Zagadnienia

6.1 Wartość obecna – Present Value (PV)
6.2 Ćwiczenia

6. Analiza instrumentów dłużnych

Liczba godzin 4.
Zakres materiału:
Wartość obecna, dyskontowanie (tzw. metoda przepływów). Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR).

6.1. Wartość obecna – Present Value (PV)

6.1.1. Definicja

Truizmem jest stwierdzenie, że wartość pieniądza zmienia się w czasie. Wartość obecna (Present Value) przyszłej kwoty $K$ to wartość tej kwoty w chwili obecnej wyznaczona przez porównanie z lokatą bankową lub inną wzorcową inwestycją. Zatem jest to kwota pieniędzy, jaką dzisiaj należy:
$\bullet$ ulokować w banku na stały procent
albo
$\bullet$ zainwestować w bezpieczną inwestycję
tak, aby w przyszłości otrzymać kwotę $K$ .

Proces przekształcania przyszłej wartości pieniądza w wartość obecną nazywa się dyskontowaniem. Pozwala on porównać ze sobą kontrakty finansowe o przepływach gotówki w różnych momentach czasu. Stosuje się dwie metody dyskontowania:

A. Dyskontujemy za pomocą struktury terminowej stóp procentowych

$PV=\sum _{{i=0}}^{{n}}CF_{i}\cdot B(t_{i}),$

gdzie: $B(t)$ – czynnik dyskontujący, a $t_{i}$ – czas, po którym nastąpi $i$ -ty przepływ gotówki $CF_{i}$ .

B. Dyskontujemy za pomocą wybranego procesu akumulacji $K(t)$ (np. rachunku bankowego a vista),

$PV=\sum _{{i=0}}^{{n}}\frac{CF_{i}\cdot K(T)}{K(T+t_{i})},$

gdzie: $T$ – moment dyskontowania (np. moment zawarcia transakcji).

W zastosowaniach praktycznych częściej stosuje się metodę A, a w rozważaniach teoretycznych – B.

Uwaga. Czasami wygodniej jest modelować badaną inwestycję za pomocą ciągłego strumienia płatności z zadaną gęstością $g(t)$ , $t>T_{0}=0$ . Co oznacza, że wypłatę w okresie od $t_{1}$ do $t_{2}$ liczymy wg wzoru

$C(t_{1},t_{2})=\int _{{t_{1}}}^{{t_{2}}}g(t)dt.$

Wówczas wartość obecna też wyraża się za pomocą całki

$PV=\int _{{0}}^{{\infty}}g(t)B(t)dt.$

W pewnym sensie oprocentowanie i dyskontowanie są procesami odwrotnymi.

6.1.2. Zależność struktury terminowej od procesu akumulacji

W klasycznych modelach przyjmuje się, że proces akumulacji $K(t)$ jest znany w chwili $T$ i wyznacza strukturę terminową w chwili $T$

$B_{T}(t)=\frac{K(T)}{K(T+t)}.$

Przy tych założeniach nie ma znaczenia, czy wartość obecną liczymy w oparciu o strukturę terminową, czy o proces akumulacji. Obie metody dają ten sam wynik

W nowszym ujęciu modeluje się $K(t)$ jako proces stochastyczny, na pewnej przestrzeni probabilistycznej $(\Omega,{\cal M},P)$ , która opisuje wszystkie możliwe decyzje ekonomiczne i finansowe oraz wydarzenia mające wpływ na ekonomię i finanse. Zdarzeniami elementarnymi (elementami $\Omega$ ) są ciągi decyzji podejmowanych w kolejnych momentach czasu i wydarzeń mających miejsce w kolejnych momentach czasu. ${\cal M}$ jest rodziną zbiorów decyzji i wydarzeń. Jeżeli $A$ należy do $\cal M$ , to $P(A)$ jest prawdopodobieństwem, że zostanie podjęta któraś z decyzji ze zbioru $A$ lub nastąpi wydarzenie należące do $A$ . Na przykład możemy postawić pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo, że na swoim najbliższym posiedzeniu Rada Polityki Pieniężnej podniesie stopę referencyjną, albo jakie jest prawdopodobieństwo, że w Japonii w przyszłym roku będzie trzęsienie ziemi. Następnie przyjmuje się, że struktura terminowa w chwili $T$ wynosi

$B_{T}(t)=E_{Q}(\frac{K(T)}{K(T+t)}|{\cal H}_{{T}}),$

gdzie $Q$ jest pewną miarą probabilistyczną na $(\Omega,{\cal M})$ , na ogół tylko równoważną mierze $P$ ,

$\forall A\in{\cal M}\;\;\; Q(A)=0\Leftrightarrow P(A)=0,$

a ${\cal H}_{{T}}$ jest $\sigma$ -ciałem zawartym w $\cal M$ , które określa zasób informacji dostępny w chwili $T$ . Zatem ${\cal H}_{{T}}$ to rodzina zbiorów decyzji i wydarzeń znanych w chwili $T$ . Zauważmy, że jeżeli wartość pewnej zmiennej losowej $X$ będzie znana w chwili $T$ , to jest ona ${\cal H}_{{T}}$ -mierzalna. W szczególności $\; K(t)$ są ${\cal H}_{{T}}$ -mierzalne dla $t\leq T$ . Takie założenia gwarantują, że wartość obecna liczona w oparciu o strukturę terminową jest równa wartości oczekiwanej wartości obecnej, liczonej za pomocą procesu akumulacji.

