Zagadnienia

7.1 Wewnętrzna stopa zwrotu
7.2 Ćwiczenia

7. Analiza instrumentów dłużnych – cd

7.1. Wewnętrzna stopa zwrotu

7.1.1. Definicja $IRR$

Rozważmy ciąg płatności $CF_{0},CF_{1},\dots,CF_{n}$ mających miejsce odpowiednio w momentach $0=t_{0}<t_{1}<\dots<t_{n}$ . Na przykład
$CF_{0}$ – zakup obligacji ( $CF_{0}<0$ ),
$CF_{i}$ – odsetki (kupony) $i=1,\dots,n-1$ ( $CF_{i}>0$ ),
$CF_{n}$ – odsetki i wykup obligacji ( $CF_{n}>0$ ).

Dla płaskiej struktury terminowej mamy

$PV=\sum _{{i=0}}^{n}\frac{CF_{i}}{(1+r)^{{t_{i}}}}=CF_{0}+\frac{CF_{1}}{(1+r)^{{t_{1}}}}+\dots+\frac{CF_{n}}{(1+r)^{{t_{n}}}},$

lub jeśli zastąpimy stopę procentową $r$ intensywnością $\delta$

$PV=\sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}e^{{-t_{i}\delta}},\;\;\; e^{\delta}=r+1.$

Pytanie: Przy jakiej stałej stopie procentowej $r$ (intensywności $\delta$ ) inwestycja jest opłacalna, tzn. $PV>0$ ?

Aby odpowiedzieć na to pytanie, wprowadza się pojęcie wewnętrznej stopy zwrotu.

Definicja 7.1

Wewnętrzną stopą zwrotu – $IRR$ (Internal Rate of Return) nazywamy dodatni pierwiastek $r$ ,,równania wartości”

$\sum _{{i=0}}^{n}\frac{CF_{i}}{(1+r)^{{t_{i}}}}=0.$

Natomiast wewnętrzną intensywością nazywamy dodatnią liczbę $\delta$ , dla której

$\sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}e^{{-t_{i}\delta}}=0.$

Jak łatwo zauważyć, wewnętrzna stopa zwrotu, to taka stopa procentowa, przy której wartość obecna wpływów z inwestycji jest równa wartości obecnej nakładów inwestycyjnych. Podobnie wewnętrzna intensywność, to taka intensywność oprocentowania, przy której wartość obecna wpływów z inwestycji jest równa wartości obecnej nakładów inwestycyjnych.

Oczywiście obie te wielkości są związane zależnością

$IRR=e^{\delta}-1.$

Zilustrujemy definicje na przykładzie.

Przykład 7.1

Rozważmy pięcioletni projekt inwestycyjny:

Rok	Nakłady	Przychody	$CF_{i}$
0	5000	0	-5000
1	2000	0	-2000
2	1000	2000	1000
3	1000	3000	2000
4	1000	4000	3000
5	1000	5000	4000

Zgodnie z danymi z tabelki mamy

$PV(r)=-5000-\frac{2000}{1+r}+\frac{1000}{(1+r)^{2}}+\frac{2000}{(1+r)^{3}}+\frac{3000}{(1+r)^{4}}+\frac{4000}{(1+r)^{5}}.$

Jedynym dodatnim miejscem zerowym jest 0,10193. Zatem $IRR=10{,}193\%$ .

7.1.2. Istnienie $IRR$

W ogólnym przypadku funkcja $PV(r)$ może nie mieć miejsc zerowych lub może się zerować w kilku punktach.

Rozważmy następujący przykład:
Inwestor wpłaca 100 natychmiast i 132 na koniec dwóch lat w zamian za 230 otrzymane na koniec pierwszego roku. Równanie wartości dla tej transakcji ma postać

$100(1+r)^{2}+132=230(1+r)$

lub

$(1+r)^{2}-2{,}3(1+r)+1{,}32=0.$

Po sprowadzeniu do postaci iloczynu mamy

$[(1+r)-1{,}1][(1+r)-1{,}2]=0.$

Stąd stopą zwrotu jest $10\%$ lub $20\%$ .

