Zagadnienia

13.1 Strategie inwestycyjne
- 13.1.1 Relacje quasi-porządku
13.2 Podejście mikroekonomiczne
- 13.2.1 Oczekiwana użyteczność
- 13.2.2 Własności oczekiwanej użyteczności
13.3 Ćwiczenia

13. Metody stochastyczne w finansach

Liczba godzin 6.
Zakres materiału:
Funkcja użyteczności. Kryterium oczekiwanej użyteczności. Dominacja stochastyczna. Podstawowe miary ryzyka.

13.1. Strategie inwestycyjne

W tym wykładzie analizie poddane zostaną inwestycje jednookresowe.

Rys. 13.1. Przepływy pieniężne.

W momencie $T_{0}$ inwestor inwestuje kwotę $k$ , a w ustalonym momencie $T_{1}$ otrzymuje $K$ jednostek monetarnych. Kwota $k$ jest znana (deterministyczna), a $K$ modelujemy jako zmienną losową.

Pytanie.
Jaką metodę (strategię) ma zastosować inwestor, aby wybrać najlepszą z wielu możliwych inwestycji?

Odpowiedź matematyka jest następująca:
Inwestor powinien wprowadzić na zbiorze wszystkich możliwych (dopuszczalnych) inwestycji relację określającą, które z nich są ,,lepsze”, a które ,,gorsze”.

W poniższym podrozdziale omówimy własności takich relacji, a w kolejnych zajmiemy się ich konstrukcją.

13.1.1. Relacje quasi-porządku

Zastosowanie standardowych relacji porządkujących (patrz [35] rozdział IX) wymaga od inwestora informacji niejednokrotnie niemożliwych do uzyskania dlatego znacznie bardziej praktyczne jest wprowadzenie relacji quasi-porządkujących.

Definicja 13.1

Relację $\succeq$ określoną na zbiorze $X$ nazywamy quasi-porządkiem, jeżeli jest
a) zwrotna

$\forall x\in X\;\;\; x\succeq x;$

b) przechodnia

$\forall x,y,z\in X\;\;\; x\succeq y\wedge y\succeq z\Longrightarrow x\succeq z.$

Z każdą relacją quasi-porządku $\succeq$ związane są trzy ,,pokrewne” relacje $\preceq$ , $\succ$ i $\prec$ .

$x\succ y\Leftrightarrow x\succeq y\wedge\neg(y\succeq x);$

$x\preceq y\Leftrightarrow y\succeq x;\;\;\;\; x\prec y\Leftrightarrow y\succ x.$

Zauważmy, że dla dwóch różnych elementów $x,y$ możliwe są cztery ewentualności, które się nawzajem wykluczają:

$x\succ y,\;\;\; y\succ x,\;\;\; x\succeq y\wedge y\succeq x,\;\;\;\neg(x\succeq y)\wedge\neg(y\succeq x),$

$x$ jest lepszy, $y$ jest lepszy, $x$ i $y$ są tak samo dobre lub $x$ i $y$ są nieporównywalne.

13.2. Podejście mikroekonomiczne

13.2.1. Oczekiwana użyteczność

Założenia:
1. Inwestor zna rozkłady prawdopodobieństwa ewentualnych inwestycji.
2. Inwestor postępuje w sposób racjonalny.

Inwestorowi przyporządkowuje się funkcję użyteczności (satysfakcji) ([30, 12])

$\varphi:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\cup\{-\infty\}.$

Inwestor postępuje w sposób racjonalny, jeśli wybiera inwestycję o największej oczekiwanej użyteczności wypłaty $K$

$E(\varphi(K)).$

Do wyznaczania oczekiwanej użyteczności wykorzystuje się uogólnioną wartość oczekiwaną ([26] §1.1.3), która może przyjmować wartości zarówno skończone, jak i nieskończone ( $\pm\infty$ ). Uogólniona wartość oczekiwana nieujemnej zmiennej losowej jest zawsze określona, może być skończona lub równa $+\infty$ . W przypadku dowolnych zmiennych losowych korzysta się z rozkładu na część dodatnią i ujemną, czyli