Niestety ta zgodność nie występuje dla stóp zwrotu. W modelach deterministycznych stopa zwrotu wyznaczona przez strukturę terminową $B(t)$ jest równa stopie zwrotu z procesu akumulacji $K(t)$ . Natomiast w modelach stochastycznych mogą one być istotnie różne.

Lemat 6.1

Stopa zwrotu wyznaczona przez strukturę terminową jest niewiększa niż wartość oczekiwana (względem miary $Q$ ) stopy zwrotu z procesu akumulacji

$\frac{1-B_{T}(t)}{B_{T}(t)}\leq E_{Q}(\frac{K(T+t)-K(T)}{K(T)}|{\cal H}_{{T}}).$

Ponadto równość zachodzi tylko wtedy, gdy warunkowy rozkład $K(T+t)\;|\;{\cal H}_{{T}}$ jest jednopunktowy (tzn. gdy $K(T+t)$ jest znane w momencie $T$ ).

Dowód – ćwiczenie 6.3

Przykłady:
1. Deterministyczny proces akumulacji typu ,,procent składany”

$K(t)=k\cdot(1+r)^{t},\;\;\; k,r>0,\;\;\; t\in\langle 0,+\infty)$

indukuje płaską strukturę terminową

$B_{T}(s)=(1+r)^{{-s}},$

która ponadto nie zmienia się wraz z upływem czasu (nie zależy od $T$ ).

2. Stochastyczny proces akumulacji

$K(t)=\left\{\begin{array}[]{ccc}k(1+r)^{t}&\mbox{ dla }&0\leq t\leq t^{\ast},\\ k(1+r)^{{t^{\ast}}}(1+r+\gamma r^{\ast})^{{t-t^{\ast}}}&\mbox{ dla }&t^{\ast}<t,\\ \end{array}\right.$

gdzie: $k,r,r^{\ast}$ stałe, $k,r,r+r^{\ast}>0$ , a $\gamma$ zero-jedynkowa zmienna losowa

$Q\{\gamma=0\}=p,\;\;\; Q\{\gamma=1\}=1-p,\;\; 0<p<1.$

Wartość $\gamma$ zależy od decyzji, która zostanie podjęta w chwili $t^{\ast}\in(0,+\infty)$ , zatem $\gamma$ jest ${\cal H}_{t}$ -mierzalna dla $t>t^{\ast}$ . Ponadto, dla uproszczenia zakładamy, że w mierze $Q$ , $\gamma$ jest niezależna od ${\cal H}_{t}$ dla $t\leq t^{\ast}$ .

Niech $0\leq T\leq t^{\ast}$ , wówczas

$B_{T}(s)=\left\{\begin{array}[]{ccc}(1+r)^{{-s}}&\mbox{ dla }&0\leq s<t^{\ast}-T,\\ (1+r)^{{T-t^{\ast}}}(p(1+r)^{{-T-s+t^{\ast}}}+(1-p)\cdot(1+r+r^{\ast})^{{-T-s+t^{\ast}}})&\mbox{ dla }&t^{\ast}-T\leq s,\end{array}\right.$

Proszę zwrócić uwagę, że w przypadku $T=t^{\ast}$ jest to wzór Stoodleya.
Dla $T>t^{\ast}$ otrzymujemy wzór analogiczny do wzoru z poprzedniego przykładu. W chwili $T$ wartość $\gamma$ jest już znana ( $\gamma$ jest ${\cal H}_{{T}}$ -mierzalna) zatem

$B_{T}(s)=(1+r+\gamma r^{\ast})^{{-s}}.$

Bardziej skomplikowane procesy stochastyczne prowadzą do omówionych wcześniej wzorów Vasička i CIR. W obu modelach

$K(t)=\exp(\int _{0}^{t}r(t)dt),$

gdzie intensywnośc $r(t)$ , zwana ,,natychmiastową chwilową stopą procentową”, jest procesem stochastycznym spełniającym stochastyczne równanie różniczkowe. W modelu Vasička równanie to ma postać