Wprawdzie nie jest rzeczą łatwą pogodzić się z faktem, że istnieją transakcje z wieloma stopami zwrotu, jednak gdy zaobserwujemy, że funkcja $PV(r)=\displaystyle{\sum _{{t=0}}^{n}v^{t}R_{t}}$ po pomnożeniu przez $(1+r)^{n}$ jest wielomianem $n$ -tego stopnia zmiennej $r$ , to staje się oczywiste, że posiada ona – licząc pierwiastki zespolone i pierwiastki wielokrotne – $n$ miejsc zerowych.

Można sobie wyobrazić przypadki jeszcze bardziej niezwykłe:

Przykład 7.2

Inwestor A może pożyczyć 1000 od inwestora B na rok na 8% oraz natychmiast zainwestować tę kwotę na rok na 10%. Jaka jest stopa zwrotu inwestora A?

Odpowiedź. Zysk inwestora A w ciągu roku wynosi 20, ale kwota, którą zainwestował rzeczywiście A, wynosi 0. Tak więc jego stopa zwrotu jest nieskończona.

Przykład 7.3

Jaka jest stopa zwrotu z transakcji, w której inwestor płaci 100 natychmiast oraz 101 na końcu dwóch lat w zamian za 200 otrzymane na koniec roku?

Odpowiedź. Równaniem wartości jest

$100(1+r)^{2}+101=200(1+r)$

co oznacza, że

$100r^{2}=-1.$

W tym przypadku wewnętrzna stopa zwrotu nie istnieje.

Pokażemy, że dla w miarę naturalnych ograniczeń na przepływy gotówki $IRR$ istnieje. Wystarczy, że suma wypłat przewyższa sumę wpłat i pierwsza jest wpłata.

Lemat 7.1

Jeżeli $CF_{0}<0$ i $\sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}>0$ to istnieje $IRR$ .

Dowód.
Rozważmy funkcję $PV(\delta)$

$PV(\delta)=\sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}e^{{-t_{i}\delta}}.$

$PV(0)=\sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}>0,\mbox{ i }\lim _{{\delta\rightarrow+\infty}}PV(\delta)=C_{0}<0.$

Funkcja $PV(\delta)$ jest ciągła i ponadto zmienia znak. Zatem, musi istnieć punkt, w ktorym przyjmuje wartość zero .

Rys. 7.1. Wykres funkcji $PV(\delta)$ .

Teza lematu pozostanie prawdziwa, gdy pierwszy przepływ gotówki (wpłata) ma miejsce w momencie $t_{1}>0$ .

Lemat 7.2

Jeżeli $CF_{0}=0$ , $CF_{1}<0$ i $\sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}>0$ to istnieje $IRR$ .

Dowód patrz ćwiczenie 7.1

7.1.3. Jednoznaczność $IRR$

Warunki gwarantujące jednoznaczność nie są już tak oczywiste. Najprostszy przypadek to ,,najpierw wpłaty, a potem wypłaty”. W szczególności obejmuje to przypadek inwestycji w obligacje, kiedy mamy jedną wpłatę, a następnie same wypłaty.

Lemat 7.3

Jeżeli $CF_{0},CF_{1},\dots CF_{k}<0$ , $CF_{{k+1}},\dots CF_{n}>0$ i $\sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}>0$ to istnieje dokładnie jedna $IRR$ .

Dowód.
Niech $t_{\ast}$ ,,rozdziela” wpłaty i wypłaty

$t_{\ast}=\frac{t_{k}+t_{{k+1}}}{2}.$

Wyłączamy czynnik wykładniczy $e^{{-t_{\ast}\delta}}$ z $PV$ .

$PV(\delta)=\sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}e^{{-t_{i}\delta}}=e^{{-t_{\ast}\delta}}\sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}e^{{(t_{\ast}-t_{i})\delta}}$

Następnie rozkładamy sumę na część dodatnią i ujemną. Zauważmy, że funkcja

$A(\delta)=\sum _{{i=0}}^{k}CF_{i}e^{{(t_{\ast}-t_{i})\delta}}$

jest ściśle malejąca. Rzeczywiście dla $i=0,\dots,k$ $CF_{i}<0$ i $t_{\ast}-t_{i}>0$ . Ponadto

$A(0)=\sum _{{i=0}}^{k}CF_{i}<0,\;\;\;\lim _{{\delta\rightarrow+\infty}}A(\delta)=-\infty.$

