Treść tego rozdziału jest punktem wyjścia dla samodzielnej dyscypliny
zwanej często matematyką finansową.
Podamy tutaj niezbędne w dalszym ciągu wykładu podstawowe wiadomości
, natomiast pełniejsze opracowanie omawianych zagadnień można znaleźć
w [6] lub [1]. Załóżmy , że inwestujemy dzisiaj kwotę
, która po roku wzrasta do
(zdarza się, że
–
wtedy wzrost jest ujemny). Liczbę
określoną wzorem
![]() |
(2.1) |
nazywamy stopą zwrotu z tej inwestycji. Po przekształceniu wzoru (2.1) otrzymujemy
![]() |
(2.2) |
Liczbę nazywamy czynnikiem akumulującym. W ciągu roku
u różnych podmiotów gospodarczych zrealizują się, oczywiście, różne
stopy zwrotu. W celu uporządkowania i uproszczenia dalszych rozważań
przyjmujemy, że dominująca stopa zwrotu na przestrzeni
kilku okresów, jest równa
. Będziemy ją nazywać
efektywną stopą procentową.
Jeśli więc dziś założę lokatę bankową w wysokości , to
po roku otrzymam
![]() |
Jeśli jednak nie podejmę tych pieniędzy, ale przedłużę lokatę na rok następny, to na koniec drugiego roku trwania lokaty otrzymam
![]() |
Kapitał rośnie zatem tak jak ciąg geometryczny, po latach
będę miał w banku
![]() |
Kwotę , która przyrosła w
-tym roku, nazywamy bieżącymi
odsetkami; wynosi ona
![]() |
Spójrzmy teraz na rozważany problem z innej strony. Chcę dysponować
kapitałem
za rok od dziś. Ile powinienem teraz zainwestować (
?), jeśli
efektywna stopa procentowa wynosi
? Odpowiedź uzyskujemy przekształcając
wzór (2.2)
![]() |
(2.3) |
Liczbę
![]() |
(2.4) |
nazywamy czynnikiem dyskontującym. Poglądowo można powiedzieć, że a kumuluje on wstecz (rys.1). Wzór (2.3) zapiszemy teraz w postaci bardziej przypominającej (2.2)
![]() |
(2.5) |
Liczbę występującą w tej zależności nazywamy
efektywną stopą dyskontową.
Ze wzorów (2.3),(2.4) i (2.5) wynika, że
![]() |
(2.6) |
Liczba jest miarą odsetek pobieranych z góry. Jeśli
więc pożyczamy od kogoś
zł z efektywną stopą dyskonta
,
to dostajemy tylko
zł, a po roku oddajemy kapitał
zł.
Pożyczkodawca osiągnął
więc stopę zwrotu
![]() |
Taką samą stopę zwrotu osiągnąłby pobierając odsetki po roku,
w wysokości zł.
Równanie typu
![]() |
(2.7) |
nazywamy równaniem wartości. Jeśli trzy spośród czterech liczb
są dane, to czwartą można obliczyć z tego równania.
Jeśli niewiadomą jest czas inwestycji
, to z równania (2.7)
otrzymuje się na ogół
niecałkowitą wartość
(najczęściej niewymierną).
Dlatego wprowadza się
tzw. kapitalizację ciągłą. Wyjaśnimy krótko jej sens.
Niech będzie dowolną liczbą dodatnią (np.
).
Chcę pobrać z banku początkowy depozyt
po czasie
.
Bank wypłaca mi
![]() |
Odsetki były tu naliczane cały czas ( w sposób ciągły), a nie tylko dopisywane na koniec roku.
Bank w którym mam swój ROR, kapitalizuje moje saldo (tzn. dopisuje
odsetki) co miesiąc, nominalna stopa oprocentowania wynosi
. Co to znaczy w praktyce? Oznacza to , że po miesiącu stan
mojego konta wyniesie
![]() |
a po miesiącach
![]() |
(zakładamy , że w międzyczasie nic nie wpłacam i nic nie podejmuję); na przykład po roku mam na koncie
![]() |
Powyższe rozważania streszczamy krótko:
Nominalnej stopieodpowiada efektywna stopa
(roczna)
.
Ogólnie, jeśli dopisywanie odsetek odbywa się razy w ciągu roku
(oczywiście
jest całkowite!), to nominalna stopa
jest powiązana z równoważną jej stopą efektywną
zależnością
![]() |
(2.8) |
Po roku musi przyrosnąć taka sam kwota po obu stronach w zależności
(2.8), chociaż po
lewej przyrasta razy, a po prawej tylko raz. Rozumowanie takie można
powtórzyć dla nominalnych stóp dyskontowych; otrzymuje się
wówczas zależność
![]() |
(2.9) |
W tym kontekście ciekawe uzasadnienie można podać dla kapitalizacji ciągłej.
Załóżmy, że w naszym mieście jest nieskończenie wiele banków .
Każdy z nich oferuje taką samą nominalną stopę oprocentowania
rachunków
ROR, z tym że w banku nr
odsetki są kapitalizowane
razy
w ciągu roku – np. bank nr 365 dopisuje odsetki codziennie.