$E(\varphi(K))=E(\varphi(K)^{+})-E(\varphi(K)^{-}).$

Przypomnijmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$

$a=a^{+}-a^{-},\;\;\;\mbox{ gdzie }\;\;\; a^{+}=\left\{\begin{array}[]{ccc}a&\mbox{dla}&a\geq 0,\\ 0&\mbox{dla}&a<0,\\ \end{array}\right.\;\;\; a^{-}=\left\{\begin{array}[]{ccc}-a&\mbox{dla}&a\leq 0,\\ 0&\mbox{dla}&a>0.\\ \end{array}\right.$

Zauważmy, że tylko w przypadku, gdy $E(\varphi(K)^{+})=E(\varphi(K)^{-})=+\infty$ , oczekiwana użyteczność będzie nieokreślona ( $\infty-\infty$ ).

Na funkcję użyteczności $\varphi$ nakłada się następujące warunki:
1. $\varphi$ jest niemalejąca: ,,inwestor preferuje większy zysk”.
2. $\varphi$ jest wklęsła: ,,awersja do ryzyka”.

Uwaga. Funkcja $\varphi$ jest wklęsła, a $-\varphi$ wypukła, gdy zbiór

$\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:y\leq\varphi(x)\}$

jest wypukły. Jest to równoważne następującemu warunkowi:
dla dowolnych nieujemnych wag $\lambda _{1}$ i $\lambda _{2}$ ( $\lambda _{1}+\lambda _{2}=1$ , $\lambda _{i}\geq 0$ )

$\forall x,y\;\;\;\varphi(\lambda _{1}x+\lambda _{2}y)\geq\lambda _{1}\varphi(x)+\lambda _{2}\varphi(y).$

(Więcej informacji czytelnik znajdzie w książce [38], która jest znakomitym kompendium wiedzy o funkcjach wypukłych.)

Wklęsłość uzasadnia się tym, że tłumaczy ona pewne stylizowane fakty. Otóż każda funkcja wklęsła i niemalejąca spełnia następujące oszacowania:

$\forall x<y\;\forall h>0\;\;\;\varphi(x+h)-\varphi(x)\geq\varphi(y+h)-\varphi(y)\geq 0,$

$\forall x<y\;\forall h>0\;\;\;\varphi(x)-\varphi(x-h)\geq\varphi(y)-\varphi(y-h)\geq 0,$

$\forall x\;\forall h>0\;\;\;\varphi(x)-\varphi(x-h)\geq\varphi(x+h)-\varphi(x)\geq 0.$

Możemy je zinterpretować w następujący sposób:
,,Ta sama kwota zysku bardziej cieszy, gdy mamy mniej.”
,,Taka sama strata bardziej boli, gdy mamy mniej.”
,,Strata bardziej boli, niż zysk cieszy.”

Zauważmy, że sformułowane powyżej kryterium oznacza, że z każdą funkcją użyteczności $\varphi$ związaliśmy relację quasi-porządku na zbiorze $\cal K$ zmiennych losowych, które modelują możliwe wypłaty,

$K_{1}\succeq _{\varphi}K_{2}\;\;\Leftrightarrow\;\; E(\varphi(K_{1}))\geq E(\varphi(K_{2})).$

Wypłata, dla której oczekiwana użyteczność jest nieokreślona, tzn.

$E(\varphi(K)^{+})=E(\varphi(K)^{-})=+\infty,$

jest nieporównywalna z innymi wypłatami. Natomiast każde dwie wypłaty o określonej oczekiwanej użyteczności (skończonej lub nieskończonej) są porównywalne.