Również funkcja

$B(\delta)=\sum _{{i=k+1}}^{n}CF_{i}e^{{(t_{\ast}-t_{i})\delta}}$

jest ściśle malejąca. Rzeczywiście dla $i=k=1,\dots,n$ $CF_{i}>0$ i $t_{\ast}-t_{i}<0$ . Ponadto

$B(0)=\sum _{{i=0}}^{k}CF_{i}>0,\;\;\;\lim _{{\delta\rightarrow+\infty}}B(\delta)=0.$

Zatem funkcja $A(\delta)+B(\delta)=e^{{t_{\ast}\delta}}PV(\delta)$ jest ciągła, ściśle malejąca i zmienia znak

$A(0)+B(0)=\sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}>0;\;\;\lim _{{\delta\rightarrow+\infty}}A(\delta)+B(\delta)=-\infty.$

Ponieważ czynnik wykładniczy nigdzie się nie zeruje, to istnieje dokładnie jedno miejsce zerowe funkcji $PV(\delta)$ .

Powyższy lemat można uogólnić na przypadek, gdy pierwsza wpłata następuje po czasie $t_{1}>0$ .

Lemat 7.4

Jeżeli $CF_{0}=0$ , $CF_{1},\dots CF_{k}<0$ , $CF_{{k+1}},\dots CF_{n}>0$ i $\sum _{{i=0}}^{n}CF_{i}>0$ to istnieje dokładnie jedna $IRR$ .

Bardziej skomplikowany przypadek to ,,jedna zmiana znaku skumulowanego przepływu”. Oznaczmy przez $Q$ skumulowany przepływ.

$Q_{t}=\sum _{{t_{i}\leq t}}CF_{i},\;\;\; t\geq 0.$

Lemat 7.5

Jeżeli $Q_{t}<0$ , dla $t<t_{\ast}$ i $Q_{t}>0$ , dla $t>t_{\ast}$ i ponadto $t_{i}$ są wymierne, to istnieje dokładnie jedna $IRR$ .

Dowód.
Niech $N$ wspólny mianownik $t_{1},\dots t_{n}$ . Oznaczmy przez $C_{j}$ przepływ gotówki w momencie $t=\frac{j}{N}$ . $j=0,1,\dots$ .

$C_{j}=\left\{\begin{array}[]{ccc}CF_{i}&\mbox{ gdy }&t_{i}=\frac{j}{N}\\ 0&\mbox{ gdy }&t_{i}\neq\frac{j}{N}\end{array}\right.$

Zaczniemy od dowodu pomocniczego faktu.

$\sum _{{k=0}}^{{\infty}}Q_{{k/N}}e^{{-\delta\frac{k}{N}}}=\sum _{{k=0}}^{{\infty}}(\sum _{{j=0}}^{k}C_{j})e^{{-\delta\frac{k}{N}}}=$

$=\sum _{{j=0}}^{{\infty}}C_{j}(\sum _{{k=j}}^{{\infty}}e^{{-\delta\frac{k}{N}}})=\sum _{{j=0}}^{{\infty}}C_{j}e^{{-\delta\frac{j}{N}}}(\sum _{{k=0}}^{{\infty}}e^{{-\delta\frac{k}{N}}})=$

$=\sum _{{j=0}}^{{\infty}}C_{j}e^{{-\delta\frac{j}{N}}}\cdot\frac{1}{1-\exp(-\frac{\delta}{N})}.$

Zatem, gdy

$\sum _{{j=0}}^{{\infty}}C_{j}e^{{-\delta\frac{j}{N}}}=\sum _{{j=0}}^{{Nt_{n}}}C_{j}e^{{-\delta\frac{j}{N}}}=0,$

$\sum _{{k=0}}^{{\infty}}Q_{{k/N}}e^{{-\delta\frac{k}{N}}}=0.$

Dalej powtarzamy rozumownie z poprzedniego lematu i pokazujemy, że istnieje dokładnie jedna $IRR$ .

7.1.4. Kryterium inwestycyjne oparte na $IRR$

Załóżmy, że istnieje dokładnie jedna $IRR$ , $CF_{0}<0$ i $\sum _{i}CF_{i}>0$ . Możemy wówczas przeformułować kryterium inwestycyjne oparte na $PV$ (2.1.4) obliczonej dla płaskiej struktury terminowej. Niech $B(t)=(1+r)^{{-t}}$ – czynnik dyskontujący.

