15. Rozważamy ubezpieczenie pary osób (x), (y), które wypłaca zł w chwili pierwszej śmierci oraz
zł w momencie drugiej śmierci. Zakładamy, że (x) jest wylosowany z populacji wykładniczej o średniej
, natomiast (y) jest wylosowany z populacji wykładniczej o średniej
. Obliczyć składkę jednorazową netto
za to ubezpieczenie przyjmując techniczną intensywność oprocentowania na poziomie
.
Zakładamy, że zmienne losowe
oraz
są niezależne.
Rozwiązanie. Szukana składka wynosi
![]() |
Ponieważ
![]() |
więc
![]() |
Obliczamy potrzebne symbole
![]() |
![]() |
![]() |
Ostatecznie otrzymujemy .
16. Rozpatrujemy model szkodowości dwojakiej:
![]() |
Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że (x) ulegnie jako pierwszej szkodzie tej, która w danej chwili mniej mu zagrażała niż druga ”współzawodnicząca”.
Rozwiązanie. Rozwiązujemy najpierw równanie
![]() |
i otrzymujemy Zatem dla
bardziej zagraża mu szkoda druga (
) a dla
szkoda pierwsza (
.)
Szukane prawdopodobieństwo wynosi więc
![]() |
17. Rozważamy grupę osób w wiekach
. Zakładamy, że ich życia są niezależne oraz, że wszystkie te osoby pochodzą z populacji Gompertza z funkcją natężenia śmiertelności daną wzorem:
![]() |
gdzie . Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że jako pierwszy umrze parzystolatek?
Rozwiązanie. Niech oraz
. Mamy obliczyć prawdopodobieństwo, że
. Niech dalej
Mamy
![]() |
gdzie spełnia równanie
![]() |
Podobnie
![]() |
gdzie spełnia równanie
![]() |
Zatem
![]() |
i dalej
![]() |
![]() |
18. Rozważamy ubezpieczenie -letnie na życie dla (x), ciągłe, które wypłaci
zł w chwili śmierci, jeżeli ubezpieczony umrze w ciągu
lat. Składki są płacone w postaci renty życiowej ciągłej
-letniej z odpowiednio dobraną stałą intensywnością netto
. Niech
oznacza wartość obecną rezerwy po
latach, obliczoną na moment wystawienia polisy. Załóżmy, że funkcja
osiąga maksimum w pewnym punkcie
.
Obliczyć
, jeśli wiadomo, że
![]() |
Rozwiązanie. Ponieważ
![]() |
więc spełnia równanie
![]() |
Uwzględniając równanie Thielego otrzymujemy stąd
![]() |
19. Rozważamy ubezpieczenie emerytalne dla (x), wybranego z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym . Polega ono na tym, że przez najbliższe
lat (
), będzie on płacił składkę w postaci renty życiowej ciągłej z intensywnością netto
. Po dożyciu wieku
zacznie otrzymywać emeryturę dożywotnią z intensywnością
. Do rachunków netto użyto technicznej intensywności oprocentowania
. Intensywność emerytury
jest więc funkcją
oraz
.
Udowodnić, że elastyczność
względem wieku granicznego
wyraża się wzorem:
![]() |
20. Niech (dla
) oznacza przeciętne dalsze trwanie życia (x) wylosowanego z populacji z wiekiem nieprzekraczalnym
. Obliczyć
![]() |
Rozwiązanie. Łatwo sprawdzić, że funkcja spełnia równanie różniczkowe
![]() |
(porównaj z równaniem różniczkowym na !) więc
![]() |
Otrzymujemy stąd, że
![]() |
i uwzględniając warunek początkowy dostajemy
![]() |
W szczególności
![]() |
21. Rozważamy wyjściowy symbol oznaczający składkę jednorazową netto za
-letnie ubezpieczenie na dożycie dla (x). Załóżmy, że małe liczby
oraz
zostały tak dobrane, że
![]() |
Obliczyć wartość przybliżoną .
Dane są:
![]() |
22. Rozważamy populację wykładniczą z natężeniem umierania:
![]() |
Wybrany z niej (x) kupuje ubezpieczenie ciągłe na życie odroczone o lat. Płaci do końca życia ciągłą rentę życiową składek netto z odpowiednio dobraną stałą intensywnością
. Jeśli umrze w ciągu najbliższych
lat to żadne świadczenie nie będzie wypłacone. Natomiast, gdy umrze później to zostanie wypłacone
zł w chwili jego śmierci.
Niech
oznacza poziom technicznej intensywności oprocentowania użytej do obliczenia składek i rezerw.
Wykazać, że intensywność składki oszczędnościowej po
latach
wyraża się wzorem:
![]() |
Rozwiązanie. Ponieważ
![]() |
oraz
![]() |
więc
![]() |
Dla mamy
![]() |
W szczególności
![]() |
czego należało dowieść.