Wniosek 13.1

Jeżeli dla ustalonej funkcji użyteczności $\varphi$ i dla każdej zmiennej losowej z $\cal K$ jest określona oczekiwana użyteczność, to relacja $\succeq _{\varphi}$ jest spójna

$\forall K_{1},K_{2}\in{\cal K}\;\;\;\; K_{1}\succeq _{\varphi}K_{2}\vee K_{2}\succeq _{\varphi}K_{1}.$

Przez $D_{\varphi}$ będziemy oznaczać dziedzinę efektywną funkcji użyteczności $\varphi$ , tzn. zbiór tych argumentów, dla których funkcja $\varphi$ przyjmuje skończone wartości

$D_{\varphi}=\{ x\in\mathbb{R}:\varphi(x)>-\infty\}.$

Niech $d_{\varphi}$ oznacza kres dolny $D_{\varphi}$ ,

$d_{\varphi}=\inf\{ x:x\in D_{\varphi}\}.$

Ponieważ funkcja $\varphi$ jest niemalejąca, to jej dziedzina efektywna może być:
i. zbiorem pustym ( $D_{\varphi}=\emptyset$ );
ii. całą prostą rzeczywistą ( $D_{\varphi}=(-\infty,+\infty)$ , $d_{\varphi}=-\infty$ );
iii. półprostą otwartą ( $D_{\varphi}=(d_{\varphi},+\infty)$ );
iv. półprostą domkniętą ( $D_{\varphi}=\langle d_{\varphi},+\infty)$ ).

Przypadek i.
( $\varphi$ stała równa $-\infty$ ) jest nieciekawy z punktu widzenia zastosowań i w dalszym ciągu będziemy go pomijać.
Przypadek ii.
$\varphi$ jest ciągła.
Przypadek iii.
Ciągłe jest obcięcie $\varphi$ do dziedziny efektywnej.
Przypadek iv.
$\varphi$ obcięta do dziedziny efektywnej może być nieciągła w punkcie $d_{\varphi}$ . Ma to miejsce gdy

$\lim _{{x\rightarrow d_{\varphi}^{+}}}\varphi(x)>\varphi(d_{\varphi}).$

Będziemy wówczas przedstawiać funkcję $\varphi$ jako sumę dwóch funcji niemalejących i wklęsłych, ciągłej na $\langle d_{\varphi},+\infty)$ i stałej na $(d_{\varphi},+\infty)$

$\varphi(x)=\widetilde{\varphi}(x)+(\varphi(d_{\varphi}^{+})-\varphi(d_{\varphi}))\kappa(x-d_{\varphi});$

gdzie $\varphi(d_{\varphi}^{+})$ prawostronna granica $\varphi$ w $d_{\varphi}$ ,

$\widetilde{\varphi}(x)=\left\{\begin{array}[]{ccc}\varphi(x)&\mbox{ dla }&x>d_{\varphi}\\ \varphi(d_{\varphi}^{+})&\mbox{ dla }&x=d_{\varphi}\\ -\infty&\mbox{ dla }&x<d_{\varphi},\\ \end{array}\right.$

$\kappa(x)=\left\{\begin{array}[]{ccc}0&\mbox{ dla }&x>0\\ -1&\mbox{ dla }&x=0\\ -\infty&\mbox{ dla }&x<0.\\ \end{array}\right.$

Funkcje wklęsłe, ciągłe na swojej dziedzinie efektywnej, można scharakteryzować za pomocą funkcji liniowych.

Lemat 13.1

Jeśli funkcja wklęsła $\varphi$ jest ciągła na $D_{\varphi}$ , to istnieją ciągi liczb rzeczywistych $(a_{n})_{{n=1}}^{\infty}$ i $(b_{n})_{{n=1}}^{\infty}$ , takie, że

$\forall x\in D_{{\varphi}}\;\;\;\varphi(x)=\inf _{n}(a_{n}x+b_{n}).$

Dowód – [23] lemat 5.2.1.

Zauważmy, że gdy zmienna losowa $K$ przyjmuje z niezerowym prawdopodobieństwem wartości z dopełnienia $D_{\varphi}$ , to oczekiwana użyteczność wynosi $-\infty$ lub jest nieokreślona

$P(K\in\mathbb{R}\setminus D_{\varphi})>0\Longrightarrow E(\varphi(K))=-\infty\vee E(\varphi(K))=\infty-\infty.$

Oznacza to, że inwestor z góry odrzuca możliwość wyboru inwestycji (strategii) o takiej wypłacie.