$dr=(b-ar)dt+\sigma dW_{t},$

a w modelu CIR

$dr=(b-ar)dt+\sigma\sqrt{r}dW_{t}.$

6.1.3. Dyskontowanie za pomocą płaskiej struktury terminowej

Rozpatrzmy najprostszy przypadek, gdy chwilowa intensywność jest stała, $\delta(t)=\delta>0$ . Wówczas czynnik dyskontujący ma postać

$B(t)=\frac{1}{(1+r)^{t}},\;\;\; r=e^{{\delta}}-1>0.$

Ponadto przyjmijmy, że czas życia kontraktu wynosi $n$ lat, a przepływy gotówki mają miejsce raz w roku.
$CF_{0}$ w momencie zawarcia kontraktu,
$CF_{1}$ po 1 roku,
$CF_{2}$ po 2 latach,
…………………………..
$CF_{n}$ po $n$ latach.
Dyskontujemy kolejne przepływy

$PV_{0}=\frac{CF_{0}}{(1+r)^{0}}=CF_{0},$

$PV_{1}=\frac{CF_{1}}{1+r},\;\;\; PV_{2}=\frac{CF_{2}}{(1+r)^{2}},\;\;\;\dots,\;\;\; PV_{n}=\frac{CF_{n}}{(1+r)^{n}}.$

Wartość obecna całego kontraktu jest równa sumie wartości obecnych wszystkich przepływów gotówki

$PV=\sum _{{t=0}}^{n}PV_{t}=\sum _{{t=0}}^{n}\frac{CV_{t}}{(1+r)^{t}}.$

Zauważmy, że identyczne wzory otrzymamy, dyskontując za pomocą deterministycznego procesu akumulacji o stałej (efektywnej) stopie zwrotu.

Uwaga. Przy regularnych przepływach gotówki powyższy wzór można zapisać w postaci łańcuchowej

$PV=\sum _{{t=1}}^{n}\frac{CV_{t}}{(1+r)^{t}}=$

$=(\dots((CF_{n}\cdot(1+r)^{{-1}}+CF_{{n-1}})\cdot(1+r)^{{-1}}+CF_{{n-2}})\dots)(1+r)^{{-1}}+CF_{0}.$

6.1.4. Zastosowanie PV

6.1.4.1. Kryterium opłacalności inwestycji.

Rozważmy inwestycję, w czasie trwania której ma miejsce $n+1$ przepływów gotówki
$CF_{0},CF_{1},\dots,CF_{n}$ , odpowiednio w momentach $0=t_{0}<t_{1}<\dots<t_{n}$ . Wówczas wartość obecna wynosi

$PV=\sum _{{i=0}}^{{n}}CF_{i}\cdot B(t_{i}).$

Gdy $PV<0$ , to badana inwestycja jest niekorzystna, gdyż tempo pomnażania kapitału będzie mniejsze niż w przypadku lokat (i kredytów) ze strukturą terminową opisaną przez $B(t)$ i podobnie będzie mniejsze niż w przypadku zainwestowania posiadanych środków w deterministyczny proces akumulacji $K(T+t)=K(T)\; B^{{-1}}(t)$ .

Gdy $PV>0$ , to badana inwestycja jest korzystna, gdyż tempo pomnażania kapitału będzie większe niż w przypadku lokat (i kredytów) ze strukturą terminową opisaną przez $B(t)$ i również będzie większe niż w przypadku zainwestowania posiadanych środków w deterministyczny proces akumulacji $K(T+t)=K(T)\; B^{{-1}}(t)$ .

6.1.4.2. Kryterium opłacalności zakupu kontraktu.

Rozważmy inwestycję (kontrakt), w czasie trwania której będzie miało miejsce $n$ przepływów gotówki $CF_{1},CF_{2},\dots,CF_{n}$ , odpowiednio w momentach $0<t_{1}<\dots<t_{n}$ , (np. obligację $n$ -kuponową o stałym oprocentowaniu). Rynkowa cena inwestycji wynosi $P$ . Porównując wartość obecną

$PV=\sum _{{i=1}}^{{n}}CF_{i}\cdot B(t_{i})$

z ceną możemy stwierdzić, czy inwestycja jest opłacalna.

Gdy $PV<P$ , to badana inwestycja jest niekorzystna, a gdy $PV>P$ , korzystna. Kryterium to wynika z poprzedniego, gdy przyjmiemy $CF_{0}=-P$ .

6.1.4.3. Wycena inwestycji.

Rozważmy inwestycję, w czasie trwania której będzie miało miejsce $n$ przepływów gotówki $CF_{1},CF_{2},\dots,CF_{n}$ , odpowiednio w momentach $0<t_{1}<\dots<t_{n}$ , (np. obligację $n$ -kuponową o stałym oprocentowaniu). Wartość teoretyczną takiej inwestycji wyznacza jej wartość obecna.

