}+s,$

gdzie $s$ jest stałą dodatnią. Techniczna intensywność oprocentowania wynosi $\delta=0$ . Wykazać, że rezerwa składek netto $V(t)$ po $t$ latach wynosi:

$V(t)=\frac{s\bar{a}_{{x:\overline{t}\mid}}}{\mbox{}_{t}p_{x}}$

36. Ubezpieczenie emerytalne dla (x), wziętego z populacji o wykładniczym rozkładzie trwania życia:

$\mu _{{x+t}}=const=0,01,$

polega na tym, że przez najbliższe $m$ lat będzie płacił coroczną regularną składkę w odpowiednio dobranej wysokości netto $P$ a po dożyciu wieku $x+m$ zacznie otrzymywać emeryturę dożywotnią w wysokości $1$ na początku roku. Obliczyć $\pi _{{m+7}}^{s}$ . Techniczna stopa oprocentowania użyta do obliczenia składki i rezerw wynosi $i=4\%$ . (zakładamy, że obie liczby $x$ oraz $m$ są całkowite dodatnie).

37. Mąż (30) należy do populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym $\omega _{m}=100$ , natomiast żona (25) należy do populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym $\omega _{k}=110$ . Obliczyć średni czas przebywania we wdowieństwie owdowiałej osoby. Zakładamy, że $T(30)$ oraz $T(25)$ są niezależne oraz, że owdowiała osoba nie wstępuje w związek małżeński.

38. Rozpatrujemy rentę wdowią dla niej (x) i dla niego (y):

(a) w przypadku, gdy ona umrze jako pierwsza on zacznie otrzymywać rentę dożywotnią ciągłą z intensywnością $2$ na rok (począwszy od jej śmierci);
(b) natomiast, gdy on umrze jako pierwszy ona zacznie otrzymywać rentę dożywotnią ciągłą z intensywnością $1$ na rok (począwszy od jego śmierci).

Niech $Y$ oznacza wartość obecną świadczeń z tej polisy na moment jej wystawienia. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że ona umrze jako pierwsza pod warunkiem, że $Y\le 10$ . Wiadomo, że:

$\mu _{{x+t}}^{{(k)}}=const=0,02,\ \ \ \mu _{{y+t}}^{{(m)}}=const=0,04,\ \ \ \delta=0,02.$

Zakładamy, że $T(x)$ oraz $T(y)$ są niezależne.

39. Rozważamy polisę ciągłą ogólnego typu wystawioną osobie w wieku $x=\omega-n$ wybranej z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym $\omega$ , gdzie $\omega>n>0$ . Gdy ubezpieczony umrze w wieku $x+t$ będzie wypłacone świadczenie w wysokości $c(t)=n-t$ . Wiadomo ponadto, że rezerwy składek netto po czasie $t\in[0,n)$ wynoszą:

$V(t)=nt-t^{2}.$

Obliczyć

$\sup _{{t\in[0,n)}}\pi(t)-\inf _{{t\in[0,n)}}\pi(t).$

Zakładamy, że techniczna intensywność oprocentowania $\delta$ spełnia warunek $0<n\delta<3$ . Wybrać odpowiedź najbliższą.

40. Osoba w wieku (30) zaczyna płacić składki regularne w wysokości netto $P_{{30}}$ na początku każdego roku, aż do śmierci. Na koniec roku śmierci uposażeni otrzymają sumę ubezpieczenia równą $1$ . Załóżmy, że po $k>0$ latach ubezpieczony żyje i niech $\mbox{}_{k}L$ oznacza stratę ubezpieczyciela na ten moment. Obliczyć

$Pr(\mbox{}_{k}L<\mbox{}_{k}V).$

Dane są:

$A_{{30+k}}=0,435,\ \ \ i=4\%.$

41. Niech $x$ będzie liczbą całkowitą nieujemną oraz $u\in(0,1)$ . Niech ponadto $p_{{x+u}}^{{(UDD)}}$ oznacza $p_{{x+u}}$ obliczone przy założeniu UDD, natomiast $p_{{x+u}}^{{(B)}}$ niech oznacza $p_{{x+u}}$ obliczone przy założeniu Balducciego. Udowodnić wzór:

$p_{{x+u}}^{{(UDD)}}p_{{x+u}}^{{(B)}}=\frac{p_{x}p_{{x+1}}(1-uq_{{x+1}})[1-(1-u)q_{x}]}{[1-(1-u)q_{{x+1}}](1-uq_{x})}$

42. Niech

$\Delta\bar{A}_{x}=\bar{A}_{{x+\Delta x}}-\bar{A}_{x}$

oraz podobnie niech

$\Delta\bar{a}_{x}=\bar{a}_{{x+\Delta x}}-\bar{a}_{x}.$

Wyprowadzić następujący wzór przybliżony:

$\frac{\Delta\bar{A}_{x}+\mbox{}_{{\Delta x}}q_{x}}{\Delta\bar{a}_{x}+\Delta x}\approx\bar{P}(\bar{A}_{x}).$

43. Niech $Y$ oznacza wartość obecną renty życiowej dla (x), która wypłaca $1$ zł na początku roku, co rok, aż do śmierci, obliczoną przy technicznej intensywności oprocentowania $\delta>0$ . Podobnie niech $\mbox{}^{2}Y$ oznacza wartość obecną tego samego strumienia płatności, ale obliczoną przy intensywności oprocentowania $2\delta$ . Oto realizacje zmiennych $Y$ oraz $\mbox{}^{2}Y$ :

$Y=11,4773,\ \ \ \mbox{}^{2}Y=7,97483.$

Obliczyć realizację zmiennej $K(x)$ .

44. Wykazać, że roczna intensywność składki $\bar{P}(\bar{A}_{{x:\overline{n}\mid}}^{1})$ spełnia następujące równanie różniczkowe:

$\frac{\partial\bar{P}(\bar{A}_{{x:\overline{n}\mid}}^{1})}{\partial n}=A_{{x:\overline{n}\mid}}^{{\ \ \ 1}}(\bar{P}(\bar{A}_{{x:\overline{n}\mid}})+\delta)(\mu _{{x+t}}-\bar{P}(\bar{A}_{{x:\overline{n}\mid}}^{1}))$

45. W rozważanej populacji śmiertelnością rządzi prawo Weibulla:

$\mu _{t}=7t\mbox{ dla }t>0.$

Rozpatrujemy ubezpieczenie ciągłe $30$ -letnie ogólnego typu dla (0), które będzie opłacane za pomocą ciągłej renty życiowej składek netto ze stałą roczną intensywnością:

$\pi(t)=const=\bar{P}.$

Natomiast wysokość świadczenia śmiertelnego $c(t)$ związana jest z poziomem rezerwy netto $V(t)$ wzorem:

$c(t)-V(t)=const=s.$

Techniczna intensywność oprocentowania wynosi $\delta=0,05$ . Udowodnić, że $\bar{P}$ oraz $s$ powiązane są zależnością:

$s=0,0125\bar{P}$

46. Rozważamy demografię Weibulla z funkcją natężenia wymierania

$\mu _{{x+t}}=k(x+t),$

gdzie $k>0$ jest parametrem. Rozważmy ubezpieczenie ciągłe ogólnego typu dla (x). Wiadomo, że dla $t\in(10,25)$ mamy

$V(t)=const=V,\ \ \ c(t)=const=c,$

przy czym $c\neq V$ . Dane są ponadto:

$\pi(12)=0,1;\pi(16)=0,2.$

Obliczyć $\pi(14)$ .

47. Za składkę jednorazową brutto $SJB$ osoba w wieku (65) kupuje ubezpieczenie emerytalne typu Emer(n), które działa w następujący sposób:

wypłacana jest emerytura dożywotnia w postaci renty życiowej ciągłej ze stałą roczną intensywnością $E(n)$ ,
ponadto jeśli ubezpieczony umrze w wieku $65+t$ gdzie $t\in(0,n)$ to wyznaczeni uposażeni otrzymają natychmiast jednorazowe świadczenie w wysokości $SJB(n-t)/n$ .