Lemat 7.6

Jeżeli $IRR>r$ , to inwestycja jest opłacalna, a gdy $IRR<r$ , to nieopłacalna.

Dowód.
$PV(r)$ zmienia znak w $IRR$ z ,,+” na ,,–”. Zatem gdy $IRR>r$ , to $PV(r)>0$ , a gdy $IRR<r$ , to $PV(r)<0$ .

Uwaga. Gdy $IRR>r$ to $IRR-r$ wyznacza tzw. ,,margines bezpieczeństwa”.

Gdy $IRR$ nie jest wyznaczone jednoznacznie (istnieje kilka miejsc zerowych), ale $CF_{0}<0$ i $\sum _{i}CF_{i}>0$ , to można sformułować jedynie dużo słabsze kryterium:
Jeżeli $IRR_{{min}}>r$ , to inwestycja jest opłacalna, a gdy $IRR_{{max}}<r$ , to nieopłacalna.

Przykład 7.4

Rozważmy dwa wykluczające się projekty. W projekcie A nakłady inwestycyjne wynoszą 7000 zł, natomiast wpływy 3430 zł, płatne na koniec każdego z trzech lat. W projekcie B nakłady inwestycyjne wynoszą 12000 zł, a wpływy 5520 zł, płatne na koniec każdego z trzech lat. Przy założeniu, że koszt kapitału wynosi 10% rocznie (rynkowa stopa procentowa), stosując kryterium PV oraz $IRR$ , rozstrzygnąć, który projekt należy wybrać.

Rozwiązanie. Dla projektu A mamy $IRR=22{,}05\%$ , a dla projektu B $IRR=18{,}01\%$ . Obie te stopy są wyższe od stopy rynkowej, zatem obie inwestycje są opłacalne. Na pytanie, którą z nich wybrać, nie ma jednoznacznej odpowiedzi. Inwestycja A ma wyższą wewnętrzną stopę zwrotu, czyli większy margines bezpieczeństwa. Za to inwestycja B ma wyższą wartość obecną. Rzeczywiście dla $r=0{,}1$ mamy $PV_{A}=1529{,}9$ i $PV_{B}=1772{,}42$ . Oznacza to, że gdy porównujemy dwie opłacalne inwestycje, to nasze kryteria mogą dawać sprzeczne wnioski .

Rys. 7.2. Wykres funkcji $PV_{A}(r)$ i $PV_{B}(r)$ .

7.1.5. $IRR$ a $YTM$

Rozważmy obligację, z której $n$ krotnie wypłacane są odsetki (obligacja $n$ -kuponowa), co daje $n+1$ przepływów pieniężnych. Niech $P=-CF_{0}$ – cena zakupu, $CF_{1},\dots,CF_{{n-1}}$ – kupony, $CF_{n}$ – ostatni kupon i kwota otrzymana po wykupieniu obligacji. Kolejne przepływy gotówki następują, odpowiednio, po czasie $t_{1},\dots,t_{n}$ .

Dla takiej obligacji stopa zwrotu liczona do momentu zapadalności ( $YTM$ ) jest wyznaczona przez równanie

$P(1+YTM)^{{t_{n}}}=CF_{1}(1+YTM)^{{t_{n}-t_{1}}}+\dots+CF_{{n-1}}(1+YTM)^{{t_{{n}}-t_{{n-1}}}}+CF_{n}.$

Lub po podzieleniu przez $(1+YTM)^{{t_{n}}}$

$0=CF_{0}+\frac{CF_{1}}{(1+YTM)^{{t_{1}}}}+\dots+\frac{CF_{{n-1}}}{(1+YTM)^{{t_{{n-1}}}}}+\frac{CF_{n}}{(1+YTM)^{{t_{{n}}}}}.$

To samo równanie wyznacza wewnętrzną stopę zwrotu.

Wniosek 7.1

$YTM=IRR$

Ponadto spełnione są założenia lematu 2.2.3. Zatem $YTM$ jest wyznaczona jednoznacznie.