23. Rozważamy ubezpieczenie ciągłe ogólnego typu, które ma tę własność, że dla każdego zachodzi równość
![]() |
Po lewej stronie mamy intensywność składki oszczędnościowej a po prawej stronie mamy intensywność składki na ryzyko. Wykazać, że bieżące poziomy: rezerwy , świadczenia śmiertelnego
oraz intensywności składki netto
powiązane są zależnością:
![]() |
Rozwiązanie. Z treści zadania mamy
![]() |
Równanie Thielego głosi natomiast, że
![]() |
Jeśli z powyższych równań wyrugujemy i otrzymane równanie rozwiążemy ze względu na
to dostaniemy pożądany
wzór.
24. Rozważamy ubezpieczenie bezterminowe na życie ciągłe dla (30), wybranego z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym . Wypłaci ono
zł w chwili jego śmierci. Składka jednorazowa
, którą zapłaci ubezpieczony w momencie zawarcia umowy ubezpieczeniowej, została skalkulowana jako wartość oczekiwana wartości obecnej wypłaty pod warunkiem, że ubezpieczony umrze wcześniej niż przeciętnie. Obliczyć prawdopodobieństwo:
![]() |
W powyższym wzorze oznacza techniczny roczny czynnik dyskontujący, odpowiadający technicznej intensywności oprocentowania
.
25. Rozważamy ubezpieczenie bezterminowe dla (x), które wypłaci zł na koniec roku śmierci. Składki opłacane są za pomocą renty życiowej składek corocznych w stałej wysokości netto
. Wiadomo, że dla pewnego całkowitego
zachodzi:
![]() |
Obliczyć .
26. Mąż (30) należy do populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym , natomiast żona (25) należy do populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym
. Rozpatrujemy ubezpieczenie bezterminowe ciągłe dla tej pary, które wypłaci
zł w chwili pierwszej śmierci. Składka za to ubezpieczenie będzie płacona aż do pierwszej śmierci za pomocą renty życiowej ciągłej z odpowiednio dobraną intensywnością netto
. Obliczyć rezerwę składek netto
po
latach od momentu wystawienia polisy.
Techniczna intensywność oprocentowania wynosi
. Zakładamy ponadto, że
oraz
są niezależne.
Rozwiązanie. Intensywność składki netto spełnia bilans aktuarialny
![]() |
Obliczamy potrzebny symbol rentowy
![]() |
Otrzymujemy więc . Dalej
![]() |
27. (x) wybrano z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym . Natomiast (y) wybrano niezależnie z populacji wykładniczej z funkcją natężenia wymierania
. Wybrane osoby mają przed sobą przeciętnie tyle samo życia. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że
![]() |
Zakładamy, że oraz
są niezależne.
Rozwiązanie. Mamy
![]() |
oraz
![]() |
Z treści zadania mamy
![]() |
![]() |
Obliczamy szukane prawdopodobieństwo
![]() |
Uwzględniając powyższą zależność pomiędzy oraz
otrzymujemy ostatecznie
![]() |
28. Rozważamy model dwuopcyjny (multiple decrement model), przy czym
![]() |
przy czym zakładamy, że . Obliczyć stosunek
dla którego największe jest prawdopodobieństwo
![]() |
29. Rozważamy ubezpieczenie emerytalne dla (25). Polega ono na tym, że w ciągu najbliższych lat będzie on płacił regularną coroczną składkę netto w wysokości
. Po dożyciu wieku
lat zacznie on otrzymywać emeryturę dożywotnią w wysokości
zł na początku każdego roku. Niech
oznacza wartość obecną straty ubezpieczyciela na moment wystawienia polisy. Obliczyć
.
Dane są:
![]() |
30. Niech oznacza medianę dalszego trwania życia (x) tzn. medianę zmiennej losowej
. Dana jest funkcja natężenia umierania :
![]() |
Obliczyć .
31. Rozważamy grupę 100 noworodków wybranych z populacji de Moivre'a z wiekiem granicznym . Obliczyć wariancję czasu oczekiwania do pierwszej śmierci w grupie. Zakładamy, że ich życia są niezależne.
Rozwiązanie. Mamy obliczyć wariancję zmiennej losowej
gdzie
oraz
.
Ponieważ
więc
![]() |
Mamy teraz
![]() |
![]() |
Ostatecznie
32. Rozważamy zmianę śmiertelności w wyjściowej populacji zadaną wzorem:
![]() |
dla wszystkich . Zakładamy, że nieznany współczynnik przesunięcia
ma rozkład jednostajny na odcinku
. Wiadomo, że dla wyjściowej populacji
![]() |
Obliczyć wartość oczekiwaną składki względem rozkładu zmiennej
.
Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.
strona główna | webmaster | o portalu | pomoc
© Wydział Matematyki, Informatyki i
Mechaniki UW, 2009-2010. Niniejsze materiały są udostępnione bezpłatnie na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne-Bez utworów zależnych 3.0 Polska.
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach
Europejskiego Funduszu Społecznego.
Projekt współfinansowany przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego i przez Uniwersytet Warszawski.