13.2.2. Własności oczekiwanej użyteczności

Omówimy teraz podstawowe własności oczekiwanej użyteczności. Szczególną uwagę zwrócimy na kryteria pozwalające stwierdzić, czy dla danej zmiennej losowej $K$ jest ona określona. Dla ustalenia uwagi przyjmujemy, że zmienne losowe $K$ , $K_{1}$ i $K_{2}$ z dalszej części rozdziału są zdefiniowane na tej samej przestrzeni probabilistycznej $(\Omega,{\cal M},P)$ . Na początek pokażemy, że oczekiwana użyteczność jest monotoniczna.

Twierdzenie 13.1

Jeśli prawie na pewno $K_{1}\geq K_{2}$ (tzn. $P(K_{1}<K_{2})=0$ ), a oczekiwana użyteczność $K_{2}$ jest określona i większa od $-\infty$ , to oczekiwana użyteczność $K_{1}$ jest określona i nie mniejsza niż oczekiwana użyteczność $K_{2}$

$E(\varphi(K_{1}))\geq E(\varphi(K_{2})).$

Jeśli ponadto $\varphi$ obcięta do dziedziny efektywnej jest ściśle rosnąca, a $K_{1}$ i $K_{2}$ są istotnie różne ( $P(K_{1}\neq K_{2})>0$ ) oraz oczekiwana użyteczność $K_{2}$ jest skończona, to

$E(\varphi(K_{1}))>E(\varphi(K_{2})).$

Dowód.
Ponieważ $K_{2}$ ma oczekiwaną użyteczność różną od $-\infty$ , to prawie na pewno nie przyjmuje wartości z dopełnienia dziedziny efektywnej $\varphi$ . A skoro $\varphi$ jest niemalejąca, to otrzymujemy następujące nierówności

$\varphi(K_{1})\geq\varphi(K_{2})>-\infty\;\;\mbox{ p.n.}$

Zatem zmienna losowa $\varphi(K_{1})-\varphi(K_{2})$ jest prawie na pewno nieujemna i ma nieujemną wartość oczekiwaną (skończoną lub nieskończoną)

$E(\varphi(K_{1})-\varphi(K_{2}))\geq 0.$

Ponieważ $E(\varphi(K_{2})>-\infty$ , to oczekiwana użyteczność $K_{1}$ jest określona i jest od niej nie większa

$E(\varphi(K_{1}))=E(\varphi(K_{1})-\varphi(K_{2})+\varphi(K_{2}))=E(\varphi(K_{1})-\varphi(K_{2}))+E(\varphi(K_{2})\geq$

$\geq E(\varphi(K_{2}).$

Gdy $K_{1}$ i $K_{2}$ są istotnie różne, a $\varphi$ obcięta do dziedziny efektywnej jest ściśle rosnąca, to

$P(\varphi(K_{1})-\varphi(K_{2})>0)>0.$

Zatem

$E(\varphi(K_{1})-\varphi(K_{2}))>0.$

Ponieważ oczekiwana użyteczność $K_{2}$ jest skończona, to otrzymujemy ,,ostrą” nierówność

$E(\varphi(K_{1}))>E(\varphi(K_{2})).$

Przeformułujemy teraz powyższe twierdzenie w terminach quasi-porządku.

Wniosek 13.2

Jeżeli oczekiwane użyteczności $K_{1}$ i $K_{2}$ są określone i prawie na pewno
$K_{1}\geq K_{2}$ , to

$K_{1}\succeq _{\varphi}K_{2}.$

Ponadto, jeśli $\varphi$ jest ściśle rosnąca, a $K_{i}$ są istotnie różne i mają skończone oczekiwane użyteczności, to

$K_{1}\succ _{\varphi}K_{2}.$

Zauważmy, że z powyższego twierdzenia wynika prosty warunek dostateczny istnienia oczekiwanej użyteczności.

Wniosek 13.3

Jeżeli prawie na pewno $K$ nie przyjmuje wartości mniejszych niż pewna stała $x$ należąca do efektywnej dziedziny $\varphi$ , to oczekiwana użyteczność $K$ jest określona i różna od $-\infty$ .