7.1.6. Rzeczywista roczna stopa oprocentowania

Wewnętrzna stopa zwrotu znalazła swoje miejsce w obowiązujących w Polsce aktach prawnych dotyczących kredytów. W ustawie o kredycie konsumenckim ([45, 46]) ustawodawca wprowadził wymóg informowania kredytobiorcy o ,,rzeczywistej rocznej stopie oprocentowania”, którą dla kredytów o stałym oprocentowaniu wyznacza się jako wewnętrzną stopę zwrotu dla wszystkich przepływów gotówki wynikających z danej umowy kredytowej. Zatem jest to stopa procentowa $i$ , która spełnia następujące równanie

$\sum _{{k=1}}^{n}\frac{CF_{k}}{(1+i)^{{t_{k}}}}=0,$

gdzie,
$k=1,\dots,n$ – numer kolejnego przepływu gotówki;
$t_{k}$ – czas wyrażony w latach, pomiędzy pierwszą wypłatą i $k$ -tym przepływem gotówki ( $t_{1}=0$ ), wyznaczony zgodnie z zasadą ,,dokładnej liczby dni” (patrz podrozdział 1.3.8);
$CF_{k}$ – $k$ -ty przepływ gotówki;

$CF_{k}=-K_{k}+RK_{k}+OD_{k}+P_{k}.$

Transze kredytu ( $K_{k}$ ) bierzemy ze znakiem minus, a raty kredytowe ( $RK_{k}$ ), zapłacone odsetki $OD_{k}$ , prowizje i inne opłaty ( $P_{k}$ ) ze znakiem plus.

Zgodnie z ustawą, rzeczywistą roczną stopę oprocentowania podaje się z dokładnością co najmniej do 1 promila.

7.1.7. Uogólnienia

1. Przypadek nieskończonej liczby płatności.
Równanie wartości ma postać

$\sum _{{i=0}}^{{\infty}}CF_{i}e^{{-\delta t_{i}}}=0.$

Zadanie jest dobrze postawione, gdy szereg jest zbieżny.

2. Przypadek ciągłego strumienia płatności.
Równanie wartości ma postać

$P=\int _{0}^{{+\infty}}g(s)e^{{-\delta s}}ds,$

gdzie: $P$ cena (koszt inwestycji) ( $P=-CF_{0}$ ), $g(t)$ gęstość płatności.

Oznaczmy przez $Q(t)$ skumulowany przepływ gotówki

$Q(t)=-P+\int _{0}^{{t}}g(s)ds.$

Lemat 7.7

Jeżeli $Q(t)<0$ , dla $t<t_{\ast}$ i $Q(t)>0$ , dla $t>t_{\ast}$ i ponadto funkcja $Q(t)$ jest ograniczona i $\lim _{{t\rightarrow\infty}}Q(t)=Q_{\infty}>0$ , to istnieje dokładnie jedna $IRR$ .

Dowód.
Rozważmy funkcję $PV(\delta)$ ,

$PV(\delta)=-P+\int _{0}^{{+\infty}}g(s)e^{{-\delta s}}ds.$

Jak łatwo zauważyć, zmienia ona znak $PV(0)=Q_{\infty}>0$ i $\lim _{{t\rightarrow\infty}}PV(t)=Q(0)<0$ . Ponieważ jest ciągła, to posiada miejsca zerowe.

Po scałkowaniu przez części otrzymamy

$PV(\delta)=-P+\int _{0}^{{+\infty}}g(s)e^{{-\delta s}}ds=-P+Q(s)e^{{-\delta s}}|_{0}^{{\infty}}+\delta\int _{0}^{{+\infty}}Q(s)e^{{-\delta s}}ds=$

$=\delta e^{{-\delta t_{\ast}}}\int _{0}^{{+\infty}}Q(s)e^{{\delta(t_{\ast}-s)}}ds=$

$=\delta e^{{-\delta t_{\ast}}}(\int _{0}^{{t_{\ast}}}Q(s)e^{{\delta(t_{\ast}-s)}}ds+\int _{{t_{\ast}}}^{{+\infty}}Q(s)e^{{\delta(t_{\ast}-s)}}ds).$

Ponieważ obie otrzymane całki są funkcjami malejącymi zmiennej $\delta$ , to $PV$ zeruje się tylko w jednym punkcie.

7.2. Ćwiczenia

Ćwiczenie 7.1

Udowodnić lemat 7.2.