$PV=\sum _{{i=1}}^{{n}}CF_{i}\cdot B(t_{i}).$

Wynika to z faktu, że gdy cena jest równa wartości obecnej, to poprzednie kryterium nie daje żadnych wskazówek co do kupna lub sprzedaży.

6.1.4.4. Wycena dywidendy płaconej posiadaczowi akcji.

Posiadacz akcji (akcjonariusz) otrzymuje co roku wypłatę części zysku spółki tzw. dywidendę. Wyznaczymy jej wartość obecną przy założeniu, że struktura terminowa jest płaska

$B(t)=(1+r)^{{-t}}.$

$\bullet$ Przypadek stałej rocznej dywidendy $D$ . (Pierwsza wypłata za rok.)

$CF_{t}=D,\;\;\;\; t=1{,}2,\dots,n,\dots,$

$PV=\frac{D}{r}.$

Patrz ćwiczenie 6.9.

$\bullet$ Przypadek stałego wzrostu wielkości dywidendy, $D_{{t+1}}=(1+a)D_{t}$ , $r>a>0$ (model Gordona).

$CF_{1}=D,CF_{2}=(1+a)D,\dots{,}CF_{n}=(1+a)^{{n-1}}D,\dots,$

$PV=\frac{D}{r-a}.$

Jak widać, gdy stopa wzrostu wielkości dywidendy $a$ dąży do $r$ , to wartość dywidendy rośnie do nieskończoności. Patrz ćwiczenie 6.10.

$\bullet$ Przypadek, gdy dywidenda wzrasta w postępie arytmetycznym, za rok płacona jest dywidenda $D$ , a następnie co rok wzrasta o $R$ .

$CF_{1}=D,CF_{2}=D+R,\dots,CF_{n}=D+(n-1)R,\dots,$

$PV={D\over r}+{R\over r^{2}}.$

Niezależnie od tego, jak duży jest roczny wzrost wartości dywidendy, jej wartość obecna jest skończona. Patrz ćwiczenie 6.11.

6.2. Ćwiczenia

Ćwiczenie 6.1

Jaka kwota musi być zainwestowana na 9% rocznie przy oprocentowaniu składanym, by wypłata po trzech latach wyniosła 1000 zł? Ile wynosi czynnik dyskontujący?

Rozwiązanie. Oznaczmy przez $K$ szukaną kwotę. Mamy

$K\cdot(1+0{,}09)^{3}=1000.$

Zatem

$K={1000\over(1{,}09)^{3}}=1000\cdot 0{,}777218=772{,}18.$

Odpowiedź. Należy zainwestować 772,18 zł, a czynnik dyskontujący wynosi 0,77218.

Ćwiczenie 6.2

Jaka kwota musi być zainwestowana na 9% rocznie przy oprocentowaniu prostym, by wypłata po trzech latach wyniosła 1000 zł? Ile wynosi czynnik dyskontujący?

Rozwiązanie.
Oznaczmy przez $K$ szukaną kwotę. Mamy

$K\cdot(1+3\cdot 0{,}09)=1000.$

Zatem

$K={1000\over 1+0{,}09\cdot 3}=1000\cdot 0{,}78740=787{,}4.$

Odpowiedź.
Należy zainwestować 7874,4 zł, a czynnik dyskontujący wynosi 0,78740.

Ćwiczenie 6.3

Udowodnić lemat 6.1.

Rozwiązanie.
Pokażemy, że $E_{Q}(\frac{K(T+t)}{K(T)}|{\cal H}_{{T}})\geq B_{T}(t)^{{-1}}$ . Wykorzystamy w tym celu nierówność Jensena.

$E_{Q}(\frac{K(T+t)}{K(T)}|{\cal H}_{{T}})=E_{Q}((\frac{K(T)}{K(T+t)})^{{-1}}|{\cal H}_{{T}})\geq$

$\geq(E_{Q}(\frac{K(T)}{K(T+t)}|{\cal H}_{{T}}))^{{-1}}=B_{T}(t)^{{-1}}.$

Zatem

$E_{Q}(\frac{K(T+t)-K(T)}{K(T)}|{\cal H}_{{T}})=E_{Q}(\frac{K(T+t)}{K(T)}|{\cal H}_{{T}})-1\geq$

$\geq\frac{1}{B_{T}(t)}-1=\frac{1-B_{T}(t)}{B_{T}(t)}.$

Zauważmy, że funkcja $f(x)=x^{{-1}}$ jest ściśle wypukła, zatem w przypadku, gdy rozkład nie jest jednopunktowy, to w nierówności Jensena pojawi się nierówność ostra.