Parametr $n$ może być wybrany z przedziału $(0,5)$ w momencie zakupu polisy. Składka jednorazowa netto $SJN$ jest o $7\%$ mniejsza od składki brutto $SJB$ . Udowodnić wzór:

$\frac{\partial E(n)}{\partial n}=-\frac{SJB\cdot(\bar{I}\bar{A})_{{65:\overline{n}\mid}}}{n^{2}\bar{a}_{{65}}}$

48. Ubezpieczenie dla grupy $7$ osób działa w ten sposób, że w momencie każdej śmierci wypłaca się po $1$ zł każdej osobie przeżywającej (tak więc np. w momencie pierwszej śmierci w grupie ubezpieczyciel wypłaca $6$ zł, a w momencie przedostatniej wypłaca $1$ zł). Zakładamy, że jednoczesna śmierć dwóch lub więcej osób nie jest możliwa i że ich życia są niezależne. Cztery spośród tych osób należą do populacji wykładniczej ze średnią trwania życia $100$ . Pozostałe trzy osoby należą do populacji wykładniczej ze średnią trwania życia $60$ . Przyjmując techniczną intensywność oprocentowania na poziomie $\delta=0,03$ obliczyć składkę jednorazową netto $SJN$ za to ubezpieczenie.

Rozwiązanie. Łatwo widzieć, że

$SJN=\sum _{{i<j}}\bar{A}_{{x_{i}:x_{j}}}$

(porównaj z przykładem 6, str. 136,Sk). Rozpatrujemy trzy przypadki.

$i,j\in\{ 1,2,3,4\}$ . Wówczas

$\bar{A}_{{x_{i}:x_{j}}}=\int _{0}^{{\infty}}e^{{-\delta t}}e^{{-0,02t}}0,02\, dt=\frac{2}{5},$
gdy $i,j\in\{ 5,6,7\}$ to podobnie obliczamy

$\bar{A}_{{x_{i}:x_{j}}}=\int _{0}^{{\infty}}e^{{-\delta t}}e^{{-2/60}}\cdot\frac{2}{60}\, dt=\frac{10}{19},$
gdy $i\in\{ 1,2,3,4\}$ , $j\in\{ 5,6,7\}$ to

$\bar{A}_{{x_{i}:x_{j}}}=\int _{0}^{{\infty}}e^{{-\delta t}}e^{{(\frac{1}{100}+\frac{1}{60})t}}\left(\frac{1}{100}+\frac{1}{60}\right)\, dt=\frac{16}{34}$

Ostatecznie więc

$SJN=6\cdot\frac{2}{5}+3\cdot\frac{10}{19}+12\cdot\frac{16}{34}=\frac{15546}{1615}=9,626.$

49. Rozważamy emeryturę małżeńską dla męża (65) i żony (60), przy czym on jest wylosowany z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym $105$ a ona jest wybrana z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym $120$ . Emeryturę będą otrzymywać w formie renty życiowej ciągłej. Póki żyją oboje roczna intensywność renty wynosi $18000$ zł; po pierwszej śmierci intensywność emerytury dla owdowiałej osoby wynosi $12000$ zł. Techniczna intensywność oprocentowania wynosi $\delta=0$ . Obliczyć składkę jednorazową netto $SJN$ .

Rozwiązanie. Mamy

$SJN=6000(2\bar{a}_{{\overline{60:65}}}+\bar{a}_{{60:65}})=6000(2\bar{a}_{{60}}+2\bar{a}_{{65}}-\bar{a}_{{60:65}}).$

Przede wszystkim

$\bar{a}_{{60}}=E(T(60))=30,\bar{a}_{{65}}=E(T(65))=20.$

Dalej

$\bar{a}_{{60:65}}=E(\min(T(60),T(65)))=\frac{1}{60\cdot 40}\left[\int _{0}^{{40}}\left(\int _{x}^{{40}}x\, dy\right)\, dx+\int _{0}^{{40}}\left(\int _{y}^{{60}}y\, dx\right)\, dy\right]=\frac{140}{9}$

Ostatecznie

$SJN=6000\cdot 84,444=506667.$

50. $x$ -latek , wylosowany z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym $\omega$ , zaczyna odkładać na przyszłą emeryturę z intensywnością $1$ na rok w formie renty życiowej ciągłej. Emeryturę zacznie pobierać w wieku $x+z$ , również z intensywnością $1$ , aż do śmierci (o ile dożyje wieku $x+z$ ). Z aktuarialnej zasady równoważności (netto) wyprowadzić następujące równanie na $z$ :