Rozwiązanie.
Mamy $CF_{0}=0$ , zatem

$PV(\delta)=\sum _{{i=1}}^{n}CF_{i}e^{{-t_{i}\delta}}=e^{{t_{1}\delta}}\cdot\sum _{{i=1}}^{n}CF_{i}e^{{(t_{1}-t_{i})\delta}}.$

Oznaczmy drugi czynnik przez $FV(\delta)$ ,

$FV(\delta)=\sum _{{i=1}}^{n}CF_{i}e^{{(t_{1}-t_{i})\delta}}.$

Ponieważ $CF_{1}<0$ i $\sum _{{i=1}}^{n}CF_{i}>0$ , to

$FV(0)=\sum _{{i=1}}^{n}CF_{i}>0,\;\;\;\lim _{{t\rightarrow+\infty}}FV(\delta)=CF_{1}<0.$

Funkcja $FV(\delta)$ jest ciągła i ponadto zmienia znak. Zatem, istnieje punkt $\delta _{0}$ taki, że $FV(\delta _{0})=0$ .

Ćwiczenie 7.2

Udowodnić lemat 7.4.

Ćwiczenie 7.3

Zainwestowane 200 zł zwracają 120 zł po roku i 110 zł po dwóch latach. Wyznaczyć wewnętrzną stopę zwrotu dla tej inwestycji.

Rozwiązanie.
Równanie wartości ma postać

$-200+\frac{120}{1+r}+\frac{110}{(1+r)^{2}}=0.$

Skracamy współczynniki przez 10, podstawiamy $X=1+r$ i mnożymy równanie przez $X^{2}$ . Otrzymujemy równanie kwadratowe

$20X^{2}-12X-11=0.$

$\Delta$ wynosi 1024 czyli $32^{2}$ . Zatem pierwiastek większy od 1 to

$X_{+}=\frac{12+32}{2\cdot 20}=1,1.$

Czyli $IRR=X_{+}-1=0,1$ .

Odpowiedź.
Wewnętrzna stopa zwrotu rozpatrywanej inwestycji wynosi 10%.

Ćwiczenie 7.4

Która z poniższych inwestycji ma wyższą wewnętrzną stopę zwrotu?
Inwestycja A.
Zakup za 900 zł czteroletniej kuponowej obligacji o wartości nominalnej 1 000 zł o stałym rocznym oprocentowaniu 20% (odsetki płatne po upływie kolejnego roku).
Inwestycja B.
Zakup za 800 zł zerokuponowej rocznej obligacji o wartości nominalnej 1 000 zł.

Rozwiązanie.
Wewnętrzna stopa zwrotu dla zerokuponowej rocznej obligacji o wartości nominalnej 1 000 zł i cenie 800 zł jest równa ,,zwykłej” stopie zwrotu i wynosi

$IRR_{B}=\frac{1000-800}{800}=0,25.$

Wyznaczamy Present Value inwestycji A dla $r=IRR_{B}=0,25$ .

$PV_{A}(0,25)=-900+\frac{200}{1,25}+\frac{200}{1,25^{2}}+\frac{200}{1,25^{3}}+\frac{1200}{1,25^{4}}=-18,08.$

Ponieważ $PV_{A}(r)$ jest funkcją malejącą to jej miejsce zerowe ( $IRR_{A}$ ) leży na lewo od 0,25.

Odpowiedź.
Inwestycja B ma wyższą wewnętrzną stopę zwrotu.

Ćwiczenie 7.5

Kredytobiorca otrzymał kredyt 10 tys. zł wypłacony w dwóch równych transzach w odstępie rocznym. W kolejnych latach kredytobiorca spłacił kredyt w czterech równych ratach po 3000 zł. Spłaty miały miejsce po dwóch, trzech, czterech i pięciu latach od dnia wypłaty pierwszej transzy. Ponadto przy wypłacie pierwszej transzy pobrano prowizję w wysokości 500 zł. Ile wyniosła rzeczywista roczna stopa oprocentowania?

Rozwiązanie. Mamy sześć przepływów gotówki $n=6$ , $\; t_{1}=0$ , $\; t_{2}=1$ , $\dots,\; t_{6}=5$ .