$\exists x\in D_{\varphi}\;\;\; K\geq x\mbox{ p.n. }\Longrightarrow\;\;\; E(\varphi(K))>-\infty$

Dowód.
Skoro $x$ należy do dziedziny efektywnej $\varphi$ , to użyteczność wypłaty $x$ jest większa od $-\infty$ . Zatem z powyższego twierdzenia otrzymujemy, że oczekiwana użyteczność wypłaty $K$ jest określona i nie mniejsza od $\varphi(x)$ . Czyli

$E(\varphi(K))\geq E(\varphi(x))=\varphi(x)>-\infty.$

Teraz uogólnimy nierówność Jensena (patrz [21] §5.7 Twierdzenie 2, [8] str. 276).

Twierdzenie 13.2

Jeżeli zmienna losowa $K$ ma skończoną wartość oczekiwaną (tzn. $K\in L^{1}$ ) to spełnione są następujące warunki:
i. oczekiwana użyteczność $K$ jest określona;
ii. $E(\varphi(K))\leq\varphi(E(K))$ ;
iii. dla dowolnego $\sigma$ -ciała $\cal F$ , ${\cal F}\subset{\cal M}$ , jest określona oczekiwana użyteczność warunkowej wartości oczekiwanej $E(K|{\cal F})$ i $E(\varphi(K))\leq E(\varphi(E(K|{\cal F})))\leq\varphi(E(K))$ .
Ponadto, jeśli $\varphi$ jest ściśle wklęsła, a $K$ nie jest stała i $\varphi(E(K))>-\infty$ , to
$E(\varphi(K))<\varphi(E(K))$ .

Uwagi.
1. Funkcja wklęsła jest ściśle wklęsła, gdy na żadnym przedziale nie jest liniowa, tzn. gdy prosta styczna do wykresu ma z nim tylko jeden punkt wspólny.
2. Punkt iii. oznacza, że jeśli uśrednimy wypłatę, to jej oczekiwana użyteczność nie zmaleje.

Dowód.
Ad ii. oraz i.
Jeżeli $K$ ma skończoną oczekiwaną użyteczność, to ii. wynika z nierówności Jensena dla funkcji $-\varphi$ . Ponieważ zakładamy tylko istnienie skończonej wartości oczekiwanej $K$ , to musimy pokazać istnienie oczekiwanej użyteczności.

Niech $y=l(x)$ ,

$l(x)=\varphi(x_{0})+a\cdot(x-x_{0}),$

bedzie równaniem prostej stycznej do wykresu $\varphi(x)$ w punkcie $x_{0}$ , $x_{0}>d_{\varphi}$ . $\varphi$ jest wklęsła, zatem jej wykres leży poniżej lub na prostej stycznej

$\forall x\;\;\; l(x)\geq\varphi(x).$

Zatem zmienna losowa $\varphi(K)-l(K)$ jest niedodatnia i ma wartość oczekiwaną (w $\mathbb{R}_{-}\cup\{-\infty\}$ ),

$E(\varphi(K)-l(K))\leq 0.$

Ale jak łatwo zauważyć, $l(K)$ ma skończoną wartość oczekiwaną

$E(l(K))=E(\varphi(x_{0})+a\cdot(K-x_{0}))=\varphi(x_{0})+a\cdot(E(K)-x_{0}).$

Z tego wynika, że istnieje oczekiwana użyteczność $K$ i spełnia nierówność

$E(\varphi(K))=E(\varphi(K)-l(K)+l(K))=E(\varphi(K)-l(K))+E(l(K))\leq$

$\leq E(l(K))=\varphi(x_{0})+a\cdot(E(K)-x_{0}).$

Gdy $E(K)>d_{\varphi}$ , to podstawiamy $x_{0}=E(K)$ i otrzymujemy warunek ii. W przeciwnym przypadku, gdy $E(K)\leq d_{\varphi}$ , to albo z dodatnim prawdopodobieństwem $K$ przyjmuje wartości z dopełnienia dziedziny efektywnej $\varphi$ , wówczas oczekiwana użyteczność $K$ jest równa $-\infty$ i warunek ii. też jest spełniony

$E(\varphi(K)))=-\infty=\varphi(E(K)),$

albo $K$ jest prawie na pewno stała, $K=d_{\varphi}\;\;\; p.n.$ , a zatem $E(\varphi(K))=\varphi(d_{\varphi})=\varphi(E(K))$ .