Niech teraz
oznacza efektywną roczną stopę oprocentowania,
którą uzyskamy w banku nr
. Mamy więc
![]() |
Ponieważ liczby te wzrastają wraz z , więc im większy jest
numer banku,
tym korzystniejsza jest jego oferta. Czy można przebić tę nieskończoną
mnogość coraz lepszych ofert? Okazuje się , że tak! Ponieważ
![]() |
(2.10) |
więc wystarczy założyć bank (nazwijmy go umownie bankiem granicznym) i zaproponować efektywną roczną stopę oprocentowania w wysokości
![]() |
(2.11) |
Odsetki wypłaca się raz do roku w powyższej wysokości.
Co to ma wspólnego z kapitalizacją ciągłą? Załóżmy, że
chcemy wycofać pieniądze w chwili , gdzie
o
nic się nie zakłada. Dla większości banków
nie będzie
całkowitą wielokrotnością ich okresu odsetkowego (
roku), ale
załóżmy, że taki bank zaliczy nam łaskawie ostatnią cząstkę
okresu odsetkowego jako cały. Nasz początkowy kapitał
wzrośnie więc
po czasie
w banku nr
do
![]() |
( oznacza część całkowitą liczby
). Otrzymujemy stąd
![]() |
Skorzystaliśmy z (2.10) i (2.11). Wobec tego nasz bank
graniczny
w chwili powinien wypłacić
![]() |
tzn. powinien kapitalizować odsetki w sposób ciągły. Liczbę
![]() |
(2.12) |
nazywamy intensywnością oprocentowania. łatwo pokazać, że
![]() |
gdzie ,
są stopami nominalnymi równoważnymi
zadanej efektywnej stopie rocznej
.
Rent używa się w finansach i ubezpieczeniach przede wszystkim do ratalnej spłaty długów, do płacenia składek i do wypłaty emerytur.
Oto przykład wprowadzający.
Od 1 stycznia r. przez następne dziesięć lat będę otrzymywać
zł na początku każdego roku. Jaka jest wartość tego ciągu wypłat
na 1 stycznia
r.?
Każdą
z
płatności trzeba zdyskontować na dziś, tak więc
![]() |
gdzie jest czynnikiem dyskontującym. Skrót PV oznacza po angielsku
present value, czyli
wartość obecną tego strumienia wypłat. Nie jest to w zasadzie pojęcie
dla nas nowe. Wzór (2.3) przedstawia, na przykład, wartość
obecną pojedynczej wypłaty
, dokonywanej za rok. Ponieważ tego
typu wielkości będą się pojawiać regularnie, wprowadzamy oznaczenie
na wartość obecną
złotówek otrzymywanych
co rok, od dziś włącznie (tak więc ostatnia
–ta wpłata wpłynie
po
latach). Podobnie jak wyżej
![]() |
Sytuację tę zilustrowano na rys.2. Ze wzoru na sumę ciągu geometrycznego i ze wzoru (2.6) otrzymujemy
![]() |
(2.13) |
Po przekształceniu uzyskujemy wzór
![]() |
(2.14) |
który ma piękną interpretację.
Prawa strona wzoru: pożyczamy komuś zł (dziś). Strona lewa:
nasz dłużnik spłaca nam na bieżąco odsetki – na początku
każdego roku przez
lat, w ten sposób dług zasadniczy nie zwiększa się.
Po
okresach zwraca nam pożyczone
zł, które
zdyskontowane na dziś wynosi
.
Ponieważ płatności rat
renty są na ogół częstsze niż raz do roku (np. miesięczne),
potrzebne są dodatkowe oznaczenia. Załóżmy, że płatności
będą dokonywane przez lat
razy w ciągu roku, każda w wysokości
zł. Wartość obecną renty oznaczamy symbolem
![]() |
( to liczba wszystkich rat). Na podstawie (2.9) i (2.6)
mamy
![]() |
tak więc ostatecznie
![]() |
(2.15) |
Wzór ten równie łatwo zapamiętać jak (2.13).
Użyte powyżej symbole ,
dotyczą rent płatnych z góry (pierwsza rata
od razu) – dwie kropki na górze oznaczają taką sytuację. Odpowiednie symbole bez kropek
oznaczają wartości obecne strumieni płatności przesuniętych o
rok w przyszłość (płatnych z dołu). Otrzymujemy wzory
![]() |
Na zakończenie rozważmy możliwość (przynajmniej teoretyczną)
ciągłego napływu gotówki na nasz rachunek bankowy. Załóżmy, że
w ciągu roku wpływa nań zł. Tak więc między
a
marca
wpływa
zł. Gotówka, która wpływa w krótkim przedziale
czasu między
a
, jest w przybliżeniu dyskontowana
stałym czynnikiem
(
). Sumowanie
wartości obecnych poszczególnych wpłat zastąpimy tu oczywiście
całkowaniem
![]() |
(2.16) |
(skorzystaliśmy z (2.12)).
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.