Ćwiczenie 6.4

Wyznaczyć strukturę terminową indukowaną przez deterministyczny proces akumulacji

$K(t)=k\cdot(1+r)^{t},\;\; k,r>0,\;\;\; t\in\langle 0,+\infty).$

Rozwiązanie.
$K(t)=k\cdot(1+r)^{t}$ . Zatem

$B_{T}(s)=\frac{K(T)}{K(T+s)}=\frac{k\cdot(1+r)^{{T}}}{k\cdot(1+r)^{{s+T}}}=(1+r)^{{-s}}.$

Odpowiedź.
Proces akumulacji typu ,,procent składany” indukuje płaską strukturę terminową $B_{T}(s)=(1+r)^{{-s}}$ , która ponadto nie zmienia się wraz z upływem czasu (nie zależy od $T$ ).

Ćwiczenie 6.5

Wyznaczyć strukturę terminową indukowaną przez stochastyczny proces akumulacji

$K(t)=\left\{\begin{array}[]{ccc}k(1+r)^{t}&\mbox{ dla }&0\leq t\leq t^{\ast}\\ k(1+r)^{{t^{\ast}}}(1+r+\gamma r^{\ast})^{{t-t^{\ast}}}&\mbox{ dla }&t^{\ast}<t,\\ \end{array}\right.$

gdzie: $k,r,r^{\ast}$ stałe, $k,r,r+r^{\ast}>0$ , a $\gamma$ zero-jedynkowa zmienna losowa

$Q\{\gamma=0\}=p,\;\;\; Q\{\gamma=1\}=1-p,\;\; 0<p<1.$

Wartość $\gamma$ zależy od decyzji, która zostanie podjęta w chwili $t^{\ast}$ , zatem $\gamma$ jest ${\cal H}_{t}$ -mierzalna dla $t>t^{\ast}$ . Ponadto, dla uproszczenia zakładamy, że w mierze $Q$ , $\gamma$ jest niezależna od ${\cal H}_{t}$ dla $t\leq t^{\ast}$ .

Rozwiązanie.
Niech $0\leq T\leq t^{\ast}$ , wówczas dla $s<t^{\ast}-T$ otrzymujemy

$B_{T}(s)=E_{Q}(\frac{K(T)}{K(T+s)}|{\cal H}_{{T}})=E_{Q}((1+r)^{{-s}}|{\cal H}_{{T}})=(1+r)^{{-s}},$

a dla $s\geq t^{\ast}-T$

$B_{T}(s)=E_{Q}(\frac{K(T)}{K(T+s)}|{\cal H}_{{T}})=$

$=E_{Q}((1+r)^{{T-t^{\ast}}}(1+r+\gamma r^{\ast})^{{-T-s+t^{\ast}}}|{\cal H}_{{T}})=$

$=(1+r)^{{T-t^{\ast}}}(p(1+r)^{{-T-s+t^{\ast}}}+(1-p)\cdot(1+r+r^{\ast})^{{-T-s+t^{\ast}}}).$

Zwróćmy uwagę, że dla $T=t^{\ast}$ jest to wzór Stoodleya.
Dla $T>t^{\ast}$ otrzymujemy wzór analogiczny do wzoru z poprzedniego przykładu. W chwili $T$ wartość $\gamma$ jest już znana ( $\gamma$ jest ${\cal H}_{{T}}$ -mierzalna) zatem

$B_{T}(s)=(1+r+\gamma r^{\ast})^{{-s}}.$

Odpowiedź.
Niech $0\leq T\leq t^{\ast}$ . Wówczas

Dla $T>t^{\ast}$ otrzymujemy wzór analogiczny do wzoru z poprzedniego przykładu. W chwili $T$ wartość $\gamma$ jest już znana ( $\gamma$ jest ${\cal H}_{{T}}$ -mierzalna) zatem

$B_{T}(s)=(1+r+\gamma r^{\ast})^{{-s}}.$

Ćwiczenie 6.6

Wyznaczyć PV dla czteroletnich kredytów opisanych w przykładzie z punktu 3 podrozdziału 4.1. Rozpatrzyć trzy przypadki: rynkowa stopa procentowa $r$ równa efektywnej stopie procentowej kredytu, mniejsza od niej i większa.

Rozwiązanie.
A. $r=0,1$ .

1. Jednorazowa spłata kapitału i odsetek.

$CF_{0}=-1000,\;\; CF_{1}=CF_{2}=CF_{3}=0,\;\;\; CF_{4}=1000\cdot(1+0{,}1)^{4}=1464{,}1;$

$PV_{0}=-1000,\;\; PV_{1}=PV_{2}=PV_{3}=0,\;\;\; PV_{4}=\frac{1464{,}1}{(1+0{,}1)^{4}}=1000;$

$PV=PV_{0}+PV_{4}=0.$

2. Jednorazowa spłata kapitału, odsetki płatne po każdym okresie.

$CF_{0}=-1000,\;\; CF_{1}=CF_{2}=CF_{3}=0{,}1\cdot 1000=100,$

$CF_{4}=1000\cdot(1+0{,}1)=1100;$

$PV=-1000+$

$+(((1100\cdot(1+0{,}1)^{{-1}}+100)(1+0{,}1)^{{-1}}+100)(1+0{,}1)^{{-1}}+100)(1+0{,}1)^{{-1}}=$