Ad iii.
Dowód punktu iii. jest trochę bardziej skomplikowany. $K\in L^{1}$ , a więc warunkowa wartość oczekiwana $E(K|{\cal F})$ jest określona i też należy do $L^{1}$ ,

$E(E(K|{\cal F}))=E(K).$

Zatem jej oczekiwana użyteczność jest określona i nie większa niż $\varphi(E(K))$ (punkt (i)). Gdy oczekiwana użyteczność $K$ jest równa $-\infty$ , to warunek (iii) jest automatycznie spełniony. W przeciwnym przypadku, gdy zarówno $E(K)$ i $E(\varphi(K))$ są skończone, korzystamy z nierówności Jensena dla warunkowej wartości oczekiwanej dla $\varphi$ ([23, lemat 5.2.2])

$\varphi(E(K|{\cal F}))\geq E(\varphi(K)|{\cal F})\;\; p.n.$

Następnie korzystamy z twierdzenia o iterowaniu wartości oczekiwanej i otrzymujemy następującą nierówność

$E(\varphi(E(K|{\cal F})))\geq E(E(\varphi(K)|{\cal F}))=E(\varphi(K)).$

Co kończy dowód iii.

Gdy $\varphi$ jest ściśle wklęsła, to

$\forall x\;\;\; x\neq x_{0}\Rightarrow l(x)=\varphi(x_{0})+a\cdot(x-x_{0})>\varphi(x).$

Ponadto rozkład $K$ nie jest skupiony w jednym punkcie

$P(K\neq x_{0})>0,$

zatem

$P(l(K)>\varphi(K))>0.$

A z tego wynika, że dla $x_{0}=E(K)$ otrzymujemy

$\varphi(E(K))=E(l(K))>E(\varphi(K)).$

Przeformułujemy powyższe twierdzenie w terminach quasi-porządku.

Wniosek 13.4

Jeżeli $E(K)$ i $\varphi(E(K))$ są skończone, to

$E(K)\succeq _{\varphi}K.$

Ponadto, jeśli $\varphi$ jest ściśle wklęsła, a $K$ nie jest stała, to

$E(K)\succ _{\varphi}K.$

Z powyższego twierdzenia wynika również następująca charakteryzacja niechęci (awersji) do ryzyka.

Wniosek 13.5

Inwestor, który planuje inwestycje w oparciu o ściśle wklęsłą funkcję użyteczności, mając do wyboru inwestycję pewną o znanej z góry wypłacie $k_{1}$ i inwestycję wymagającą takich samych nakładów, o tym samym czasie życia i o losowej (nieznanej) wypłacie $K$ o wartości oczekiwanej $k_{1}$ , wybierze tę pierwszą.

Natomiast z punktu iii. twierdzenia 13.2 wynika warunkowa monotoniczność oczekiwanej użyteczności.

Wniosek 13.6

Jeżeli para $K_{1},K_{2}$ jest nadmartyngałem, tzn.

$E(K_{2}|K_{1})\leq K_{1}\;\;\; p.n.,$

oraz $K_{2}$ ma skończoną zarówno wartość oczekiwaną jak i oczekiwaną użyteczność, to oczekiwana użyteczność $K_{1}$ jest określona i nie mniejsza niż oczekiwana użyteczność $K_{2}$

$E(\varphi(K_{1}))\geq E(\varphi(K_{2})).$

Dowód.
Z twierdzenia 13.2 wynika, że oczekiwana użyteczność $E(K_{2}|K_{1})$ istnieje i spełnia nierówność

$E(\varphi(K_{2}))\leq E(\varphi(E(K_{2}|K_{1}))).$

Natomiast z twierdzenia 13.1 otrzymujemy istnienie $E(\varphi(K_{1}))$ i oszacowanie

$E(\varphi(E(K_{2}|K_{1})))\leq E(\varphi(K_{1})).$

Co kończy dowód.