$CF_{1}=-5000+500=-4500,$

$CF_{2}=-5000,$

$CF_{3}=CF_{4}=CF_{5}=CF_{6}=3000.$

Z lematu 2.2.3 wynika, że dla powyższych przepływów gotówki wewnętrzna stopa zwrotu, a więc i rzeczywista roczna stopa oprocentowania $i$ są wyznaczone jednoznacznie. Zatem $i$ jest jedynym dodatnim pierwiastkiem równania

$-4500-\frac{5000}{1+i}+\frac{3000}{(1+i)^{2}}+\frac{3000}{(1+i)^{3}}+\frac{3000}{(1+i)^{4}}+\frac{3000}{(1+i)^{5}}=0.$

Po jego rozwiązaniu otrzymujemy

$i\approx 0{,}082882057.$

Odpowiedź.
Rzeczywista roczna stopa oprocentowania wynosi 8,3%.

Ćwiczenie 7.6

Sklep z artykułami gospodarstwa domowego proponuje swoim klientom ,,kredyt 0%”. Należność za nabyty towar klient płaci w 12 równych miesięcznych ratach. Ponadto za udzielenie kredytu pobierana jest prowizja, która wynosi 5% kwoty kredytu. Wiedząc, że pierwsza rata ma miejsce po miesiącu od zawarcia umowy kredytowej (i zakupu towaru), a prowizja jest pobierana w dniu zawarcia umowy, wyznacz rzeczywistą roczną stopę oprocentowania.

Rozwiązanie.
Mamy trzynaście przepływów gotówki $n=13$ . Dla uproszczenia przyjmiemy zasadę równych miesięcy $t_{j}=(j-1)/12$ . Niech $K$ oznacza kwotę kredytu.

$CF_{1}=-K+0{,}05K=-0{,}95K;$

$CF_{j}=\frac{K}{12},\;\; j=2,\dots 13.$

Zatem rzeczywista roczna stopa oprocentowania $i$ jest jedynym dodatnim pierwiastkiem równania

$-0{,}95K+\sum _{{j=2}}^{{13}}\frac{K}{12}(1+i)^{{-\frac{j-1}{12}}}=0.$

Po jego rozwiązaniu otrzymujemy

$i\approx 0{,}100088186852655.$

Odpowiedź.
Rzeczywista roczna stopa oprocentowania wynosi 10%.

Ćwiczenie 7.7

Inwestor zakupił za 100 JM rentę o ciągłym stałym strumieniu płatności o gęstości 10 w skali roku. Płatności zaczną się za rok i będą trwały nieprzerwanie 11 lat. Wyznaczyć wewnętrzną stopę zwrotu.

Rozwiązanie.
Równanie wartości ma postać

$100=\int _{1}^{{12}}10e^{{-\delta t}}dt=-\frac{10}{\delta}(e^{{-12\delta}}-e^{{-\delta}}).$

Jego pierwiastek to $\delta\approx 0{,}0148$ .
Zatem $IRR=e^{\delta}-1\approx 0{,}0149$ .

Odpowiedź.
Wewnętrzna intensywnośc wynosi 0,0148, a wewnętrzna stopa zwrotu 0,0149.

Treść automatycznie generowana z plików źródłowych LaTeXa za pomocą oprogramowania wykorzystującego LaTeXML.

Rynki kapitałowe (Matematyka finansowa I)

Zagadnienia

7. Analiza instrumentów dłużnych – cd

7.1. Wewnętrzna stopa zwrotu

7.1.1. Definicja

Definicja 7.1

Przykład 7.1

7.1.2. Istnienie

Przykład 7.2

Przykład 7.3

Lemat 7.1

Lemat 7.2

7.1.3. Jednoznaczność

Lemat 7.3

Lemat 7.4

Lemat 7.5

7.1.4. Kryterium inwestycyjne oparte na

Lemat 7.6

Przykład 7.4

7.1.5. a

Wniosek 7.1

7.1.6. Rzeczywista roczna stopa oprocentowania

7.1.7. Uogólnienia

Lemat 7.7

7.2. Ćwiczenia

Ćwiczenie 7.1

Ćwiczenie 7.2

Ćwiczenie 7.3

Ćwiczenie 7.4

Ćwiczenie 7.5

Ćwiczenie 7.6

Ćwiczenie 7.7

7.1.1. Definicja $IRR$

7.1.2. Istnienie $IRR$

7.1.3. Jednoznaczność $IRR$

7.1.4. Kryterium inwestycyjne oparte na $IRR$

7.1.5. $IRR$ a $YTM$