$=(((1000+100)\cdot 1{,}1^{{-1}}+100)\cdot 1{,}1^{{-1}}+100)\cdot 1{,}1^{{-1}}-1000=$

$=((1000+100)\cdot 1{,}1^{{-1}}+100)\cdot 1{,}1^{{-1}}-1000=$

$=(1000+100)\cdot 1{,}1^{{-1}}-1000=10000-10000=0.$

3. Równe raty kapitałowe, odsetki płatne po każdym okresie.

$CF_{0}=-1000,\;\;\; CF_{1}=(0{,}25\cdot 1000+0{,}1\cdot 1000)=350,$

$CF_{2}=(0{,}25\cdot 1000+0{,}1\cdot 750)=325,$

$CF_{3}=(0{,}25\cdot 1000+0{,}1\cdot 500)=300,$

$CF_{4}=(0{,}25\cdot 1000+0{,}1\cdot 250)=275.$

$PV=-1000+$

$+(((275\cdot(1+0{,}1)^{{-1}}+300)(1+0{,}1)^{{-1}}+325)(1+0{,}1)^{{-1}}+350)(1+0{,}1)^{{-1}}=$

$=(((250+300)\cdot 1{,}1^{{-1}}+325)\cdot 1{,}1^{{-1}}+350)\cdot 1{,}1^{{-1}}-1000=$

$=((500+325)\cdot 1{,}1^{{-1}}+350)\cdot 1{,}1^{{-1}}-1000=$

$=(750+350)\cdot 1{,}1^{{-1}}-1000=1000-1000=0.$

4. Równe spłaty (rata kapitałowa + odsetki = const).

$CF_{0}=-1000,\;\;\; CF_{1}=CF_{2}=CF_{3}=CF_{4}=315{,}47.$

$PV=-1000+\frac{315{,}47}{1+0{,}1}+\frac{315{,}47}{(1+0{,}1)^{2}}+\frac{315{,}47}{(1+0{,}1)^{3}}+\frac{315{,}47}{(1+0{,}1)^{4}}=$

$=-1000+\frac{315{,}47}{1{,}1}\cdot\frac{1-1{,}1^{{-4}}}{1-1{,}1^{{-1}}}=-1000+\frac{315{,}47}{0{,}31547}=0.$

Zgodnie z oczekiwaniami, gdy stopa rynkowa jest równa stopie efektywnej kredytu, to wartość obecna wszystkich przepływów jest równa 0. Można to sformułować następująco: wartość obecna spłat jest równa kwocie kredytu.

B. $r=0{,}09$ .

1. Jednorazowa spłata kapitału i odsetek.

$PV=-1000+\frac{1464{,}1}{(1+0{,}09)^{4}}=37{,}2054$

2. Jednorazowa spłata kapitału, odsetki płatne po każdym okresie.

$PV=-1000+\frac{100}{1+0{,}09}+\frac{100}{(1+0{,}09)^{2}}+\frac{100}{(1+0{,}09)^{3}}+\frac{1100}{(1+0{,}09)^{4}}=32{,}3972$

3. Równe raty kapitałowe, odsetki płatne po każdym okresie.

$PV=-1000+\frac{350}{1+0{,}09}+\frac{325}{(1+0{,}09)^{2}}+\frac{300}{(1+0{,}09)^{3}}+\frac{275}{(1+0{,}09)^{4}}=21{,}1189$

4. Równe spłaty (rata kapitałowa + odsetki = const).

$PV=-1000+\frac{315{,}47}{1+0{,}09}+\frac{315{,}47}{(1+0{,}09)^{2}}+\frac{315{,}47}{(1+0{,}09)^{3}}+\frac{315{,}47}{(1+0{,}09)^{4}}=22{,}0344$

Zgodnie z oczekiwaniami, gdy stopa rynkowa jest mniejsza od stopy efektywnej kredytu, to wartość obecna wszystkich przepływów jest dodatnia. Można to sformułować następująco: wartość obecna spłat jest większa niż kwota kredytu. Różnica między oprocentowaniem kredytu a stopą rynkową nazywa się marżą. Interpretuje się ją jako wynagrodzenie kredytodawcy za poniesione ryzyko.

C. $r=0{,}11$ .

1. Jednorazowa spłata kapitału i odsetek.

$PV=-1000+\frac{1464{,}1}{(1+0{,}11)^{4}}=-35{,}5520$

2. Jednorazowa spłata kapitału, odsetki płatne po każdym okresie.

$PV=-1000+\frac{100}{1+0{,}11}+\frac{100}{(1+0{,}11)^{2}}+\frac{100}{(1+0{,}11)^{3}}+\frac{1100}{(1+0{,}11)^{4}}=-31{,}0245$

3. Równe raty kapitałowe, odsetki płatne po każdym okresie.

$PV=-1000+\frac{350}{1+0{,}11}+\frac{325}{(1+0{,}11)^{2}}+\frac{300}{(1+0{,}11)^{3}}+\frac{275}{(1+0{,}11)^{4}}=-20{,}3990$

4. Równe spłaty (rata kapitałowa + odsetki = const).

$PV=-1000+\frac{315{,}47}{1+0{,}11}+\frac{315{,}47}{(1+0{,}11)^{2}}+\frac{315{,}47}{(1+0{,}11)^{3}}+\frac{315{,}47}{(1+0{,}11)^{4}}=-21{,}2715$

Zgodnie z oczekiwaniami, gdy stopa rynkowa jest większa od stopy efektywnej kredytu, to wartość obecna wszystkich przepływów jest ujemna. Czyli wartość obecna spłat jest mniejsza niż kwota kredytu.

Ćwiczenie 6.7

Pokazać, że cztery kredyty rozważane w poprzednim ćwiczeniu są opłacalne dla banku wtedy, gdy stopa efektywna oprocentowania kredytu jest większa niż stopa rynkowa.

Ćwiczenie 6.8

Rozważmy 4 inwestycje o przepływach gotówki, takich jak spłaty kredytów w przykładzie z punktu 3 podrozdziału 4.1.

	$\displaystyle I1:$	$\displaystyle\;\;\; CF_{1}=CF_{2}=CF_{3}=0,\;\;\; CF_{4}=1464{,}1.$
	$\displaystyle I2:$	$\displaystyle\;\;\; CF_{1}=CF_{2}=CF_{3}=100,\;\;\; CF_{4}=1100.$
	$\displaystyle I3:$	$\displaystyle\;\;\; CF_{1}=350,\; CF_{2}=325,\; CF_{3}=300,\; CF_{4}=275.$
	$\displaystyle I4:$	$\displaystyle\;\;\; CF_{1}=CF_{2}=CF_{3}=CF_{4}=315{,}47.$

Przepływy gotówki mają miejsce na koniec roku, czyli $t_{i}=i$ .

Wycenić te inwestycje zgodnie z płaską strukturą terminową

$B(t)=(1+r)^{{-t}},$

dla stopy rynkowej $r$ równej odpowiednio 9%, 10% i 11% oraz zgodnie ze wzorem Stoodleya

$B(t)=0{,}5(1{,}09)^{{-t}}+0{,}5(1{,}11)^{{-t}}.$

Odpowiedź.
Otrzymujemy następujące wartości teoretyczne:

$\begin{array}[]{|c|c|c|c|c|}\hline&r=0{,}09&r=0{,}1&r=0{,}11&Stoodley\\ \hline I1&1037{,}2054&1000&964{,}4480&1000{,}8267\\ I2&1032{,}3972&1000&968{,}9755&1000{,}6864\\ I3&1021{,}1189&1000&979{,}6010&1000{,}3600\\ I4&1022{,}0344&1000&978{,}7285&1000{,}3815\\ \hline\end{array}$

Podsumowując, gdy stopa rynkowa jest równa stopie efektywnej oprocentowania, to wartość teoretyczna spłat kredytu jest równa kwocie kredytu. Natomiast, gdy stopa rynkowa jest mniejsza, to wartość teoretyczna jest większa. Na odwrót – gdy stopa rynkowa jest większa, to wartość teoretyczna jest mniejsza. Wycena według wzoru Stoodleya jest nieznacznie większa niż kwota kredytu. Wynika to z wypukłości funkcji $r\rightarrow(1+r)^{{-t}}$ . Średnia z wycen jest większa niż wycena według średniej stopy rynkowej.

Ćwiczenie 6.9

W oparciu o płaską strukturę terminową $B(t)=(1+r)^{{-t}}$ dokonać wyceny stałej rocznej dywidendy $D$ . (Pierwsza wypłata za rok.)

Rozwiązanie.

$CF_{t}=D,\;\;\;\; t=1{,}2,\dots,n,\dots,$

$PV=\sum _{{t=1}}^{\infty}\frac{D}{(1+r)^{t}}=\frac{D}{1+r}\sum _{{t=0}}^{\infty}\frac{1}{(1+r)^{t}}=$

$=\frac{D}{1+r}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{1+r}}=\frac{D}{r}.$

Odpowiedź.
Wartość teoretyczna stałej rocznej dywidendy wyznaczona za pomocą płaskiej struktury terminowej wynosi $\frac{D}{r}$ .

Ćwiczenie 6.10

W oparciu o płaską strukturę terminową $B(t)=(1+r)^{{-t}}$ dokonać wyceny rocznej dywidendy o stałej stopie wzrostu $a$

$D_{{t+1}}=(1+a)D_{t},\;\;\; r>a>0$

(model Gordona).

Rozwiązanie.

$CF_{1}=D,CF_{2}=(1+a)D,\dots{,}CF_{n}=(1+a)^{{n-1}}D,\dots,$

$PV=\sum _{{t=1}}^{\infty}\frac{(1+a)^{{t-1}}D}{(1+r)^{t}}=\frac{D}{1+r}\sum _{{t=0}}^{\infty}\frac{(1+a)^{t}}{(1+r)^{t}}=$

$=\frac{D}{1+r}\cdot\frac{1}{1-\frac{1+a}{1+r}}=\frac{D}{r-a}.$

Odpowiedź.
Wartość teoretyczna rocznej dywidendy o stałej stopie wzrostu wyznaczona za pomocą płaskiej struktury terminowej wynosi $\frac{D}{r-a}$ .

Ćwiczenie 6.11

W oparciu o płaską strukturę terminową $B(t)=(1+r)^{{-t}}$ dokonać wyceny rocznej dywidendy wzrastającej w postępie arytmetycznym. Za rok płacona jest dywidenda $D$ , a następnie co rok wzrasta o $R$ .

Rozwiązanie.

$CF_{1}=D,CF_{2}=D+R,\dots,CF_{n}=D+(n-1)R,\dots,$

$PV=\sum _{{t=1}}^{\infty}\frac{(D+(t-1)R}{(1+r)^{t}}=\frac{D}{1+r}\sum _{{t=0}}^{\infty}\frac{1}{(1+r)^{t}}+R\frac{d}{dr}(-\sum _{{t=0}}^{\infty}\frac{1}{(1+r)^{t}})=$

$=\frac{D}{1+r}(1+\frac{1}{r})-R\frac{d}{dr}(1+\frac{1}{r})={D\over r}+{R\over r^{2}}.$

Odpowiedź.
Wartość teoretyczna rocznej dywidendy wzrastającej w postępie arytmetycznym wyznaczona za pomocą płaskiej struktury terminowej wynosi $\frac{D}{r}+\frac{R}{r^{2}}$ .

Ćwiczenie 6.12

Zmarły ojciec zostawił dwóm synom będącym obecnie w wieku 8 i 15 lat lokatę 100 000 USD z zastrzeżeniem, że każdy odbierze swoją część w rocznicę śmierci ojca po osiągnięciu wieku 21 lat. Przyjmując stałą efektywną stopę 8% w ciągu 13 przyszłych lat obliczyć, wysokości tych kwot, jeśli synowie sprawiedliwie podzielą się spadkiem.
Wskazówka: sprawiedliwie oznacza, że wartości obecne obu kwot są równe.

Odpowiedź.
Konkretne kwoty zależą od sposobu w jaki bank zaokrągla odsetki. Jesli przy wypłacie odsetki będą zaokrąglone w dół do 1 USD to młodszy syn otrzyma 135 981 USD, a starszy 79 343 USD.

Ćwiczenie 6.13

Kupiec ma beczkę wina, którą może teraz sprzedać za $K$ złotych lub też może ją przechować przez okres czasu $t$ (liczony w latach), po czym sprzedać za sumę $Kexp(\sqrt{t}/2)$ . Załóżmy, że struktura terminowa jest płaska, a intensywność oprocentowania wynosi 0.05 (w skali rocznej). Wyznaczyć moment najkorzystniejszej dla kupca sprzedaży wina, tzn. $t$ takie, że wartość obecna ceny beczki przechowanej przez okres czasu $t$ jest największa.

Odpowiedź.
Optymalny moment sprzedaży wynosi 25 lat.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Rynki kapitałowe (Matematyka finansowa I)

Zagadnienia

6. Analiza instrumentów dłużnych

6.1. Wartość obecna – Present Value (PV)

6.1.1. Definicja

6.1.2. Zależność struktury terminowej od procesu akumulacji

Lemat 6.1

6.1.3. Dyskontowanie za pomocą płaskiej struktury terminowej

6.1.4. Zastosowanie PV

6.1.4.1. Kryterium opłacalności inwestycji.

6.1.4.2. Kryterium opłacalności zakupu kontraktu.

6.1.4.3. Wycena inwestycji.

6.1.4.4. Wycena dywidendy płaconej posiadaczowi akcji.

6.2. Ćwiczenia

Ćwiczenie 6.1

Ćwiczenie 6.2

Ćwiczenie 6.3

Ćwiczenie 6.4

Ćwiczenie 6.5

Ćwiczenie 6.6

Ćwiczenie 6.7

Ćwiczenie 6.8

Ćwiczenie 6.9

Ćwiczenie 6.10

Ćwiczenie 6.11

Ćwiczenie 6.12

Ćwiczenie 6.13