Z twierdzenia 13.2 wynika tylko górne ograniczenie na oczekiwaną użyteczność. Dolne ograniczenie może nie istnieć. Okazuje się, że skończona wartość oczekiwana wypłaty $K$ wcale nie musi implikować skończonej oczekiwanej użyteczności nawet, jeśli $K$ nie przyjmuje wartości spoza dziedziny efektywnej $\varphi$ (- patrz ćwiczenie 13.5).

Na zakończenie pokażemy, że oczekiwana użyteczność jest wklęsła.

Twierdzenie 13.3

Jeżeli zmienne losowe $K_{1}$ i $K_{2}$ mają skończoną oczekiwaną użyteczność to dla dowolnych wag $\lambda _{1}$ i $\lambda _{2}$ ( $\lambda _{1}+\lambda _{2}=1$ , $\lambda _{i}\geq 0$ )
i. zmienna losowa $\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2}$ ma określoną oczekiwaną użyteczność,
ii. $E(\varphi(\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2})\geq\lambda _{1}E(\varphi(K_{1}))+\lambda _{2}E(\varphi(K_{2}))$ .
Ponadto, jeśli $\varphi$ jest ściśle wklęsła, $K_{1}$ i $K_{2}$ są istotnie różne, $P(K_{1}\neq K_{2})>0$ , a wagi $\lambda _{i}$ dodatnie, to $E(\varphi(\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2})>\lambda _{1}E(\varphi(K_{1}))+\lambda _{2}E(\varphi(K_{2}))$ .

Dowód.
$\varphi$ jest funkcją wklęsłą czyli dla dowolnych wag $\lambda _{1}$ i $\lambda _{2}$

$\forall x,y\;\;\;\varphi(\lambda _{1}x+\lambda _{2}y)\geq\lambda _{1}\varphi(x)+\lambda _{2}\varphi(y).$

Zatem zmienna losowa $\varphi(\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2})-\lambda _{1}\varphi(K_{1})-\lambda _{2}\varphi(K_{2})$ jest nieujemna i ma nieujemną wartość oczekiwaną. Zatem

$E(\varphi(\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2}))=$

$=E((\varphi(\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2})-\lambda _{1}\varphi(K_{1})-\lambda _{2}\varphi(K_{2}))+(\lambda _{1}\varphi(K_{1})+\lambda _{2}\varphi(K_{2})))=$

$=E((\varphi(\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2})-\lambda _{1}\varphi(K_{1})-\lambda _{2}\varphi(K_{2})))+E(\lambda _{1}\varphi(K_{1})+\lambda _{2}\varphi(K_{2}))\geq$

$\geq\lambda _{1}E(\varphi(K_{1}))+\lambda _{2}E(\varphi(K_{1})).$

Gdy $\varphi$ jest funkcją ściśle wklęsłą, to dla $x\neq y$ , $\varphi(x),\varphi(y)>-\infty$ i $\lambda _{i}>0$

$\varphi(\lambda _{1}x+\lambda _{2}y)>\lambda _{1}\varphi(x)+\lambda _{2}\varphi(y).$

Zatem nieujemna zmienna losowa $\varphi(\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2})-\lambda _{1}\varphi(K_{1})-\lambda _{2}\varphi(K_{2})$ jest dodatnia na zbiorze, który ma dodatnią miarę. Zatem jej wartość oczekiwana jest dodatnia i nierówność z punktu ii. jest ostra.

Wniosek 13.7

Jeżeli istotnie różne zmienne losowe $K_{1}$ i $K_{2}$ mają równe skończone oczekiwane użyteczności, a $\varphi$ jest ściśle wklęsła, to dla dowolnych dodatnich wag $\lambda _{1}$ i $\lambda _{2}$ ( $\lambda _{1}+\lambda _{2}=1$ , $\lambda _{i}>0$ )

$\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2}\succ _{\varphi}K_{1},K_{2}.$

Dowód.
Niech $\varphi _{0}$ oczekiwana użyteczność $K_{1}$ i $K_{2}$ . Z powyższego twierdzenia wynika, że

$E(\varphi(\lambda _{1}K_{1}+\lambda _{2}K_{2})>\lambda _{1}E(\varphi(K_{1}))+\lambda _{2}E(\varphi(K_{2}))=(\lambda _{1}+\lambda _{2})\varphi _{0}=\varphi _{0}.$

Zatem kombinacja wypukła $K_{1}$ i $K_{2}$ jest od nich obu ,,lepsza”.

Z powyższego wniosku wynika następująca zasada dywersyfikacji portfela.

Wniosek 13.8

Inwestor, który planuje inwestycje w oparciu o ściśle wklęsłą funkcję użyteczności, mając do wyboru trzy inwestycje wymagające takich samych nakładów, o tym samym czasie życia i o istotnie różnych wypłatach $K_{1}$ , $K_{2}$ i $K_{3}$ , takich, że oczekiwane użyteczności $K_{1}$ i $K_{2}$ są skończone i równe, a $K_{3}$ jest kombinacją wypukłą $K_{1}$ i $K_{2}$ , wybierze tę trzecią.

13.3. Ćwiczenia

Ćwiczenie 13.1

Niech $X_{1}$ i $X_{2}$ będą zmiennymi losowymi zero-jedynkowymi

$P(X_{i}=1)=p_{i},\; P(X_{i}=0)=1-p_{i},\;\; p_{i}\in\langle 0,1\rangle,$

a $\varphi$ dowolną funkcją użyteczności taką, że $\varphi(0)>-\infty$ . Pokazać, że

$p_{1}\geq p_{2}\Longrightarrow X_{{1}}\succeq _{\varphi}X_{{2}}.$

Rozwiązanie.

Dla zmiennej losowej zero-jedynkowej oczekiwana użyteczność wynosi

$E(\varphi(X))=(1-p)\varphi(0)+p\varphi(1)=\varphi(0)+p(\varphi(1)-\varphi(0)).$

$\varphi$ jest niemalejąca. Zatem gdy $p_{1}\geq p_{2}$ , to oczekiwana użyteczność $X_{1}$ jest większa lub równa oczekiwanej użyteczności $X_{2}$ . A stąd

$X_{{1}}\succeq _{\varphi}X_{{2}}.$

Ćwiczenie 13.2

Niech $X_{1}$ i $X_{2}$ będą zmiennymi losowymi zero-jedynkowymi

$P(X_{i}=1)=p_{i},\; P(X_{i}=0)=1-p_{i},\;\; p_{i}\in\langle 0,1\rangle,$

a $\varphi$ dowolną funkcją użyteczności taką, że $\varphi(1)>\varphi(0)>-\infty$ . Pokazać, że gdy zmienne losowe $X_{i}$ mają taką samą oczekiwaną użyteczność, to mają takie samo prawdopodobieństwo osiągnięcia sukcesu.

Rozwiązanie.

$E(\varphi(X_{i}))=(1-p_{i})\varphi(0)+p_{i}\varphi(1)=\varphi(0)+p_{i}(\varphi(1)-\varphi(0)).$

Zatem z równości oczekiwanych użyteczności otrzymujemy

$p_{1}=\frac{E(\varphi(X_{1}))-\varphi(0)}{\varphi(1)-\varphi(0)}=\frac{E(\varphi(X_{2}))-\varphi(0)}{\varphi(1)-\varphi(0)}=p_{2}.$

Ćwiczenie 13.3

Wyznaczyć oczekiwaną użyteczność $E(\varphi(X))$ , gdy $X$ ma rozkład normalny $N(0,1)$ a $\varphi(x)=\min(x,M)$ , gdzie $M$ ustalony parametr rzeczywisty.

Rozwiązanie.

$E(\varphi(X))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int _{{-\infty}}^{M}x\exp\left(-\frac{x^{2}}{2}\right)dx+MP(X>M)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{M^{2}}{2}\right)+M(1-F(M)).$

Odpowiedź. Oczekiwana użyteczność $X$ wynosi $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{M^{2}}{2}\right)+M(1-F(M))$ , gdzie $F$ jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego.